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19.1.2 函数的图象
第2课时 函数的表示方法
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 函数的表示法——解析式法
1.一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩余油量为y(升)，行驶路程为x(千米)．
(1)写出y与x的关系式；
(2)这辆汽车行驶35千米时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？
(3)这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米？
1.解析：(1)根据总油量减去用油量等于剩余油量，可得函数解析式；(2)根据自变量，可得相应的函数值，根据函数值，可得相应自变量的值；(3)令y＝0，求出x即可．
解：(1)y＝－0.6x＋48；
(2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升；当y＝12时，48－0.6x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米；
(3)令y＝0，－0.6x＋48＝0，解得x＝80，即这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶80km.
方法总结：解析式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．
知识点2 函数的表示法——列表法
2.有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问题：
质量(克) 1 2 3 4 …
伸长量(厘米) 0.5 1 1.5 2 …
总长度(厘米) 10.5 11 11.5 12 …
(1)要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？
(2)当所挂重物为x克时，用h厘米表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式．
(3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克．
2.解析：(1)根据挂重物每克伸长0.5厘米，要伸长5厘米，可得答案；(2)根据挂重物与弹簧伸长的关系，可得函数解析式；(3)根据函数值，可得所挂重物质量．
解：(1)5÷0.5×1＝10(克)，
答：要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克；
(2)函数的表达式：h＝10＋0.5x(0≤x≤50)；
(3)当h＝25时，25＝10＋0.5x，x＝30，
答：当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克．
方法总结：列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．
知识点3 函数的表示法——图象法
3.如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的关系，请根据图象回答下列问题：
(1)汽车共行驶的路程是多少？
(2)汽车在行驶途中停留了多长时间？
(3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？
(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？
3解析：根据图象解答即可．
解：(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是120×2＝240(千米)；
(2)由横坐标看出2－1.5＝0.5(小时)，故汽车在行驶途中停留了0.5小时；
(3)由纵坐标看出汽车到达B点时的路程是80千米，由横坐标看出到达B点所用的时间是1.5小时，由此算出平均速度80÷1.5＝(千米/时)；由纵坐标看出汽车从B到C没动，此时速度为0千米/时；由横坐标看出汽车从C到D用时3－2＝1(小时)，从纵坐标看出行驶了120－80＝40(千米)，故此时的平均速度为40÷1＝40(千米/时)；由纵坐标看出汽车返回的路程是120千米，由横坐标看出用时4.5－3＝1.5(小时)，由此算出平均速度120÷1.5＝80(千米/时)；
(4)由横坐标看出4.5－3＝1.5小时，返回用了1.5小时．
方法总结：图象法的优点是直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．
知识点4三种函数表示法间的关系
4.常用的三种函数的表示方法是: 、 、 ,其中
可以由表中已有自变量的每一个值直接得出相应的函数值; 能准确地反映整个变化过程中函数与自变量之间的关系; 能直观、形象地表示函数关系. 2·1
4.【答案】图象法;列表法;解析式法;列表法;解析式法;图象法
5.要形象、直观地表示某市某天的气温与时间的函数关系,适宜用( )
A.列表法 B.解析式法
C.图象法 D.以上都可以
5.【答案】C
6.下面说法中正确的是( )
A.两个变量间的关系只能用解析式表示
B.图象不能直观地表示两个变量间的数量关系
C.借助表格可以反映出因变量随自变量的变化情况
D.以上说法都不对
6.【答案】C
题型总结
题型1 利用函数解析式表示函数图象的意义
7.如图,已知函数y=kx+n的图象是一条直线,且图象经过两点,两点坐标分别是A(-1,3)与B(3,-3).2m
(1)试确定k和n的值;
(2)判断函数图象是否经过点C(-5,9),D(-6,10),并说明原因.
7.思路导引:(1)已知图象经过的点的坐标,表示坐标的有序实数对适合函数解析式,因此代入已知两点的坐标的有序实数对得出方程组,即可确定k和n的值.(2)将点C,D的坐标分别代入求出的函数解析式y=kx+n中即可,若等式成立,则图象经过该点,否则不经过.
解:(1)分别把点A,B的坐标代入函数的解析式,得方程组解得
所以k和n的值分别为,.
(2)由(1)知函数的解析式是y=-x+.
把x=-5代入函数的解析式,得y=-x+=-×(-5)+=9,因此图象经过点C(-5,9)同理当x=-6时,y=-x+=-×(-6)+=≠10,
因此图象不经过点D(-6,10).
方法总结:判断某点是否在函数的图象上的方法:将该点的横坐标代入函数解析式,看求出的函数值是否等于纵坐标.若相等,则该点在函数的图象上;反之,则该点不在函数的图象上.
题型2 利用函数解析式表示表格函数的意义
8.已知函数y与自变量x之间成反比例关系,下表给出了x与y的一些值:
x … -3 -2 -1 - 1 2 3 …
y … 1 2 4 -4 -2 -1 - …
(1)写出这个函数的解析式;
(2)根据函数解析式计算当x的取值分别是-6和5时的函数值,计算函数值分别是-12和36时的自变量的值.
8.解:(1)由表中的数据可知xy=-2,所以函数的解析式是y=-.
(2)当x=-6时,函数值y=-=.
当x=5时,函数值y=-.
因为y=-,所以x=-.
因此当y=-12时,x=-=.
当y=36时,x=-=-.
拓展培优
拓展角度1利用函数的表示方法进行三种表示方法的互化
9.为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算(未超过部分仍按每度电0.50元计算)．现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是( )
9.解析：根据题意，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x＞100时，y＝100×0.5＋0.8(x－100)＝50＋0.8x－80＝0.8x－30，所以，y与x的函数关系为y＝纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C.
方法总结：根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；②要求关于某个具体点，向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标；③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．
10.一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动,滚动的距离s(m)与时间t(s)之间的函数解析式为s=2t2(t≥0). www-2-1-cnjy-com
(1)根据解析式完成下表,并画出图象;
时间t/s 1 2 3 4
距离s/m
(2)当小球滚动6.5 s时,其滚动的距离是多少
(3)经过多少秒,小球滚动的距离是128 m
10.解:(1)2;8;18;32
这个函数的图象如图.
(2)当t=6.5时,s=84.5,即当小球滚动6.5 s时,其滚动的距离是84.5 m.
(3)当s=128时,t=8,即经过8 s,小球滚动的距离是128 m.
拔尖角度2利用函数的图象表示几何中面积变化情况
11.如图①所示，矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图②所示．
(1)求矩形ABCD的面积；
(2)求点M、点N的坐标；
(3)如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的，求满足条件的x的值．
11.解析：(1)点P从点B运动到点C的过程中，运动路程为4时，面积发生了变化且面积达到最大，说明BC的长为4；当点P在CD上运动时，△ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且运动路程由4到9，说明CD的长为5.然后求出矩形的面积；(2)利用(1)中所求可得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，进而得出M点坐标，利用AD，BC，CD的长得出N点坐标；(3)分点P在BC、CD、AD上时，分别求出点P到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y关于x的函数关系式，进而求出x即可．
解：(1)结合图形可知，P点在BC上，△ABP的面积为y增大，当x在4～9之间，△ABP的面积不变，得出BC＝4，CD＝5，∴矩形ABCD的面积为4×5＝20；
(2)由(1)得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，则点M的纵坐标为10，故点M坐标为(4，10)．∵BC＝AD＝4，CD＝5，∴NO＝13，故点N的坐标为(13，0)；
(3)当△ABP的面积为矩形ABCD面积的，则△ABP的面积为20×＝4.
①点P在BC上时，0≤x≤4，点P到AB的距离为PB的长度x，y＝AB·PB＝×5x＝，令＝4，解得x＝1.6；
②点P在CD上时，4≤x≤9，点P到AB的距离为BC的长度4，y＝AB·PB＝×5×4＝10(不合题意，舍去)；
③点P在AD上时，9≤x≤13时，点P到AB的距离为PA的长度13－x，y＝AB·PA＝×5×(13－x)＝(13－x)，令(13－x)＝4，解得x＝11.4，
综上所述，满足条件的x的值为1.6或11.4.
方法总结：函数图象与图形面积是运用数形结合思想的典型问题，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义．
12.如图,点P是 ABCD边上一动点,沿A→D→C→B的路径移动,设P点经过的路径长为x,△BAP的面积是y,则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是( )
12.【答案】A
解:点P沿A→D移动时,△BAP的面积逐渐变大且函数图象是直线的一部分;点P沿D→C移动时,△BAP的面积不变;点P沿C→B移动时,△BAP的面积逐渐减小且函数图象是直线的一部分.
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19.1.2 函数的图象
第2课时 函数的表示方法
夯基训练
知识点1 函数的表示法——解析式法
1.一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩余油量为y(升)，行驶路程为x(千米)．
(1)写出y与x的关系式；
(2)这辆汽车行驶35千米时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？
(3)这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米？
知识点2 函数的表示法——列表法
2.有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问题：
质量(克) 1 2 3 4 …
伸长量(厘米) 0.5 1 1.5 2 …
总长度(厘米) 10.5 11 11.5 12 …
(1)要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？
(2)当所挂重物为x克时，用h厘米表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式．
(3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克．
知识点3 函数的表示法——图象法
3.如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的关系，请根据图象回答下列问题：
(1)汽车共行驶的路程是多少？
(2)汽车在行驶途中停留了多长时间？
(3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？
(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？
知识点4三种函数表示法间的关系
4.常用的三种函数的表示方法是: 、 、 ,其中
可以由表中已有自变量的每一个值直接得出相应的函数值; 能准确地反映整个变化过程中函数与自变量之间的关系; 能直观、形象地表示函数关系. 2·1
5.要形象、直观地表示某市某天的气温与时间的函数关系,适宜用( )
A.列表法 B.解析式法
C.图象法 D.以上都可以
6.下面说法中正确的是( )
A.两个变量间的关系只能用解析式表示
B.图象不能直观地表示两个变量间的数量关系
C.借助表格可以反映出因变量随自变量的变化情况
D.以上说法都不对
题型总结
题型1 利用函数解析式表示函数图象的意义
7.如图,已知函数y=kx+n的图象是一条直线,且图象经过两点,两点坐标分别是A(-1,3)与B(3,-3).2m
(1)试确定k和n的值;
(2)判断函数图象是否经过点C(-5,9),D(-6,10),并说明原因.
题型2 利用函数解析式表示表格函数的意义
8.已知函数y与自变量x之间成反比例关系,下表给出了x与y的一些值:
x … -3 -2 -1 - 1 2 3 …
y … 1 2 4 -4 -2 -1 - …
(1)写出这个函数的解析式;
(2)根据函数解析式计算当x的取值分别是-6和5时的函数值,计算函数值分别是-12和36时的自变量的值.
拓展培优
拓展角度1利用函数的表示方法进行三种表示方法的互化
9.为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算(未超过部分仍按每度电0.50元计算)．现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是( )
10.一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动,滚动的距离s(m)与时间t(s)之间的函数解析式为s=2t2(t≥0). www-2-1-cnjy-com
(1)根据解析式完成下表,并画出图象;
时间t/s 1 2 3 4
距离s/m
(2)当小球滚动6.5 s时,其滚动的距离是多少
(3)经过多少秒,小球滚动的距离是128 m
拔尖角度2利用函数的图象表示几何中面积变化情况
11.如图①所示，矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图②所示．
(1)求矩形ABCD的面积；
(2)求点M、点N的坐标；
(3)如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的，求满足条件的x的值．
12.如图,点P是 ABCD边上一动点,沿A→D→C→B的路径移动,设P点经过的路径长为x,△BAP的面积是y,则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是( )
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