专题01 三角函数与解三角形-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练

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专题01 三角函数与解三角形-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练
一、解答题
1．（2023·宁波模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）若，求；
（2）若的最大角为最小角的2倍，求a的值．
2．（2023·嘉兴模拟）在中，角所对的边分别是.已知.
（1）若，求；
（2）求的取值范围.
3．（2023·金华模拟）在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．已知的面积，其外接圆半径，且．
（1）求；
（2）若A为钝角，P为外接圆上的一点，求的取值范围．
4．（2023·绍兴模拟）记的内角的对边分别为，已知.
（1）若，求；
（2）若，求.
5．（2023·台州模拟）在中，内角所对的边分别为.已知，.
（1）求的值；
（2）若点为边上的一个点，且满足，求与的面积之比.
6．（2023·嘉定模拟）已知向量，，．
（1）求函数的最大值及相应的值；
（2）在中，角A为锐角，且，，，求边的长．
7．（2023·茂名模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
（1）求A；
（2）若D为边BC上一点，且，试判断的形状.
8．（2023·长春模拟）从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
①，其中为的面积，②，③．
在中，角，，对应边分别为，，，____．
（1）求角；
（2）若为边的中点，，求的最大值．
9．（2023·金山模拟）在中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知，.
（1）若，求；
（2）若，求的面积.
10．（2023·闵行模拟）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，．
（1）求的值；
（2）求的面积．
11．（2023·红河模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）证明：；
（2）求的最大值．
12．（2023·吉林模拟）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求B；
（2）在下面两个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．
①的周长为；②面积为．
13．（2023·温州模拟）已知满足．
（1）试问：角是否可能为直角？请说明理由；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
14．（2023·安庆模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，.
（1）若角，求角的大小；
（2）若，，求.
15．（2023·蚌埠模拟）已知函数.
（1）若，求函数的最小正周期；
（2）若图象在内有且仅有一条对称轴，求的取值范围.
16．（2023·深圳模拟）已知a b c分别为三内角A B C所对的边，且.
（1）求A；
（2）若，且，求c的值.
17．（2023·广东模拟）在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
18．（2023·南宁模拟）在中，角的对边分别为，已知，
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．
19．（2023·广西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）证明：．
（2）若D为BC的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
20．（2023·南通模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）若，证明：；
（2）若，证明：.
21．（2023·包头模拟）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得唯一确定，当唯一确定时，求边上的高h．
条件①：；条件②：．
22．（2023·抚顺模拟）已知中，点在边上，满足，且，的面积与面积的比为．
（1）求的值；
（2）若，求边上的高的值．
23．（2023·唐山模拟）如图，在平面四边形中，，，．
（1）若，求的面积；
（2）若，求．
24．（2023·邯郸模拟）已知函数在上单调．
（1）求的单调递增区间；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，求△ABC周长的最大值．
25．（2023·张家界模拟）记的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求A；
（2）若，求的面积的最大值.
26．（2023·河南模拟）已知在中，角，，的对边分别是，，，在①；②；③中任选一个作为条件解答下面两个问题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求角；
（2）已知，，求的值．
27．（2023·湖南模拟）已知分别为三角形三个内角的对边，且有.
（1）求角A；
（2）若为边上一点，且，求.
28．（2023·湖北模拟）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）设，若点M是边上一点，，且，求的面积．
29．（2023·重庆市模拟）在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求的面积．
30．（2023·临高模拟）在中，内角所对的边分别是，已知．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若是钝角三角形，且面积为，求的值．
31．（2023·汕头模拟）如图，在中，D是边上的一点，，．
（1）证明：；
（2）若D为靠近B的三等分点，，，，为纯角，求．
32．（2023·咸阳模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求；
（2）若，求△ABC的周长．
33．（2023·山西模拟）如图，四边形中，，，，，.
（1）求的面积；
（2）求线段的长度.
34．（2023·商洛模拟）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A；
（2）若，，求的面积.
35．（2023·石景山模拟）如图，在中，，，点在边上，.
（1）求的长；
（2）若的面积为，求的长.
36．（2023·联合模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①；②；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
37．（2023·泉州模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．
（1）求B；
（2）已知D为的中点，，求的面积．
38．（2023·宣城模拟）设的内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的最小值．
39．（2023·白山模拟）已知的内角、、所对的边分别为、、，.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.
40．（2023·江门模拟）在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：当时，，在中，由余弦定理，得
，
所以．
（2）解：由已知，最大角为角A，最小角为角C，即，
由正弦定理得，即，
又，所以，
将，代入上式得，
由于 解得．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)在△ABC中，由余弦定理求得cosA，再根据同角三角函数基本关系式，即可求解出sinA ；
(2)由已知，最大角为角A，最小角为角C，即A=2C，利用正弦定理和余弦定理即可求解出a的值 .
2．【答案】（1）解：由正弦定理得，又，
得，
，
，
所以或，
得或(舍去)，
若，则；
（2）解：，
由正弦定理，得，
由（1）知，得，
又，
所以，
即，
而，所以，得，
故，即.
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理
【解析】【分析】(1)根据正弦定理和三角恒等变换化简可得sinB=sin(A-B)，则A=2B，即可得出 的值；
(2)由(1)得A= 2B ，根据平方差公式、正、余弦定理和二倍角的正弦、余弦公式化简可得 ， 结合 ，即可求出 的取值范围.
3．【答案】（1）解：由，得，
，
由正弦定理，，
则，
由，
得，
化简得，由，，
解得，因此.
（2）解：由（1）得，若A为钝角，则，则，如图建立平面直角坐标系，
则，设．
则，，，
有，，，
则．
由，则，
所以的取值范围为.
【知识点】平面向量数量积的运算；正弦定理
【解析】【分析】(1)由三角形面积公式求得sinB，已知等式由正弦定理边化角，化简得 ，可解得sinA的值；
(2)由(1)得，则 ，建立平面直角坐标系， 设，利用向量的坐标运算求，由三角函数的值域求出取值范围.
4．【答案】（1）解：解法1：
代入，得.
解法2：由正弦定理可得：：
代入化简，
则，
则，
因为，所以，解得：；
由余弦定理可得：，
代入化简得，解得（负值舍）.
（2）解：解法1：
，
，又
所以.
解法2：因为，所以，
代入，
，
，
因为，则，
化简：，
当时，则，则，舍去不满足题意；
当时，则，因为，所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 解法1：利用，再利用二倍角的正弦公式和余弦定理得出，再结合代入法得出a的值；
解法2：由已知条件和正弦定理结合代入法可得，再结合角之间的关系式和两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式和二倍角的正弦公式得出角B的余弦值，再结合余弦定理和代入法得出，再利用一元二次方程的求解方法得出实数a的值。
（2） 解法1：利用，再利用余弦定理和三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值；
解法2：利用结合正弦定理，所以，再
代入和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及，则，再利用分类讨论的方法和角之间的关系式以及三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值。
5．【答案】（1）解：因为，所以由正弦定理可得：，
在三角形中，，显然，所以，
所以，又因为，
所以或（显然不成立），所以；
（2）解：因为，所以，即.
在三角形中，，所以，所以，
因为，所以，
所以；
所以；
所以由正弦定理得：与的面积之比等于
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用 结合正弦定理和三角形中角的取值范围，所以，再结合诱导公式，所以，再利用得出角A的值。
（2）利用 结合正弦定理和两角差的正弦公式得出，在三角形中结合三角形中角的取值范围和不等式的基本性质，所以，所以，再利用结合同角三角函数基本关系式得出的值，再结合角之间的关系式得出的值，进而得出的值，再由正弦定理得出与的面积之比。
6．【答案】（1）解：依题意，
当，即时，取最大值.
（2）解：由（1）及得：，即，
因，则，因此，，则，
而，有，
在中，由正弦定理得，，
所以边的长为.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理
【解析】【分析】 (1)由平面向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换及三角函数的性质求解即可得函数的最大值及相应的值；
(2)由正弦定理，结合三角函数求值问题求解即可得的长．
7．【答案】（1）解：由得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
因为，所以.
（2）解：设，，则，，，
在中，由正弦定理知，
即，即，
化简得，
所以，，
所以是直角三角形.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】 (1)由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简可求出tanA，进而可求A；
(2)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求∠BAD，进而可求出∠ACD，即可判断 的形状.
8．【答案】（1）解：选①，由余弦定理得：，
又，所以，
得，
因为，所以．
选②，因为，由正弦定理得：，
整理得：，
由余弦定理得：，
因为，所以．
选③，因为，由正弦定理得：，
即，
又因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，即．
（2）解：在中，设，
由正弦定理得，
所以，，
∴，其中，
当时取等号，所以的最大值是．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)选①，利用余弦定理可得 ， 再结合面积公式 ，可得 ，进而求解，可得角；
选②，由 结合正弦定理可得 ， 再结合余弦定理可得 ， 进而求解，可得角；
选③，由 结合正弦定理可得 ，进而得到 ， 进而求解出角；
(2)在△ACD中，设∠ADC=θ，由正弦定理可得 ，，进而得到 ，进而求解出 的最大值．
9．【答案】（1）解：由，应用正弦定理得，
，即得.
（2）解：因为
则，
又由正弦定理得
.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)根据正弦定理求边长后再应用余弦定理求解，即可得c的值；
(2)先求出角，再求出边长，最后应用面积公式求解可得 的面积.
10．【答案】（1）解：在中，由正弦定理，
又，
所以，即，
解得；
（2）解：由（1）得，则，
又由余弦定理，，
解得，
所以.
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和二倍角的正弦公式，进而得出角B的余弦值。
（2）利用已知条件结合角B的余弦值和同角三角函数基本关系式，进而得出角B的正弦值，再结合余弦定理得出c的值，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积。
11．【答案】（1）证明：因为，所以，
因为，
即，当且仅当时，等号成立，
又因为，所以；
（2）解：，
设，则，
因为，所以，
设，由，得，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
当时，取得最大值为，
所以的最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理得 ， 再根据余弦定理可求出 ，结合 ，可得；
（2）设，则，设 ，求导，根据导数的符号可得 单调性， 进而求出 的最大值，即可得的最大值 .
12．【答案】（1）解：依题意，，
由正弦定理得，，
由于，则，所以，．
（2）解：如图所示，设D为BC的中点，则AD为BC边上的中线．
若选①，由（1）知，设，
由，得，则，
故周长为，解得，所以，，
则在中，由余弦定理得，解得．
若选②，已知，得，即，则，
在中，由余弦定理得，
所以，因此BC边上的中线长为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用正弦定理将条件中的边转化成角，将 代入，即可求出sin2B，即可得出B的值；
(2)若选①，首先根据△ABC的周长求出三角形三边长度，然后在△ABD中使用余弦定理即可求出中线AD的长度；若选②，首先根据△ABC的面积求出AC与BC的长度，可得CD的长度，然后在△ACD中使用余弦定理即可求出中线AD的长度.
13．【答案】（1）解：假设角为直角，则，
所以，
因为，
所以，
所以，所以，
显然，所以矛盾，故假设不成立，
所以角不可能为直角．
（2）解：因为，
所以，
由正弦定理，得，
由余弦定理化简，得，
因为为锐角三角形，
所以
令，则有，
所以的取值范围为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 假设角为直角，则 ，根据两角差的正弦公式可求出 ，故假设不成立， 可得结论；
（2）根据正弦定理可得 ，由余弦定理化简，得 ， 令 ，求解出t的范围，进而得 的取值范围 .
14．【答案】（1）解：由于，有，
即，即，
且，，则，即，
所以，由于，且，故.
（2）解：由（1）知
当为锐角时，
当为钝角时，
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用结合正弦定理和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角形内角和为180度的性质、诱导公式，进而得出的值，由于且，进而得出角A的值。
（2） 由（1）知，再利用二倍角的余弦公式和三角形中角A的取值范围，进而得出角A的余弦值，再利用分类讨论的方法和余弦定理得出b的值。
15．【答案】（1）解：，
，
，
，
由，得，
则；
（2）解：由，得，
因为图象在内有且仅有一条对称轴，
所以，解得，
因为，且，
所以，
所以的取值范围是.
【知识点】复合三角函数的周期性及其求法；图形的对称性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合的值得出函数的解析式，再结合二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期。
（2）利用已知条件结合x的取值范围和正弦型函数的图象求对称轴的方法，进而得出的取值范围，再利用函数的解析式代入法和的取值范围以及不等式的基本性质，再结合正弦型函数的图象求值域的方法得出 的取值范围。
16．【答案】（1）解：依题意，
因为，由正弦定理得：
，
由，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，所以.
（2）解：由（1）以及余弦定理变形式得：
即，
由，
解得或（舍去），
所以，.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角以及和差的正弦公式化简即可求解；
（2）结合余弦定理与条件即可求解.
17．【答案】（1）解：因为，
所以，
整理得，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）解：
在中，因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以的取值范围为.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理的得到，进而由余弦定理得到，求出；
（2）由三角函数和差公式求出，由求出取值范围.
18．【答案】（1）解：由，
根据正弦定理可得，
所以，
由余弦定理可得，
，．
（2）解：由余弦定理，得，
即，
由正弦定理，得，
即，又，
所以
，
由为锐角三角形，故，解得，
所以，所以，
所以，所以．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解出B的值；
(2)根据已知条件，结合余弦定理，推得 ，再结合正弦定理，以及三角恒等变换，即可求解出 的取值范围．
19．【答案】（1）证明：已知，由余弦定理可得，
即，又由正弦定理，得，
角A，B为△ABC中内角，所以.
（2）解：△ABC中， ，D为BC的中点，如图所示，
①②③
已知，，求证.
证明：，中，，
解得.
①③②
已知，，求证.
证明：，所以中，.
②③①
已知，，求证：.
证明：，在中，由余弦定理，
，所以
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证得 ；
（2）分三种情况， 在中， 利用余弦定理证明即可.
20．【答案】（1）证明：由正弦定理可得，，所以，
由余弦定理及其推论可得，，，
所以，由已知可得，，
即，
因为，所以.
（2）证明：由已知得，，
又由正弦定理可得，，
因为，所以.
由（1）知，，则，
又由正弦定理可得，
，
又，则，
将以及代入可得，
，
整理可得，，
因为，，，所以，则.
令，则，，
则，
所以，当，恒成立，所以在上单调递减.
所以，，即.
综上所述，.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正余弦定理角化边，整理即可；
（2）根据正弦定理推得，即可得到，通过分析，可得以及，代入，整理可得到，令，构造，求导得到在 上单调递减，进而得到.
21．【答案】（1）解：在中，，
由及正弦定理得，
由余弦定理得，
化简得，所以，
结合，得．
（2）解：若增加条件①：，．
因为，
由，得，或，
所以不能唯一确定，不合题意．
若增加条件②：．
将代入，
得，解得，或（舍去）．此时唯一确定．
由，得．
所以．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据正弦定理可得 ，再利用余弦定理即可求出A的值；
(2)对于条件①可得 ，进而 ，或，不符合题意；条件②代入 ，即可求出c=3，再利用面积公式即可求出边上的高h．
22．【答案】（1）解：∵，
∴为的平分线，
在与中，根据正弦定理可得：
两式相比可得：
又的面积与面积的比为，
∴，
即，且，
由得，
∴且为锐角，∴．
故答案为：
（2）解：由（1）知为锐角，且，
因此，
又，所以在中由余弦定理得，
解得：，
∵∴．
故答案为：
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)由已知条件可得，CD为∠ACB的平分线，再结合角平分线定理，以及正弦定理，二倍角公式，即可求解出 的值；
(2)先求出cosA，再结合余弦的两角和公式，求出cosC，并运用余弦定理，即可求解出边上的高的值．
23．【答案】（1）解：在中，由余弦定理可得．
，
所以．
（2）解：设，则，，
在中，由正弦定理可得，
即，所以，．
于是，解得或（舍）．
所以，因此．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出，利用诱导公式求出，结合三角形的面积公式计算即可求解；
（2）设，根据正弦定理和诱导公式可得 ，，解得，同角的三角函数关系求出，即可求解.
24．【答案】（1）解：由题意可得，
因为在上单调，
所以，解得，
因为，
所以，即，
令，
解得，
即的单调递增区间是；
（2）解：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
由余弦定理可得，
即，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，解得，
则，即△ABC周长的最大值为9．
【知识点】函数的单调性及单调区间；基本不等式在最值问题中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 由题意结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用函数在上的单调性，进而得出的取值范围，再结合，从而得出的值，进而得出，再利用换元法将正弦型函数的转化为正弦函数，再结合正弦函数的图象求单调区间的方法，进而得出函数的单调递增区间。
（2）利用已知条件结合正弦型函数的解析式和代入法得出的值，再利用三角形中角A的取值范围和不等式的基本性质，进而得出角A的值，由余弦定理可得，再利用均值不等式求最值的方法得出b+c的最大值，再结合三角形的周长公式得出三角形△ABC周长的最大值。
25．【答案】（1）解：由，
得，
由正弦定理，得.
由余弦定理，得.
又，所以.
（2）解：由余弦定理，，
所以，
∵，∴，
所以，当且仅当时取“”.
所以三角形的面积.
所以三角形面积的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式、正弦定理、余弦定理，进而得出角A的余弦值，再结合三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值。
（2）利用已知条件结合余弦定理和均值不等式求最值的方法得出bc的最大值，再结合三角形的面积公式得出三角形 的面积的最大值。
26．【答案】（1）解：若选①：因为，
所以由正弦定理可得
因为，所以.
所以可得，即
所以
因为，所以.
若选②：因为，
所以由正弦定理可得
所以
因为 ，所以.
所以
因为，所以.
若选③：因为，
所以由正弦定理可得
所以由余弦定理可得
因为，所以.
（2）解：由（1）知，
因为，，
所以，解得，
由余弦定理，得
所以.
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1) 若选①根据正弦定理及两角差的余弦定理可得，即可求解；若选②根据正弦定理及三角恒等变换可得，即可求解；若选③由正弦定理及余弦定理求解即可；
（2）由三角形的面积公式推出，根据余弦定理可解得.
27．【答案】（1）解：由，有，.
即，
所以，因为，所以，
即：，
又因为，故.
（2）解：解法一：设，则，
在△中，由正弦定理知，，
即，
化简得，，则，
即.
解法二：如图所示，
取中点，延长与的延长线交于点，连接，
由有，由，
设，则，即，
故，所以，即为中点.
又为中点，所以，
又，所以△为正三角形，
又平分，所以，所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】 (1)由两角和的正弦公式及正弦定理可得 ，再由sinC≠0 ，由辅助角公式可得A角的大小；
(2) 设，由线段的关系，可得 ，在△ACD中，由正弦定理可得角的正切值，进而求出角的大小，可得 的值.
28．【答案】（1）解：依题意，
由及正弦定理得，
即，
所以．
因为，所以，所以，
又，所以．
（2）解：如图所示：
因为，所以，．
又，所以．
在中，由余弦定理得，
即．①
又，所以，
两边平方得，
即，所以．②
②－①得，所以，代入①得，
在中，，
所以是以为直角的三角形，
所以的面积为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合正弦定理以及三角函数的恒等变换，即可求解出B的值；
(2)根据已知条件，推得BM=AM，再结合余弦定理，以及向量的数量积运算，推得 ， 再结合勾股定理，即可求解出 的面积．
29．【答案】（1）解：由题设及正弦定理边角关系：，
又，
，即，即，
又，则，
，即．
（2）解：令 ，四边形内角和为，由（1）的结论知：，
在 中，由正弦定理得：，即，
在 中，，即，
又，
，
则，即，即，
，，
，
，即，
则，
，
，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合正弦定理，推得 ，再结合角A的取值范围，即可求解出A；
(2) 令，再结合正弦定理，推出 ， ，再结合 ，以及三角形面积公式，即可求解出 的面积．
30．【答案】（1）证明：由得：，
则，
，，，
由正弦定理可知：，则为等腰三角形.
（2）解：由题意得：，解得：，
∵为钝角三角形，且，为钝角，，
由余弦定理得：，
.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用切化弦，得，由利用三角变换公式得，结合正弦定理可证；
（2） 由题意得：，解得：， 利用余弦定理可得结论．
31．【答案】（1）证明：在中，，
在中，，
由于，故，
所以.
（2）解：因为，故，由为钝角，故为锐角，
又，且D为靠近B的三等分点，，，
故，
故，
故，则，
故.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角互补的关系，进而证出 成立。
（2）利用 ，故，由为纯角，故为锐角，再利用，且D为靠近B的三等分点，，，进而得出的值，再利用余弦定理和勾股定理以及三角形的面积公式，进而得出的值。
32．【答案】（1）解：由题意在△ABC中，，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）解：由题意及（1）得在△ABC中，，
由正弦定理可得，
，又由（1）得，
∴；
由余弦定理可得，
∴，
∴，
∴△ABC的周长为：．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 由和 ，即可求得 的值.
（2） 由题意及（1），根据正弦定理求得，再由余弦定理列出方程，求解，进而求得△ABC的周长．
33．【答案】（1）解：因为，
所以，即.
因为为的内角，
所以.
又，
所以，
联立，得，，
所以的面积为
（2）解：由（1）知，，
由余弦定理，得.
设，由正弦定理，得，即，
所以.
在中，由余弦定理，得，
所以
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用三角形的内角的范围及三角形的面积公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及余弦定理，利用正弦定理及三角函数的诱导公式即可求解.
34．【答案】（1）解：因为，结合正弦定理边角关系，
所以，整理得，
因为，所以，又，所以.
（2）解：因为，所以，
即，解得，
所以的面积为
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而求得，即可求解；
（2） 由余弦定理列出方程求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
35．【答案】（1）解：因为，所以
在中，因为
所以
在中，由正弦定理得，
所以；
（2）解：的面积为，得
因为，所以
又因为，所以
在中，由余弦定理得
所以.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ADC的值，利用正弦定理可求AD的值；
(2)由已知利用三角形的面积公式可求BD的值，利用诱导公式可求cos∠ADB的值，根据余弦定理可求AB的值.
36．【答案】解：选①②作条件，③做结论
由②，得：，而sin B > 0，
所以，即，
根据辅助角公式可得，，0 < A < π，
所以，，则，
由①知，，代入可得，，所以，
即：.
选①③作条件，②做结论
由③，得：，，
所以，则，
所以，0 < A < π，所以，
由③知，，
所以，所以，所以，
所以，.
选②③作条件，①做结论
由②，得：，而sin B > 0，
所以，即，
根据辅助角公式可得，，所以，，
由③，，
所以，得：，所以，
所以，，则，，
即：.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】根据题意分别选择其中两个做条件，另外一个做结论，利用正余弦定理化简证明即可.
37．【答案】（1）解：，
，，
且，
，
两式相加得，
，即，
.
（2）解：因为D为的中点，所以，
所以，
，
代入，得：，或（舍去）；
.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)由正弦定理可得(a+c)(a-1)=0，即a=1，然后结合余弦定理可得 ， 求解出B的值；
(2)因为D为AC的中点，则 ， 然后结合平面向量的模的运算可得c=2，然后结合三角形的面积公式求解出 的面积．
38．【答案】（1）解：为钝角三角形，
证明如下：
由，
则有，所以，
因为，所以，则为锐角．
所以，所以或，
则或，
由题意知，所以，
所以，所以，故为钝角三角形．
（2）解：由（1）知，，
由正弦定理，有
当且仅当时等号成立，由为锐角，
则，所以当时取最小值．
【知识点】运用诱导公式化简求值；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式、两角和的正弦公式、三角形中角的取值范围、诱导公式、三角形内角和为180度的性质，进而得出角之间的关系式，再结合钝角三角形判断方法，进而判断出三角形的形状。
（2） 由（1）知，，由正弦定理结合诱导公式、二倍角的余弦公式以及均值不等式求最值的方法得出的最小值 。
39．【答案】（1）解：因为，
可得，
则，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，
所以，因为，
所以.
（2）解：因为，即，
所以，，
所以，
因为为锐角三角形且，所以，所以，
即，
令，，
根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以，即，所以，
即的取值范围为.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理
【解析】【分析】（1））利用已知条件结合两角和与差的余弦公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式和三角形中角的取值范围，进而得出角A的值。
（2）利用 得出，，所以，再利用为锐角三角形和三角形内角和为180度的性质，所以，再利用三角形中角的取值范围，进而结合交集的运算法则得出角B的取值范围，再利用正弦函数的图象求值域的方法得出的取值范围，令，，根据对勾函数的性质结合单调函数的定义可知函数在上和在上的单调性，再利用代入法得出，，，再结合函数的单调性得出函数的值域，进而得，再结合不等式的基本性质得出的取值范围，从而得出的取值范围。
40．【答案】（1）解：由条件得： ，
所以，
由正弦定理得：，所以.
（2）解：及，则，角一定为锐角，又为锐角三角形，所以
由余弦定理得：，所以，
即，解得：，
又，所以.
又 ，
令，则，
，
所以在上递增，又，，
所以的取值范围是.
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；等差数列的性质；两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式，再结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式，进而得出，再由正弦定理得出的值。
（2）利用 及，再利用大边对应大角的方法，则，角一定为锐角，再利用三角形为锐角三角形，再结合余弦函数的图象，所以，由余弦定理和一元二次不等式求解方法以及，进而得出的取值范围，再利用 ，令，则，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而得出的取值范围。
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专题01 三角函数与解三角形-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练
一、解答题
1．（2023·宁波模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）若，求；
（2）若的最大角为最小角的2倍，求a的值．
【答案】（1）解：当时，，在中，由余弦定理，得
，
所以．
（2）解：由已知，最大角为角A，最小角为角C，即，
由正弦定理得，即，
又，所以，
将，代入上式得，
由于 解得．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)在△ABC中，由余弦定理求得cosA，再根据同角三角函数基本关系式，即可求解出sinA ；
(2)由已知，最大角为角A，最小角为角C，即A=2C，利用正弦定理和余弦定理即可求解出a的值 .
2．（2023·嘉兴模拟）在中，角所对的边分别是.已知.
（1）若，求；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）解：由正弦定理得，又，
得，
，
，
所以或，
得或(舍去)，
若，则；
（2）解：，
由正弦定理，得，
由（1）知，得，
又，
所以，
即，
而，所以，得，
故，即.
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理
【解析】【分析】(1)根据正弦定理和三角恒等变换化简可得sinB=sin(A-B)，则A=2B，即可得出 的值；
(2)由(1)得A= 2B ，根据平方差公式、正、余弦定理和二倍角的正弦、余弦公式化简可得 ， 结合 ，即可求出 的取值范围.
3．（2023·金华模拟）在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．已知的面积，其外接圆半径，且．
（1）求；
（2）若A为钝角，P为外接圆上的一点，求的取值范围．
【答案】（1）解：由，得，
，
由正弦定理，，
则，
由，
得，
化简得，由，，
解得，因此.
（2）解：由（1）得，若A为钝角，则，则，如图建立平面直角坐标系，
则，设．
则，，，
有，，，
则．
由，则，
所以的取值范围为.
【知识点】平面向量数量积的运算；正弦定理
【解析】【分析】(1)由三角形面积公式求得sinB，已知等式由正弦定理边化角，化简得 ，可解得sinA的值；
(2)由(1)得，则 ，建立平面直角坐标系， 设，利用向量的坐标运算求，由三角函数的值域求出取值范围.
4．（2023·绍兴模拟）记的内角的对边分别为，已知.
（1）若，求；
（2）若，求.
【答案】（1）解：解法1：
代入，得.
解法2：由正弦定理可得：：
代入化简，
则，
则，
因为，所以，解得：；
由余弦定理可得：，
代入化简得，解得（负值舍）.
（2）解：解法1：
，
，又
所以.
解法2：因为，所以，
代入，
，
，
因为，则，
化简：，
当时，则，则，舍去不满足题意；
当时，则，因为，所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 解法1：利用，再利用二倍角的正弦公式和余弦定理得出，再结合代入法得出a的值；
解法2：由已知条件和正弦定理结合代入法可得，再结合角之间的关系式和两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式和二倍角的正弦公式得出角B的余弦值，再结合余弦定理和代入法得出，再利用一元二次方程的求解方法得出实数a的值。
（2） 解法1：利用，再利用余弦定理和三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值；
解法2：利用结合正弦定理，所以，再
代入和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及，则，再利用分类讨论的方法和角之间的关系式以及三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值。
5．（2023·台州模拟）在中，内角所对的边分别为.已知，.
（1）求的值；
（2）若点为边上的一个点，且满足，求与的面积之比.
【答案】（1）解：因为，所以由正弦定理可得：，
在三角形中，，显然，所以，
所以，又因为，
所以或（显然不成立），所以；
（2）解：因为，所以，即.
在三角形中，，所以，所以，
因为，所以，
所以；
所以；
所以由正弦定理得：与的面积之比等于
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用 结合正弦定理和三角形中角的取值范围，所以，再结合诱导公式，所以，再利用得出角A的值。
（2）利用 结合正弦定理和两角差的正弦公式得出，在三角形中结合三角形中角的取值范围和不等式的基本性质，所以，所以，再利用结合同角三角函数基本关系式得出的值，再结合角之间的关系式得出的值，进而得出的值，再由正弦定理得出与的面积之比。
6．（2023·嘉定模拟）已知向量，，．
（1）求函数的最大值及相应的值；
（2）在中，角A为锐角，且，，，求边的长．
【答案】（1）解：依题意，
当，即时，取最大值.
（2）解：由（1）及得：，即，
因，则，因此，，则，
而，有，
在中，由正弦定理得，，
所以边的长为.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理
【解析】【分析】 (1)由平面向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换及三角函数的性质求解即可得函数的最大值及相应的值；
(2)由正弦定理，结合三角函数求值问题求解即可得的长．
7．（2023·茂名模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
（1）求A；
（2）若D为边BC上一点，且，试判断的形状.
【答案】（1）解：由得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
因为，所以.
（2）解：设，，则，，，
在中，由正弦定理知，
即，即，
化简得，
所以，，
所以是直角三角形.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】 (1)由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简可求出tanA，进而可求A；
(2)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求∠BAD，进而可求出∠ACD，即可判断 的形状.
8．（2023·长春模拟）从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
①，其中为的面积，②，③．
在中，角，，对应边分别为，，，____．
（1）求角；
（2）若为边的中点，，求的最大值．
【答案】（1）解：选①，由余弦定理得：，
又，所以，
得，
因为，所以．
选②，因为，由正弦定理得：，
整理得：，
由余弦定理得：，
因为，所以．
选③，因为，由正弦定理得：，
即，
又因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，即．
（2）解：在中，设，
由正弦定理得，
所以，，
∴，其中，
当时取等号，所以的最大值是．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)选①，利用余弦定理可得 ， 再结合面积公式 ，可得 ，进而求解，可得角；
选②，由 结合正弦定理可得 ， 再结合余弦定理可得 ， 进而求解，可得角；
选③，由 结合正弦定理可得 ，进而得到 ， 进而求解出角；
(2)在△ACD中，设∠ADC=θ，由正弦定理可得 ，，进而得到 ，进而求解出 的最大值．
9．（2023·金山模拟）在中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知，.
（1）若，求；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）解：由，应用正弦定理得，
，即得.
（2）解：因为
则，
又由正弦定理得
.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)根据正弦定理求边长后再应用余弦定理求解，即可得c的值；
(2)先求出角，再求出边长，最后应用面积公式求解可得 的面积.
10．（2023·闵行模拟）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，．
（1）求的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：在中，由正弦定理，
又，
所以，即，
解得；
（2）解：由（1）得，则，
又由余弦定理，，
解得，
所以.
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和二倍角的正弦公式，进而得出角B的余弦值。
（2）利用已知条件结合角B的余弦值和同角三角函数基本关系式，进而得出角B的正弦值，再结合余弦定理得出c的值，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积。
11．（2023·红河模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）证明：；
（2）求的最大值．
【答案】（1）证明：因为，所以，
因为，
即，当且仅当时，等号成立，
又因为，所以；
（2）解：，
设，则，
因为，所以，
设，由，得，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
当时，取得最大值为，
所以的最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理得 ， 再根据余弦定理可求出 ，结合 ，可得；
（2）设，则，设 ，求导，根据导数的符号可得 单调性， 进而求出 的最大值，即可得的最大值 .
12．（2023·吉林模拟）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求B；
（2）在下面两个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．
①的周长为；②面积为．
【答案】（1）解：依题意，，
由正弦定理得，，
由于，则，所以，．
（2）解：如图所示，设D为BC的中点，则AD为BC边上的中线．
若选①，由（1）知，设，
由，得，则，
故周长为，解得，所以，，
则在中，由余弦定理得，解得．
若选②，已知，得，即，则，
在中，由余弦定理得，
所以，因此BC边上的中线长为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用正弦定理将条件中的边转化成角，将 代入，即可求出sin2B，即可得出B的值；
(2)若选①，首先根据△ABC的周长求出三角形三边长度，然后在△ABD中使用余弦定理即可求出中线AD的长度；若选②，首先根据△ABC的面积求出AC与BC的长度，可得CD的长度，然后在△ACD中使用余弦定理即可求出中线AD的长度.
13．（2023·温州模拟）已知满足．
（1）试问：角是否可能为直角？请说明理由；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）解：假设角为直角，则，
所以，
因为，
所以，
所以，所以，
显然，所以矛盾，故假设不成立，
所以角不可能为直角．
（2）解：因为，
所以，
由正弦定理，得，
由余弦定理化简，得，
因为为锐角三角形，
所以
令，则有，
所以的取值范围为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 假设角为直角，则 ，根据两角差的正弦公式可求出 ，故假设不成立， 可得结论；
（2）根据正弦定理可得 ，由余弦定理化简，得 ， 令 ，求解出t的范围，进而得 的取值范围 .
14．（2023·安庆模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，.
（1）若角，求角的大小；
（2）若，，求.
【答案】（1）解：由于，有，
即，即，
且，，则，即，
所以，由于，且，故.
（2）解：由（1）知
当为锐角时，
当为钝角时，
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用结合正弦定理和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角形内角和为180度的性质、诱导公式，进而得出的值，由于且，进而得出角A的值。
（2） 由（1）知，再利用二倍角的余弦公式和三角形中角A的取值范围，进而得出角A的余弦值，再利用分类讨论的方法和余弦定理得出b的值。
15．（2023·蚌埠模拟）已知函数.
（1）若，求函数的最小正周期；
（2）若图象在内有且仅有一条对称轴，求的取值范围.
【答案】（1）解：，
，
，
，
由，得，
则；
（2）解：由，得，
因为图象在内有且仅有一条对称轴，
所以，解得，
因为，且，
所以，
所以的取值范围是.
【知识点】复合三角函数的周期性及其求法；图形的对称性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合的值得出函数的解析式，再结合二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期。
（2）利用已知条件结合x的取值范围和正弦型函数的图象求对称轴的方法，进而得出的取值范围，再利用函数的解析式代入法和的取值范围以及不等式的基本性质，再结合正弦型函数的图象求值域的方法得出 的取值范围。
16．（2023·深圳模拟）已知a b c分别为三内角A B C所对的边，且.
（1）求A；
（2）若，且，求c的值.
【答案】（1）解：依题意，
因为，由正弦定理得：
，
由，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，所以.
（2）解：由（1）以及余弦定理变形式得：
即，
由，
解得或（舍去），
所以，.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角以及和差的正弦公式化简即可求解；
（2）结合余弦定理与条件即可求解.
17．（2023·广东模拟）在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
所以，
整理得，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）解：
在中，因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以的取值范围为.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理的得到，进而由余弦定理得到，求出；
（2）由三角函数和差公式求出，由求出取值范围.
18．（2023·南宁模拟）在中，角的对边分别为，已知，
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．
【答案】（1）解：由，
根据正弦定理可得，
所以，
由余弦定理可得，
，．
（2）解：由余弦定理，得，
即，
由正弦定理，得，
即，又，
所以
，
由为锐角三角形，故，解得，
所以，所以，
所以，所以．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解出B的值；
(2)根据已知条件，结合余弦定理，推得 ，再结合正弦定理，以及三角恒等变换，即可求解出 的取值范围．
19．（2023·广西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）证明：．
（2）若D为BC的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）证明：已知，由余弦定理可得，
即，又由正弦定理，得，
角A，B为△ABC中内角，所以.
（2）解：△ABC中， ，D为BC的中点，如图所示，
①②③
已知，，求证.
证明：，中，，
解得.
①③②
已知，，求证.
证明：，所以中，.
②③①
已知，，求证：.
证明：，在中，由余弦定理，
，所以
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证得 ；
（2）分三种情况， 在中， 利用余弦定理证明即可.
20．（2023·南通模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）若，证明：；
（2）若，证明：.
【答案】（1）证明：由正弦定理可得，，所以，
由余弦定理及其推论可得，，，
所以，由已知可得，，
即，
因为，所以.
（2）证明：由已知得，，
又由正弦定理可得，，
因为，所以.
由（1）知，，则，
又由正弦定理可得，
，
又，则，
将以及代入可得，
，
整理可得，，
因为，，，所以，则.
令，则，，
则，
所以，当，恒成立，所以在上单调递减.
所以，，即.
综上所述，.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正余弦定理角化边，整理即可；
（2）根据正弦定理推得，即可得到，通过分析，可得以及，代入，整理可得到，令，构造，求导得到在 上单调递减，进而得到.
21．（2023·包头模拟）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得唯一确定，当唯一确定时，求边上的高h．
条件①：；条件②：．
【答案】（1）解：在中，，
由及正弦定理得，
由余弦定理得，
化简得，所以，
结合，得．
（2）解：若增加条件①：，．
因为，
由，得，或，
所以不能唯一确定，不合题意．
若增加条件②：．
将代入，
得，解得，或（舍去）．此时唯一确定．
由，得．
所以．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据正弦定理可得 ，再利用余弦定理即可求出A的值；
(2)对于条件①可得 ，进而 ，或，不符合题意；条件②代入 ，即可求出c=3，再利用面积公式即可求出边上的高h．
22．（2023·抚顺模拟）已知中，点在边上，满足，且，的面积与面积的比为．
（1）求的值；
（2）若，求边上的高的值．
【答案】（1）解：∵，
∴为的平分线，
在与中，根据正弦定理可得：
两式相比可得：
又的面积与面积的比为，
∴，
即，且，
由得，
∴且为锐角，∴．
故答案为：
（2）解：由（1）知为锐角，且，
因此，
又，所以在中由余弦定理得，
解得：，
∵∴．
故答案为：
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)由已知条件可得，CD为∠ACB的平分线，再结合角平分线定理，以及正弦定理，二倍角公式，即可求解出 的值；
(2)先求出cosA，再结合余弦的两角和公式，求出cosC，并运用余弦定理，即可求解出边上的高的值．
23．（2023·唐山模拟）如图，在平面四边形中，，，．
（1）若，求的面积；
（2）若，求．
【答案】（1）解：在中，由余弦定理可得．
，
所以．
（2）解：设，则，，
在中，由正弦定理可得，
即，所以，．
于是，解得或（舍）．
所以，因此．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出，利用诱导公式求出，结合三角形的面积公式计算即可求解；
（2）设，根据正弦定理和诱导公式可得 ，，解得，同角的三角函数关系求出，即可求解.
24．（2023·邯郸模拟）已知函数在上单调．
（1）求的单调递增区间；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，求△ABC周长的最大值．
【答案】（1）解：由题意可得，
因为在上单调，
所以，解得，
因为，
所以，即，
令，
解得，
即的单调递增区间是；
（2）解：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
由余弦定理可得，
即，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，解得，
则，即△ABC周长的最大值为9．
【知识点】函数的单调性及单调区间；基本不等式在最值问题中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 由题意结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用函数在上的单调性，进而得出的取值范围，再结合，从而得出的值，进而得出，再利用换元法将正弦型函数的转化为正弦函数，再结合正弦函数的图象求单调区间的方法，进而得出函数的单调递增区间。
（2）利用已知条件结合正弦型函数的解析式和代入法得出的值，再利用三角形中角A的取值范围和不等式的基本性质，进而得出角A的值，由余弦定理可得，再利用均值不等式求最值的方法得出b+c的最大值，再结合三角形的周长公式得出三角形△ABC周长的最大值。
25．（2023·张家界模拟）记的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求A；
（2）若，求的面积的最大值.
【答案】（1）解：由，
得，
由正弦定理，得.
由余弦定理，得.
又，所以.
（2）解：由余弦定理，，
所以，
∵，∴，
所以，当且仅当时取“”.
所以三角形的面积.
所以三角形面积的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式、正弦定理、余弦定理，进而得出角A的余弦值，再结合三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值。
（2）利用已知条件结合余弦定理和均值不等式求最值的方法得出bc的最大值，再结合三角形的面积公式得出三角形 的面积的最大值。
26．（2023·河南模拟）已知在中，角，，的对边分别是，，，在①；②；③中任选一个作为条件解答下面两个问题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求角；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）解：若选①：因为，
所以由正弦定理可得
因为，所以.
所以可得，即
所以
因为，所以.
若选②：因为，
所以由正弦定理可得
所以
因为 ，所以.
所以
因为，所以.
若选③：因为，
所以由正弦定理可得
所以由余弦定理可得
因为，所以.
（2）解：由（1）知，
因为，，
所以，解得，
由余弦定理，得
所以.
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1) 若选①根据正弦定理及两角差的余弦定理可得，即可求解；若选②根据正弦定理及三角恒等变换可得，即可求解；若选③由正弦定理及余弦定理求解即可；
（2）由三角形的面积公式推出，根据余弦定理可解得.
27．（2023·湖南模拟）已知分别为三角形三个内角的对边，且有.
（1）求角A；
（2）若为边上一点，且，求.
【答案】（1）解：由，有，.
即，
所以，因为，所以，
即：，
又因为，故.
（2）解：解法一：设，则，
在△中，由正弦定理知，，
即，
化简得，，则，
即.
解法二：如图所示，
取中点，延长与的延长线交于点，连接，
由有，由，
设，则，即，
故，所以，即为中点.
又为中点，所以，
又，所以△为正三角形，
又平分，所以，所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】 (1)由两角和的正弦公式及正弦定理可得 ，再由sinC≠0 ，由辅助角公式可得A角的大小；
(2) 设，由线段的关系，可得 ，在△ACD中，由正弦定理可得角的正切值，进而求出角的大小，可得 的值.
28．（2023·湖北模拟）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）设，若点M是边上一点，，且，求的面积．
【答案】（1）解：依题意，
由及正弦定理得，
即，
所以．
因为，所以，所以，
又，所以．
（2）解：如图所示：
因为，所以，．
又，所以．
在中，由余弦定理得，
即．①
又，所以，
两边平方得，
即，所以．②
②－①得，所以，代入①得，
在中，，
所以是以为直角的三角形，
所以的面积为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合正弦定理以及三角函数的恒等变换，即可求解出B的值；
(2)根据已知条件，推得BM=AM，再结合余弦定理，以及向量的数量积运算，推得 ， 再结合勾股定理，即可求解出 的面积．
29．（2023·重庆市模拟）在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：由题设及正弦定理边角关系：，
又，
，即，即，
又，则，
，即．
（2）解：令 ，四边形内角和为，由（1）的结论知：，
在 中，由正弦定理得：，即，
在 中，，即，
又，
，
则，即，即，
，，
，
，即，
则，
，
，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合正弦定理，推得 ，再结合角A的取值范围，即可求解出A；
(2) 令，再结合正弦定理，推出 ， ，再结合 ，以及三角形面积公式，即可求解出 的面积．
30．（2023·临高模拟）在中，内角所对的边分别是，已知．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若是钝角三角形，且面积为，求的值．
【答案】（1）证明：由得：，
则，
，，，
由正弦定理可知：，则为等腰三角形.
（2）解：由题意得：，解得：，
∵为钝角三角形，且，为钝角，，
由余弦定理得：，
.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用切化弦，得，由利用三角变换公式得，结合正弦定理可证；
（2） 由题意得：，解得：， 利用余弦定理可得结论．
31．（2023·汕头模拟）如图，在中，D是边上的一点，，．
（1）证明：；
（2）若D为靠近B的三等分点，，，，为纯角，求．
【答案】（1）证明：在中，，
在中，，
由于，故，
所以.
（2）解：因为，故，由为钝角，故为锐角，
又，且D为靠近B的三等分点，，，
故，
故，
故，则，
故.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角互补的关系，进而证出 成立。
（2）利用 ，故，由为纯角，故为锐角，再利用，且D为靠近B的三等分点，，，进而得出的值，再利用余弦定理和勾股定理以及三角形的面积公式，进而得出的值。
32．（2023·咸阳模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求；
（2）若，求△ABC的周长．
【答案】（1）解：由题意在△ABC中，，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）解：由题意及（1）得在△ABC中，，
由正弦定理可得，
，又由（1）得，
∴；
由余弦定理可得，
∴，
∴，
∴△ABC的周长为：．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 由和 ，即可求得 的值.
（2） 由题意及（1），根据正弦定理求得，再由余弦定理列出方程，求解，进而求得△ABC的周长．
33．（2023·山西模拟）如图，四边形中，，，，，.
（1）求的面积；
（2）求线段的长度.
【答案】（1）解：因为，
所以，即.
因为为的内角，
所以.
又，
所以，
联立，得，，
所以的面积为
（2）解：由（1）知，，
由余弦定理，得.
设，由正弦定理，得，即，
所以.
在中，由余弦定理，得，
所以
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用三角形的内角的范围及三角形的面积公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及余弦定理，利用正弦定理及三角函数的诱导公式即可求解.
34．（2023·商洛模拟）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）解：因为，结合正弦定理边角关系，
所以，整理得，
因为，所以，又，所以.
（2）解：因为，所以，
即，解得，
所以的面积为
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而求得，即可求解；
（2） 由余弦定理列出方程求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
35．（2023·石景山模拟）如图，在中，，，点在边上，.
（1）求的长；
（2）若的面积为，求的长.
【答案】（1）解：因为，所以
在中，因为
所以
在中，由正弦定理得，
所以；
（2）解：的面积为，得
因为，所以
又因为，所以
在中，由余弦定理得
所以.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ADC的值，利用正弦定理可求AD的值；
(2)由已知利用三角形的面积公式可求BD的值，利用诱导公式可求cos∠ADB的值，根据余弦定理可求AB的值.
36．（2023·联合模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①；②；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】解：选①②作条件，③做结论
由②，得：，而sin B > 0，
所以，即，
根据辅助角公式可得，，0 < A < π，
所以，，则，
由①知，，代入可得，，所以，
即：.
选①③作条件，②做结论
由③，得：，，
所以，则，
所以，0 < A < π，所以，
由③知，，
所以，所以，所以，
所以，.
选②③作条件，①做结论
由②，得：，而sin B > 0，
所以，即，
根据辅助角公式可得，，所以，，
由③，，
所以，得：，所以，
所以，，则，，
即：.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】根据题意分别选择其中两个做条件，另外一个做结论，利用正余弦定理化简证明即可.
37．（2023·泉州模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．
（1）求B；
（2）已知D为的中点，，求的面积．
【答案】（1）解：，
，，
且，
，
两式相加得，
，即，
.
（2）解：因为D为的中点，所以，
所以，
，
代入，得：，或（舍去）；
.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)由正弦定理可得(a+c)(a-1)=0，即a=1，然后结合余弦定理可得 ， 求解出B的值；
(2)因为D为AC的中点，则 ， 然后结合平面向量的模的运算可得c=2，然后结合三角形的面积公式求解出 的面积．
38．（2023·宣城模拟）设的内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的最小值．
【答案】（1）解：为钝角三角形，
证明如下：
由，
则有，所以，
因为，所以，则为锐角．
所以，所以或，
则或，
由题意知，所以，
所以，所以，故为钝角三角形．
（2）解：由（1）知，，
由正弦定理，有
当且仅当时等号成立，由为锐角，
则，所以当时取最小值．
【知识点】运用诱导公式化简求值；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式、两角和的正弦公式、三角形中角的取值范围、诱导公式、三角形内角和为180度的性质，进而得出角之间的关系式，再结合钝角三角形判断方法，进而判断出三角形的形状。
（2） 由（1）知，，由正弦定理结合诱导公式、二倍角的余弦公式以及均值不等式求最值的方法得出的最小值 。
39．（2023·白山模拟）已知的内角、、所对的边分别为、、，.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
可得，
则，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，
所以，因为，
所以.
（2）解：因为，即，
所以，，
所以，
因为为锐角三角形且，所以，所以，
即，
令，，
根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以，即，所以，
即的取值范围为.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理
【解析】【分析】（1））利用已知条件结合两角和与差的余弦公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式和三角形中角的取值范围，进而得出角A的值。
（2）利用 得出，，所以，再利用为锐角三角形和三角形内角和为180度的性质，所以，再利用三角形中角的取值范围，进而结合交集的运算法则得出角B的取值范围，再利用正弦函数的图象求值域的方法得出的取值范围，令，，根据对勾函数的性质结合单调函数的定义可知函数在上和在上的单调性，再利用代入法得出，，，再结合函数的单调性得出函数的值域，进而得，再结合不等式的基本性质得出的取值范围，从而得出的取值范围。
40．（2023·江门模拟）在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：由条件得： ，
所以，
由正弦定理得：，所以.
（2）解：及，则，角一定为锐角，又为锐角三角形，所以
由余弦定理得：，所以，
即，解得：，
又，所以.
又 ，
令，则，
，
所以在上递增，又，，
所以的取值范围是.
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；等差数列的性质；两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式，再结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式，进而得出，再由正弦定理得出的值。
（2）利用 及，再利用大边对应大角的方法，则，角一定为锐角，再利用三角形为锐角三角形，再结合余弦函数的图象，所以，由余弦定理和一元二次不等式求解方法以及，进而得出的取值范围，再利用 ，令，则，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而得出的取值范围。
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