【备考2023】广西北部湾经济区中考数学模拟试卷3（含解析）

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【备考2023】广西北部湾经济区中考数学模拟试卷3
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是2 B．－3是27的立方根
C．的立方根是 D．（－1）2的立方根是－1
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．月球与地球的距离大约是384400千米，用科学记数法表示为（　　）千米．
A．384.4×103 B．3.844×106 C．0.3844×106 D．3.844×105
4．在下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．了解路边行人边步行边低头看手机的情况可以采取对在路边行走的学生随机发放问卷的方式进行调查
C．射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是0.5和1.2，则甲队员的成绩好
D．分别写有三个数字 -1，-2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为
6．方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
7．如图，在中，平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则EF的长（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．某生态园计划种植一批核桃，原计划总产量达66万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各是多少万千克 设原计划平均每亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为(　　　)
A． B．
C． D．
9．已知是满足的整数使得反比例函数的图像在每一个象限内随着的增大而减小的概率是（ ）
A． B． C． D．1
10．如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（　　）
A． B．5 C．4 D．1
11．如图，是等边三角形，是的平分线上一点，于点，线段的垂直平分线交于点，垂足为点，若，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B、D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A（﹣1，2），菱形的边长为5，则k的值是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．一个关于x的不等式组的解集在数轴上表示为，则这个不等式组的解集是_____．
14．计算，结果是__________．
15．往往高端的食材，只需要采用朴素的烹饪方式．当某房间里累积了足够多的丸子时，令人期待的午餐，也就飘香四溢了．在一个四宫格火锅里有倒下了两种锅底，一种是清汤锅底，一种是麻辣锅底．小伙伴们将100粒丸子随机投入四个宫格中，将其都装出后拿出房间，外面的小伙伴数了数有49粒是清汤味的，估计倒入红汤锅底的宫格数是______．
16．按一定规律排列的一列数依次为，，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中第8个数是______，第个数是______（为正整数）．
17．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为______．
18．已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，，，则的长为 ___________．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．计算：
（1）；
（2）．
20．先化简，再求值：（）÷，其中x的值是方程x2+2x﹣3＝0的解．
21．如图，是平行四边形的一条对角线，于点，于点，求证：．
22．一艘轮船自西向东航行，在处测得东偏北方向有一座小岛，继续向东航行海里到达处，测得小岛此时在轮船的东偏北方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛最近？
23．“2015扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：“半程马拉松”“10公里”“迷你马拉松”．小明参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
(1)小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率是 ；
(2)为估计本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小明对部分参赛选手做如下调查：
调查总人数 50 100 200 500 1000
参加“迷你马拉松”人数 21 45 79 200 401
参加“迷你马拉松”频率 0.420 0.450 0.395 0.400 0.401
请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为 ；（精确到0.1）
若本次参加选手大约有30000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少．
24．某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：
“读书节”活动计划书
书本类别 A类 B类
进价（单位：元/本） 18 12
备注 1．用不超过16800元购进A、B两类图书共1000本；2．A类图书不少于600本；．．．．．．
（1）贲经理查看计划书时发现：A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍，若顾客用720元恰好可购买A类图书12本和B类图书22本，请求出A、B两类图书每本的标价．（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A类图书每本标价降低4元销售，B类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
25．如图，在中，，点为边的中点．
（1）尺规作图：作出以为直径的圆交于点，连接，．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：是圆的切线．
（3）当 时，四边形是平行四边形，此时，四边形的形状为 ．
26．在边长为4的正方形中，点O是对角线的中点，P是对角线上一动点，过点P作于点F，作交直线CD于点E，设，．
(1)求证：；
(2)当点P在线段上时，求关于的函数关系式及自变量的取值范围；
(3)点P在运动过程中能否使为等腰三角形？如果能，请直接写出的长；如果不能，请简单说明理由．
参考答案：
1．【分析】根据算术平方根、立方根的定义逐项判断即可得．
解：A、的立方根是2，则此项正确，符合题意；
B、是的立方根，则此项错误，不符合题意；
C、的立方根是，则此项错误，不符合题意；
D、的立方根是1，则此项错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握立方根的求法是解题关键．
2．【分析】根据中心对称图形的定义，依次判断每项即可．
解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：384400＝3.844×105，
故选：D．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法的运算法则针对每一个选项分别进行计算即可得．
解：A、 ，故原运算不正确，不符合题意，
B、，运算正确，符合题意，
C、与不能合并，故原运算不正确，不符合题意，
D、，故原运算不正确，不符合题意，
故选B．
【点评】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．
5．【分析】根据随机事件的概念、抽样调查的特点、方差的意义及概率公式分别判断可得．
解：A．“清明时节雨纷纷”是随机事件，此选项错误；
B．了解路边行人边步行边低头看手机的情况可以采取对在路边行走的学生随机发放问卷的方式进行调查，此调查不具备代表性，此选项错误；
C．射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是0.5和1.2，则甲队员的成绩稳定，但不一定就好，此选项错误；
D．分别写有三个数字-1，-2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张有-1、-2和-1、4及-2、4这3种等可能结果，其中卡片上的两数之积为正数的只有1种结果，则卡片上的两数之积为正数的概率为，此选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查随机事件、抽样调查、方差及概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概念、抽样调查的特点、方差的意义及概率公式．
6．【分析】找出方程中a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可对方程的根作出判断．
解：这里，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；等于0，方程有两个相等的实数根；小于0，方程没有实数根．
7．【分析】根据四边形是平行四边形可得，，从而得到，，结合平分，平分可得，
，，得到，，结合得到，即可得到答案；
解：∵四边形是平行四边形，，
∴， ，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，角平分线性质及等腰三角形的性质，解题的关键是得到等腰三角形．
8．【分析】根据总产量÷平均亩产量=亩数，结合题意，列出方程即可．
解：根据题意，得
，
故选A．
【点评】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用题是解题的关键．
9．【分析】先求出不等式组的解集，再根据题意得出的值，最后根据反比例函数的性质求出满足题意的概率．
解：，
解得：，
∵为整数
∴a的值为：-1，0，1，2，共4个整数，
∵，且满足随着的增大而减小，
∴a的值只能为：1，2，共2个整数，
∴满足题意的的值且能使反比例函数满足随着的增大而减小的概率为，
故选：B．
【点评】本题主要考查了解不等式组以及反比例函数的性质和求概率得相关知识，熟练掌握解不等式组以及反比例函数的性质是解答本题的关键．
10．【分析】作E关于的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，根据，求出此时四边形的面积即可．
解：作E关于的对称点，点A关于的对称点，连接，如图所示：
∵，，
∴，
当、Q、P、在同一直线上时，最小，即四边形的周长最小，
∵，，
∴，，
∵，D是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
，故A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形的周长最小时，P、Q的位置．
11．【分析】先求出，再求出，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，求出的长．
解：是等边三角形，是的角平分线，
，
，为线段的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
故选：A
【点评】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角函数，30度所对的直角边等于斜边的一半的知识，解题的关键是熟练利用相应的定理进行推理．
12．【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据勾股定理得到OA＝ ，OD＝ ＝ ，求得直线AC的解析式为y＝﹣2x，求得BD的解析式为y＝2x，设D（a，2a），根据勾股定理即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵点A（﹣1，2），
∴OA＝，
∵菱形的边长为5，
∴AD＝5，
∴OD＝ ＝，
∵对角线AC与BD相交于坐标原点O，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x，
∴BD的解析式为y＝2x，
设D（a，2a），
∴ ，
∴a＝2（负值舍去），
∴D（2，4），
∵D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴k＝2×4＝8，
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
13．【分析】根据数轴表示出不等式组的解集即可．
解：根据数轴得：不等式组的解集为，
故答案为：．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．利用了数形结合的思想，注意空心点与实心点的区别．
14．【分析】根据分母有理化和特殊角的锐角三角函数值进行计算即可．
解：
故答案为：
【点评】本题考查了分母有理化、特殊角的锐角三角函数值以及二次根式的加减，熟练掌握相关知识是解题的关键．
15．【分析】先求出清汤味的概率进而求出清汤味的宫格数为2，由此即可得到答案．
解：∵一共有100粒丸子，其中有49粒是清汤味的，
∴清汤味的概率为，
又∵一共有4个宫格，
∴清汤味的宫格数为2，
又∵在一个四宫格火锅里有倒下了两种锅底，一种是清汤锅底，一种是麻辣锅底，
∴红汤锅底的宫格数为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了用频率估计概率，用概率求数量，正确求出清汤味的宫格数为2是解题的关键．
16．【分析】观察已知一列数的变化发现：分子都是1，分母是序号数的平方加1，奇数项是正数，偶数项是负数，据此可以解答．
解：根据分析可知：
一列数依次为：，，，，，，…，
按此规律排列下去，则这列数中的第8个数是，
所以第n个数是：（n是正整数）．
故答案为：；．
【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
17．【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第次旋转后点的坐标即可．
解：∵正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴，
∴，
∴第1次旋转结束时，点A的坐标为，
第2次旋转结束时，点A的坐标为，
第3次旋转结束时，点A的坐标为，
第4次旋转结束时，点A的坐标为，
∴4次一个循环，
∵，
∴第次旋转结束时，点A的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
18．【分析】在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．想办法证明，推出，推出即可解决问题．
解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．【分析】（1）先将除法转变为乘法再根据乘法分配律进行计算即可；
（2）根据有理数混合运算法则进行计算即可．
解：（1）
=
=
=
=；
（2）
=
=
=
=．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数的除法，有理数乘法分配律，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，求出方程的解得到x的值，代入计算即可求出值．
解：原式＝＝=，
由x2+2x 3＝0，得到x＝1（舍去）或 3，
则当x＝ 3时，原式＝ 12．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程 因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．【分析】根据是平行四边形得到和，再根据于点，于点得到，证明即可得到答案；
证明：∵是平行四边形，
∴且
∴，
∵，，
∴，
∴在和中，
∴
∴．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
22．【分析】过C作AB的垂线，交直线AB于点D，设CD=x海里，在Rt△ACD与Rt△BCD中用含x的代数式分别表示AD与BD，根据AD-BD=AB列出方程x-x=60，解方程求出x的值，从而求得BD的值，问题得解．
B的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD.
设CD=x海里，
在Rt△BCD中,∵tan∠CBD=，
∴BD==x.
在Rt△ACD中,∵tanA=，
∴AD==x.
∵AD BD=AB，
∴x x=60，
解得x=30(+1)，
∴BD=30(+1).
答：轮船继续向东航行30(+1)海里，距离小岛C最近.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用.
23．【分析】（1）利用概率公式直接得出答案；
（2）①利用表格中数据进而估计出参加“迷你马拉松”人数的概率；
②利用①中所求，用30000乘以0.4，得出参加“迷你马拉松”的人数．
（1）
解：∵小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组，
∴小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为：；
故答案为：；
（2）
①由表格中数据可得：本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为：0.4；
故答案为：0.4；
②参加“迷你马拉松”的人数是：30000×0.4=12000（人）．
【点评】本题考查了根据概率公式求概率，根据频率求概率，根据样本估计总体，是解题的关键．
24．【分析】（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x，然后根据用720元恰好可购买A类图书12本和B类图书22本列出方程，求解即可；
（2）先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000﹣t）本，根据用不超过16800元购进A、B两类图书共1000本以及A类图书不少于600本列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w=总售价﹣总成本，求出最佳的进货方案．
解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，
根据题意可得，
解得：x=18，
则A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27（元），
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；
（2）设购进A类图书t本，
则购进B类图书本，总利润为w元，
由题意得，，
解得：600≤t≤800，
则总利润w=（27﹣4﹣18）t+（18﹣12）（1000﹣t）
=，
，
随的增大而减小，
当时，利润最大，此时，
所以当购进A类图书600本，B类图书400本时，利润最大．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，涉及了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．
25．【分析】（1）先做出线段BC的垂直平分线线，确定圆心O，然后以OB为半径画圆即可；
（2）由BC为直径，D为AC的中点得到OD∥AB,然后根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
（3）根据平行四边形的判定和平行线的性质即可确定∠ABC的度数；先说明为菱形，再说明其为正方形即可．
解：（1）如图
；
（2）如图:连接，
∵点为边的中点，点为圆心.
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴是圆的切线
（3）由(2)得,
要使四边形是平行四边形,则DE∥OB
∴∠AED=∠B
∴∠AED=∠OEB
又∵∠DEO=90°
∴当45°时，四边形是平行四边形
∵
∴∠AED=∠ODE=∠OEB=∠B
∴OE=DE
又∵
∴CD=DE
∴CD=DE=OE=OC
∴四边形是菱形
又∵∠OCD=90°
∴四边形是正方形
故答案为：45°,正方形.
【点评】本题考查了尺规作图、平行四边形的性质和判定、正方形的性质和判定，解答本题的关键在于灵活应用特殊四边形的性质和判定定理．
26．【分析】（1）延长交于点G，根据正方形的性质和已知证明矩形，得出，然后证明，得出，即可得出结论；
（2）根据勾股定理求出，求出和，再求出三角形的面积即可；
（3）根据等腰三角形的性质，分两种情况分别计算即可．
解：（1）延长交于点G，
∵正方形中，于点F，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，，
∴,
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
则，
∴，
∵，
∴；
（3）点P在运动过程中能使为等腰三角形；
当点E在边上时，
∵，若为等腰三角形，只能是，则，
∵，
∴，
∴，
于是点P在上，
又∵点P在上，
∴A与P重合，此时；
当点E在延长线上时，如图，若为等腰三角形，只能是，
设， 则，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴即；
综上所述，当或时，为等腰三角形．
【点评】本题主要考查正方形的性质的综合运用，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，综合运用这些性质进行推理，同时注意对等腰的分类讨论是解题的关键．
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