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19.2.1 正比例函数
第 2课时 正比例函数的图象与性质
夯基训练
知识点1 正比例函数的图象
1.在下列各图象中，表示函数y＝－kx(k＜0)的图象的是( )
2.正比例函数y=kx的图象如图所示,则k的取值范围是( )
A.k>0
B.k<0
C.k>1
D.k<1
3.正比例函数y=2x的大致图象是( )
知识点2 正比例函数的性质
4.于函数y＝x，下列结论中，正确的是( )
A．函数图象经过点(1，3)
B．不论x为何值，总有y＞0
C．y随x的增大而减小
D．函数图象经过第一、三象限
5.关于函数y＝x，下列结论中，正确的是( )
A．函数图象经过点(1，3)
B．不论x为何值，总有y＞0
C．y随x的增大而减小
D．函数图象经过第一、三象限
6.已知正比例函数y＝(m－1)x的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是( )
A．m＜1 B．m＞1 C．m＜2 D．m＞0
题型总结
题型1 利用正比例函数图象的特征画图象
7.点A(5，y1)和B(2，y2)都在直线y＝－x上，则y1与y2的关系是( )
A．y1≥y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2
8.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=3x,y=-3x的图象,并利用图象回答:
(1)这两个函数图象的位置有什么关系
(2)这两个函数中x每取一个值时,其对应的函数值y有什么关系
题型2 利用比例关系求函数关系式
9.已知y与x成正比例,且当x=3时,y=-9.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)画出函数图象;
(3)点P(-1,3)和Q(-6,3)是否在此函数图象上
拓展培优
拓展角度1利用正比例函数的图象与性质解相关问题
10.已知正比例函数y=(1-2a)x.
(1)若函数的图象经过原点和第一、三象限,试求a的取值范围;
(2)若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)为函数图象上的两点,且x1y2,试求a的取值范围;2m
(3)若函数的图象经过点(-1,2),①求此函数关系式并作出其图象;②如果x的取值范围是-1拓展角度2利用正比例函数的图象和性质解与几何相关的问题(数形结合思想)
11.如图,已知正比例函数y=kx的图象经过点A,点A在第四象限,过点A作AH⊥x轴,垂足为点H,点A的横坐标为3,且△AOH的面积为3.
(1)求正比例函数的解析式.
(2)在x轴上是否存在一点P,使△AOP的面积为5 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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19.2.1 正比例函数
第 2课时 正比例函数的图象与性质
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 正比例函数的图象
1.在下列各图象中，表示函数y＝－kx(k＜0)的图象的是( )
1.解析：∵k＜0，∴－k＞0，∴函数y＝－kx(k＜0)的值随自变量x的增大而增大，且函数为正比例函数．故选C.
方法总结：要知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当k＞0时，图象过第一、三象限；当k＜0时，图象过第二、四象限．
2.正比例函数y=kx的图象如图所示,则k的取值范围是( )
A.k>0
B.k<0
C.k>1
D.k<1
2.【答案】A
3.正比例函数y=2x的大致图象是( )
3.【答案】B
知识点2 正比例函数的性质
4.于函数y＝x，下列结论中，正确的是( )
A．函数图象经过点(1，3)
B．不论x为何值，总有y＞0
C．y随x的增大而减小
D．函数图象经过第一、三象限
4.解析：A.当x＝1时，y＝，故A选项错误；B.只有当x＞0时，y＞0，故B选项错误；C.∵k＝＞0，∴y随x的增大而增大，故C选项错误；D.∵k＝＞0，∴函数图象经过第一、三象限，故D选项正确．故选D.
方法总结：解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系及其增减性．
5.关于函数y＝x，下列结论中，正确的是( )
A．函数图象经过点(1，3)
B．不论x为何值，总有y＞0
C．y随x的增大而减小
D．函数图象经过第一、三象限
5.解析：A.当x＝1时，y＝，故A选项错误；B.只有当x＞0时，y＞0，故B选项错误；C.∵k＝＞0，∴y随x的增大而增大，故C选项错误；D.∵k＝＞0，∴函数图象经过第一、三象限，故D选项正确．故选D.
方法总结：解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系及其增减性．
6.已知正比例函数y＝(m－1)x的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是( )
A．m＜1 B．m＞1 C．m＜2 D．m＞0
6.解析：根据题意，y随x的增大而减小，则m－1＜0，即m＜1.故选A.
方法总结：直线y＝kx所在的位置与k的符号有直接的关系：k＞0时，直线必经过第一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过第二、四象限，y随x的增大而减小．
题型总结
题型1 利用正比例函数图象的特征画图象
7.点A(5，y1)和B(2，y2)都在直线y＝－x上，则y1与y2的关系是( )
A．y1≥y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2
7.解析：∵点A(5，y1)和B(2，y2)都在直线y＝－x上，∴y1＝－5，y2＝－2.∵－5＜－2，∴y1＜y2.故选C.
方法总结：熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=3x,y=-3x的图象,并利用图象回答:
(1)这两个函数图象的位置有什么关系
(2)这两个函数中x每取一个值时,其对应的函数值y有什么关系
8.解:画图略.
(1)这两个函数图象关于x轴(或y轴)对称.
(2)这两个函数中x每取一个值时,其对应的函数值y互为相反数.
题型2 利用比例关系求函数关系式
9.已知y与x成正比例,且当x=3时,y=-9.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)画出函数图象;
(3)点P(-1,3)和Q(-6,3)是否在此函数图象上
9.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx,则-9=3k,解得k=-3.所以y与x之间的函数关系式为y=-3x.
(2)列表:
x … 0 1 …
y … 0 -3 …
描点,连线,图象如图所示.
(3)当x=-1时,y=-3×(-1)=3;当x=-6时,y=-3×(-6)=18≠3,所以点P(-1,3)在此函数图象上,而点Q(-6,3)不在此函数图象上.
拓展培优
拓展角度1利用正比例函数的图象与性质解相关问题
10.已知正比例函数y=(1-2a)x.
(1)若函数的图象经过原点和第一、三象限,试求a的取值范围;
(2)若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)为函数图象上的两点,且x1y2,试求a的取值范围;2m
(3)若函数的图象经过点(-1,2),①求此函数关系式并作出其图象;②如果x的取值范围是-110.解:(1)由题意知1-2a>0,所以a<.
(2)由题意知1-2a<0,所以a>.
(3)①由题意知2=(1-2a)×(-1),解得a=,则此函数关系式为y=-2x.图象略.
②由①得,y=-2x,当x=-1时,y=2,
当x=5时,y=-10,
所以y的取值范围为-10拓展角度2利用正比例函数的图象和性质解与几何相关的问题(数形结合思想)
11.如图,已知正比例函数y=kx的图象经过点A,点A在第四象限,过点A作AH⊥x轴,垂足为点H,点A的横坐标为3,且△AOH的面积为3.
(1)求正比例函数的解析式.
(2)在x轴上是否存在一点P,使△AOP的面积为5 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
11.解:(1)因为点A的横坐标为3,且在第四象限,△AOH的面积为3,所以点A的纵坐标为-2.故点A的坐标为(3,-2).因为正比例函数y=kx的图象经过点A,所以3k=-2,解得k=-.所以正比例函数的解析式是y=-x.
(2)存在.因为点P在x轴上,△AOP的面积为5,点A的坐标为(3,-2),
所以OP=5.所以点P的坐标为(5,0)或(-5,0).
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