8.6.1直线与直线垂直 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
数学人教A版 必修二
8.6.1 直线与直线垂直
1.空间两条直线的三种位置关系
知识回顾
异面直线
α
a
b
相交直线
a
b
O
平行直线
a
b
a
b
O
平面内两条相交直线形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线的倾斜程度．
2.如何刻画两条相交直线的位置关系？
找两条相交直线的夹角，除了作延长线，还有别的方法吗？
a
b
新知讲解
如何作出空间中直线a和b的夹角？
α
a
b
O
O
a’
b’
a
b
O
b’
a’
α
α
异面直线所成的角：
已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作a’//a，b’//b,我们把a’与b’所成锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
如果两条异面直线夹角为直角，那我们就说这两条异面直线互相垂直。
记作a⊥b。
问题2：经过空间任意一点如何引已知直线的平行线？
由推论1知，经过直线a，及空间不在直线a上的点O，可确定一个平面，不妨记为平面α。在平面α内，经过点O作a’//a，这样的直线a’就是过直线a外一点O且平行于直线a的直线。
a
O
a’
α
问题3：直线a与b所成角的大小与点O的位置有关吗？
因为a’//a，b’//b，所以由等角定理可知，两角相等或互补。由于异面直线所成的角是不超过90°的角，因此两角相等。
所以，直线a与b所成角的大小与点O的位置无关。
此方法作出的角有多少个？
无数个
1.异面直线所成角的大小只和两条异面直线的位置有关，而和点O位置的选择无关。
2.异面直线所成角的范围： 0°<α≤90°。
3.当两条直线平行时规定所成角为0°，所以空间两条直线所成角范围0°≤α≤90°。
注意：
练习一 判断对错
1.异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同.( )
2.异面直线a与b所成角可以是0°.( )
3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直.( )
4.两条直线垂直，它们一定相交.( )
5.垂直于同一条直线的两条直线一定平行.( )
X
√
X
X
X
例一：如图，已知正方体ABCD-A’B’C’D’
（1）哪些棱所在直线与直线AA’垂直？
（2）哪些棱所在直线与直线AA’异面且垂直？
（3）求直线BA’与CC’所成角的大小.
（4）求直线BA’与AC所成角的大小.
（5）求直线AC与BD’所成角的大小.
解:（1）棱AB,BC,CD,DA,A’B’,B’C’,C’D’,D’A’所在直线分别与AA’垂直.
（2）棱BC,CD，B’C’，C’D’与直线AA’异面且垂直.
（1）哪些棱所在直线与直线AA’垂直？
（2）哪些棱所在直线与直线AA’异面且垂直？
解:（3）因为ABCD-A’B’C’D’是正方体，所以BB’//CC’,因此∠A’BB’为直线BA’与CC’所成的角。又因为∠A’BB’=45°，所以直线BA’与CC’所成角等于45°。
（3）求直线BA’与CC’所成角的大小.
直接平移法
（4）连接A’C’,
因为ABCD-A’B’C’D’是正方体，所以AA’//CC’且AA’=CC’,从而四边形AA’CC’是平行四边形，所以AC//A’C’。于是∠BA’C’为异面直线BA’与AC所成的角。
连接BC’,易知△A’BC’是等边三角形，所以∠BA’C’=60°。从而异面直线BA’与AC所成角等于60°。
（4）求直线BA’与AC所成角的大小.
直接平移法
（5）求直线AC与BD’所成角的大小.
方法1：连接BD交AC于点O，取的D D’中点M，连接OM、AM、CM，即∠ MOA为所成的角.
O
M
90°
中位线平移法
（5）求直线AC与BD’所成角的大小.
方法2：补一个与正方体全等的并与原正方体有公共面B ’C的正方体BG，连接AC ’、C ’ E、A ’E，即∠ A ’C ’E为所成的角.
90°
补形平移法
G
E
F
H
例二：如图在正方体ABCD-A’B’C’D’中，O’为底面A’B’C’D’的中心，求证：AO’⊥BD
证明：如图，连接B’D’,∵ABCD-A’B’C’D’是正方体
∴BB’//DD’,BB’=DD’
∴四边形BB’DD’是平行四边形
∴B’D’//BD
∴直线AO’与B’D’所成角即为直线AO’与BD所成角
连接AB’,AD’易证AB’=AD’
又O’为底面A’B’C’D’的中心∴O’为B’D’的中点
∴AO’⊥B’D’,AO’⊥BD
，
O’
求两条异面直线所成的角的大小的一般步骤
1，异面直线所成的角（定义，角的范围）
2，两条异面直线互相垂直
3，求异面直线所成的角（步骤，方法）
课堂总结
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