内蒙古巴彦淖尔市衡越实高2022-2023学年高二下学期期中检测数学（理）试卷（含答案）

衡越实高2022-2023学年高二下学期期中检测
数学试卷(理科)
一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部是（ ）
A．1 B．i C． D．
3．在中，已知命题p：为钝角三角形，命题，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知向量，，若与共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列中，是数列的前项和，则最大值时的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为
7．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数
B．当时，取到极小值
C．在区间上，是减函数
D．在区间上，是增函数
8．函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
9．曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
10．设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知是抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为6.若过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
12．是定义在R上的可导函数，且对任意正实数a恒成立，下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有____种．（用数字作答）
14．某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为______．
15．已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.
16．已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______．
三、解答题（共70分）
17．（12分）书架的第一层放有6本不同的数学书，第二层放有6本不同的语文书，第三层放有5本不同的英语书.
(1)从这些书中任取1本数学 1本语文和1本英语共3本书的不同取法有多少种？
(2)从这些书中任取3本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？
18．（12分）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，设，求函数的单调区间.
19．（12分）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
20．（12分）已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
21．（12分）已知函数，．
(1)当时，证明：在上恒成立；
(2)若有2个零点，求a的取值范围．
22．（10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；
(2)若曲线C和直线相交于A、B两点，A、B的中点为M，点，求．
23．（10分）[选修4—5：不等式选讲]
已知函数．
(1)若存在，使得，求实数的取值范围；
(2)令的最小值为．若正实数，，满足，求证：
期中检测参考答案：
1．B 2．A 3．B 4．B 5．B 6．B 7．D 8．C 9．B 10．D 11．B 12．D
13．144 14．14 15． 16．
17．(1)180(2)4080
(1)由题意，分步完成，
第一步，从第一层中任取1本数学书，有6种取法;
第二步，从第二层中任取1本语文书，有6种取法;
第三步，从第三层中任取1本英语书，有5种取法.
由分步乘法计数原理，共有(种)不同的取法；
(2)由题意，本题是从17本书中任取3本在书架上按次序排好，完成这个工作分三步完成，
第一步，从17本书中任取1本放在第一个位置上，共有17种不同的取法；
第二步，从16本书中任取1本放在第二个位置上，共有16种不同的取法；
第三步，从15本书中任取1本放在第三个位置上，共有15种不同的取法.
由分步乘法计数原理，共有(种)不同的排法.
18．(1)；(2)增区间为，减区间为.
(1)当时，，则，又，
设所求切线的斜率为，则，
则切线的方程为：，
化简即得切线的方程为：.
(2)，其定义域为，
，
∵，∴ax＋1＞0，∴当时，；
当时，.的增区间为，减区间为.
19．(1)证明过程见解析
(2)与平面所成的角的正弦值为
【详解】（1）因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以,
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
20．(1)y2＝4x(2)证明见解析
【详解】（1）P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x．
（2）证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，所以Δ＞0 16m2+16t＞0 m2+t＞0，
，同理：，由题意：，
∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，∴y1y2＝4，∴﹣4t＝4，∴t＝﹣1，故直线AB恒过定点(﹣1，0)．
21．(1)证明见解析(2)
【详解】（1）当时，设，
则，设，
由函数和在上单调递增，
知函数在上单调递增，且，
所以当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以即在上恒成立；
（2）由，得，令，
则有2个零点，等价于函数与的图象有2个交点，
令，得，
当时，当时，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故，且当时，，
当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远比大，故趋向于0，
作出函数的大致图象如下：
结合图象可知，当时，与的图象有2个交点，故a的取值范围是．
22．(1)，；(2)
【详解】（1）由直线l的参数方程为，消去参数可得，
∵曲线C的极坐标方程为，∴，∴，即；
（2）设过定点的直线的参数方程为，
将直线代入得，
即，，.
23．(1)；(2)证明见解析．
【详解】（1），
所以在上递减，在上递增，所以，，解得；
（2）由（1）得，，
所以，
当且仅当时等号成立
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