玉溪一中 2022-2023 学年下学期高二年级期中考
数学参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A A C A C B A
二、多项选择题
题号 9 10 11 12
答案 AC ACD BCD ACD
三、填空题
13. -20 114. 15. 2 3 16. -2
3
四、解答题
17..解：（1） f (x) aex 1 x , ……1分
由已知得 f (0) a 1 0 ,得 a 1 , ……2分
f (x) e x x 1则 x 2 ,所以 f (0) 1 ……3分
2
所以 f (x)在 x 0处的切线方程是 y 1． ……4分
（2） F (x) f (x) (1 x2 m) ex x m ,
2
由 F (x) 0 ,可得m ex x , ……5分
令 h(x) ex x ,所以函数 F (x)有两个零点等价于函数 h(x) ex x的图象与函数
y m的图象有两个交点,
因为 h (x) ex 1 , ……6分
令 h (x) 0可得 x 0 ,令 h (x) 0可得 x 0 ,
所以 h(x)在 ( ,0)上单调递减,在 (0, )上单调递增, ……8分
所以 h(x) h(0) 1 , ……9分
又 lim（h x）=+ ,lim（h x）=+ ,
x x
故实数m的取值范围是 (1, )． ……10分
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18.解：（1） an+1 2an 1 2=2(an 1+1), ……2分
又 a1+1=2, ……3分
数列 an+1 是首项为 2，公比为 2的等比数列. ……4分
a n 1 nn+1=2 2 2
a nn 2 -1. ……6分
（2）由题意bn nan n2
n n. ……7分
设 S 1 21 2 22n 3 2
3 +n 2 n,①
则 2Sn 1 2
2 2 23 +(n 1) 2 n n 2 n 1, ② ……8 分
①-②得：
Sn 2+(2
2 23 +2n) n 2n 1
22=2 (1 2
n 1)
n 2 n 1
1 2
2 2n 1 4 n 2n 1
2n 1(1 n) 2
……10分
S 2n 1n (n 1) 2 ……11分
T S n(n 1) n n 2
n 1(n 1) 2 n(n 1) . ……12分
2 2
19.（1）证明： ED AD 1，M 为 AE的中点，
MD AE， ……1分
平面CDEF为矩形，
CD ED，
又 CD AD， ED AD D，
CD 平面 EAD， ……2分
又 EA 平面 EAD，
EA CD， ……3分
又 CD MD D，CD，MD 平面MDC， ……4分
故 AE 平面MDC； ……5分
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（2）解：因为平面CDEF 平面 ABCD，且平面CDEF 平面 ABCD DC，ED DC ，
ED 平面CDEF ，
则 ED 平面 ABCD， ……6分
故以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， ……7分
则 A(1，0，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，F (0，2，2) 1，M ( ,0,1)，
2
1
所以 EM ( ,0, 1),EF (0,2,0),DM (1 ,0,1)，DF (0,2,2)，
2 2
设平面 EMF 的法向量为m (x, y, z)，
m
EM 0 1 x z 0
则
，即 2 ，令 x 2，则 z 1，
m EF 0 2y 0
故m (2,0,1)， ……9分
DMF 设平面 的法向量为 n (a,b,c)，
1
则
n DM 0 a c 0
，即 2 ，令 c 1，则 a 2， b 1，
n
DF 0
2b 2c 0
故 n ( 2, 1,1)， ……11分
| cos n ,m |m
n | 3 30
所以 |
|m
，
|| n | 4 1 4 1 1 10
30
故二面角 E MF D的余弦值为 ． ……12分
10
20. 1 4sin(A B) 1 2cos(A 2B)解（ ）因为 ,
sin B
可得 4sinC sin B 1 2cos( C B 2B) 1 2cos(B C) 1 2cosBcosC 2sin BsinC ,
……3分
可得 2sinC sin B 2cosC cosB 1, 1即 cos(B C) , ……4分
2
可得 cos A 1 , cos A 1 即 , ……5分
2 2
而 A (0, ) ,
A 所以 ……6分
3 .
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（2）设三角形的外接圆的半径为 R ,则由题意可得 R2 ,可得 R 1 ,
a
再由正弦定理可得 2R 2 ,即 a 2sin 3 , ……7分
sin A 3
若选① sin B sinC 3 ,
2
3
由正弦定理得：b c 2R 3. ……8分
2
23 b2 c2 2bccos 由余弦定理可得 ， ……9分3
即3 b2 c2 bc= b c 2 3bc 9 3bc, ……10分
bc 2, ……11分
1
所以 S ABC bc sin A
1 3 3
2 . ……12分
2 2 2 2
若选②设 AN NC x ,
2
在 ABC 中 ,由余弦定理得 3 4x2 c2 2 2x ccos ，即 3 4x2 c2 2cx3
(Ⅰ) ……8分
在 ABN中,由余弦定理得12 x2 c2 2 x ccos ，即
3
1 x2 c2 cx (Ⅱ) ……9分
由(Ⅰ)(Ⅱ)得: c x 1. ……11分
3
同上可得 ABC的面积为 ． ……12分
2
若选③点M 在线段 AC上,且 ABM CBM ,CM 3 AM ,
2
AM c 2
由角平分线的性质可得 ,而 a 3 ,可得 c 2 , ……9分
CM a 3
再由余弦定理可得 a2 b2 c2 2bc cosA , ……10分
即3 4 b2 2b ,解得 b 1 , ……11分
同上可得 ABC 3的面积为 ． ……12分
2
21.解：（1）x （0, ) , ……1分
2
f (x) x 1 2m x 2mx 1 ……2分
x x
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对于方程 x2 2mx 1 0 ,△ 4(m2 1) ,
①当 0 m 1时,△ 4(m2 1) 0 , f (x) 0 , f (x)在 (0, )上单调递增． ……3分
②当m 1时,令 f (x) 0 ,则 x1 m m2 1 , x2 m m2 1 ,
当 0 x m m2 1时, f (x) 0 ,函数 f (x)单调递增;
当m m2 1 x m m2 1时, f (x) 0 ,函数 f (x)单调递减,
当 x m m2 1时, f (x) 0 ,函数 f (x)单调递增． ……4分
综上所述,当 0 m 1时, f (x)在 (0, )上单调递增;
当m 1时, f (x)在 (0,m m2 1) , (m m2 1, )上单调递增,在
(m m2 1,m m2 1)上单调递减．
（2）由（1）可知当m 1时,在 x m m2 1处时,函数 f (x)取得极大值,
t 2 2mt 1 0 t (0,1) , m t
2 1
所以 ， 即
2t . ……5 分
要证 tlnt mt 2 1 ,只需证 tlnt mt 2 1 0 ,
2
tlnt t 1只需证 t2 1 0 ,即 2tlnt t3 t 2 0 , t (0,1) , ……6分
2t
令 h(x) 2xlnx x3 x 2 , x (0,1) ,
则 h (x) 2lnx 3x2 1 , ……7分
令 (x) 2lnx 3x2 1 ,
2 2 6x2
则 (x) 6x , ……8分
x x
3
当 0 x 时, (x) 0 , h (x)单调递增;
3
3
当 x 1时, (x) 0 , h (x)单调递减, ……9分
3
h (x)max h (
3) 2ln 3 0 , ……10分
3 3
所以 h (x) 0 , h(x)在 (0, )上单调递减,又 h（1） 0 , ……11分
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故 x (0,1)时, 2xlnx x3 x 2 0 ,即 2tlnt t3 t 2 0 , ……12分
所以 tlnt mt
2 1．
22.解：（1）设M (x, y) ,则 |MF | (x 1)2 y2
……1 分
MF的中点为G ,其坐标为G( x 1, y ) ,G到 y | x 1|轴的距离为 ,
2 2 2 , ……2分
则 由 题 意 可 知 , 点 M 满 足 以 MF 为 直 径 的 圆 均 与 y 轴 相 切 , 则
| x 1| (x 1)2 y2
, ……3分
2 2
化简可得 y2 4x . ……4分
(2)证明：根据题意,设 P(x1 , y1) ,Q(x2 , y2 ) ,易知直线 l的斜率存在,假设直线 l的方程
为 y kx m ,
y kx m
与抛物线方程联立得, 2 2 ky 4y 4m 0 ,
y 4x
4 4m
由韦达定理可得, y1 y2 , y1y2 , ……5分k k
y 2 y 2 1 2 2 2
则 x 1 21 x2 [(y y )
2 2y y ] 4 2m y y m1 2 1 2 2 , x x 1 2 , ……6分4 4 4 k k 1 2 4 4 k 2
y y 16 4k
k 1OP kOQ 2 , ……7分x1 x2 y1y2 m
k k y y 2kx x m(x x ) 4OP OQ 1 2 1 2 1 2 , ……8分x1 x2 x1x2 m
又因为 kOP tan , kOQ tan ,
所以 tan tan 4 , tan tan 4k ,
m m
4
所以当 时, tan( ) tan tan m 1, ……9分
4 1 tan tan 1 4k
m
解得m 4k 4 , ……10分
所以直线 l的方程即为：y kx 4k 4 y 4 k (x 4) , ……11分
即得直线 l恒过定点 ( 4,4)． ……12分
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数学试卷
考试时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：杨芬 戴依娜
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡和试卷的指定位
置。
2.做选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应选项涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他选项。回答非选择题时，请用黑色字迹笔
将答案写在答题卡上，做在本试卷上无效。
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项符合题目要求）
1．若 (1 2i)z 4 3i，则复数 z
2
A． + i
2
B． i C． 2+ i D． 2 i
5 5
2．已知集合 A {x | y 1 }，B {x | y log
x 3
(1 x)}，则 A B
3 1
A． ( 1, ) B．[ 1, ) C． ( 1,0) D． ( 1,0]
3．在“五一”假期，小铭买了 1本计算机书，1本文艺书，1本体育书，2本不
同的数学书.打算把它们放在同一层书架上，两本数学书放在一起，不同的摆放
种数有
A．48 B．96 C．120 D．240
4．如图，在边长为 2的正三角形 ABC中，E、F依次
是 AB、AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D、
H、G为垂足，若将正三角形 ABC绕 AD旋转一周，则
其中由阴影部分旋转形成的几何体的体积 V =
试卷第 1页，共 6页
11 3 5 3 3
A． 3 B． C． D．
24 24 3
5．如图是杨辉三角数阵.杨辉三角原名“开方作法本源图”，也有人称它为“乘
方求廉图”，在我国古代用来作为开方的工具.在我
国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》
一书中，就已经出现了这个表.在欧洲，这个表叫
做帕斯卡三角.杨辉三角的发现比欧洲早 500年左
右，很值得我们中华民族自豪.记 an 为图中第 n行
各个数之和， Sn为{an}的前n项和，则 S9
A．511 B．512 C．1023 D．1024
6．已知圆的方程为 x2 y2 6x 8y 0，设该圆过点（6，2）的最长弦和最短弦
分别为 AC和 BD，则四边形 ABCD的面积为
A． 40 3 B．30 3 C． 20 3 D．10 3
7．已知函数 f x e2x，g x ln x 1 分别与直线 y a交于点 A，B，则|AB|
2
的最小值为
1 1 1
A．1 ln 2 B．1 ln 2 C. 2 ln 2 D． 2
1
ln 2
2 2 2 2
10
8.已知 a ln10,b 2 2 3 ,c
ln 3
，则
20 e 3
A． b a c B． c b a
C． a c b D. b c a
二、多项选择题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个
选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5分，有选错的得 0 分，部分选对
得 2分）
试卷第 2页，共 6页
9．十项全能是田径运动中全能项目的一种，是
由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男
子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会
制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项
成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优
胜者.如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两
名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说
法正确的是
A．在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当
B．在 1500米跑项目中，甲的得分比乙的得分高
C．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大
D．甲的各项得分的方差比乙的各项得分的方差小
10．已知函数 f (x) Acos( x )(A 0, 0,0 )
5
在 x 处取得极小值
12
-2，与此极小值点最近的 f (x)图象的一个对称中心为 ( ,0)，则下列结论正确的
6
是
A． f (x) 2cos(2x )
6
B．将 g(x) 2sin 2x
2
的图象向左平移 个单位长度即可得到 f (x)的图象
3
C． f (x)在区间 (0, )上单调递减
3
D． f (x)在区间[0, )上的值域为[ 2, 3]
2
11．正多面体因为均匀对称的完美性质，经常被用作装饰材料.正多面体又叫柏
拉图多面体，因古希腊哲学家柏拉图及其追随者的研究而得名.最简单的正多面
体是正四面体.已知正四面体 ABCD的所有棱长均为 2，则下列结论正确的是
试卷第 3页，共 6页
A．异面直线 AC与 BD所成角为60
B．点 A BCD 2 6到平面 的距离为
3
C．四面体 ABCD的外接球体积为 6
2
D．四面体 ABCD的内切球表面积为
3
x2E : y
2 2 2
12．已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)
x y
与椭圆 1的焦点相同，双曲线
a b 9 5
E的左右焦点分别为 F1,F2 ，过点F2的直线与双曲线 E的右支交于 P,Q两点，PF1
与 y轴相交于点 A， PAF2的内切圆与边 AF2相切于点 B .若 | AB | 1，则下列说
法错误的有
A．双曲线 E的离心率为 2
x2 y
2
B．双曲线 E的方程为 1
3
C．若 PF1 PF2，则 PAF
3
2的内切圆面积为 16
D．过点(1,1)与双曲线E有且仅有一个交点的直线有 3条
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分）
(x 1 )613．二项式 的展开式的常数项为__________．
x
14．某班宣传小组有 2名男生和 3名女生.现从这 5名同学中挑选 2人参加小剧
场演出，在已知有女生的条件下，2名都是女生的概率为___________.
15．对于非零向量 a,b ，定义 a b a b tan a ,b ． 若 a b | a b | =
3 | a b | 3，则 tan a ,b =_________．
16．已知函数 f (x)的定义域为 R，且 f (x y) f (x y) f (x) f (y), f (1) 1则
23
f (k) __________.
k 1
试卷第 4页，共 6页
四、解答题（本题共 6小题，第 17 题 10 分，第 18-22 题每题 12 分，共 70 分.
解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
17.（10 1分）已知函数 f (x) ae x x x 2 ( a R,e为自然对数的底数)在 x 0处
2
的切线与 x轴平行．
（1）求 f (x)在 x 0处的切线方程；
1
（2）若 F (x) f (x) ( x 2 m)有两个零点，求m的取值范围．
2
18.（12 分）已知数列 an 满足 a1 1 , an 2an 1 1(n 2) .
（1）证明:数列 an+1 为等比数列,并求 an 的通项公式;
（2）设bn=nan ,求数列 bn 的前 n项和Tn .
19（. 12 分）在如图所示的一个组合体中，平面 ABCD为直角梯形，其中 AB CD，
AB AD ， CD AD ，四边形 CDEF 为矩形，平面 CDEF 平面 ABCD，
AB AD 1 CD 1，且M 为 EA的中点．
2
（1）若 ED 1，求证： AE 平面MDC；
（2）若矩形CDEF为正方形，求二面角 E MF D的
余弦值．
试卷第 5页，共 6页
20.（12 分）在① sin B sinC 3 ，②点N 是线段 AC的中点，且 | BN | 1，③点
2
M 在线段 AC上，且 ABM CBM CM 3, AM 这三个条件中任选一个，
2
补充在下面的问题中，并解答．
已知 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 、 、 ， 4sin(A B)
1 2cos(A 2B)
．
sin B
（1）求 A的大小；
（2）若 ABC外接圆的面积为 ，且______，求 ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21.（12 1分）已知函数 f (x) x2+ ln x 2mx(m 0)．
2
（1）判断函数 f (x)的单调性；
（2）若函数 f (x)有极大值点 x t ,求证： t ln t mt 2 1．
22.（12 分）在平面直角坐标系 xoy中,已知点 F (1,0)，点M 满足以MF为直径的
圆均与 y轴相切，记M 的轨迹为C．
（1）求C的方程;
（2）设不经过原点O的直线 l与抛物线交于 P、Q两点,设直线OP、OQ的倾斜
角分别为 和 ,证明：当 + = 时,直线 l恒过定点．
4
试卷第 6页，共 6页
