专题04 立体几何-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练

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专题04 立体几何-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练
一、解答题
1．（2023·台州模拟）已知三棱柱棱长均为，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，
因为是等边三角形，所以，
又因为，，则，所以，
所以，
又因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）解：如图，作，垂足为，连接，
由（1）知平面，又平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又是直角三角形，所以即为平面与平面所成夹角，
在中，，
在中，因为，所以，
所以，
即平面与平面所成夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 取中点，连接，再利用是等边三角形结合等边三角形三线合一，所以，再利用，结合勾股定理得出，再结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（2） 作，垂足为，连接，由（1）知平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用是直角三角形，所以即为平面与平面所成夹角，在中结合正弦函数的定义得出MN的长，在中结合和勾股定理得出的长，再结合余弦函数的定义得出平面与平面所成夹角的余弦值。
2．（2023·嘉兴模拟）如图，在三棱台中，.
（1）求证：平面平面；
（2）若四面体的体积为2，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：延长三条侧棱交于点.因为所以， 分别为中点，且.
因为，所以.
取的中点，则.
因为
所以所以.
，则，故，
即.
因为，，平面，平面，
所以平面.
又平面，故平面平面.
（2）解：因为，所以.
而，
所以，解得：.
以为坐标原点，为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
设为面的一个法向量，
因为，所以，
不妨设，则面的一个法向量.
同理可求得面的一个法向量.
由图示，二面角的平面角为锐角，
所以，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)延长三条侧棱交于点P，判断出D，E，F为中点，取AB的中点M，证明出PM⊥AB和PM⊥MC，进而证明出PM⊥平面ABC，利用面面垂直的判定定理即可证明平面ABED⊥平面ABC；
(2)先由体积关系求出PM=6，以C为坐标原点，CA、CB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量和面的一个法向量，利用向量法求解出二面角的余弦值 .
3．（2023·宁波模拟）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面ABCD．
（1）求证：平面ABCD；
（2）设，，，平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为，求BC的长．
【答案】（1）证明：如图，在平面ABCD中取一点E，并过点E作直线，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面PAD，因为平面PAD，所以；
同理，过点E作直线，
因为平面平面ABCD，平面平面，
平面ABCD，所以平面PAB，
因为平面PAB，所以；
因为，平面ABCD，所以平面ABCD．
（2）解：由（1）知，如图，
以A为原点，AD，AB，AP方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以， ，，，
设平面PBC的法向量为，
则，令，得，
设平面PCD的法向量为，
则，令，得，
由题知，即，解得，
所以BC的长为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)在平面ABCD内任取一点G(不在直线AB与直线AD上) ， 过G分别作AD、AB的垂线GE、GF ，由已知结合平面与平面垂直的性质可得GE⊥平面PAD，GF⊥平面PAB，得到GE⊥PA，GF⊥PA，则PA⊥平面ABCD ；
(2)由(1)知，PA⊥平面ABCD，又AB⊥AD，以A为原点，AD，AB，AP方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，设，则 ， 然后分别求出平面PBC与平面PDC的一个法向量，利用向量法可求出t的值，进而可求出 BC的长 .
4．（2023·金华模拟）如图，在圆台中，圆的半径是1，圆的半径是2，高是，圆是的外接圆，，PC是圆台的一条母线．
（1）求三棱锥体积的最大值；
（2）当时，求平面PAC与平面PBC的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）解：取AB中点M，连，则，
则的高，
当且仅当三点共线，即时，取等号，
，
所以三棱锥体积的最大值为；
（2）解：如图，以为坐标原点，过与AB平行的直线为x轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
由，圆的半径是1，可得，
则，
，
又，解得，
则，
则，
设平面PAC的法向量为，
则，可取，
，
设平面PBC的的法向量，
则，可取，
则，
所以平面PAC与平面PBC的锐二面角的余弦值为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1) 取AB中点M，连， 根据 的高可得△ABC面积的最大值，再根据棱锥的体积公式即可求解出三棱锥体积的最大值；
(2) 如图，以为坐标原点，过与AB平行的直线为x轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，根据 ，求出C，P的坐标，求出平面PAC的法向量和平面PBC的的法向量，再利用向量法求解出平面PAC与平面PBC的锐二面角的余弦值.
5．（2023·黄浦模拟）如图，多面体是由棱长为3的正方体沿平面截去一角所得到，在棱上取一点E，过点，C，E的平面交棱于点F．
（1）求证：；
（2）若，求点E到平面的距离以及与平面所成角的大小．
【答案】（1）证明：∵，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
又平面，平面，∴∥平面，
又平面，平面平面，
∴，又，则.
（2）解：以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，取，
则点E到平面的距离为；
设与平面所成角为，
则，
则与平面所成角为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)在正方体中可知 ，进而可证得 ∥平面，再由线面平行的性质定理可得D1C// EF，进而可证得 ；
(2) 以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面的法向量，利用向量法可求出点E到平面的距离以及与平面所成角的大小．
6．（2023·金山模拟）如图，在正三棱柱中，已知，是的中点.
（1）求直线与所成的角的大小；
（2）求证：平面平面，并求点到平面的距离.
【答案】（1）解：由正三棱柱结构特征可知：，平面，为等边三角形；
直线与所成角即为，
平面，，
在中，，，
即直线与所成角的大小为.
（2）证明：作，垂足为，
平面平面，平面平面，平面，，
平面，点到平面的距离即为的长，
由（1）知：，，
，即，
点到平面的距离为.
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)由已知可得直线与所成角即为， 求解即可得直线与所成的角的大小；
(2)由已知可证CD⊥平面ABB1A1 ，进而可证得平面平面， 作，垂足为，可得点到平面的距离即为的长， 求解即可得点到平面的距离 .
7．（2023·浦东模拟）如图，三角形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分别为、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接，
因为、分别为、的中点，
所以且，
又因为，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）解：因为三角形与梯形所在的平面互相垂直，，
又平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
所以以为坐标原点， 建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，．
所以，，
由题意知，平面的法向量，
设平面的法向量，则
，即，
令，则，所以，
设平面与平面所成锐二面角为，则
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 连接，再利用、分别为、的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以且，再利用，且结合平行和相等的传递性，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2）利用 三角形与梯形所在的平面互相垂直，，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以以为坐标原点， 建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成锐二面角的余弦值。
8．（2023·梅州模拟）如图，正三棱柱中，，点M为的中点．
（1）在棱上是否存在点Q，使得AQ⊥平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由：
（2）求点C到平面的距离．
【答案】（1）解：在正三棱柱中，因为点为的中点，则，
又平面， 平面，则有，
而平面，于是平面，
平面，则平面平面，在平面内过点作交于点，
平面平面，因此平面，于是点即为所要找的点，
显然，因此，即有，于是，，
所以.
（2）解：取的中点，连接，因为点为的中点，则，
于是为平行四边形，即，而平面，平面，
因此平面，有点到平面的距离等于点到平面的距离，
又为之中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，
而由（1）知，当时，平面，，
设，则，
所以点C到平面的距离.
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)由已知可证 平面， 过点作交于点， AQ⊥C1M ，可得AQ⊥平面BC1M，点Q为所要找的点，求解即可得 的值；
(2)连接C与AB的中点N ，易知 平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， 进而可求点C到平面的距离．
9．（2023·茂名模拟）在四棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）求证：；
（2）若，，，，点在棱上，直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：∵，为的中点，∴
又∵平面平面，平面平面，
∴平面，又平面，
∴
（2）解：由，，
可知四边形为等腰梯形，易知，
∵，∴
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
平面的法向量为，
设，则，
，，
∵直线与平面所成角为，
∴，
∴①
∵点在棱上，∴，
即，
∴，，代入①解得或（舍去）.
， ，，
设平面的法向量为，
，
令，得，，
所以点到平面的距离
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 (1)根据面面垂直的性质定理证明；
(2)由边长关系，根据勾股定理证明得AD⊥BD，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标和相关向量的坐标， 设，利用空间向量的夹角公式，根据直线与平面的夹角列式计算点E的坐标，求解平面PCD的法向量，再利用点到平面的距离公式列式求解距离，即可得点到平面的距离.
10．（2023·闵行模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，，，点E在线段AB上，且．
（1）求证：CE⊥平面PBD；
（2）求二面角P－CE－A的余弦值．
【答案】（1）证明：设BD与CE相交于点H，
因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以，
由，，得，
因此，，
可得，
因为，
所以，即，
又因为，，平面，
所以CE⊥平面PBD；
（2）解：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，
则，，，
所以，，
设平面PCE的一个法向量，
则，即，
令，则，，于是，
平面ACE的一个法向量为，
则，
由图形可知二面角P－CE－A为锐角，
所以二面角P－CE－A的余弦值是．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 设BD与CE相交于点H，利用PD⊥平面ABCD结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，由，，得，再结合正切函数的定义得出，再利用，所以，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，从而证出直线CE⊥平面PBD。
（2） 利用已知条件，建立空间直角坐标系D-xyz，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面PCE的一个法向量和平面ACE的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和由图形可知二面角P－CE－A为锐角，进而得出二面角P－CE－A的余弦值。
11．（2023·虹口模拟）如图，在圆锥中，是底面的直径，是底面圆周上的一点，且，，，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：由是底面的直径，点是底面圆周上的点，得.
又因，分别为，的中点，所以，故.
因是圆锥的轴，所以底面，又平面，故.
于是与平面内的两条相交直线，都垂直，从而平面；
而平面，故由平面与平面垂直的判定定理，得平面平面.
（2）解：在圆锥底面，过圆心作直径的垂线，交圆周于点，则直线，，两两垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
如图：
则，，，，.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，得.
又是平面的一个法向量，
故.
平面与平面所成的二面角是锐角，故二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)由已知证明OM⊥BC，PO⊥BC，可得BC⊥平面POM，即可得到平面PBC⊥平面POM；
(2) 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求出二面角的余弦值.
12．（2023·静安模拟）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，若.
（1）求五面体ABCDEF的体积；
（2）若M为EC的中点，求证：平面平面AMD.
【答案】（1）解：因为，取AD中点N，连接EN，，
因为，所以，
又FA⊥平面ABCD，平面ABCD，，
所以EN⊥平面ABCD，又因为，即，，
平面，所以平面，
所以为底面是等腰直角三角形的直棱柱，
高等于1，三棱锥是高等于1底面是等腰直角三角形.
五面体的体积棱柱的体积棱锥的体积.
即：
（2）证明：证法1：以A为坐标原点，以，，为轴正半轴建立空间直角坐标系.
点，，，，
所以
得到：
所以，，平面AMD，
所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，所以平面平面AMD.
证法2：因为，所以为等腰三角形，M为EC的中点，所以；
同理在中，，（N为AD中点）又AM、MN平面AMD，
，所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，
平面⊥平面AMD.
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1） 利用，取AD中点N，连接EN，，再利用，所以，再利用FA⊥平面ABCD结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以EN⊥平面ABCD，再利用结合线面垂直的性质定理证出，再结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，所以为底面是等腰直角三角形的直棱柱，高等于1，三棱锥是高等于1底面是等腰直角三角形，再利用五面体的体积等于棱柱的体积棱锥的体积，再结合棱柱和棱锥的体积公式得出五面体ABCDEF的体积。
（2） 证法1：以A为坐标原点，以，，为轴正半轴建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出，再利用线线垂直证出线面垂直，所以CE⊥平面AMD，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面AMD；
证法2：利用，所以三角形为等腰三角形，M为EC的中点，再利用等腰三角形三线合一，所以；同理在中，，再利用线线垂直证出线面垂直，所以CE⊥平面AMD，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面⊥平面AMD。
13．（2023·长春模拟）如图，平面五边形中，△是边长为2的等边三角形，，，，将△沿翻折，使点翻折到点．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：在平面图形中取中点，连接，，
∵△是边长为2的等边三角形，
∴，，故翻折后有，
又，则，，，
所以△△，即，则，
由，、平面，故平面，
∵，则，
∴平面，又平面，
∴．
（2）解：在面内作，交于，由平面，平面，
所以，故两两垂直，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由（1）得，四边形为矩形，
在△中，，由余弦定理得，故，
所以，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，令，则，
设直线与平面所成角为，则．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 (1)在平面图形中取AD中点O，则有OP⊥AD，OC⊥AD，再应用线面垂直的判定、性质能证明PC⊥BC ；
(2) 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 确定相关点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
14．（2023·广安模拟）如图，在三棱锥中，为的内心，直线与交于，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：设平面，垂足为，作于，于，连接，
因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，
在和中，因为，
所以，所以，
在和中，，
所以，所以，
即点到的距离相等，
同理点到的距离相等，
所以点为的内心，所以两点重合，
所以平面，
又因平面，
所以平面平面；
（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
设内切圆的半径为，则
即，解得，
故，
则，
则，
设平面的法向量，
则，可取，
设平面的法向量，
则，可取，
则，
由图可得二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 设平面，垂足为，作于，于，连接， 先证明，从而可证得，从而可得点为的内心，即两点重合 ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用等面积法求得内切圆的半径，再利用勾股定理求得，即可得 ， 再利用向量法求解即可.
15．（2023·宜宾模拟）圆柱中，四边形为过轴的截面，，，为底面圆的内接正三角形，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：依题意，连接延长交于点，连接，
因为为底面圆的内接正三角形，
所以既是的外心也是重心，所以为的中点，
因此，又，
所以，，
又底面，，底面，所以，，
所以三条直线两两垂直，以为空间直角坐标系原点，
分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：
因为四边形为过轴的截面，，，
所以是圆的直径，所以，
所以，，，由此可得：
，，，，
，，，
所以，，，
所以，
所以，即，
又，平面，
所以平面.
（2）解：由（1）知，平面，
所以是平面的一个法向量，，，
设平面的法向量为，则有：
即，
令，则有：，
所以平面的一个法向量可以是：，
所以，
设平面与平面所成角为，则与相等或者互补，
因为，所以
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 连接延长交于点，连接， ，证明三条直线两两垂直，以为空间直角坐标系原点，分别为轴建立空间直角坐标系，运用向量垂直的性质即可证明，再由线面垂直判定定理即可证明；
（2）由（1）知 是平面的一个法向量 ，求出平面的法向量，求出两个平面法向量的夹角即可求解.
16．（2023·杭州模拟）在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：
取的中点为E，连结，
∵，∴，
在和中，
∴，∴，
∵的中点为E，∴，
∵，∴面，
∵面，∴
（2）解：
过S作面，垂足为D，连接，∴
∵，平面
∴，同理，
∵底面为等腰直角三角形，，
∴四边形为正方形且边长为2.
以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则
，
设平面的法向量，则，解得，
取，则，∴，
设平面的法向量，则，解得，
取，则，∴，
设平面与平面夹角为
故平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意，可证△SCB≌△SAB，即SA= SC ，从而证得AC⊥面SBE，即可得到 ；
(2)根据题意，过S作SD⊥面ABC，垂足为D，连接AD，CD， 以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算以及二面角的计算公式，即可求出平面与平面夹角的余弦值.
17．（2023·红河模拟）如图，在几何体中，菱形所在的平面与矩形所在的平面互相垂直．
（1）若为线段上的一个动点，证明：∥平面
（2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明：由题知，四边形为矩形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
又因为，，平面
所以平面平面，
又因为为线段上的一个动点，所以平面，
所以平面．
（2）解：因为平面平面，平面平面，，
平面
所以平面．
又因为底面为菱形，且，，
所以为等边三角形，且，设，
取的中点为，连接，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，取，
则，，即．
设直线与平面所成角为，则
，
化简可得，解得或
设点到平面的距离为，
当时，，，
则；
当时，，，
则
故点到平面的距离为或．
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 由题知，四边形为矩形 ，可得 ， 根据线面平行的判定定理可得 平面， 推出平面平面，进而推出平面 ；
（2）取的中点为，连接，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法可求出点到平面的距离.
18．（2023·温州模拟）已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为．
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图所示，取中点为，连接，O为△BCD的中心，
因为△是边长为3的正三角形，，则面，
又与平面所成角的余弦值为，
所以，即，即三棱锥是正四面体，
所以，又平面，
所以平面，又平面，所以．
（2）解：如图所示，
取中点为，连接，
由（1）知：三棱锥是正四面体，则，
所以二面角的平面角为，
另一方面，，
所以由余弦定理得，
所以，
所以二面角的平面角的正弦值．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)取BC中点为E，连接AE，DE，由正四面体的性质得BC⊥AE，BC⊥DE，再由线面垂直的判定及性质证明结论；
(2) 取中点为，连接，由正四面体的性质和二面角的定义知∠BHC为所求二面角的平面角，进而求其正弦值.
19．（2023·崇明模拟）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）解：由题意知，直线与平面的夹角，即为，
易知，，又，故，进而有，，
由圆柱的表面积为，可得，
故，故直线与平面的夹角为．
（2）解：设点A到平面的距离为h，
则，，
，
因为平面ABP，，
所以BP⊥平面，即，
在中，，
故，
所以，即点A到平面的距离为．
【知识点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线与平面的夹角，即为， 然后利用圆柱的表面积为求出，求出， 故 ，即可得解；
（2） 设点A到平面的距离为h， 利用等体积即可求解.
20．（2023·广西壮族自治区模拟）如图，四棱锥的底面为矩形，，，，平面平面．是的中点，是上一点，且平面．
（1）求的值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）解：设平面与直线相交于点，连接，．
因为平面，平面，平面平面，
所以．
因为，平面，平面，
所以平面．又平面平面，
所以，所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，分别为，的中点，故．
（2）解：因为，是的中点，所以，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面.
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则， ，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则令，得，
所以．
设直线与平面所成的角为，
则．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 (1)设平面AOE与直线PC相交于点F ，连接EF，OF ，利用线面平行的性质定理可得AE//FO，又因为AO//EF，所以四边形AEFO为平行四边形，从而求出 的值；
(2) 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，进而求出平面POC的一个法向量，再利用直线与平面夹角的向量公式求解出直线与平面所成角的正弦值．
21．（2023·蚌埠模拟）如图，在四面体中，为的重心，，分别在棱，上，平面平面.
（1）求的值；
（2）若平面，，且，求平面与平面的夹角的大小.
【答案】（1）解：延长交于点，连接，
因为为的重心，所以为的中点且 ，
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，
所以 ， 所以 .
（2）解：因为平面，平面BCD，所以，，
因为，，，平面，所以平面，
如图，以BA为x轴，BC为y轴，过B与CD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
由(1)同理可得，则 ，
所以
所以 ， ，
设平面的法向量为，则
令，则，，则，
设平面的法向量为则
，令，则，，则，
设平面与平面的夹角为，则 ，
所以平面与平面的夹角的大小为.
【知识点】平面与平面平行的性质；用空间向量求平面间的夹角；平行线分线段成比例定理
【解析】【分析】（1）利用为的重心，所以为的中点且 ， 再利用平面平面结合面面平行的性质定理证出线线平行，所以，再利用两直线平行对应边成比例，进而得出 的值，从而得出 的值。
（2）利用 平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，，再利用，结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，以BA为x轴，BC为y轴，过B与CD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由(1)同理可得结合两直线平行对应边成比例，则 ， 进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面的夹角的余弦值，进而得出平面与平面的夹角的大小、
22．（2023·深圳模拟）已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的大小；
（3）求直线CA与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：由为正三棱柱可知，平面，
又平面，所以，
由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以；
又，平面，所以平面；
又平面，所以；
（2）解：取线段的中点分别为，连接，
易知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示；
由侧棱长为，底面边长为2可得，
，
由D为AB的中点可得，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得；
即；
易得即为平面的一个法向量，
所以，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
所以，即；
即二面角的大小为.
（3）解：由（2）可知，平面的一个法向量为，
设直线CA与平面所成的角为，
所以，
即直线CA与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由正三棱柱的性质可得平面 ，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面，即可得；
（2） 取线段的中点分别为，连接， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 分别求出平面的一个法向量为， 即为平面的一个法向量，利用空间向量的坐标运算即可得解；
（3） 由（2）可知，平面的一个法向量为， 利用线面角与空间向量的关系即可得直线CA与平面所成角的正弦值为.
23．（2023·吉林模拟）如图，在多面体中，四边形和四边形均是等腰梯形，底面为矩形，与的交点为，平面，且与底面的距离为，
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为．若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：取中点，连接．
∵是底面对角线与的交点，即的中点
∴∥，=.
∵∥平面，平面，平面平面，∴.
∵．
∴∥，=，故∥，＝，则四边形是平行四边形.
∴
∵平面，平面
∴平面.
（2）解：∵∴
∵， ，且两直线在平面内， ∴平面.
∵平面∴平面平面
在平面中，过作.
平面平面∴平面.
取中点，取中点，连接，．
以为原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
如图，
则，，，，，，有，，，
设，
∴∴.
设是平面的一个法向量，
∴ 令，则，∴
设CM与平面ADE所成角为
∴
化简得：∴或－1（舍）
当M是BF的中点时，使得CM与平面ADE所成角正弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）利用已知条件通过证明线线平行即可证得 平面；
（2） 以为原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 ，求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角公式可求出结论.
24．（2023·柳州模拟）如图，在四棱锥中，底面，，，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明：∵，，，
由勾股定理得：，
中，由余弦定理：，
∵，∴，
又因为底面，底面，所以，
又因为，∴平面，
底面∴平面平面；
（2）解：作，垂直为H，连结，
因为平面平面，且平面平面
所以平面，
所以为与平面所成的角，
中，，
，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
另解：因为，，所以，且底面，，底面，
所以，，所以以，，方向分别为x，y，z轴建系如图，
则，，，，，
设平面的一个法向量为，
，，，
所以，令，则，，所以，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，，所以，
所以，所以平面平面，
因为底面，底面，所以，且，，，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 (1)通过勾股定理，证明出 平面， 再根据面面垂直定理求证出平面平面；
(2) 作，垂直为H，连结， 由AH⊥平面PCD，可得 为与平面所成的角， 求解即可得 与平面所成角的余弦值.
25．（2023·南宁模拟）如图1，平面图形是一个直角梯形，其中，是上一点，且.将沿着折起使得平面平面，连接，分别是的中点，如图2.
（1）证明：在图2中四点共面，且平面平面；
（2）在图2中，若是线段上一个动点，当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，求的长.
【答案】（1）证明：连接，
∵分别是的中点，
∴，
又∵，
∴，故四点共面.
在图1中，由，可得，
，
故四边形是正方形，则，
在图2中，平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
平面，可得，
又∵平面，
∴平面，
且平面，故平面平面.
（2）解：如图以为原点，分别以所在直线为轴 轴 轴，建立空间直角坐标系，则，
设，
可得，
设是平面的一个法向量，则，
取，则，即，
设直线与平面所成角为，
则，
∵，当且仅当，即当取等号，
∴，
故当，即为中点时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1)证明MN//BE，即可知E、M、N、B四点共面；由平面AED⊥平面DEBC，AE⊥DE ，可证AE⊥平面DEBC，从而知AE⊥DC，再证四边形BCDE为正方形，得DC⊥DE，从而知DC⊥平面AED，然后由面面垂直的判定定理证得平面平面；
(2) 以为原点，分别以所在直线为轴 轴 轴，建立空间直角坐标系，设，求得平面BDG的法向量，设直线CG与平面BDG所成角为θ，由 ，结合基本不等式，求得t的值，进而求出 的长.
26．（2023·宣城模拟）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，二面角的大小为．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：设的中点分别，连接，
因为底面是正方形，，
所以，，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
所以是二面角的平面角，
即，又，
所以，解得，
因为，
所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面PBC．
（2）解：由（1）知平面平面，以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，，
，，．
设平面的一个法向量为，则
，即，
令，则，所以．
设与平面所成角为，则
，
所以与平面所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 设的中点分别，连接，利用底面是正方形，，所以，，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以是二面角的平面角，即，再利用，结合余弦定理得出PE的长，再结合勾股定理得出，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面PBC。
（2） 由（1）知平面平面，以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式得出与平面所成角的正弦值。
27．（2023·广东模拟）如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面和平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，
所以，
又因为平面平面，所以平面，
因为点分别是中点，所以，
又因为平面平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：方法一：因为，所以，
由（1）知平面平面，
所以，
所以两两相互垂直，
如图，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
因为，所以，
则，
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由，
得，即，解得，
取，得，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为.
方法二：因为平面平面，所以平面和平面的夹角即二面角.
如图，过点作，垂足为点，过点作交于点，
则为二面角所成平面角.
在中，，
在中，，
在直角梯形中，因为，，所以，
所以
在中，，
所以，
利用三角形等面积可得，
所以，
因为，所以，
过点作于，则，
所以，
在中，，
所以，
所以平面和平面夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面平行及面面平行的判定定理即可完成证明，
（2）方法一 以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量为，平面的法向量为 ，再利用向量法求两平面的夹角，方法二利用几何法找到为二面角所成平面角，利用三角形知识求两平面的夹角.
28．（2023·桂林模拟）如图所示，在四棱锥中，，，，.
（1）证明：；
（2）求直线BC与平面PCD所成角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接BD，设BD的中点为O，连接OA，OP.
因为，所以，
因为，所以，
又平面，所以平面OAP，
因为平面OAP，所以.
（2）解：因为，所以，又，
所以，所以，
又平面，
所以平面ABCD.
，
，所以.
如图，以O为原点，OB，OP所在直线分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
，平面PCD的法向量分别为，
所以，即，取，则，
设与平面PCD所成的角为，则
则直线BC与平面PCD的夹角余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】的展开式的通项
令，解得，
故常数项为．
故答案为：.
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项.
29．（2023·包头模拟）如图，已知矩形是圆柱的轴截面，是的中点，直线与下底面所成角的正切值为，矩形的面积为12，为圆柱的一条母线（不与重合）．
（1）证明：；
（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接，因为是底面圆的直径，
所以，即，
又因为由题可知平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以．
（2）解：根据题意，，设，则，，
又因为，
所以，得．
所以，，
设，则，
由（1）可知平面，
又因为到的距离为，
所以．
当且仅当，即时，取等号．
所以，当时，三棱锥的体积最大．
因为两两互相垂直，
所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系．
所以，
，
设平面的法向量为，
所以，即
取，可得，
所以，
因为平面，
所以可取平面的一个法向量为，
所以．
所以，
所以二面角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)连接NC，根据线面垂直判定定理，BN⊥NC，BN⊥MN，得BN⊥平面MNCP，再由线面垂直性质定理可证得 ；
(2) 根据题意，，设，则，，由 ，得 ， 设，则，又BN⊥平面MNP，得 ，当且仅当 ，即时，取等号，即当时，三棱锥的体积最大，由NC， NB，NM两两互相垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法即可求出二面角的正弦值．
30．（2023·抚顺模拟）如图，四棱锥的底面是正方形，点P，Q在侧棱上，E是侧棱的中点．
（1）若，证明：BE∥平面；
（2）若每条侧棱的长都是底面边长的倍，从下面两个条件中选一个，求二面角的大小．
①平面；②P为的中点．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）解：连接，设交点为O，连接，，，
在中，点E是的中点，点Q足线段的中点，所以．
又因为平面，且平面，所以平面，
在中，点O是线段的中点，点P是线段的中点，所以．
又因为平面，且平面，所以平面，
又因为，且，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（2）解：若选①平面，连接，
因为为正方形，所以点O分别为与的中点，
由题意，，所以，同理，
又，所以平面．
故以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设，则，，，，
所以，，，，，．
因为平面，所以平面的一个法向量为．
显然平面的一个法向量为．
设二面角的平面角为，所以，所以．
若选②P为的中点，连接，因为为正方形，所以点O分别为与的中点，
由题意，，所以．同理，
又，所以平面．
故以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设，则，，，，
所以，，，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，取，得，
显然平面的一个法向量为，
设二面角的平而角为，所以，所以．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）连接，设交点为O，连接，，，推出平面，利用面面垂直的判定定理可得平面平面，推出平面；
（2） 若选①，平面，连接，以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求出二面角的大小；若选② ，以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求出二面角的大小.
31．（2023·邯郸模拟）如图1，四边形ABCD是等腰梯形，E，F分别是AD，BC的中点，．将四边形ABFE沿着EF折起到四边形处，使得，如图2，G在上，且．
（1）证明：平面DFG；
（2）求平面DFG与平面夹角的余弦值
【答案】（1）证明：连接CE，交DF于点H，连接GH．
易证，
所以．
因为，所以，
所以，则．
因为平面DFG，平面DFG，
所以平面DFG．
（2）解：由图1可知，．
因为，E，F分别是AD，BC的中点，
所以，，则．
因为，所以，所以．
因为EF，平面CDEF，且，所以平面CDEF．
故以E为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以，，，，，
则，，，．
设平面DFG的法向量为，
则
令，得．
设平面的法向量为，
则
令，得．
设平面DFG与平面的夹角为θ，
则
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 连接CE，交DF于点H，连接GH，再利用两三角形相似的判定定理，所以，再利用两三角形相似的性质定理，所以，再利用，所以，所以，再利用两直线平行对应边成比例，则，再结合线线平行证出线面平行，从而证出直线平面DFG。
（2） 由图1可知，，利用，E，F分别是AD，BC的中点，进而得出，的长，再结合勾股定理得出CE的长，再利用和勾股定理得出，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面CDEF，故以E为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，再利用，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标求解方法得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面DFG的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面DFG与平面的夹角的余弦值。
32．（2023·唐山模拟）如图，在三棱柱中，侧面和侧面均为正方形，为棱的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角为30°，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为侧面、侧面均为正方形，
所以，，又，平面，
所以平面，又，所以平面，
又平面，所以．
由，为棱的中点，所以，
又，平面，
因此平面，又平面，
故平面平面；
（2）解：由（1）得是与侧面所成角，即，
令，所以，又，
所以，，，
则，．
以A为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，．所以，．
设是平面的一个法向量，
则即取．
易知是平面的一个法向量，
则．
而平面与平面的夹角为锐角，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得 平面，所以平面，所以， 因此平面 ， 故平面平面；
（2） 以A为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 求出求出平面的法向量， 是平面的一个法向量， 结合面面角的向量求法即得.
33．（2023·张家界模拟）如图，已知三棱柱，，，为线段上的动点，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，D为线段的中点，，求与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明：已知，又，，平面，，
所以平面，
又平面，所以，
因为，所以，
又，AC、平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）知平面平面，
又平面平面，，面，
所以平面.又，
所以平面，所以CA，CB，两两垂直，
以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、x轴的正方向，
建立空间直角坐标系如图所示：
因为，所以四边形为矩形，
又因为，所以四边形为正方形.
因为，，所以，
所以，，，.
由D是线段的中点，得，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则即
取，则，所以，
.
设直线与平面所成的角为，则，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）利用 结合，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再结合，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（2） 由（1）知平面平面，再利用结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以平面，再利用，所以平面，所以CA，CB，两两垂直， 以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、x轴的正方向，建立空间直角坐标系，再利用，所以四边形为矩形，再结合，所以四边形为正方形，再利用，，所以，进而得出点的坐标，由D是线段的中点结合中点坐标公式得出点D的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式、同角三角函数基本关系式得出直线与平面所成角的余弦值。
34．（2023·湖北模拟）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，．
（1）当时，求三棱柱的体积；
（2）设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1）解：如图，取的中点为O，
因为为菱形，且，所以为正三角形，
又有为正三角形且边长为2，则，，
且，，所以，
所以，因为又，
平面，平面，所以平面，
所以三棱柱的体积．
（2）解：在中，，，
由余弦定理可得，
所以，由（1），，
又，平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面，所以在平面内作，则平面，
以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，
，，
设是平面的一个法向量，
，，
则，即，
取得，设，
则
，
设直线与平面所成角为，
则
，
令，则在单调递增，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 (1)取BC的中点O，根据等边三角形可知BC⊥AO，BC⊥B1O ，再计算出各个长度可知 ，根据线面垂直判定定理可证 平面， 即B1O为三棱柱的高，根据体积公式能求出三棱柱的体积；
(2)根据a=3及余弦定理求出∠AOB1 ， 以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 ，找出点的坐标，求出平面的一个法向量， 设，求出 ，根据线面角正弦值等于线与法向量夹角的余弦值的绝对值建立等式，构造新函数，根据二次函数的性质能求出直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
35．（2023·邵阳模拟）如图所示，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，．平面平面，为的中点，，，E，F，G分别为，，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值．
【答案】（1）证明：如图所示，取AO的中点H，连接HD，HP，
在等腰梯形中，，，，．
∵O为AB的中点，即有四边形是平行四边形，
∴，．
∴为正三角形，∴，．
在中，，，
∴为边长为2的正三角形，∴，．
∴，又F为FD的中点，∴．
∵，，，平面，
∴平面，即平面．∵平面，∴．
而G为PC中点，则，又∵，平面，∴平面．
∵平面PCD，∴平面平面．
（2）解：∵，平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
∴由（1）知，PH，HD，AB两两垂直，
以H为坐标原点，HD，HB，HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
于是，，．
设平面的法向量为，
则即取，则，
设平面与平面所成锐二面角为，
∵为平面的一个法向量，
∴．
∴，．
∴平面与平面所成锐二面角的正切值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 取AO的中点H，连接HD，HP， 证明出平面 ，所以，又，所以平面，结合面面垂直判定定理，可得答案；
（2） 以H为坐标原点，HD，HB，HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 分别求出 平面的法向量， 平面的一个法向量， 利用二面角的空间向量计算公式，可得答案.
36．（2023·河南模拟）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，，，，分别为，的中点，且平面平面．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，
连接BP，在菱形ABCD中，，所以是是等边三角形，则BD=2，BP⊥AD，
平面平面，平面ABCD∩平面平面ABCD，
平面ADF.
又平面， .
在中，
DF⊥AF.
又AF//BE，DF⊥BE.
连接EP，平面BEP，
DF⊥平面BEP.
又PQ平面BEP，.
（2）解：由（1）知BP⊥AD，且平面平面，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，
设平面BDF的一个法向量，则即，
取，则
设直线与平面所成角为，
则
直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）由菱形性质可得BP⊥AD，根据面面垂直的性质可得线面垂直，再由勾股定理得出DF⊥AF，利用线面垂直的判定定理及性质定理得证；
（2） 以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，求出平面BDF的一个法向量 ，根据向量法求解即可.
37．（2023·湖南模拟）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：取中点靠近点的三等分点，连接，
因为底面为直角梯形，且∥，
则有∥=
所以四边形为平行四边形，
又因为，
所以四边形为矩形，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为平面，
所以平面.
又平面，所以，
由，
得，
又，
所以为等腰直角三角形，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）解：由（1）可知，三条直线两两互相垂直且交于点，
以为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，
由，有，
取，
设平面的法向量为，
由，有，
取，.
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1) 取中点靠近点的三等分点， 通过证明 平面，可证AB⊥PO ，进而证明PO⊥平面ABCD，可证得平面平面；
(2)由(1)可知， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可求出平面PAC与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
38．（2023·绍兴模拟）如图，在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点是的中点．
（1）若点是的重心，证明；点在平面内；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：取A中点N，连接，MN，如图所示，
因为点G是的重心，
故G一定在中线上，
因为点是的中点，点是的中点，
所以是梯形的中位线，
所以，且，
又，
所以，
所以四边形是平行四边形，
因为点，平面，
所以点平面，
即点在平面内．
（2）解：解法1：
因为⊥平面，，
所以⊥平面，
又因为平面，
所以，
因为四边形是平行四边形，
所以四边形是矩形，，
所以，
因为为等边三角形，点是中点，
所以，
所以，
又因为平面，平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
所以就是所求二面角的平面角，
因为，
所以，
故二面角的正弦值为．
解法2：以为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
，
设平面与平面的法向量分别为，
则，不妨取.则，
，不妨取，
所以，
故二面角的正弦值为．
【知识点】三角形五心；空间点、线、面的位置；用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 取中点N，连接，MN，再利用点G是的重心，故G一定在中线上，再利用点是的中点，点是的中点，所以是梯形的中位线，
所以，且，再利用结合平行的传递性，所以，
所以四边形是平行四边形，再利用点，平面，所以点平面，从而证出点在平面内。
（2） 解法1：利用⊥平面，，所以⊥平面， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用四边形是平行四边形，所以四边形是矩形，，所以，再结合等边三角形三线合一，所以，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以就是所求二面角的平面角，再利用勾股定理和正弦函数的定义得出二面角的正弦值；
解法2：以为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面与平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式得出二面角的正弦值。
39．（2023·安庆模拟）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，侧面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，.
（1）求证：平面；
（2）若是棱上的一点，且平面.求平面与平面所成二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：如图①，在梯形中，作于点.
因为， °，，所以四边形是正方形，且，，所以，，
在中，，，，所以，，
在四棱锥中，由，， 平面ABCD， 平面ABCD， ，
平面；
（2）解：如图②，连接交于点，连接，
因为平面，平面平面，所以，
因为，所以，所以，
， ，
由，，可知，又由于（1）平面，
故、、两两垂直，故可以点为原点，以、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图③所示：
则，，，由，可得，
所以，.
设平面的一个法向量为，则，令 得，， ，
显然平面的一个法向量为，设平面与平面所成二面角大小为，则，
故平面与平面所成二面角的余弦值为；
综上，平面与平面所成二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 在梯形中，作于点，利用， °，，所以四边形是正方形，且，，再利用作差法得出EC的长，再结合勾股定理得出BC的长，在中，，，结合勾股定理得出，在四棱锥中，由，结合线线垂直证出线面垂直，从而证出平面。
（2） 连接交于点，连接，利用平面结合线面平行的性质定理证出线线平行，所以，再利用结合两三角形相似的判定定理，所以，再结合两三角形相似的性质定理，所以，再利用 结合两直线平行对应边成比例，所以 ，由，结合勾股定理，可知，由于（1）知平面，故、、两两垂直，故可以点为原点，以、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成二面角的余弦值。
40．（2023·赣州模拟）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且．
（1）证明：；
（2）若为等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，为的中点，∴，
又平面平面，平面平面，平面，故平面，
∵平面，∴，
又∵，且，，平面，∴平面，
又平面，∴．
（2）解：由为等边三角形，，得，
如图，过作的平行线轴，结合（1）知轴，，两两垂直，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设为平面的一个法向量，
则，得，取，得，则，
因为为的中点，所以 ，
又，所以，
则，
设直线与平面所成角为，则，
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 连接，利用，为的中点结合等腰三角形三线合一，所以，再利用平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，故平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再结合和线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 由为等边三角形，，得，过作的平行线轴，结合（1）知轴，，两两垂直，故可建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量，再利用为的中点结合向量共线定理得出向量 的坐标，再结合和向量的坐标运算得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值。
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专题04 立体几何-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练
一、解答题
1．（2023·台州模拟）已知三棱柱棱长均为，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值.
2．（2023·嘉兴模拟）如图，在三棱台中，.
（1）求证：平面平面；
（2）若四面体的体积为2，求二面角的余弦值.
3．（2023·宁波模拟）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面ABCD．
（1）求证：平面ABCD；
（2）设，，，平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为，求BC的长．
4．（2023·金华模拟）如图，在圆台中，圆的半径是1，圆的半径是2，高是，圆是的外接圆，，PC是圆台的一条母线．
（1）求三棱锥体积的最大值；
（2）当时，求平面PAC与平面PBC的锐二面角的余弦值．
5．（2023·黄浦模拟）如图，多面体是由棱长为3的正方体沿平面截去一角所得到，在棱上取一点E，过点，C，E的平面交棱于点F．
（1）求证：；
（2）若，求点E到平面的距离以及与平面所成角的大小．
6．（2023·金山模拟）如图，在正三棱柱中，已知，是的中点.
（1）求直线与所成的角的大小；
（2）求证：平面平面，并求点到平面的距离.
7．（2023·浦东模拟）如图，三角形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分别为、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
8．（2023·梅州模拟）如图，正三棱柱中，，点M为的中点．
（1）在棱上是否存在点Q，使得AQ⊥平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由：
（2）求点C到平面的距离．
9．（2023·茂名模拟）在四棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）求证：；
（2）若，，，，点在棱上，直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
10．（2023·闵行模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，，，点E在线段AB上，且．
（1）求证：CE⊥平面PBD；
（2）求二面角P－CE－A的余弦值．
11．（2023·虹口模拟）如图，在圆锥中，是底面的直径，是底面圆周上的一点，且，，，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
12．（2023·静安模拟）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，若.
（1）求五面体ABCDEF的体积；
（2）若M为EC的中点，求证：平面平面AMD.
13．（2023·长春模拟）如图，平面五边形中，△是边长为2的等边三角形，，，，将△沿翻折，使点翻折到点．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
14．（2023·广安模拟）如图，在三棱锥中，为的内心，直线与交于，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，，求二面角的余弦值.
15．（2023·宜宾模拟）圆柱中，四边形为过轴的截面，，，为底面圆的内接正三角形，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
16．（2023·杭州模拟）在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
17．（2023·红河模拟）如图，在几何体中，菱形所在的平面与矩形所在的平面互相垂直．
（1）若为线段上的一个动点，证明：∥平面
（2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
18．（2023·温州模拟）已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为．
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的正弦值．
19．（2023·崇明模拟）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求点到平面的距离．
20．（2023·广西壮族自治区模拟）如图，四棱锥的底面为矩形，，，，平面平面．是的中点，是上一点，且平面．
（1）求的值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（2023·蚌埠模拟）如图，在四面体中，为的重心，，分别在棱，上，平面平面.
（1）求的值；
（2）若平面，，且，求平面与平面的夹角的大小.
22．（2023·深圳模拟）已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的大小；
（3）求直线CA与平面所成角的正弦值.
23．（2023·吉林模拟）如图，在多面体中，四边形和四边形均是等腰梯形，底面为矩形，与的交点为，平面，且与底面的距离为，
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为．若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
24．（2023·柳州模拟）如图，在四棱锥中，底面，，，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的余弦值.
25．（2023·南宁模拟）如图1，平面图形是一个直角梯形，其中，是上一点，且.将沿着折起使得平面平面，连接，分别是的中点，如图2.
（1）证明：在图2中四点共面，且平面平面；
（2）在图2中，若是线段上一个动点，当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，求的长.
26．（2023·宣城模拟）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，二面角的大小为．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
27．（2023·广东模拟）如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面和平面夹角的余弦值.
28．（2023·桂林模拟）如图所示，在四棱锥中，，，，.
（1）证明：；
（2）求直线BC与平面PCD所成角的余弦值.
29．（2023·包头模拟）如图，已知矩形是圆柱的轴截面，是的中点，直线与下底面所成角的正切值为，矩形的面积为12，为圆柱的一条母线（不与重合）．
（1）证明：；
（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．
30．（2023·抚顺模拟）如图，四棱锥的底面是正方形，点P，Q在侧棱上，E是侧棱的中点．
（1）若，证明：BE∥平面；
（2）若每条侧棱的长都是底面边长的倍，从下面两个条件中选一个，求二面角的大小．
①平面；②P为的中点．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
31．（2023·邯郸模拟）如图1，四边形ABCD是等腰梯形，E，F分别是AD，BC的中点，．将四边形ABFE沿着EF折起到四边形处，使得，如图2，G在上，且．
（1）证明：平面DFG；
（2）求平面DFG与平面夹角的余弦值
32．（2023·唐山模拟）如图，在三棱柱中，侧面和侧面均为正方形，为棱的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角为30°，求平面与平面夹角的余弦值．
33．（2023·张家界模拟）如图，已知三棱柱，，，为线段上的动点，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，D为线段的中点，，求与平面所成角的余弦值.
34．（2023·湖北模拟）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，．
（1）当时，求三棱柱的体积；
（2）设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
35．（2023·邵阳模拟）如图所示，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，．平面平面，为的中点，，，E，F，G分别为，，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值．
36．（2023·河南模拟）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，，，，分别为，的中点，且平面平面．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
37．（2023·湖南模拟）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
38．（2023·绍兴模拟）如图，在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点是的中点．
（1）若点是的重心，证明；点在平面内；
（2）求二面角的正弦值．
39．（2023·安庆模拟）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，侧面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，.
（1）求证：平面；
（2）若是棱上的一点，且平面.求平面与平面所成二面角的余弦值.
40．（2023·赣州模拟）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且．
（1）证明：；
（2）若为等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，
因为是等边三角形，所以，
又因为，，则，所以，
所以，
又因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）解：如图，作，垂足为，连接，
由（1）知平面，又平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又是直角三角形，所以即为平面与平面所成夹角，
在中，，
在中，因为，所以，
所以，
即平面与平面所成夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 取中点，连接，再利用是等边三角形结合等边三角形三线合一，所以，再利用，结合勾股定理得出，再结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（2） 作，垂足为，连接，由（1）知平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用是直角三角形，所以即为平面与平面所成夹角，在中结合正弦函数的定义得出MN的长，在中结合和勾股定理得出的长，再结合余弦函数的定义得出平面与平面所成夹角的余弦值。
2．【答案】（1）证明：延长三条侧棱交于点.因为所以， 分别为中点，且.
因为，所以.
取的中点，则.
因为
所以所以.
，则，故，
即.
因为，，平面，平面，
所以平面.
又平面，故平面平面.
（2）解：因为，所以.
而，
所以，解得：.
以为坐标原点，为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
设为面的一个法向量，
因为，所以，
不妨设，则面的一个法向量.
同理可求得面的一个法向量.
由图示，二面角的平面角为锐角，
所以，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)延长三条侧棱交于点P，判断出D，E，F为中点，取AB的中点M，证明出PM⊥AB和PM⊥MC，进而证明出PM⊥平面ABC，利用面面垂直的判定定理即可证明平面ABED⊥平面ABC；
(2)先由体积关系求出PM=6，以C为坐标原点，CA、CB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量和面的一个法向量，利用向量法求解出二面角的余弦值 .
3．【答案】（1）证明：如图，在平面ABCD中取一点E，并过点E作直线，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面PAD，因为平面PAD，所以；
同理，过点E作直线，
因为平面平面ABCD，平面平面，
平面ABCD，所以平面PAB，
因为平面PAB，所以；
因为，平面ABCD，所以平面ABCD．
（2）解：由（1）知，如图，
以A为原点，AD，AB，AP方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以， ，，，
设平面PBC的法向量为，
则，令，得，
设平面PCD的法向量为，
则，令，得，
由题知，即，解得，
所以BC的长为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)在平面ABCD内任取一点G(不在直线AB与直线AD上) ， 过G分别作AD、AB的垂线GE、GF ，由已知结合平面与平面垂直的性质可得GE⊥平面PAD，GF⊥平面PAB，得到GE⊥PA，GF⊥PA，则PA⊥平面ABCD ；
(2)由(1)知，PA⊥平面ABCD，又AB⊥AD，以A为原点，AD，AB，AP方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，设，则 ， 然后分别求出平面PBC与平面PDC的一个法向量，利用向量法可求出t的值，进而可求出 BC的长 .
4．【答案】（1）解：取AB中点M，连，则，
则的高，
当且仅当三点共线，即时，取等号，
，
所以三棱锥体积的最大值为；
（2）解：如图，以为坐标原点，过与AB平行的直线为x轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
由，圆的半径是1，可得，
则，
，
又，解得，
则，
则，
设平面PAC的法向量为，
则，可取，
，
设平面PBC的的法向量，
则，可取，
则，
所以平面PAC与平面PBC的锐二面角的余弦值为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1) 取AB中点M，连， 根据 的高可得△ABC面积的最大值，再根据棱锥的体积公式即可求解出三棱锥体积的最大值；
(2) 如图，以为坐标原点，过与AB平行的直线为x轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，根据 ，求出C，P的坐标，求出平面PAC的法向量和平面PBC的的法向量，再利用向量法求解出平面PAC与平面PBC的锐二面角的余弦值.
5．【答案】（1）证明：∵，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
又平面，平面，∴∥平面，
又平面，平面平面，
∴，又，则.
（2）解：以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，取，
则点E到平面的距离为；
设与平面所成角为，
则，
则与平面所成角为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)在正方体中可知 ，进而可证得 ∥平面，再由线面平行的性质定理可得D1C// EF，进而可证得 ；
(2) 以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面的法向量，利用向量法可求出点E到平面的距离以及与平面所成角的大小．
6．【答案】（1）解：由正三棱柱结构特征可知：，平面，为等边三角形；
直线与所成角即为，
平面，，
在中，，，
即直线与所成角的大小为.
（2）证明：作，垂足为，
平面平面，平面平面，平面，，
平面，点到平面的距离即为的长，
由（1）知：，，
，即，
点到平面的距离为.
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)由已知可得直线与所成角即为， 求解即可得直线与所成的角的大小；
(2)由已知可证CD⊥平面ABB1A1 ，进而可证得平面平面， 作，垂足为，可得点到平面的距离即为的长， 求解即可得点到平面的距离 .
7．【答案】（1）证明：连接，
因为、分别为、的中点，
所以且，
又因为，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）解：因为三角形与梯形所在的平面互相垂直，，
又平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
所以以为坐标原点， 建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，．
所以，，
由题意知，平面的法向量，
设平面的法向量，则
，即，
令，则，所以，
设平面与平面所成锐二面角为，则
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 连接，再利用、分别为、的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以且，再利用，且结合平行和相等的传递性，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2）利用 三角形与梯形所在的平面互相垂直，，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以以为坐标原点， 建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成锐二面角的余弦值。
8．【答案】（1）解：在正三棱柱中，因为点为的中点，则，
又平面， 平面，则有，
而平面，于是平面，
平面，则平面平面，在平面内过点作交于点，
平面平面，因此平面，于是点即为所要找的点，
显然，因此，即有，于是，，
所以.
（2）解：取的中点，连接，因为点为的中点，则，
于是为平行四边形，即，而平面，平面，
因此平面，有点到平面的距离等于点到平面的距离，
又为之中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，
而由（1）知，当时，平面，，
设，则，
所以点C到平面的距离.
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)由已知可证 平面， 过点作交于点， AQ⊥C1M ，可得AQ⊥平面BC1M，点Q为所要找的点，求解即可得 的值；
(2)连接C与AB的中点N ，易知 平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， 进而可求点C到平面的距离．
9．【答案】（1）证明：∵，为的中点，∴
又∵平面平面，平面平面，
∴平面，又平面，
∴
（2）解：由，，
可知四边形为等腰梯形，易知，
∵，∴
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
平面的法向量为，
设，则，
，，
∵直线与平面所成角为，
∴，
∴①
∵点在棱上，∴，
即，
∴，，代入①解得或（舍去）.
， ，，
设平面的法向量为，
，
令，得，，
所以点到平面的距离
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 (1)根据面面垂直的性质定理证明；
(2)由边长关系，根据勾股定理证明得AD⊥BD，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标和相关向量的坐标， 设，利用空间向量的夹角公式，根据直线与平面的夹角列式计算点E的坐标，求解平面PCD的法向量，再利用点到平面的距离公式列式求解距离，即可得点到平面的距离.
10．【答案】（1）证明：设BD与CE相交于点H，
因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以，
由，，得，
因此，，
可得，
因为，
所以，即，
又因为，，平面，
所以CE⊥平面PBD；
（2）解：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，
则，，，
所以，，
设平面PCE的一个法向量，
则，即，
令，则，，于是，
平面ACE的一个法向量为，
则，
由图形可知二面角P－CE－A为锐角，
所以二面角P－CE－A的余弦值是．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 设BD与CE相交于点H，利用PD⊥平面ABCD结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，由，，得，再结合正切函数的定义得出，再利用，所以，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，从而证出直线CE⊥平面PBD。
（2） 利用已知条件，建立空间直角坐标系D-xyz，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面PCE的一个法向量和平面ACE的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和由图形可知二面角P－CE－A为锐角，进而得出二面角P－CE－A的余弦值。
11．【答案】（1）证明：由是底面的直径，点是底面圆周上的点，得.
又因，分别为，的中点，所以，故.
因是圆锥的轴，所以底面，又平面，故.
于是与平面内的两条相交直线，都垂直，从而平面；
而平面，故由平面与平面垂直的判定定理，得平面平面.
（2）解：在圆锥底面，过圆心作直径的垂线，交圆周于点，则直线，，两两垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
如图：
则，，，，.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，得.
又是平面的一个法向量，
故.
平面与平面所成的二面角是锐角，故二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)由已知证明OM⊥BC，PO⊥BC，可得BC⊥平面POM，即可得到平面PBC⊥平面POM；
(2) 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求出二面角的余弦值.
12．【答案】（1）解：因为，取AD中点N，连接EN，，
因为，所以，
又FA⊥平面ABCD，平面ABCD，，
所以EN⊥平面ABCD，又因为，即，，
平面，所以平面，
所以为底面是等腰直角三角形的直棱柱，
高等于1，三棱锥是高等于1底面是等腰直角三角形.
五面体的体积棱柱的体积棱锥的体积.
即：
（2）证明：证法1：以A为坐标原点，以，，为轴正半轴建立空间直角坐标系.
点，，，，
所以
得到：
所以，，平面AMD，
所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，所以平面平面AMD.
证法2：因为，所以为等腰三角形，M为EC的中点，所以；
同理在中，，（N为AD中点）又AM、MN平面AMD，
，所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，
平面⊥平面AMD.
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1） 利用，取AD中点N，连接EN，，再利用，所以，再利用FA⊥平面ABCD结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以EN⊥平面ABCD，再利用结合线面垂直的性质定理证出，再结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，所以为底面是等腰直角三角形的直棱柱，高等于1，三棱锥是高等于1底面是等腰直角三角形，再利用五面体的体积等于棱柱的体积棱锥的体积，再结合棱柱和棱锥的体积公式得出五面体ABCDEF的体积。
（2） 证法1：以A为坐标原点，以，，为轴正半轴建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出，再利用线线垂直证出线面垂直，所以CE⊥平面AMD，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面AMD；
证法2：利用，所以三角形为等腰三角形，M为EC的中点，再利用等腰三角形三线合一，所以；同理在中，，再利用线线垂直证出线面垂直，所以CE⊥平面AMD，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面⊥平面AMD。
13．【答案】（1）证明：在平面图形中取中点，连接，，
∵△是边长为2的等边三角形，
∴，，故翻折后有，
又，则，，，
所以△△，即，则，
由，、平面，故平面，
∵，则，
∴平面，又平面，
∴．
（2）解：在面内作，交于，由平面，平面，
所以，故两两垂直，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由（1）得，四边形为矩形，
在△中，，由余弦定理得，故，
所以，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，令，则，
设直线与平面所成角为，则．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 (1)在平面图形中取AD中点O，则有OP⊥AD，OC⊥AD，再应用线面垂直的判定、性质能证明PC⊥BC ；
(2) 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 确定相关点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
14．【答案】（1）证明：设平面，垂足为，作于，于，连接，
因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，
在和中，因为，
所以，所以，
在和中，，
所以，所以，
即点到的距离相等，
同理点到的距离相等，
所以点为的内心，所以两点重合，
所以平面，
又因平面，
所以平面平面；
（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
设内切圆的半径为，则
即，解得，
故，
则，
则，
设平面的法向量，
则，可取，
设平面的法向量，
则，可取，
则，
由图可得二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 设平面，垂足为，作于，于，连接， 先证明，从而可证得，从而可得点为的内心，即两点重合 ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用等面积法求得内切圆的半径，再利用勾股定理求得，即可得 ， 再利用向量法求解即可.
15．【答案】（1）证明：依题意，连接延长交于点，连接，
因为为底面圆的内接正三角形，
所以既是的外心也是重心，所以为的中点，
因此，又，
所以，，
又底面，，底面，所以，，
所以三条直线两两垂直，以为空间直角坐标系原点，
分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：
因为四边形为过轴的截面，，，
所以是圆的直径，所以，
所以，，，由此可得：
，，，，
，，，
所以，，，
所以，
所以，即，
又，平面，
所以平面.
（2）解：由（1）知，平面，
所以是平面的一个法向量，，，
设平面的法向量为，则有：
即，
令，则有：，
所以平面的一个法向量可以是：，
所以，
设平面与平面所成角为，则与相等或者互补，
因为，所以
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 连接延长交于点，连接， ，证明三条直线两两垂直，以为空间直角坐标系原点，分别为轴建立空间直角坐标系，运用向量垂直的性质即可证明，再由线面垂直判定定理即可证明；
（2）由（1）知 是平面的一个法向量 ，求出平面的法向量，求出两个平面法向量的夹角即可求解.
16．【答案】（1）证明：
取的中点为E，连结，
∵，∴，
在和中，
∴，∴，
∵的中点为E，∴，
∵，∴面，
∵面，∴
（2）解：
过S作面，垂足为D，连接，∴
∵，平面
∴，同理，
∵底面为等腰直角三角形，，
∴四边形为正方形且边长为2.
以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则
，
设平面的法向量，则，解得，
取，则，∴，
设平面的法向量，则，解得，
取，则，∴，
设平面与平面夹角为
故平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意，可证△SCB≌△SAB，即SA= SC ，从而证得AC⊥面SBE，即可得到 ；
(2)根据题意，过S作SD⊥面ABC，垂足为D，连接AD，CD， 以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算以及二面角的计算公式，即可求出平面与平面夹角的余弦值.
17．【答案】（1）证明：由题知，四边形为矩形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
又因为，，平面
所以平面平面，
又因为为线段上的一个动点，所以平面，
所以平面．
（2）解：因为平面平面，平面平面，，
平面
所以平面．
又因为底面为菱形，且，，
所以为等边三角形，且，设，
取的中点为，连接，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，取，
则，，即．
设直线与平面所成角为，则
，
化简可得，解得或
设点到平面的距离为，
当时，，，
则；
当时，，，
则
故点到平面的距离为或．
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 由题知，四边形为矩形 ，可得 ， 根据线面平行的判定定理可得 平面， 推出平面平面，进而推出平面 ；
（2）取的中点为，连接，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法可求出点到平面的距离.
18．【答案】（1）证明：如图所示，取中点为，连接，O为△BCD的中心，
因为△是边长为3的正三角形，，则面，
又与平面所成角的余弦值为，
所以，即，即三棱锥是正四面体，
所以，又平面，
所以平面，又平面，所以．
（2）解：如图所示，
取中点为，连接，
由（1）知：三棱锥是正四面体，则，
所以二面角的平面角为，
另一方面，，
所以由余弦定理得，
所以，
所以二面角的平面角的正弦值．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)取BC中点为E，连接AE，DE，由正四面体的性质得BC⊥AE，BC⊥DE，再由线面垂直的判定及性质证明结论；
(2) 取中点为，连接，由正四面体的性质和二面角的定义知∠BHC为所求二面角的平面角，进而求其正弦值.
19．【答案】（1）解：由题意知，直线与平面的夹角，即为，
易知，，又，故，进而有，，
由圆柱的表面积为，可得，
故，故直线与平面的夹角为．
（2）解：设点A到平面的距离为h，
则，，
，
因为平面ABP，，
所以BP⊥平面，即，
在中，，
故，
所以，即点A到平面的距离为．
【知识点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线与平面的夹角，即为， 然后利用圆柱的表面积为求出，求出， 故 ，即可得解；
（2） 设点A到平面的距离为h， 利用等体积即可求解.
20．【答案】（1）解：设平面与直线相交于点，连接，．
因为平面，平面，平面平面，
所以．
因为，平面，平面，
所以平面．又平面平面，
所以，所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，分别为，的中点，故．
（2）解：因为，是的中点，所以，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面.
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则， ，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则令，得，
所以．
设直线与平面所成的角为，
则．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 (1)设平面AOE与直线PC相交于点F ，连接EF，OF ，利用线面平行的性质定理可得AE//FO，又因为AO//EF，所以四边形AEFO为平行四边形，从而求出 的值；
(2) 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，进而求出平面POC的一个法向量，再利用直线与平面夹角的向量公式求解出直线与平面所成角的正弦值．
21．【答案】（1）解：延长交于点，连接，
因为为的重心，所以为的中点且 ，
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，
所以 ， 所以 .
（2）解：因为平面，平面BCD，所以，，
因为，，，平面，所以平面，
如图，以BA为x轴，BC为y轴，过B与CD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
由(1)同理可得，则 ，
所以
所以 ， ，
设平面的法向量为，则
令，则，，则，
设平面的法向量为则
，令，则，，则，
设平面与平面的夹角为，则 ，
所以平面与平面的夹角的大小为.
【知识点】平面与平面平行的性质；用空间向量求平面间的夹角；平行线分线段成比例定理
【解析】【分析】（1）利用为的重心，所以为的中点且 ， 再利用平面平面结合面面平行的性质定理证出线线平行，所以，再利用两直线平行对应边成比例，进而得出 的值，从而得出 的值。
（2）利用 平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，，再利用，结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，以BA为x轴，BC为y轴，过B与CD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由(1)同理可得结合两直线平行对应边成比例，则 ， 进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面的夹角的余弦值，进而得出平面与平面的夹角的大小、
22．【答案】（1）证明：由为正三棱柱可知，平面，
又平面，所以，
由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以；
又，平面，所以平面；
又平面，所以；
（2）解：取线段的中点分别为，连接，
易知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示；
由侧棱长为，底面边长为2可得，
，
由D为AB的中点可得，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得；
即；
易得即为平面的一个法向量，
所以，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
所以，即；
即二面角的大小为.
（3）解：由（2）可知，平面的一个法向量为，
设直线CA与平面所成的角为，
所以，
即直线CA与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由正三棱柱的性质可得平面 ，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面，即可得；
（2） 取线段的中点分别为，连接， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 分别求出平面的一个法向量为， 即为平面的一个法向量，利用空间向量的坐标运算即可得解；
（3） 由（2）可知，平面的一个法向量为， 利用线面角与空间向量的关系即可得直线CA与平面所成角的正弦值为.
23．【答案】（1）证明：取中点，连接．
∵是底面对角线与的交点，即的中点
∴∥，=.
∵∥平面，平面，平面平面，∴.
∵．
∴∥，=，故∥，＝，则四边形是平行四边形.
∴
∵平面，平面
∴平面.
（2）解：∵∴
∵， ，且两直线在平面内， ∴平面.
∵平面∴平面平面
在平面中，过作.
平面平面∴平面.
取中点，取中点，连接，．
以为原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
如图，
则，，，，，，有，，，
设，
∴∴.
设是平面的一个法向量，
∴ 令，则，∴
设CM与平面ADE所成角为
∴
化简得：∴或－1（舍）
当M是BF的中点时，使得CM与平面ADE所成角正弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）利用已知条件通过证明线线平行即可证得 平面；
（2） 以为原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 ，求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角公式可求出结论.
24．【答案】（1）证明：∵，，，
由勾股定理得：，
中，由余弦定理：，
∵，∴，
又因为底面，底面，所以，
又因为，∴平面，
底面∴平面平面；
（2）解：作，垂直为H，连结，
因为平面平面，且平面平面
所以平面，
所以为与平面所成的角，
中，，
，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
另解：因为，，所以，且底面，，底面，
所以，，所以以，，方向分别为x，y，z轴建系如图，
则，，，，，
设平面的一个法向量为，
，，，
所以，令，则，，所以，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，，所以，
所以，所以平面平面，
因为底面，底面，所以，且，，，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 (1)通过勾股定理，证明出 平面， 再根据面面垂直定理求证出平面平面；
(2) 作，垂直为H，连结， 由AH⊥平面PCD，可得 为与平面所成的角， 求解即可得 与平面所成角的余弦值.
25．【答案】（1）证明：连接，
∵分别是的中点，
∴，
又∵，
∴，故四点共面.
在图1中，由，可得，
，
故四边形是正方形，则，
在图2中，平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
平面，可得，
又∵平面，
∴平面，
且平面，故平面平面.
（2）解：如图以为原点，分别以所在直线为轴 轴 轴，建立空间直角坐标系，则，
设，
可得，
设是平面的一个法向量，则，
取，则，即，
设直线与平面所成角为，
则，
∵，当且仅当，即当取等号，
∴，
故当，即为中点时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1)证明MN//BE，即可知E、M、N、B四点共面；由平面AED⊥平面DEBC，AE⊥DE ，可证AE⊥平面DEBC，从而知AE⊥DC，再证四边形BCDE为正方形，得DC⊥DE，从而知DC⊥平面AED，然后由面面垂直的判定定理证得平面平面；
(2) 以为原点，分别以所在直线为轴 轴 轴，建立空间直角坐标系，设，求得平面BDG的法向量，设直线CG与平面BDG所成角为θ，由 ，结合基本不等式，求得t的值，进而求出 的长.
26．【答案】（1）证明：设的中点分别，连接，
因为底面是正方形，，
所以，，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
所以是二面角的平面角，
即，又，
所以，解得，
因为，
所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面PBC．
（2）解：由（1）知平面平面，以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，，
，，．
设平面的一个法向量为，则
，即，
令，则，所以．
设与平面所成角为，则
，
所以与平面所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 设的中点分别，连接，利用底面是正方形，，所以，，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以是二面角的平面角，即，再利用，结合余弦定理得出PE的长，再结合勾股定理得出，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面PBC。
（2） 由（1）知平面平面，以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式得出与平面所成角的正弦值。
27．【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，
所以，
又因为平面平面，所以平面，
因为点分别是中点，所以，
又因为平面平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：方法一：因为，所以，
由（1）知平面平面，
所以，
所以两两相互垂直，
如图，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
因为，所以，
则，
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由，
得，即，解得，
取，得，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为.
方法二：因为平面平面，所以平面和平面的夹角即二面角.
如图，过点作，垂足为点，过点作交于点，
则为二面角所成平面角.
在中，，
在中，，
在直角梯形中，因为，，所以，
所以
在中，，
所以，
利用三角形等面积可得，
所以，
因为，所以，
过点作于，则，
所以，
在中，，
所以，
所以平面和平面夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面平行及面面平行的判定定理即可完成证明，
（2）方法一 以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量为，平面的法向量为 ，再利用向量法求两平面的夹角，方法二利用几何法找到为二面角所成平面角，利用三角形知识求两平面的夹角.
28．【答案】（1）证明：连接BD，设BD的中点为O，连接OA，OP.
因为，所以，
因为，所以，
又平面，所以平面OAP，
因为平面OAP，所以.
（2）解：因为，所以，又，
所以，所以，
又平面，
所以平面ABCD.
，
，所以.
如图，以O为原点，OB，OP所在直线分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
，平面PCD的法向量分别为，
所以，即，取，则，
设与平面PCD所成的角为，则
则直线BC与平面PCD的夹角余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】的展开式的通项
令，解得，
故常数项为．
故答案为：.
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项.
29．【答案】（1）证明：连接，因为是底面圆的直径，
所以，即，
又因为由题可知平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以．
（2）解：根据题意，，设，则，，
又因为，
所以，得．
所以，，
设，则，
由（1）可知平面，
又因为到的距离为，
所以．
当且仅当，即时，取等号．
所以，当时，三棱锥的体积最大．
因为两两互相垂直，
所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系．
所以，
，
设平面的法向量为，
所以，即
取，可得，
所以，
因为平面，
所以可取平面的一个法向量为，
所以．
所以，
所以二面角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)连接NC，根据线面垂直判定定理，BN⊥NC，BN⊥MN，得BN⊥平面MNCP，再由线面垂直性质定理可证得 ；
(2) 根据题意，，设，则，，由 ，得 ， 设，则，又BN⊥平面MNP，得 ，当且仅当 ，即时，取等号，即当时，三棱锥的体积最大，由NC， NB，NM两两互相垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法即可求出二面角的正弦值．
30．【答案】（1）解：连接，设交点为O，连接，，，
在中，点E是的中点，点Q足线段的中点，所以．
又因为平面，且平面，所以平面，
在中，点O是线段的中点，点P是线段的中点，所以．
又因为平面，且平面，所以平面，
又因为，且，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（2）解：若选①平面，连接，
因为为正方形，所以点O分别为与的中点，
由题意，，所以，同理，
又，所以平面．
故以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设，则，，，，
所以，，，，，．
因为平面，所以平面的一个法向量为．
显然平面的一个法向量为．
设二面角的平面角为，所以，所以．
若选②P为的中点，连接，因为为正方形，所以点O分别为与的中点，
由题意，，所以．同理，
又，所以平面．
故以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设，则，，，，
所以，，，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，取，得，
显然平面的一个法向量为，
设二面角的平而角为，所以，所以．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）连接，设交点为O，连接，，，推出平面，利用面面垂直的判定定理可得平面平面，推出平面；
（2） 若选①，平面，连接，以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求出二面角的大小；若选② ，以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求出二面角的大小.
31．【答案】（1）证明：连接CE，交DF于点H，连接GH．
易证，
所以．
因为，所以，
所以，则．
因为平面DFG，平面DFG，
所以平面DFG．
（2）解：由图1可知，．
因为，E，F分别是AD，BC的中点，
所以，，则．
因为，所以，所以．
因为EF，平面CDEF，且，所以平面CDEF．
故以E为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以，，，，，
则，，，．
设平面DFG的法向量为，
则
令，得．
设平面的法向量为，
则
令，得．
设平面DFG与平面的夹角为θ，
则
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 连接CE，交DF于点H，连接GH，再利用两三角形相似的判定定理，所以，再利用两三角形相似的性质定理，所以，再利用，所以，所以，再利用两直线平行对应边成比例，则，再结合线线平行证出线面平行，从而证出直线平面DFG。
（2） 由图1可知，，利用，E，F分别是AD，BC的中点，进而得出，的长，再结合勾股定理得出CE的长，再利用和勾股定理得出，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面CDEF，故以E为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，再利用，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标求解方法得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面DFG的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面DFG与平面的夹角的余弦值。
32．【答案】（1）证明：因为侧面、侧面均为正方形，
所以，，又，平面，
所以平面，又，所以平面，
又平面，所以．
由，为棱的中点，所以，
又，平面，
因此平面，又平面，
故平面平面；
（2）解：由（1）得是与侧面所成角，即，
令，所以，又，
所以，，，
则，．
以A为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，．所以，．
设是平面的一个法向量，
则即取．
易知是平面的一个法向量，
则．
而平面与平面的夹角为锐角，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得 平面，所以平面，所以， 因此平面 ， 故平面平面；
（2） 以A为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 求出求出平面的法向量， 是平面的一个法向量， 结合面面角的向量求法即得.
33．【答案】（1）证明：已知，又，，平面，，
所以平面，
又平面，所以，
因为，所以，
又，AC、平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）知平面平面，
又平面平面，，面，
所以平面.又，
所以平面，所以CA，CB，两两垂直，
以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、x轴的正方向，
建立空间直角坐标系如图所示：
因为，所以四边形为矩形，
又因为，所以四边形为正方形.
因为，，所以，
所以，，，.
由D是线段的中点，得，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则即
取，则，所以，
.
设直线与平面所成的角为，则，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）利用 结合，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再结合，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（2） 由（1）知平面平面，再利用结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以平面，再利用，所以平面，所以CA，CB，两两垂直， 以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、x轴的正方向，建立空间直角坐标系，再利用，所以四边形为矩形，再结合，所以四边形为正方形，再利用，，所以，进而得出点的坐标，由D是线段的中点结合中点坐标公式得出点D的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式、同角三角函数基本关系式得出直线与平面所成角的余弦值。
34．【答案】（1）解：如图，取的中点为O，
因为为菱形，且，所以为正三角形，
又有为正三角形且边长为2，则，，
且，，所以，
所以，因为又，
平面，平面，所以平面，
所以三棱柱的体积．
（2）解：在中，，，
由余弦定理可得，
所以，由（1），，
又，平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面，所以在平面内作，则平面，
以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，
，，
设是平面的一个法向量，
，，
则，即，
取得，设，
则
，
设直线与平面所成角为，
则
，
令，则在单调递增，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】 (1)取BC的中点O，根据等边三角形可知BC⊥AO，BC⊥B1O ，再计算出各个长度可知 ，根据线面垂直判定定理可证 平面， 即B1O为三棱柱的高，根据体积公式能求出三棱柱的体积；
(2)根据a=3及余弦定理求出∠AOB1 ， 以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 ，找出点的坐标，求出平面的一个法向量， 设，求出 ，根据线面角正弦值等于线与法向量夹角的余弦值的绝对值建立等式，构造新函数，根据二次函数的性质能求出直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
35．【答案】（1）证明：如图所示，取AO的中点H，连接HD，HP，
在等腰梯形中，，，，．
∵O为AB的中点，即有四边形是平行四边形，
∴，．
∴为正三角形，∴，．
在中，，，
∴为边长为2的正三角形，∴，．
∴，又F为FD的中点，∴．
∵，，，平面，
∴平面，即平面．∵平面，∴．
而G为PC中点，则，又∵，平面，∴平面．
∵平面PCD，∴平面平面．
（2）解：∵，平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
∴由（1）知，PH，HD，AB两两垂直，
以H为坐标原点，HD，HB，HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
于是，，．
设平面的法向量为，
则即取，则，
设平面与平面所成锐二面角为，
∵为平面的一个法向量，
∴．
∴，．
∴平面与平面所成锐二面角的正切值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 取AO的中点H，连接HD，HP， 证明出平面 ，所以，又，所以平面，结合面面垂直判定定理，可得答案；
（2） 以H为坐标原点，HD，HB，HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 分别求出 平面的法向量， 平面的一个法向量， 利用二面角的空间向量计算公式，可得答案.
36．【答案】（1）证明：如图，
连接BP，在菱形ABCD中，，所以是是等边三角形，则BD=2，BP⊥AD，
平面平面，平面ABCD∩平面平面ABCD，
平面ADF.
又平面， .
在中，
DF⊥AF.
又AF//BE，DF⊥BE.
连接EP，平面BEP，
DF⊥平面BEP.
又PQ平面BEP，.
（2）解：由（1）知BP⊥AD，且平面平面，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，
设平面BDF的一个法向量，则即，
取，则
设直线与平面所成角为，
则
直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）由菱形性质可得BP⊥AD，根据面面垂直的性质可得线面垂直，再由勾股定理得出DF⊥AF，利用线面垂直的判定定理及性质定理得证；
（2） 以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，求出平面BDF的一个法向量 ，根据向量法求解即可.
37．【答案】（1）证明：取中点靠近点的三等分点，连接，
因为底面为直角梯形，且∥，
则有∥=
所以四边形为平行四边形，
又因为，
所以四边形为矩形，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为平面，
所以平面.
又平面，所以，
由，
得，
又，
所以为等腰直角三角形，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）解：由（1）可知，三条直线两两互相垂直且交于点，
以为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，
由，有，
取，
设平面的法向量为，
由，有，
取，.
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1) 取中点靠近点的三等分点， 通过证明 平面，可证AB⊥PO ，进而证明PO⊥平面ABCD，可证得平面平面；
(2)由(1)可知， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可求出平面PAC与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
38．【答案】（1）证明：取A中点N，连接，MN，如图所示，
因为点G是的重心，
故G一定在中线上，
因为点是的中点，点是的中点，
所以是梯形的中位线，
所以，且，
又，
所以，
所以四边形是平行四边形，
因为点，平面，
所以点平面，
即点在平面内．
（2）解：解法1：
因为⊥平面，，
所以⊥平面，
又因为平面，
所以，
因为四边形是平行四边形，
所以四边形是矩形，，
所以，
因为为等边三角形，点是中点，
所以，
所以，
又因为平面，平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
所以就是所求二面角的平面角，
因为，
所以，
故二面角的正弦值为．
解法2：以为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
，
设平面与平面的法向量分别为，
则，不妨取.则，
，不妨取，
所以，
故二面角的正弦值为．
【知识点】三角形五心；空间点、线、面的位置；用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 取中点N，连接，MN，再利用点G是的重心，故G一定在中线上，再利用点是的中点，点是的中点，所以是梯形的中位线，
所以，且，再利用结合平行的传递性，所以，
所以四边形是平行四边形，再利用点，平面，所以点平面，从而证出点在平面内。
（2） 解法1：利用⊥平面，，所以⊥平面， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用四边形是平行四边形，所以四边形是矩形，，所以，再结合等边三角形三线合一，所以，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以就是所求二面角的平面角，再利用勾股定理和正弦函数的定义得出二面角的正弦值；
解法2：以为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面与平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式得出二面角的正弦值。
39．【答案】（1）证明：如图①，在梯形中，作于点.
因为， °，，所以四边形是正方形，且，，所以，，
在中，，，，所以，，
在四棱锥中，由，， 平面ABCD， 平面ABCD， ，
平面；
（2）解：如图②，连接交于点，连接，
因为平面，平面平面，所以，
因为，所以，所以，
， ，
由，，可知，又由于（1）平面，
故、、两两垂直，故可以点为原点，以、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图③所示：
则，，，由，可得，
所以，.
设平面的一个法向量为，则，令 得，， ，
显然平面的一个法向量为，设平面与平面所成二面角大小为，则，
故平面与平面所成二面角的余弦值为；
综上，平面与平面所成二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 在梯形中，作于点，利用， °，，所以四边形是正方形，且，，再利用作差法得出EC的长，再结合勾股定理得出BC的长，在中，，，结合勾股定理得出，在四棱锥中，由，结合线线垂直证出线面垂直，从而证出平面。
（2） 连接交于点，连接，利用平面结合线面平行的性质定理证出线线平行，所以，再利用结合两三角形相似的判定定理，所以，再结合两三角形相似的性质定理，所以，再利用 结合两直线平行对应边成比例，所以 ，由，结合勾股定理，可知，由于（1）知平面，故、、两两垂直，故可以点为原点，以、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成二面角的余弦值。
40．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，为的中点，∴，
又平面平面，平面平面，平面，故平面，
∵平面，∴，
又∵，且，，平面，∴平面，
又平面，∴．
（2）解：由为等边三角形，，得，
如图，过作的平行线轴，结合（1）知轴，，两两垂直，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设为平面的一个法向量，
则，得，取，得，则，
因为为的中点，所以 ，
又，所以，
则，
设直线与平面所成角为，则，
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 连接，利用，为的中点结合等腰三角形三线合一，所以，再利用平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，故平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再结合和线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 由为等边三角形，，得，过作的平行线轴，结合（1）知轴，，两两垂直，故可建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量，再利用为的中点结合向量共线定理得出向量 的坐标，再结合和向量的坐标运算得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值。
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