6.4.3.2正弦定理 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.4.3　余弦定理、正弦定理
第二课时 正弦定理
余弦定理
三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
复习回顾
推论：
1.问题的引入:
设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗
我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具.
A
B
回忆一下直角三角形的边角关系
A
B
C
c
b
a
2.定理的推导
在直角三角形ABC中，由锐角三角函数， 再根据正弦函数的定义，
思考:
对一般的三角形,这个结论还能成立吗
两等式间有联系吗？
D
B
A
C
a
b
c
E
(1)当 是锐角三角形时,结论是否还成立呢
如图:作AB上的高是CD,根椐
三角形的定义,得到
(2)当 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立
D
1、正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
即
思考： 余弦定理是解决已知两边和一个夹角，求第三边的问题，
利用正弦定理可以解决一些怎么样的解三角形问题呢？
正弦定理可用于两类：
（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角；
（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边.
例1
[练2] 在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.
探究2：在一个三角形中,各边和它所对的角分别为
求证：
B
A
C
D
a
b
c
证明：
而
∴
同理
ha
3、三角形的面积公式：
[例2] 在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
[针对训练] 已知在△ABC中,内角A,B所对的边分别是a和b,若acos B=bcos A,则△ABC一定是(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析:由正弦定理得,acos B=bcos A sin Acos B=sin Bcos A
sin(A-B)=0,
由于-π故必有A-B=0,A=B,
即△ABC为等腰三角形.故选A.
[例3] (1)在△ABC中,A=30°,C=45°,a=2,求S△ABC;
D
B
7
2、
正弦定理
主要应用
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、无解）
小结:
三角形的面积公式：