泸州市泸县2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学（理工类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为4800人，4000人，2400人．现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本中高中学生人数为
A．42人 B．84人 C．126 人 D．196人
2．已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为
A． B．2 C． D．
3．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是
A． B．（0，4） C． D．
4．在的二项展开式中，的系数是
A． B． C． D．
5．执行如图所示的程序框图，输出的
A． B． C． D．0
6．某会议有来自6个学校的代表参加，每个学校有3名代表.会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席团，不同的选举方法数为
A．816 B．720 C．540 D．120
7．下表是某厂月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
月份
用水量
由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则
A． B． C． D．
8．已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
9．若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是
①②③④
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设、在放射性同位素铯衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，则铯含量在时的瞬间变化率为
A．（太贝克/年） B．（太贝克/年）
C．（太贝克/年） D．（太贝克/年）
11．设椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为、，P是椭圆上一点，，()，，则椭圆离心率的取值范围为
A． B． C． D．
12．设函数，若不等式仅有1个正整数解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若1，2，3，x的平均数是5，而1，3，3，x，y的平均数是6，则1，2，3，x，y的方差是________.
14．已知命题，命题.若是的充要条件，则的值是________.
15．已知曲线C：，直线l：．若当时，直线l恒在曲线C的上方，则实数k的取值范围是______．
16．已知过点作抛物线的两条切线,切点分别为A、B,直线经过抛物线C的焦点F,则___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17.（12分）已知函数（其中）.
（Ⅰ）求函数的极值点；
（Ⅱ）若函数有三个零点，求实数的取值范围.
18．（12分）某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：）．跳高成绩在175以上（包括175 ）定义为“合格”，成绩在175以下定义为“不合格”．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队．
（Ⅰ）求甲队队员跳高成绩的中位数；
（Ⅱ）如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次，用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各层应抽取多少人？
（III）若从所有“合格”运动员中选取2名，用表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出的分布列，并求的数学期望．
19．（12分）如图，直三棱柱，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设为的中点，，求二面角的余弦值.
20．（12分）已知椭圆:的左、右焦点分别为,,过点且斜率为k的直线与椭圆交于A,B两点.当A为椭圆E的上顶点时,.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）当时,试判断以AB为直径的圆是否经过点,并说明理由.
21．（12分）已知，，（其中e为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，函数有两个零点，，求证：.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（选修4-4 极坐标与参数方程）
已知曲线的方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）过作直线交曲线于、两点，且，求直线的斜率.
23．选修4-5：不等式选讲
设函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若，成立，求实数的取值范围.泸州市泸县2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学（理工类）参考答案
1．A 2．A 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D 9．A 10．A 11．B 12．B
13．24.56 14． 15． 16．64
17．解：（1）因为函数，则定义域为，
且，令，解得或.
当变化时，，变化情况如下表：
极大值 极小值
因此函数在处取得极大值；在处取得极小值，
所以函数的极大值点为，极小值点为
（2）函数有三个零点，等价于的图象与轴有三个交点
由（1）可知，在处取得极大值；在处取得极小值，
因为的图象与轴有三个交点则，解得，故实数的取值范围为
18．（1）根据中位数的定义求解；（2）首先根据茎叶图得到甲、乙两队合格人数与不合格人数，从而根据抽样比求解；（3）首先得到的所有可能取值，然后分别求出相应概率，列出分布列，求得数学期望．
试题解析：（1）由茎叶图知，甲田径队12名队员的跳高成绩从小到大排列后中间的两个成绩为176、178，故中位数为．
（2） 由茎叶图可知，甲、乙两队合格人数共有12人，不合格人数为18人，
所以，抽取五人，合格人数为人，不合格人数为人．
（3），
,,
因此，的分布列如下：
0 1 2
∴.
19．解：（1）直三棱柱，
平面，并且平面，
又，且，平面
平面，又平面，.
（2），，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，所以的中点，则，，，
设平面的一个法向量，则，
可取
设平面的一个法向量，则，
可取
则，因所求角为钝角，所以二面角的余弦值为.
20．解：（1）由题意,得椭圆的半焦距,当为椭圆的上顶点时,,设,
则,.由,得,,
∴,将点的坐标代入椭圆的方程,得，解得.
又,∴,∴椭圆的标准方程是.
（2）以AB为直径的圆不经过点,理由如下:
依题意,知直线的方程为.联立,消去,并整理得.
设,,则由根与系数的关系,得,.
易知,直线,的斜率都存在且不为0.
若以为直径的圆经过点,则，所以直线,的斜率之积为-1,即,
而
,
所以以为直径的圆不经过点.
21．（1）解：
∵，∴时，，
∴时，增区间为：，减区间为：；
时，，∴时，增区间为：；
时，，，
∴时，增区间为：，减区间为：；
（2）解法一：由（1）知，时，增区间为：，减区间为：；
且时，，，函数的大致图像如下图所示
因为时，函数有两个零点，，所以，即，
不妨设，则；先证：，即证：
因为，所以，又在单调递增，所以即证：
又，所以即证：，
令函数，，
则
因为，所以，，故
函数在单调递增，所以
因为，所以，，即
所以．
（2）解法二：因为时，函数有两个零点，，
则两个零点必为正实数，（）
等价于有两个正实数解；
令（）
则（），在单调递增，在单调递减，且
令，，则
所以在单调递增，
又，故，
又，所以，
又，所以，，
又在单调递增，所以所以．
22．解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以，
消去参数，可得，故曲线的普通方程为.
又，，
故曲线的极坐标方程为，即.
（2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），
代入，得.，
设点对应的参数为，点对应的参数为，则（*），
因为，所以，
所以，代入（*）式整理，可得，
可得，
若，则，与矛盾，故，
可得，解得，所以直线的斜率为或.
23．解：（1）依题意或或
解得
（2）
在上是减函数，在上是增函数
，，，
，，解得.
