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19.1.1 变量与函数
第二课时 函数
夯基训练
知识点1 函数的定义
1.下列变量间的关系不是函数关系的是( )
A．长方形的宽一定，其长与面积
B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边长与面积
D．圆的周长与半径
2.下列关于变量x,y的关系式:①3x-2y=5;②y=|x+1|;③2x-y2=10,其中表示y是x的函数关系的是( )
A.①②③ B.①②
C.①③ D.②③
知识点2 自变量的取值范围
3.写出下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝2x－3；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝.
4.如图,数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围,则这个函数解析式为( )
A.y=x+2 B.y=x2+2
C.y= D.y=
5.在函数y=中,自变量x的取值范围是( )
A.x>0 B.x≥-4
C.x≥-4且x≠0 D.x>-4且x≠0
6.在函数y=+(x-2)0中,自变量x的取值范围是___________.
知识点3 函数值
7.水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t分钟时，水箱内存水y升．
(1)求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)7：55时，水箱内还有多少水？
(3)几点几分水箱内的水恰好放完？
8.如果两个变量x,y之间的函数关系如图所示,则函数值y的取值范围是( )
A.-3≤y≤3 B.0≤y≤2 C.1≤y≤3 D.0≤y≤3
题型总结
题型1 利用定义法识别函数、求函数值
9.根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为，则输出的函数值为( )
A. B. C. D.
10.在国内投寄本埠平信应付邮资如下表:
信件质量x/g 0邮资y/元 0.80 1.60 2.40
(1)y是x的函数吗 为什么
(2)分别求当x=5,10,30,50时y的值.世纪教育网版权
题型2 利用函数关系式表示实际应用中的数量关系
11.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．
(1)一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；
(2)设一长方体盒子高为30cm，底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，这个长方体的体积V(cm3)也随之改变．
12.汽车由A地驶往相距840千米的B地,汽车的平均速度为每小时70千米,t小时后,汽车距B地s千米.2·1·c·n·j·y
(1)求s与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
(2)经过2小时后,汽车离B地多少千米
(3)经过多少小时后,汽车离B地140千米
拓展培优
拓展角度1 利用图表信息求函数关系式及函数值(从特殊到一般的思想)
13.如图,结合表格中的数据回答问题:
梯形的个数 1 2 3 4 5 …
图形的周长 5 8 11 14 17 …
(1)设图形的周长为l,梯形的个数为n,试写出l与n的函数关系式;
(2)求n=11时,图形的周长;
(3)求l=302时,梯形的个数.
拓展角度2 利用函数关系式表示几何中的数量关系
14.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=7,点P是BC边上与点B不重合的动点,过点P的直线交CD的延长线于点R,交AD于点Q(点Q与点D不重合),且∠RPC=45°.设BP=x,梯形ABPQ的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围. 21cnjy.com
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19.1.1 变量与函数
第二课时 函数
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 函数的定义
1.下列变量间的关系不是函数关系的是( )
A．长方形的宽一定，其长与面积
B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边长与面积
D．圆的周长与半径
1.解析：A中，长方形的宽一定．它是常量，而面积＝长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也改变，故A选项是函数关系；B中，面积＝()2，正方形的周长与面积是两个变量，16是常量，故B选项是函数关系；C中，面积＝×底边上的高×底边长，底边长与面积虽然是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里高也是变量，有三个变量，故C选项不是函数关系；D中，周长＝2π×半径，圆的周长与其半径是函数关系．故选C.
方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应关系．
2.下列关于变量x,y的关系式:①3x-2y=5;②y=|x+1|;③2x-y2=10,其中表示y是x的函数关系的是( )
A.①②③ B.①②
C.①③ D.②③
2. 【答案】B
解：只要保证x对应的y只有一个值即可,选B①可以化成一次函数,②是关于x的二次函数③是关于y的二次函数,比如你取x=1的时候,y有两个值
知识点2 自变量的取值范围
3.写出下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝2x－3；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝.
3.解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
解：(1)全体实数；
(2)分母1－x≠0，即x≠1；
(3)被开方数4－x≥0，即x≤4；
(4)由题意得解得x≥1且x≠2.
方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．
4.如图,数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围,则这个函数解析式为( )
A.y=x+2 B.y=x2+2
C.y= D.y=
4. 【答案】C
解：y= ，x﹣2≥0，即x≥2，正确，故选C.
5.在函数y=中,自变量x的取值范围是( )
A.x>0 B.x≥-4
C.x≥-4且x≠0 D.x>-4且x≠0
5. 【答案】C
解:由题意得解得x≥-4且x≠0.
6.在函数y=+(x-2)0中,自变量x的取值范围是___________.
6. 【答案】x>-2且x≠2
知识点3 函数值
7.水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t分钟时，水箱内存水y升．
(1)求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)7：55时，水箱内还有多少水？
(3)几点几分水箱内的水恰好放完？
7.解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t的取值范围；(2)当7：55时，t＝55－30＝25(分钟)，将t＝25分钟代入(1)中的关系式即可；(3)令y＝0，求出t的值即可．
解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y＝200－2t.∵y≥0，∴200－2t≥0，解得t≤100，∴0≤t≤100，∴y关于t的函数关系式为y＝200－2t(0≤t≤100)；
(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25分钟时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；
(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．
8.如果两个变量x,y之间的函数关系如图所示,则函数值y的取值范围是( )
A.-3≤y≤3 B.0≤y≤2 C.1≤y≤3 D.0≤y≤3
8. 【答案】D
解:从题图可以看出y的最大值是3,最小值是0,所以0≤y≤3,选D.
题型总结
题型1 利用定义法识别函数、求函数值
9.根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为，则输出的函数值为( )
A. B. C. D.
9.解析：∵x＝时，在2≤x≤4之间，∴将x＝代入函数y＝，得y＝.故选B.
方法总结：根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．
小强想给爷爷买双鞋，爷爷说他的脚长25.5cm，若用x(单位：cm)表示脚长，用y(单位：码)表示鞋码，则有2x－y＝10，根据上述关系式，小强应给爷爷买________码的鞋．
解析：∵用x表示脚长，用y表示鞋码，则有2x－y＝10，而x＝25.5，则51－y＝10，解得y＝41.
方法总结：当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程．
10.在国内投寄本埠平信应付邮资如下表:
信件质量x/g 0邮资y/元 0.80 1.60 2.40
(1)y是x的函数吗 为什么
(2)分别求当x=5,10,30,50时y的值.
10.解:(1)y是x的函数,理由:当x取定一个值时,y都有唯一确定的值与其对应.
(2)当x=5时,y=0.80;当x=10时,y=0.80;当x=30时,y=1.60;当x=50时,y=2.40.版权
题型2 利用函数关系式表示实际应用中的数量关系
11.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．
(1)一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；
(2)设一长方体盒子高为30cm，底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，这个长方体的体积V(cm3)也随之改变．
11.解析：(1)根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；(2)根据长方体的体积公式列出函数式．
解：(1)y＝10＋x(0＜x≤10)，其中x是自变量，y是自变量的函数；
(2)V＝30a2(a>0)，其中a是自变量，V是自变量的函数．
方法总结：函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
12.汽车由A地驶往相距840千米的B地,汽车的平均速度为每小时70千米,t小时后,汽车距B地s千米.2·1·c·n·j·y
(1)求s与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
(2)经过2小时后,汽车离B地多少千米
(3)经过多少小时后,汽车离B地140千米
12.解:(1)s=840-70t(0≤t≤12).
(2)当t=2时,s=840-70×2=700(千米).
(3)当s=140时,140=840-70t,t=10(小时).
拓展培优
拓展角度1 利用图表信息求函数关系式及函数值(从特殊到一般的思想)
13.如图,结合表格中的数据回答问题:
梯形的个数 1 2 3 4 5 …
图形的周长 5 8 11 14 17 …
(1)设图形的周长为l,梯形的个数为n,试写出l与n的函数关系式;
(2)求n=11时,图形的周长;
(3)求l=302时,梯形的个数.
13.解:(1)l与n的函数关系式为l=3n+2(n为正整数).
(2)把n=11代入l=3n+2,得l=3×11+2=35.
所以n=11时,图形的周长为35.
(3)把l=302代入l=3n+2,
得302=3n+2,所以n=100,
即l=302时,梯形的个数为100.
拓展角度2 利用函数关系式表示几何中的数量关系
14.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=7,点P是BC边上与点B不重合的动点,过点P的直线交CD的延长线于点R,交AD于点Q(点Q与点D不重合),且∠RPC=45°.设BP=x,梯形ABPQ的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围. 21cnjy.com
14.解:如图,过点D作DP'∥PQ,交BC于点P',
则∠DP'C=∠RPC=45°,
∴P'C=CD=4,∴BP'=3.∴BP<3.
∵BP=x,则PC=7-x.
在Rt△PCR中,∠C=90°,
∠RPC=45°,
∴CR=PC=7-x.
∴QD=RD=CR-CD
=7-x-4
=3-x,
∴AQ=AD-QD
=7-(3-x)
=4+x.
∴y=(BP+AQ)·AB
=(x+4+x)×4
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