塔城地区2022-2023学年高二下学期5月期中测试数学试卷
考试时间：120分钟
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知等差数列中，前5项和，，则（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
2．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项的和为Sn，a1=2，且a1，a3，a9成等比数列，则S8=（ ）
A．56 B．72 C．88 D．40
3．质点运动规律，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )
A．6.3 B．36.3 C．3.3 D．9.3
4．等于（ ）
A． B． C． D．
5．设等比数列的前项和为，若，，则
A．14 B．18 C．36 D．60
6．函数的极大值为
A． B． C． D．
7．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
8．冬季某服装店销售a，b，c，d，e五种不同款式的羽绒服，甲、乙、丙三人每人任意选择一款羽绒服购买，则不同的购买选择有（ ）
A．15种 B．60种 C．125种 D．243种
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．下列问题属于排列问题的是（ ）
A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B．从10人中选2人去游泳
C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数
10．已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．（d为常数） B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．是与的等差中项
11．函数的导函数的图像如图所示，则（ ）
A．为的极大值点 B．为的极小值点
C．2为的极大值点 D．为的极小值点
12．已知函数f（x）=（x-a）（x-3）2，当x=3时，f（x）有极大值，则a的取值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．曲线的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为_______________.
14．已知函数，，其图象上任意一点处的切线的斜率恒成立，则实数的取值范围是________．
15．已知等比数列的前项和为，公比，且，，则______.
16．若3名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这4个兴趣小组，每人选报1组，则不同的报名方式有__________ 种.
四、解答题（第17题10分，第18—22题每题12分）
17．有5名同学站成一排拍照．
(1)若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？
(2)若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？
18．解下列方程或不等式．
(1)
(2)
19．已知为等差数列的前n项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和
20．已知是数列的前项和，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列前项和.
21．已知函数．
(1)求f（x）的单调区间；
(2)求f（x）在区间[－3，5]的最值．
22．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
（1） 当a=0时，求f(x)在点 (－1，-2)处的切线方程.
（2）若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围.参考答案：
1．B
【分析】由以及等差数列的性质及求和公式可得，又可得公差d，再利用计算即可得到答案.
【详解】由等差数列的性质及求和公式，得，解得，又
，所以公差，.
故选：B
【点睛】本题考查等差数列的基本性质及求和公式的计算，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
2．B
【分析】根据a1，a3，a9成等比数列，得到=a1a9，再根据a1=2，求得公差即可.
【详解】因为a1，a3，a9成等比数列，
所以=a1a9，又a1=2，
所以(a1+2d)2=a1(a1+8d)，
解得d=2或d=0(舍)，
故an=2+(n-1)×2=2n，
所以S8==4(2+2×8)=72.
故答案为：B
3．A
【分析】根据平均速度公式计算可得.
【详解】解：因为，，
∴平均速度；
故选：A.
4．C
【分析】根据排列数公式即可得答案.
【详解】根据排列数公式可得，
故选：C
5．A
【分析】由已知结合等比数列的求和公式可求，，q2，然后整体代入到求和公式即可求．
【详解】∵等比数列{an}中，S2＝2，S4＝6，
∴q≠1，
则，
联立可得，2，q2＝2，
S62×（1﹣23）＝14．
故选A．
【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，考查了整体代入的运算技巧，属于基础题．
6．B
【分析】利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数极值点，由此求得函数的极大值.
【详解】依题意，故函数在上递增，在上递减，所以函数在处取得极大值为.
故选B.
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的极大值，考查函数单调区间的求法，考查乘法的导数运算，属于基础题.
7．D
【分析】求导可得解析式，令x=1代入，即可求得答案.
【详解】因为，
所以，令x=1代入可得
解得.
故选：D
8．C
【分析】用分步乘法原理计算.
【详解】每人有5种不同的购买选择，总的购买选择有种.
故选：C.
9．AD
【分析】根据给定的条件，利用排列的定义逐项判断作答.
【详解】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；
对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；
对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；
对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题．
故选：AD
10．ABD
【解析】由等差数列的性质直接判断AD选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项.
【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A正确；
B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数列是等差数列，故B正确；
C.，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；
D.根据等差数列的性质可知，所以是与的等差中项，故D正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.
11．AB
【分析】利用导函数的图像得到函数的单调区间，从而判断函数的极值点．
【详解】解：由图像可得，当时，当时，
当时，当时，
所以在和上单调递减，在和上单调递增，
函数在和处取得极小值，在处取得极大值，
故选：AB
12．ABC
【分析】求得导数函数只需即可满足题意.
【详解】
令 ，则或，
当时，即时，在单调递增，单调递减，单调递增，
此时，当x=3时，f（x）有极大值，
则a的取值可以是4,5,6.
故选：ABC.
13．
【分析】设出切点的坐标，结合导数求得切线方程，根据切线过原点求得切点的横坐标，进而求得切线方程.
【详解】设切点为，则，即，
故切线方程为，
又切线过原点，，解得，
将代入，可得切线方程为.
故答案为：
14．
【详解】试题分析：，因为，其图象上任意一点处的切线的斜率恒成立，，，，恒成立，由．
考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题．
【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项：（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．（2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
15．0
【分析】利用等比数列的通项公式可得，再利用求和公式即可得出答案．
【详解】由，，
化为，，
解得，
又，解得，
则的前2020项和，
故答案为：.
16．64
【分析】由分步乘法计数原理即可算出答案.
【详解】由分步乘法计数原理，得不同的报名方式有（种）.
故答案为：64
17．(1)48
(2)42
【分析】（1）捆绑法进行求解；（2）分甲排左端和乙排左端两种情况进行求解，再求和即可.
【详解】（1）将甲乙捆绑在一起，故方法数有种．
（2）如果甲排左端，则方法数有种；
如果乙排左端，则方法数有种．
故总的方法数有种．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据排列数的计算公式化简已知条件，由此求得方程的解.
（2）根据排列数的计算公式化简已知条件，由此求得不等式的解集..
（1）
由于，
所以，
整理得，
解得或（舍去）.
（2）
由于，
所以，
整理得，
由于，所以，
所以不等式的解集为.
19．（1）；（2）.
【解析】（1）根据求解出等差数列的公差，再根据即可求解出的通项公式；
（2）采用分组求和的方法分别对等差数列和等比数列进行求和，最后将结果相加即可.
【详解】（1）∵是数列前n项和,且
∴，
又∵
∴
∴
∴数列的通项公式为.
（2）由（1）知
令是数列的前n项和
∴
∵，其前n项和为
∴.
【点睛】本题考查等差、等比数列的综合运用，难度较易.求解形如的前项和（是等差数列，是等比数列），注意采用分组求和的方法.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）讨论时，求出，时，两式相减，进而得到间的关系式，从而得到数列的类型，进而求出通项公式；
（2）根据（1）先求出，进而用裂项法求和.
【详解】（1）由题意，当时，，即，.
当时，，
，即，
.
是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，即.
（2），，，
，
，
.
21．(1)增区间为（－∞，－2）和（2，＋∞），减区间为（－2，2）
(2)最大值为65，最小值为－16
【分析】（1）求定义域，求导，利用导函数的正负求出单调区间；
（2）在第一问的基础上求出最值.
（1）
由题意可得定义域为R，
，
令，得或．
列表如下：
x －2 （－2，2） 2 （2，＋∞）
＋ 0 － 0 ＋
f（x） 递增↗ 极大值16 递减 极小值－16 递增↗
所以f（x）单调递增区间为（－∞，－2）和（2，＋∞），单调递减区间为（－2，2）．
（2）
由（1）知f（x）在[－3，－2]，[2，5]单调递增，在[－2，2]单调递减，
又因为．
所以f（x）在区间[－3，5]上的最大值为65，最小值为－16.
22．（1）；（2）．
【分析】（1）当时，求出函数f(x)和导函数，进而利用点斜式方程写出切线方程；
（2）在区间上为增函数，即在上恒成立，分离参数求出最值，可得a的取值范围．
【详解】（1）当时，，，
所以曲线在处切线斜率为，
所以切线方程为：，即．
（2）因为，且在区间上为增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，即的取值范围为．
