专题05 圆锥曲线-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练

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专题05 圆锥曲线-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练
一、解答题
1．（2023·金华模拟）P是双曲线右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．
（1）记P，Q的纵坐标分别为，求的值；
（2）记的面积分别为，当时，求的取值范围．
2．（2023·宁波模拟）已知双曲线，点与双曲线上的点的距离的最小值为．
（1）求双曲线E的方程；
（2）直线与圆相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程．
3．（2023·嘉兴模拟）已知双曲线的右焦点为是双曲线上一点.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作斜率大于0的直线与双曲线的右支交于两点，若平分，求直线的方程.
4．（2023·梅州模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，且双曲线经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作动直线，与双曲线的左、右支分别交于点、，在线段上取异于点、的点，满足，求证：点恒在一条定直线上．
5．（2023·茂名模拟）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，Р为渐近线上一点，且，.
（1）求双曲线的离心率；
（2）若双曲线E实轴长为2，过点且斜率为的直线交双曲线C的右支不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.
6．（2023·黄浦模拟）已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
（3）若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．
7．（2023·黄浦模拟）三个互不相同的函数与在区间D上恒有或恒有，则称为与在区间D上的“分割函数”．
（1）设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；
（3）若，且存在实数k，b，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值．
8．（2023·金山模拟）已知椭圆.
（1）已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）已知直线过椭圆的右焦点且垂直于轴，记与的交点分别为A、B，A、 B两点关于y轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程；
（3）设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆上，若是等腰直角三角形，其中是直角，点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值.
9．（2023·静安模拟）已知双曲线Γ：（其中）的左、右焦点分别为（c，0）、（c，0）（其中）.
（1）若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为；直线l的倾斜角为，在y轴上的截距为.直线l与该双曲线Γ交于两点A、B，M为线段AB的中点，求△的面积；
（2）以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P.过P作圆的切线，若切线的斜率为，求双曲线Γ的离心率.
10．（2023·虹口模拟）已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点的轨迹记为曲线，过点的直线与曲线相交于，两点.
（1）求曲线的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）已知，直线，分别与直线相交于，两点，求证：以为直径的圆经过点.
11．（2023·浦东模拟）椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若为直角三角形，求的面积；
（3）若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
12．（2023·长春模拟）已知双曲线上的所有点构成集合和集合，坐标平面内任意点，直线称为点关于双曲线的“相关直线”．
（1）若，判断直线与双曲线的位置关系，并说明理由；
（2）若直线与双曲线的一支有2个交点，求证：；
（3）若点，点在直线上，直线交双曲线于，，求证：．
13．（2023·广安模拟）已知椭圆经过，两点，，是椭圆上异于的两动点，且，若直线，的斜率均存在，并分别记为，.
（1）求证：为常数；
（2）求面积的最大值.
14．（2023·杭州模拟）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，且．
①求证：直线经过定点．
②设和的面积分别为、，求的最大值．
15．（2023·红河模拟）已知椭圆：的焦距为2，，分别是的左焦点和右顶点，点在上，且．
（1）求的方程；
（2）若，直线：与交于不同两点，，的内切圆的圆心在直线上，求直线的斜率．
16．（2023·崇明模拟）已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点．
（1）若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；
（2）若，求的面积；
（3）设直线与直线交于点，证明：三点共线．
17．（2023·温州模拟）已知点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，点在第一象限．
（1）求点横坐标的取值范围；
（2）线段交圆于点，记的面积分别为，求的最小值．
18．（2023·宜宾模拟）已知椭圆的离心率为，右焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的上顶点在以点为圆心的圆外，过作圆的两条切线，分别与轴交于点，点，，分别与椭圆交于点，点（都不同于点），记面积为，的面积为，若，求圆的方程．
19．（2023·宜宾模拟）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）已知直线过点，与曲线交于，两点，为弦的中点，且，求的斜率．
20．（2023·吉林模拟）知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.
21．（2023·吉林模拟）已知点，动点M在直线上，过点M且垂直于x轴的直线与线段的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知圆的一条直径为，延长分别交曲线C于两点，求四边形面积的最小值．
22．（2023·深圳模拟）已知斜率存在的直线过点且与抛物线交于两点.
（1）若直线的斜率为1，为线段的中点，的纵坐标为2，求抛物线的方程；
（2）若点也在轴上，且不同于点，直线的斜率满足，求点的坐标.
23．（2023·广西模拟）已知椭圆，斜率为2的直线l与椭圆交于A，B两点．过点B作AB的垂线交椭圆于另一点C，再过点C作斜率为－2的直线交椭圆于另一点D．
（1）若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB的面积．
（2）试问直线AD的斜率是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，说明理由．
24．（2023·南宁模拟）已知椭圆的左焦点为，点在上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的上顶点为，圆，椭圆上是否存在两点使得圆内切于？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
25．（2023·广东模拟）已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形.
（1）求椭圆标准方程；
（2）若为原点，且满足，求的面积.
26．（2023·南通模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距与短轴长均为4．
（1）求E的方程；
（2）设任意过的直线为l交E于M，N，分别作E在点M，N上的两条切线，并记它们的交点为P，过作平行于l的直线分别交于A，B，求的取值范围．
27．（2023·包头模拟）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，，D为垂足，点D的坐标为．
（1）求C的方程；
（2）若点E是直线上的动点，过点E作抛物线C的两条切线，，其中P，Q为切点，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．
28．（2023·呼和浩特模拟）已知椭圆的一个焦点为，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设A、B是x轴上的两个动点，且，直线AM、BM分别交椭圆于点P、Q（均不同于M），证明：直线PQ的斜率为定值．
29．（2023·抚顺模拟）已知椭圆的一个焦点坐标为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆C上，且直线与的斜率之积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线与椭圆分别相交于M，N两点，直线（O为坐标原点）与椭圆的另一个交点为E，求的面积S的最大值．
30．（2022·南阳模拟）已知椭圆过直线上一点作椭圆的切线，切点为，当点在 轴上时，切线 的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，求 面积的最小值.
31．（2023·邵阳模拟）已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
32．（2023·湖北模拟）已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于两点，连接，分别交直线于两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R．
（1）求证：点R为线段的中点；
（2）记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数使得？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．
33．（2023·河南模拟）已知椭圆的右焦点，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点．若，，求的最小值（是坐标原点）．
34．（2023·绍兴模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，且到的一条渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）过的左顶点且不与轴重合的直线交的右支于点，交直线于点，过作的平行线，交直线于点，证明：在定圆上.
35．（2023·台州模拟）已知过点的直线与双曲线：的左右两支分别交于、两点.
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设点，过点且与直线垂直的直线，与双曲线交于、两点.当直线变化时，恒为一定值，求点的轨迹方程.
36．（2023·闵行模拟）如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为．
（1）当时，求实数的值；
（2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；
（3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．
37．（2023·闵行模拟）已知O为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．
（1）若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程；
（2）若直线OM经过曲线上的点，且为正整数，求a的值；
（3）若直线：与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证：．
38．（2023·安庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，、、分别为椭圆的三个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点.
（1）若点在直线上，求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆的另一个交点为，是线段的中点，椭圆的离心率为，试探究的值是否为定值（与，无关）.若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
39．（2023·蚌埠模拟）已知，是双曲线的左 右顶点，为双曲线上与，不重合的点.
（1）设直线，的斜率分别为，，求证：是定值；
（2）设直线与直线交于点，与轴交于点，点满足，直线与双曲线交于点（与，，不重合）.判断直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由.
40．（2023·宣城模拟）已知椭圆的长轴长为4，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积的取值范围．
41．（2023·赣州模拟）已知抛物线为其焦点，点在上，且（为坐标原点）.
（1）求抛物线的方程；
（2）若是上异于点的两个动点，当时，过点作于，问平面内是否存在一个定点，使得为定值？若存在，请求出定点及该定值：若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由已知条件得：，设PA，PB的斜率分别为，
则QA，QB的斜率分别为，
由即有．
由即有
而，
．
（2）解：由于，
显然P，Q，B，A四点共圆，
PO为直径，PQ中点为圆心，
又
则，
①，又②，
得：，解得．
由，而．
．
因为，根据单调性，求得
【知识点】斜率的计算公式；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1)由已知 设PA，PB的斜率分别为，则QA，QB的斜率分别为，再分别求P，Q，利用斜率公式求解出 的值；
(2)由 P，Q，B，A四点共圆， PO为直径， PQ中点为圆心， 再由弦长公式求得 ，再根据单调性，求得的取值范围．
2．【答案】（1）解：设是双曲线上的任意一点，
则，
所以当时，的最小值为，所以，得，
所以双曲线E的方程为．
（2）解：由直线与圆相切得，
由直线交双曲线的左、右支于A，B两点，设，，
联立，消整理得，
则，，，所以，
所以，即，解得，
又，则，解得或，
所以，
所以，
又点到AB的距离，故，
设，，
联立方程组，消整理得，
则，，，所以，
所以，
又点O到MN的距离，故，
所以当时，有，
整理得，即，
又，则，即，解得，（舍去），
所以，则，所以直线方程为．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设是双曲线上的任意一点， 先求得 ， 再结合题意即可求得a2的值，进而即可求出双曲线E的方程；
(2)先根据直线与圆C相切得到 ，设，，再联立直线的方程和双曲线E的方程，求得 ，， 根据题意求得m的取值范围， 又点到AB的距离 ，从而求得S1，再联立直线的方程和双曲线E的渐近线的方程，求得 ，， 又点O到MN的距离 ，从而求得S2，再结合 ，即可求得k的值，进而即可求得直线的方程.
3．【答案】（1）解：，又，
联立得，得或18.
当时，；当时，舍去.
所以双曲线的方程为：.
（2）解：设，直线与双曲线联立，得，所以①.
由直线和双曲线右支交于两点，结合直线斜率为正可得：，解得.
由平分，由角平分线定理，则，即.
两边平方得，，整理可得：.
将①代入可得，解得符合题意，所以.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据双曲线上的点和焦点列方程组求解可得双曲线的方程；
(2)设出直线方程，与双曲线联立，结合韦达定理，角平分线定理列方程进行求解，可得直线的方程.
4．【答案】（1）解：因为，则，
由双曲线的定义可得，
所以，，则，
因此，双曲线的方程为.
（2）证明：设点、、，
则，可得，
设，则，其中，
即，整理可得，
所以，，，
将代入可得，
将代入可得
，即，
所以，点恒在直线上.
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；曲线与方程
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合双曲线的定义，以及双曲线的性质，即可求解出双曲线的方程；
(2)根据已知条件，结合M，N为双曲线的点，以及向量的坐标运算，即可证得结论.
5．【答案】（1）解：由，可设，
在中，因为，
所以，即，
所以，即为直角三角形.
所以在中，，，，所以，
则双曲线的离心率为.
（2）解：由（1）可知在双曲线中有且实轴长为2，所以，
所以双曲线方程为.
由，故设斜率为k的直线为，
联立，可得，
因为直线与双曲线右支交于不同两点，所以，解得：.
设，，则，，
则，，
即，的中点坐标为，
因为Q为x轴上一点，满足，故Q为AB的垂直平分线与x轴的交点，
AB的垂直平分线的方程为：，
令，则得，即，
所以，
又
又因为，在双曲线的右支上，故，，
故，即，
故，即为定值.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）判断出 为直角三角形，利用边长关系得到 ，利用齐次式法求出 双曲线的离心率；
（2）利用“设而不求法”表示出 ， ， 利用双曲线的定义得到 ， 进而证明出 为定值.
6．【答案】（1）解：设双曲线方程为，焦距为，
由，所以，所以双曲线的渐近线方程为.
（2）解：由（1）可得，，所以双曲线的方程为，
设，，因为点、都在双曲线的右支上，
所以，
所以，当且仅当时取等号，即，
当时，所以，
所以轴且 ，
又双曲线的方程为，即，由，解得，
可知，又，所以，
.
（3）证明：设直线的方程为，将它代入，可得，
设，，
可得，，
由，可得，
故，
又、同号，所以，即，
所以，解得，
此时直线的斜率的绝对值为，可知直线与双曲线的两支都相交，
又，所以，
则，它等于双曲线实轴长的倍，此时，
所以是等腰三角形.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的关系，进而得到双曲线的渐近线方程；
(2)设双曲线的方程为 ， ，，运用基本不等式和双曲线的定义，锐角三角函数的定义和二倍角的正切公式，计算可得所求值；
(3) 设直线的方程为，将代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，以及双曲线的定义，等腰三角形的定义，可得 是等腰三角形.
7．【答案】（1）解：因为恒成立，且恒成立，
所以当时，恒成立，
故是与在上的“分割函数”.
又因为，当与时，其值分别为与，
所以与在上都不恒成立，
故不是与在上的“分割函数”.
（2）解：设是与在上的“分割函数”，
则对一切实数恒成立，由，
当时，它的值为，可知的图象在处的切线为直线，
它也是的图象在处的切线，
所以，可得
所以对一切实数恒成立，
即且对一切实数恒成立，
可得且，即，
又时与为相同函数，不合题意，
故所求的函数为.
（3）解：关于函数，令，可得，
当与时，；当与时，.
可知是函数极小值点，0是极大值点，
该函数与的图象如图所示.
由为与在区间，上的“分割函数”，
故存在使得且直线与的图象相切，
并且切点横坐标∪，此时切线方程为，
即，
设直线与的图象交于点，
则由可得，
所以
，
令，
(仅当时，)，
所以严格减，故的最大值为，可知的最大值为，
所以的最大值为.
【知识点】归纳推理；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意可得当时，恒成立，结合“分割函数” 的定义依次判断，即可求解；
(2)根据“分割函数”的性质，则 对一切实数恒成立 ，由导数的几何意义和恒成立可得 且对一切实数恒成立， 结合图形即可求解；
(3)利用导数求出函数 极值，则 ，作出其函数与函数 的图象， 设直线与的图象交于点，利用代数法求出弦长 ，结合导数研究函数 的性质即可求解出 的最大值．
8．【答案】（1）解：由题意得，，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）解：设右焦点，左焦点，
因为四边形是正方形，
不妨设点在第一象限，则，
所以，
由，得，
正方形的内切圆的圆心为，半径为，
所以所求圆的方程为；
（3）解：设直线的倾斜角为，斜率为，
则直线的斜率为，
设，则，
联立，得，
同理可得，
由得，
即，
整理得，
注意到且，
则要使上述关于的一元二次方程有正数解，
只需要，解得，
所以b的最大值为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合椭圆的性质，即可求解出椭圆的标准方程；
(2)依次求出|AF1|，|AF2| ，即可推出a，c， 即可推出正方形 的内切圆的方程；
(3) 设，将直线OP与椭圆联立，推出 ， 同理可得 ， 再结合两点之间的距离公式，以及二次函数的性质，即可求解出 b的最大值.
9．【答案】（1）解：双曲线Γ：渐近线方程为，已知一条渐近线方程为，所以，双曲线Γ经过点（2，1），所以，
解得.所以双曲线Γ：.
直线l的倾斜角为，则斜率为1，又l在y轴上的截距为，则l方程为：，代入双曲线方程得：，
设两点A、B坐标分别为（，）、（，），M（x，y），
则.又，
则的面积.
（2）解：方法一：由题可知圆方程为：，将其与双曲线方程联立：
，
即，又切线斜率为，则
，解得，所以双曲线Γ的离心率为；
方法二：设切线与x轴交于E点，因切线斜率为，可知，
又，则.注意到，则在中，由余弦定理，，
在中，由余弦定理，
.
则.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合双曲线Γ：渐近线方程为，再利用一条渐近线方程为，所以，再结合双曲线Γ经过点（2，1）和代入法，所以，
从而得出a，b的值，进而得出双曲线Γ的标准方程，再利用直线l的倾斜角为结合直线的倾斜角和直线的斜率的关系式得出直线的斜率，再利用直线l在y轴上的截距为，从而得出直线l的方程，再将直线代入双曲线方程和韦达定理以及中点坐标公式得出点M的坐标，再结合和三角形的面积公式得出三角形的面积。
（2） 方法一：由题可知圆方程为：，将其与双曲线方程联立得出点P的坐标，再利用切线斜率为结合两点求斜率公式得出双曲线Γ的离心率；
方法二：设切线与x轴交于E点，利用切线斜率为结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而可知，再利用结合三角形的内角和为180度的性质，则，注意到，在中，由余弦定理得出，在中，由余弦定理得出，进而得出双曲线的定义得出a，c的关系式，再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率的值。
10．【答案】（1）解：因为动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，
所以
所以，
化简，得曲线的方程：.
（2）解：过点的斜率为的直线方程为，
直线与椭圆的交点坐标为或，
因为，故，，
所以，，
所以，矛盾，
所以可设直线的方程为，
联立，
消，得，
方程的判别式，
设，，
于是，①
由，即，得②
②代入①，解得，即.
所以，直线的方程为或；
（3）证明：因点，故，，
从而直线的方程为，
直线的方程为，
由，得.
由，得.
因为
将①代入上式，得
所以.
故由“圆的直径所对的圆周角是直角”得：以为直径的圆经过点.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据距离公式代入化简可得曲线的方程；
(2)设出直线的方程，联立方程组，再利用向量的相等，即可求解出直线的方程；
(3)先求出 ， ，再证明 即可.
11．【答案】（1）解：由椭圆的方程为，得标准方程为，
则，故，
所以离心率；
（2）解：设，，
当时，，
此时，
由对称性，不妨设，且在第一象限，
令，得，则，
此时，
综上，的面积为或；
（3）解：设，则直线，
由已知，
同理：，
因而，是方程的两根，
所以，得，
又点为椭圆上的动点，
所以，则，
由在第一象限得，所以，
所以存在，.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件，从而将椭圆转化为标准方程，进而得出a，b的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的值，再利用椭圆的离心率公式得出该椭圆的离心率的值。
（2） 设，，当时，，从而结合完全平方公式和三角形的面积公式得出此时的值，由对称性，不妨设，且在第一象限，令结合椭圆的标准方程代入法得出y的值，从而得出P的坐标，再结合三角形的面积公式得出此时的值，从而得出三角形的面积。
（3） 设，则直线，由已知结合点到直线的距离公式得出，同理：，因而，是方程的两根，再结合韦达定理得出，再利用点为椭圆上的动点结合代入法得出，再解方程组得出，由在第一象限得，进而得出存在点满足要求。
12．【答案】（1）解：直线与双曲线相切．理由如下：
联立方程组，
∴①，
∵，
∴，即，代入①得，
，
∴，
∴直线与双曲线相切．
（2）证明：由（1）知，
∵直线与双曲线的一支有2个交点，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）证明：设，，设，，
∵，
∴，则，
代入双曲线，利用在上，
即，整理得，
同理得关于的方程．
即、是的两根，
∴，
∴．
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 联立方程组， 化简后验证根的判别式为0，即可直线与双曲线的位置关系；
（2）利用直线与双曲线的一支有2个交点，得 ，然后结合判别式以及 ， 即可得证；
（3） 设，，设，， 解除x、y，代入双曲线中，整理得到关于和的方程，得到 ， 即可得证.
13．【答案】（1）证明：设直线的倾斜角分别为，
因为，所以，
即，故，
因为，，所以，所以，
所以，
则，
所以为常数；
（2）解：椭圆经过，两点，
代入得，解得，
所以椭圆方程为，
设，，由（1）得，
则的方程为，的方程为，
联立，消得，则，
同理可得，
则
令，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设直线的倾斜角分别为， 根据，可得，求出，从而可得出结论；
（2）利用待定系数法求出椭圆方程，设，， 联立方程得，解得，，再根据，化简计算结合基本不等式即可得解.
14．【答案】（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，
且最大值为，
由题意可得，解得，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）解：①设点、.
若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意.
设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，
联立可得，
，可得，
由韦达定理可得，，则，
所以，
，解得，
即直线的方程为，故直线过定点.
②由韦达定理可得，，
所以，
，
，则，
因为函数在上单调递增，故，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C的方程；
(2) (i)分析可知直线PQ不与y轴垂直， 设直线的方程为 ，可知 ， 设点、，将直线PQ的方程的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用 ，求出n的值，即可得出直线PQ所过定点的坐标；
(ii)写出 关于t的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得 的最大值．
15．【答案】（1）解：由，得，所以
又由，得，为椭圆的左顶点，
，解得，
分所以，
故的方程为
（2）解：由的内切圆的圆心在直线上，知直线，关于直线对称，
所以直线，的倾斜角互补，即．
联立，得．
设，，则，
，
所以，
即，
即，
即．
若即，
直线的方程为，
此时直线过点，不合题意，
所以，即，故直线的斜率为．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据题意可得 ， ， 由，得，为椭圆的左顶点， 再根据向量数量积的运算可求出a，进而求出b，可得 的方程；
(2) 由的内切圆的圆心在直线上 ，则 ， 设， ， 直线： ，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得 ，， 再计算 ， 即可求解出直线的斜率．
16．【答案】（1）解：依题意，，解得（负数舍去）.
（2）解：的直线经过，则直线方程为：；
，则椭圆的方程为：.
设联立直线和椭圆方程：，消去得到，
解得，则，故，于是.
依题意知，为椭圆的下顶点，即，由点到直线的距离，到的距离为：.
故
（3）证明：设联立直线和椭圆方程：，得到，由，得到直线方程为：，令，解得，即，又，，为说明三点共线，只用证，即证：，下用作差法说明它们相等：
，而，，，于是上式变为：.
由韦达定理，，于是，故，命题得证.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据离心率的定义，计算即可；
（2）联立直线和椭圆方程，整理得， 根据弦长公式算出，用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可；
（3）联立直线和椭圆方程，先表示出，将共线问题转化成证明，结合韦达定理进行化简计算.
17．【答案】（1）解：由双曲线即可得交点，
设，则，
根据向量定比分点公式：，
将坐标代入双曲线得：，
两式相减得：
则有：，再结合，解得，
故．
（2）解：由可得，
在上则有
，将代入，
，
根据双曲线的定义，，
显然，
，
，
则，当且仅当时取等号，
故为．
【知识点】两点间的距离公式；双曲线的定义
【解析】【分析】(1) 设，则，根据向量定比分点公式，将点P，A的坐标代入双曲线方程中，用表示出x1的取值范围，即可得 点横坐标的取值范围；
(2)根据 ，用表示出 ，求出其最值即可.
18．【答案】（1）解：由已知得，，
.
（2）解：由（1）知，点，过点作圆的切线，当其中一条斜率不存在时不合题意，
可设切线方程为，圆的半径为，且，
得
设切线的斜率分别为，则，
由，令得；由得，
同理，
或，
圆或.
【知识点】椭圆的标准方程；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质与离心率公式即可求解；
（2）设出切线方程，由点到直线的距离可以得出两条切线的斜率关系，得点， 同理 ，再由切线方程与椭圆联立，根据韦达定理求出，的坐标，代入三角形面积公式化简即可求解.
19．【答案】（1）解：由得，，
即，所以曲线的直角坐标方程为
（2）解：易知直线过点，设直线倾斜角为，
则直线的参数方程为(为参数)，
代入得，易得，
设，对应的参数分别为，则，
故.
解得，
则，
的斜率为.
【知识点】直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程
【解析】【分析】（1） 由得， 利用和差公式展开，代入公式，即可求解；
（2）根据参数方程的几何意义，联立方程得出韦达定理，将韦达定理代入，即可求解.
20．【答案】（1）解：过且斜率为的直线的方程为，
令，得，
由题意可得，解得，
椭圆E的方程为：；
（2）证明：由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：，
，，
联立，得
，，
由，得，
，
，
直线AD的方程为，令，解得，
则，同理可得，
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)写出直线方程，取x=1求得y值，得到直线与椭圆的交点，再由已知列关于a ， b的方程组，求解a，b的值，可求出椭圆E的方程；
(2) 由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：， 由椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得D ， C横纵坐标的和与积，分别写出AD ， AC的方程，求得H与G的坐标，再写出两三角形面积的乘积，结合根与系数的关系可得△ABG与△AOH的面积之积为定值.
21．【答案】（1）解：法一：设点，则．
由题意知，即，
整理得：，
则曲线C的方程为．
法二：由题意知，点P到点的距离等于其到直线的距离相等，
则点P的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
则曲线C的方程为.
（2）解：法一：由题意知，为圆的直径，则．
由题意知直线存在斜率，设为k，且，则直线的斜率为．
又OA所在直线为，
联立，解得：或，则不妨取S点横坐标为，
联立，解得：或，则不妨取A点横坐标为，
所以．
同理可得，
四边形的面积
，
令，，则，
因为S在上单调递增，所以当时，S有最小值36．
即当时，四边形面积的最小值为36
法二：设方程为，
由，得．
由，得，
∴，
同理可得：．
令，
则在上单调递增．
∴，
当即时，四边形面积的最小值为36
即四边形面积的最小值为36．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)法一：设点P (x， y) ，由题意可知 ，将该式转化为方程，化简可得曲线C的方程；
法二：利用抛物线的定义即可求得曲线C的方程；
(2)法一： OA所在直线为， 分别联立抛物线方程和圆的方程，求得交点坐标，即可求得|AS|的表达式，同理得|BT|的表达式，即可求得四边形ABST面积的表达式，结合函数的单调性，即可求得 四边形面积的最小值；
法二： 设方程为，下面方法和法一相同.
22．【答案】（1）解：因为直线的斜率为1且过点，
所以直线的方程为：，
设，
由，得：，
所以，
所以，
因为为线段的中点，的纵坐标为2，
所以，
所以抛物线的方程为：.
（2）解：设直线的方程为：，，
，得：，
所以，
由
由，
所以，
即，
所以，
所以点的坐标为.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题知直线的方程为： ，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；
（2） 设直线的方程为：，，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出，将韦达定理代入=0，化简求出参数即可得点的坐标为.
23．【答案】（1）解：设直线AB的方程为，因为到直线的距离为，所以，则.将代入，得，解得，
则.
故的面积为.
（2）解：设，直线AB的方程为，
代入，得，
则，
可得点A的坐标为
设，直线CD的方程为，
代入得
则，
可得点D的坐标为
由得，
因为，所以
则，
则.
故直线AD的斜率为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 设直线AB的方程为，因为到直线的距离为 ，求出t，联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出|AB|，即可由面积公式求解出 △AOB的面积；
(2)由直线AB的方程联立椭圆求出点A的坐标，同理由直线CD的方程联立椭圆方程求出D点坐标，再由 及点在椭圆上可得 ， 再根据斜率公式计算即可求解出直线AD的斜率为定值.
24．【答案】（1）解：由题意可知椭圆的右焦点为，因为点在椭圆上，
所以
，所以，椭圆的方程为．
（2）解：由（1）可知椭圆的上顶点为，假设这样的存在，且设，
则直线的斜率为，直线的方程为，
因为直线与圆相切，则，所以
两边平方化简得，
整理得，
因为，消去得，
因为，两边同时除以，得，
整理得，即点在直线上，
同理点也在直线上，
因此直线的方程为，
若直线与圆相切，则，
解得（舍去）或.
因此直线存在，且直线的方程为，
即.
【知识点】直线和圆的方程的应用；椭圆的标准方程
【解析】【分析】(1)根据椭圆上的点和焦点坐标求出a，c，即可求出椭圆E的标准方程；
(2)设点B ， C的坐标，利用直线AB，AC与圆M相切，求出直线BC的方程，再利用直线BC与圆M相切建立r的方程，求解即可得直线的方程.
25．【答案】（1）解：当点，点和点为椭圆的顶点时，恰好构成边长为2的等边三角形，
①当点，点和点中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右顶点时，不妨设点，点为上顶点和下顶点，点为右顶点，此时，，
②当点，点和点中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点，不妨设点，点为左顶点和右顶点，点为上顶点，此时，（舍去），
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：设，
因为，
所以，
①当直线斜率不存在时，
即，则，
因为点在椭圆上，所以，则有，
所以，点到的距离为，
此时.
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立得消去整理得，
满足，
由韦达定理得，
所以，
所以，
又因为点在椭圆上，
所以，
化简得，
所以
，
所以点到直线的距离，
所以
综上所述，的面积为.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）分 点，点和点 中有两个点为上顶点和下顶点和点，点，点和点 中有两个点为左顶点和右顶点两种情况，求出，得到椭圆方程；
（2）设出，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，求出弦长，进而利用点到直线距离求出面积.
26．【答案】（1）解：由题意，，，解得，，故椭圆
（2）解：由题意，，显然的斜率不为0，故设的方程为，，
则，即，故，.联立过的切线方程，即，
相减可得，即，
化简可得.代入可得，故.
设的中点为，则，，故.因为，，故，
所以三点共线.又作平行于l的直线分别交于A，B，易得，取中点，根据三角形的性质有四点共线，
结合椭圆的对称性有，当且仅当时取等号.
故
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据焦距和短轴的公式求解即可；
（2） 设的方程为， ， 联立直线与椭圆的方程，根据椭圆的切线方程，联立可得， 设的中点为， 根据韦达定理可得，再结合三角形与椭圆的性质可得四点共线，从而化简，再根据的横坐标关系，结合参数的范围求解即可.
27．【答案】（1）解：设点A的坐标为，点B的坐标为，
因为，所以，则直线的方程为，
联立方程组，消去y，整理得，
所以有，，
又，得，
整理得，解得．
所以C的方程为．
（2）证明：由，得，所以，
设过点E作抛物线C的切线的切点为，
则相应的切线方程为，即，
设点，由切线经过点E，得，即，
设，，则，是的两实数根，
可得，．
设M是的中点，则相应，
则，即，
又，
直线的方程为，即，
所以直线恒过定点．
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设点A的坐标为，点B的坐标为，根据题意可得到直线AB的方程，联立抛物线的方程，整理可得到关于x(含参p)的一元二次方程，从而得到 ，，再根据 ，代入即可求解p的值，进而得到C的方程；
(2)结合(1)中抛物线，得 ，设点，， ，从而得到 ，是的两实数根，则得到 ，， 进而得到PQ的中点M的坐标， 求出kpq， 从而得到直线PQ的方程，进而得到直线PQ恒过的定点.
28．【答案】（1）解：由已知，得①，
设椭圆方程，代入点得②，联立①②，
解得，，所以椭圆方程为．
（2）证明：由题可知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为．
设点，，
联立得，，满足时，
有，，
由可得，
即，即，
化简得，
代入韦达定理，可得，
又点不在直线PQ上，因此，
所以，即，故直线PQ的斜率为定值．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意，得出a ， b的关系，再代入点M，解方程即可求得椭圆方程；
(2) 由题可知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，再由|AM|=|BM|可得 ， 利用韦达定理，即可证得直线PQ的斜率为定值．
29．【答案】（1）解：由已知得，且，即，
因此有，得．
因此，得，，所以椭圆的标准方程为．
（2）解：显然直线经过x轴上的定点，设，，
则由椭圆的对称性得，
联立，消去x得．
恒成立，所以，．
．
令，显然有，于是，当，即时取等号．
因此的面积S的最大值为．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据椭圆的顶点坐标，结合斜率的计算公式，可整理椭圆方程，建立方程，可得椭圆C的标准方程；
(2)由题意，利用三角形中线性质，分割三角形，整理三角形面积表达式，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，求得面积表达式中的变量，利用基本不等式，可得 的面积S的最大值．
30．【答案】（1）解：当 点在 轴上时，直线，
，，椭圆方程为
（2）解：设切线为，设，
则，
且，
则，直线为到直线 距离，
则
.
设，
则，
所以的最小值为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，△=0求得a，即可求得椭圆方程；
(2)设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得|PO|及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得 ， 平方整理关于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值.
31．【答案】（1）解：∵双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，而，∴．
∴双曲线的方程为．
依题意直线的方程为．
由 消去y整理得：，
依题意：，，点A，B的横坐标分别为，
则．
∵，∴．
∴，∴．
即，解得或（舍去），且时，，
∴双曲线的方程为．
（2）解：依题意直线的斜率不等于0，设直线的方程为．
由消去整理得：，
∴，．
设，，则，．
直线的方程为，令得：，∴．
同理可得．由对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则该定点一定在轴上，
设该定点为，则，，
故
．
解得或．
故以线段为直径的圆过定点和．
【知识点】双曲线的标准方程；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解，联立直线与双曲线方程整理得，根据弦长公式即可求解， 双曲线的方程为 ；
（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.
32．【答案】（1）证明：由题意知，，
设，，，
联立，得，，
则，，
直线的方程为，
令，得，所以，
同理，．
所以
，
直线，令得，所以，
则，故点R为线段的中点．
（2）解：由（1）知，，
又，
所以．
由（1）知点R为线段的中点，
故
，
所以．
故存在，使得．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设，，，联立方程组求得P ， Q坐标，可证 ， 可证得结论；
(2)由(1)可得 ，可得 ， ， 进而可求出实数的值 .
33．【答案】（1）解：由题意，椭圆的焦点为，，
由椭圆定义知
所以
所以椭圆的标准方程为
（2）解：由题意知，设
由，，得且
又，都在椭圆上，所以
两式作差，得
把代入式，得
又由，得
所以
所以到直线的距离
经检验，此时垂足在椭圆内部.
所以的最小值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由焦点得，根据椭圆定义求出，即可得解；
（2） 由题意知，设， 利用向量得坐标间关系，代入点差法所得等式，可求出，即是直线上动点，再由点到直线距离求最小值即可.
34．【答案】（1）解：根据题意可知C的一条渐近线方程为，
设到渐近线的距离为，
所以，
所以的方程为.
（2）证明：设C的左顶点为A，则，
故直线为线段的垂直平分线.
所以可设PA，的斜率分别为，故直线AP的方程为.
与C的方程联立有，
设B），则，即，
所以
当轴时，，是等腰直角三角形，
且易知
当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故
因为，
所以
所以
因为
所以
所以为定值，
所以点Q在以为圆心且半径为4的定圆上.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 根据题意可知双曲线C的一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式和设点法，即设到渐近线的距离为，从而得出c的值，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出a的值，从而得出双曲线的标准方程。
（2） 设C的左顶点为A，则，故直线为线段的垂直平分线，所以可设PA，的斜率分别为，故直线AP的方程为，再与双曲线C的方程联立有，设B），再结合韦达定理，则，进而得出点B的坐标，当轴时，，是等腰直角三角形，且易知，当不垂直于x轴时，直线的斜率为，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，故，再利用，所以，再结合，所以，所以为定值，从而证出点Q在以为圆心且半径为4的定圆上。
35．【答案】（1）解：当时，显然符合题意，
当时，设直线的方程为，其中，设、，
与双曲线方程联立可得，
因为直线与双曲线交于不同的两支，所以，又，
所以，解得，即，所以且，解得或，
综上可得；
（2）解：由（1）知，因为，
所以，
设，则直线的方程为：，设，
直线与双曲线方程联立可得，
即，
所以，
所以，
得，
又因为，
所以，
当时，
即时，为定值，
所以或，又因为，
所以点的轨迹方程为.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 当时，显然符合题意，当时，设直线的方程为，其中，设、，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出，即，所以且，从而解一元二次不等式求出k的取值范围。
（2） 由（1）知，再利用两点距离公式得出，设，则直线的方程为：，设，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程得出，再结合两点求距离公式得出，所以，再利用，所以，当时，即时，为定值，所以或，再利用，进而得出点的轨迹方程。
36．【答案】（1）解：由题设，函数定义域为，且，
由，则；
（2）解：当时，，则，
即的斜率，假设存在，则的斜率，
则有解，即在上有解，
该方程化简为，解得或，符合要求，
因此该函数存在另外一条与垂直的切线；
（3）解：，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
设曲线的另一条切线的斜率为，
①当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线；
②当时，，且，
趋近于或趋向于正无穷大时，都趋向于正无穷大，
所以在、上各有一个零点、，
故当或时，都有
当时，故必存在，
即曲线存在相互垂直的两条切线，所以
因为，
由②知，曲线存在相互垂直的两条切线，
不妨设，，
满足，即，
又，，
所以，
故，当且仅当时等号成立，
所以，解得，
又，即 ，解得，
因为，，
所以．
综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是．
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用；两条直线垂直的判定
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再结合代入法得出实数a的值。
（2） 当时结合导数的运算法则和代入法得出，再结合导数的几何意义得出直线的斜率，假设存在，则的斜率，则有解，即在上有解，该方程化简为，再解一元二次方程得出x的值，符合要求，因此该函数存在另外一条与垂直的切线。
（3）利用已知条件结合导数的运算法则得出 ，令，再利用求导的方法判断函数h(x)的单调性，设曲线的另一条切线的斜率为，再利用分类讨论的方法和两直线垂直的判断方法、函数求极限的方法、零点存在性定理，均值不等式求最值的方法得出对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围。
37．【答案】（1）解：因为曲线和有且仅有两个公共点，
所以曲线和的两公共点为左右顶点，
则，曲线的半焦距，
所以曲线的离心率，
渐近线方程为；
（2）解：联立，得，
设，则，
所以，，
故直线OM的方程为，依题意直线OM经过点，
代入得，则，所以，
因为直线与曲线的左支相交于两点，故，
得，则，所以，
又曲线和有公共点，所以，所以，
又为正整数，所以，
所以；
（3）证明：由（2）可得，
同理，联立直线：与曲线：，
可得，
因为，所以，
又因为，
所以，
即．
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用曲线和有且仅有两个公共点，所以曲线和的两公共点为左、右顶点，进而得出a的值和曲线的半焦距c的值，再结合双曲线的离心率公式得出曲线的离心率，再利用双曲线的渐近线方程求解公式得出双曲线的渐近线方程。
（2） 利用已知条件，联立，得，设，再利用韦达定理得出，进而结合代入法得出点M的坐标，再结合斜截式得出直线OM的方程为，依题意直线OM经过点，代入得，则，再利用直线与曲线的左支相交于两点，故，则，再利用曲线和有公共点，所以，再结合为正整数，进而得出a的值。
（3） 由（2）可得，同理，联立直线：与曲线：，可得，再利用两点求斜率公式和，所以，再利用结合均值不等式求最值的方法证出不等式成立。
38．【答案】（1）解：由题意可知，点，，的坐标分别为 ()，()，()，
所以直线的方程为，直线的方程为.
由和，消除，得，即为点的横坐标.
因为点在直线上，所以.
整理得，所以，
所以离心率.
（2）解：当椭圆的离心率为时，，，
所以椭圆的方程为，即，
直线的方程为.
联立，消去，化简整理，得，
所以点的横坐标为，纵坐标为.
因为点的坐标为，所以中点的坐标为.
又由（1）知点的横坐标为，所以点的纵坐标为.
所以，
，
故为定值.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意可知点，，的坐标，再结合两点式得出直线的方程和直线的方程，由和联立得出点的横坐标，再结合点在直线上和代入法得出，再利用椭圆的离心率公式变形和解一元二次方程的方法得出椭圆的离心率的值。
（2） 当椭圆的离心率为时结合椭圆的离心率公式得出，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，得出，进而得出椭圆的方程，再利用点斜式得出直线的方程，再结合直线与椭圆相交，联立二者方程得出点D的坐标，再结合点的坐标为和中点坐标公式得出中点的坐标，又由（1）知点的横坐标，从而得出点的纵坐标，再利用两点距离公式得出为定值。
39．【答案】（1）解：设，由题意，且 ，
所以
（2）解：设，，，BN的斜率为，由 知：
，由(1)知： 所以
设MN：，与双曲线 联立，
得：，
所以 ，
所以 ，
即﹐
则
整理得，解得或（舍），
故直线MN过定点.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设，由题意，再利用已知条件结合代入法得出 ，再结合两点求斜率公式得出 的值。
（2） 设，，，BN的斜率为，由 结合向量共线的坐标表示知：，再利用两点求斜率公式和(1)知的值，从而得出 的值，设直线MN：，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，再利用两点求斜率公式和已知条件得出，再结合一元二次方程求解方法得出n的值，从而得出直线MN过定点。
40．【答案】（1）解：椭圆的离心率为，即，
长轴长为4，，，，故椭圆的方程为．
（2）解：设，，联立，得，
则，
，，
所以
，
，，
原点到的距离，
当时，．
当时，
，当且仅当时等号成立．
综上，所以的面积的取值范围是
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式和长轴长公式、椭圆中a，b，c三者的关系式，进而解方程组得出a，b，c的值，从而得出椭圆的标准方程。
（2） 设，，联立结合判别式法和韦达定理得出和，，再利用两点求斜率公式得出，再结合弦长公式和点到直线的距离公式以及三角形的面积公式得出，当时，，当时，，再结合均值不等式求最值的方法得出的最小值，从而得出 三角形的面积的取值范围。
41．【答案】（1）解：因为点在上，则，而，所以，
，所以，故该抛物线的方程为.
（2）解：法一：设，不妨设，
，则，解得，
①当与轴不垂直时，，
此时直线的方程为：，整理得
，则的方程为：，则直线恒过定点
由，即，故在以为直径的圆上，该圆方程为，
即当为该圆心时，为定值；
②当轴时，，此时，而，故；
当时，也满足，
综上，平面内存在一个定点，使得为定值4
法二：设直线的方程为
联立，且，
由韦达定理得：，
由，即，解得，
即，直线恒过定点，
由，即，故在以为直径的圆上，该圆方程为，
即定点为该圆心时，为定值；
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用点在抛物线上结合代入法，则，再利用三角形的面积公式和已知条件得出，进而得出p的值，从而得出该抛物线的标准方程。
（2） 法一：设，不妨设，再利用结合已知条件和代入法得出的值，①当与轴不垂直时，，进而结合，从而得出直线的点斜式方程，从而得出直线恒过的定点M的坐标，由，即，故在以为直径的圆上，进而得出圆的标准方程，从而得出当为该圆心时，为定值；
②当轴时，，此时，而，故；当时，也满足，综上所述，平面内存在一个定点，使得为定值4。
法二：设直线的方程为，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出和，由结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及代入法，从而得出的值，进而得出n的值，从而得出直线恒过的定点M的坐标，由，即，故在以为直径的圆上，从而得出该圆d 标准方程，进而得出定点为该圆心时，为定值。
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专题05 圆锥曲线-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练
一、解答题
1．（2023·金华模拟）P是双曲线右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．
（1）记P，Q的纵坐标分别为，求的值；
（2）记的面积分别为，当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：由已知条件得：，设PA，PB的斜率分别为，
则QA，QB的斜率分别为，
由即有．
由即有
而，
．
（2）解：由于，
显然P，Q，B，A四点共圆，
PO为直径，PQ中点为圆心，
又
则，
①，又②，
得：，解得．
由，而．
．
因为，根据单调性，求得
【知识点】斜率的计算公式；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1)由已知 设PA，PB的斜率分别为，则QA，QB的斜率分别为，再分别求P，Q，利用斜率公式求解出 的值；
(2)由 P，Q，B，A四点共圆， PO为直径， PQ中点为圆心， 再由弦长公式求得 ，再根据单调性，求得的取值范围．
2．（2023·宁波模拟）已知双曲线，点与双曲线上的点的距离的最小值为．
（1）求双曲线E的方程；
（2）直线与圆相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程．
【答案】（1）解：设是双曲线上的任意一点，
则，
所以当时，的最小值为，所以，得，
所以双曲线E的方程为．
（2）解：由直线与圆相切得，
由直线交双曲线的左、右支于A，B两点，设，，
联立，消整理得，
则，，，所以，
所以，即，解得，
又，则，解得或，
所以，
所以，
又点到AB的距离，故，
设，，
联立方程组，消整理得，
则，，，所以，
所以，
又点O到MN的距离，故，
所以当时，有，
整理得，即，
又，则，即，解得，（舍去），
所以，则，所以直线方程为．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设是双曲线上的任意一点， 先求得 ， 再结合题意即可求得a2的值，进而即可求出双曲线E的方程；
(2)先根据直线与圆C相切得到 ，设，，再联立直线的方程和双曲线E的方程，求得 ，， 根据题意求得m的取值范围， 又点到AB的距离 ，从而求得S1，再联立直线的方程和双曲线E的渐近线的方程，求得 ，， 又点O到MN的距离 ，从而求得S2，再结合 ，即可求得k的值，进而即可求得直线的方程.
3．（2023·嘉兴模拟）已知双曲线的右焦点为是双曲线上一点.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作斜率大于0的直线与双曲线的右支交于两点，若平分，求直线的方程.
【答案】（1）解：，又，
联立得，得或18.
当时，；当时，舍去.
所以双曲线的方程为：.
（2）解：设，直线与双曲线联立，得，所以①.
由直线和双曲线右支交于两点，结合直线斜率为正可得：，解得.
由平分，由角平分线定理，则，即.
两边平方得，，整理可得：.
将①代入可得，解得符合题意，所以.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据双曲线上的点和焦点列方程组求解可得双曲线的方程；
(2)设出直线方程，与双曲线联立，结合韦达定理，角平分线定理列方程进行求解，可得直线的方程.
4．（2023·梅州模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，且双曲线经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作动直线，与双曲线的左、右支分别交于点、，在线段上取异于点、的点，满足，求证：点恒在一条定直线上．
【答案】（1）解：因为，则，
由双曲线的定义可得，
所以，，则，
因此，双曲线的方程为.
（2）证明：设点、、，
则，可得，
设，则，其中，
即，整理可得，
所以，，，
将代入可得，
将代入可得
，即，
所以，点恒在直线上.
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；曲线与方程
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合双曲线的定义，以及双曲线的性质，即可求解出双曲线的方程；
(2)根据已知条件，结合M，N为双曲线的点，以及向量的坐标运算，即可证得结论.
5．（2023·茂名模拟）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，Р为渐近线上一点，且，.
（1）求双曲线的离心率；
（2）若双曲线E实轴长为2，过点且斜率为的直线交双曲线C的右支不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：由，可设，
在中，因为，
所以，即，
所以，即为直角三角形.
所以在中，，，，所以，
则双曲线的离心率为.
（2）解：由（1）可知在双曲线中有且实轴长为2，所以，
所以双曲线方程为.
由，故设斜率为k的直线为，
联立，可得，
因为直线与双曲线右支交于不同两点，所以，解得：.
设，，则，，
则，，
即，的中点坐标为，
因为Q为x轴上一点，满足，故Q为AB的垂直平分线与x轴的交点，
AB的垂直平分线的方程为：，
令，则得，即，
所以，
又
又因为，在双曲线的右支上，故，，
故，即，
故，即为定值.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）判断出 为直角三角形，利用边长关系得到 ，利用齐次式法求出 双曲线的离心率；
（2）利用“设而不求法”表示出 ， ， 利用双曲线的定义得到 ， 进而证明出 为定值.
6．（2023·黄浦模拟）已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
（3）若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．
【答案】（1）解：设双曲线方程为，焦距为，
由，所以，所以双曲线的渐近线方程为.
（2）解：由（1）可得，，所以双曲线的方程为，
设，，因为点、都在双曲线的右支上，
所以，
所以，当且仅当时取等号，即，
当时，所以，
所以轴且 ，
又双曲线的方程为，即，由，解得，
可知，又，所以，
.
（3）证明：设直线的方程为，将它代入，可得，
设，，
可得，，
由，可得，
故，
又、同号，所以，即，
所以，解得，
此时直线的斜率的绝对值为，可知直线与双曲线的两支都相交，
又，所以，
则，它等于双曲线实轴长的倍，此时，
所以是等腰三角形.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的关系，进而得到双曲线的渐近线方程；
(2)设双曲线的方程为 ， ，，运用基本不等式和双曲线的定义，锐角三角函数的定义和二倍角的正切公式，计算可得所求值；
(3) 设直线的方程为，将代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，以及双曲线的定义，等腰三角形的定义，可得 是等腰三角形.
7．（2023·黄浦模拟）三个互不相同的函数与在区间D上恒有或恒有，则称为与在区间D上的“分割函数”．
（1）设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；
（3）若，且存在实数k，b，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值．
【答案】（1）解：因为恒成立，且恒成立，
所以当时，恒成立，
故是与在上的“分割函数”.
又因为，当与时，其值分别为与，
所以与在上都不恒成立，
故不是与在上的“分割函数”.
（2）解：设是与在上的“分割函数”，
则对一切实数恒成立，由，
当时，它的值为，可知的图象在处的切线为直线，
它也是的图象在处的切线，
所以，可得
所以对一切实数恒成立，
即且对一切实数恒成立，
可得且，即，
又时与为相同函数，不合题意，
故所求的函数为.
（3）解：关于函数，令，可得，
当与时，；当与时，.
可知是函数极小值点，0是极大值点，
该函数与的图象如图所示.
由为与在区间，上的“分割函数”，
故存在使得且直线与的图象相切，
并且切点横坐标∪，此时切线方程为，
即，
设直线与的图象交于点，
则由可得，
所以
，
令，
(仅当时，)，
所以严格减，故的最大值为，可知的最大值为，
所以的最大值为.
【知识点】归纳推理；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意可得当时，恒成立，结合“分割函数” 的定义依次判断，即可求解；
(2)根据“分割函数”的性质，则 对一切实数恒成立 ，由导数的几何意义和恒成立可得 且对一切实数恒成立， 结合图形即可求解；
(3)利用导数求出函数 极值，则 ，作出其函数与函数 的图象， 设直线与的图象交于点，利用代数法求出弦长 ，结合导数研究函数 的性质即可求解出 的最大值．
8．（2023·金山模拟）已知椭圆.
（1）已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）已知直线过椭圆的右焦点且垂直于轴，记与的交点分别为A、B，A、 B两点关于y轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程；
（3）设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆上，若是等腰直角三角形，其中是直角，点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值.
【答案】（1）解：由题意得，，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）解：设右焦点，左焦点，
因为四边形是正方形，
不妨设点在第一象限，则，
所以，
由，得，
正方形的内切圆的圆心为，半径为，
所以所求圆的方程为；
（3）解：设直线的倾斜角为，斜率为，
则直线的斜率为，
设，则，
联立，得，
同理可得，
由得，
即，
整理得，
注意到且，
则要使上述关于的一元二次方程有正数解，
只需要，解得，
所以b的最大值为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合椭圆的性质，即可求解出椭圆的标准方程；
(2)依次求出|AF1|，|AF2| ，即可推出a，c， 即可推出正方形 的内切圆的方程；
(3) 设，将直线OP与椭圆联立，推出 ， 同理可得 ， 再结合两点之间的距离公式，以及二次函数的性质，即可求解出 b的最大值.
9．（2023·静安模拟）已知双曲线Γ：（其中）的左、右焦点分别为（c，0）、（c，0）（其中）.
（1）若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为；直线l的倾斜角为，在y轴上的截距为.直线l与该双曲线Γ交于两点A、B，M为线段AB的中点，求△的面积；
（2）以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P.过P作圆的切线，若切线的斜率为，求双曲线Γ的离心率.
【答案】（1）解：双曲线Γ：渐近线方程为，已知一条渐近线方程为，所以，双曲线Γ经过点（2，1），所以，
解得.所以双曲线Γ：.
直线l的倾斜角为，则斜率为1，又l在y轴上的截距为，则l方程为：，代入双曲线方程得：，
设两点A、B坐标分别为（，）、（，），M（x，y），
则.又，
则的面积.
（2）解：方法一：由题可知圆方程为：，将其与双曲线方程联立：
，
即，又切线斜率为，则
，解得，所以双曲线Γ的离心率为；
方法二：设切线与x轴交于E点，因切线斜率为，可知，
又，则.注意到，则在中，由余弦定理，，
在中，由余弦定理，
.
则.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合双曲线Γ：渐近线方程为，再利用一条渐近线方程为，所以，再结合双曲线Γ经过点（2，1）和代入法，所以，
从而得出a，b的值，进而得出双曲线Γ的标准方程，再利用直线l的倾斜角为结合直线的倾斜角和直线的斜率的关系式得出直线的斜率，再利用直线l在y轴上的截距为，从而得出直线l的方程，再将直线代入双曲线方程和韦达定理以及中点坐标公式得出点M的坐标，再结合和三角形的面积公式得出三角形的面积。
（2） 方法一：由题可知圆方程为：，将其与双曲线方程联立得出点P的坐标，再利用切线斜率为结合两点求斜率公式得出双曲线Γ的离心率；
方法二：设切线与x轴交于E点，利用切线斜率为结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而可知，再利用结合三角形的内角和为180度的性质，则，注意到，在中，由余弦定理得出，在中，由余弦定理得出，进而得出双曲线的定义得出a，c的关系式，再结合双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率的值。
10．（2023·虹口模拟）已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点的轨迹记为曲线，过点的直线与曲线相交于，两点.
（1）求曲线的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）已知，直线，分别与直线相交于，两点，求证：以为直径的圆经过点.
【答案】（1）解：因为动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，
所以
所以，
化简，得曲线的方程：.
（2）解：过点的斜率为的直线方程为，
直线与椭圆的交点坐标为或，
因为，故，，
所以，，
所以，矛盾，
所以可设直线的方程为，
联立，
消，得，
方程的判别式，
设，，
于是，①
由，即，得②
②代入①，解得，即.
所以，直线的方程为或；
（3）证明：因点，故，，
从而直线的方程为，
直线的方程为，
由，得.
由，得.
因为
将①代入上式，得
所以.
故由“圆的直径所对的圆周角是直角”得：以为直径的圆经过点.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据距离公式代入化简可得曲线的方程；
(2)设出直线的方程，联立方程组，再利用向量的相等，即可求解出直线的方程；
(3)先求出 ， ，再证明 即可.
11．（2023·浦东模拟）椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若为直角三角形，求的面积；
（3）若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由椭圆的方程为，得标准方程为，
则，故，
所以离心率；
（2）解：设，，
当时，，
此时，
由对称性，不妨设，且在第一象限，
令，得，则，
此时，
综上，的面积为或；
（3）解：设，则直线，
由已知，
同理：，
因而，是方程的两根，
所以，得，
又点为椭圆上的动点，
所以，则，
由在第一象限得，所以，
所以存在，.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件，从而将椭圆转化为标准方程，进而得出a，b的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的值，再利用椭圆的离心率公式得出该椭圆的离心率的值。
（2） 设，，当时，，从而结合完全平方公式和三角形的面积公式得出此时的值，由对称性，不妨设，且在第一象限，令结合椭圆的标准方程代入法得出y的值，从而得出P的坐标，再结合三角形的面积公式得出此时的值，从而得出三角形的面积。
（3） 设，则直线，由已知结合点到直线的距离公式得出，同理：，因而，是方程的两根，再结合韦达定理得出，再利用点为椭圆上的动点结合代入法得出，再解方程组得出，由在第一象限得，进而得出存在点满足要求。
12．（2023·长春模拟）已知双曲线上的所有点构成集合和集合，坐标平面内任意点，直线称为点关于双曲线的“相关直线”．
（1）若，判断直线与双曲线的位置关系，并说明理由；
（2）若直线与双曲线的一支有2个交点，求证：；
（3）若点，点在直线上，直线交双曲线于，，求证：．
【答案】（1）解：直线与双曲线相切．理由如下：
联立方程组，
∴①，
∵，
∴，即，代入①得，
，
∴，
∴直线与双曲线相切．
（2）证明：由（1）知，
∵直线与双曲线的一支有2个交点，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）证明：设，，设，，
∵，
∴，则，
代入双曲线，利用在上，
即，整理得，
同理得关于的方程．
即、是的两根，
∴，
∴．
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 联立方程组， 化简后验证根的判别式为0，即可直线与双曲线的位置关系；
（2）利用直线与双曲线的一支有2个交点，得 ，然后结合判别式以及 ， 即可得证；
（3） 设，，设，， 解除x、y，代入双曲线中，整理得到关于和的方程，得到 ， 即可得证.
13．（2023·广安模拟）已知椭圆经过，两点，，是椭圆上异于的两动点，且，若直线，的斜率均存在，并分别记为，.
（1）求证：为常数；
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）证明：设直线的倾斜角分别为，
因为，所以，
即，故，
因为，，所以，所以，
所以，
则，
所以为常数；
（2）解：椭圆经过，两点，
代入得，解得，
所以椭圆方程为，
设，，由（1）得，
则的方程为，的方程为，
联立，消得，则，
同理可得，
则
令，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设直线的倾斜角分别为， 根据，可得，求出，从而可得出结论；
（2）利用待定系数法求出椭圆方程，设，， 联立方程得，解得，，再根据，化简计算结合基本不等式即可得解.
14．（2023·杭州模拟）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，且．
①求证：直线经过定点．
②设和的面积分别为、，求的最大值．
【答案】（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，
且最大值为，
由题意可得，解得，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）解：①设点、.
若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意.
设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，
联立可得，
，可得，
由韦达定理可得，，则，
所以，
，解得，
即直线的方程为，故直线过定点.
②由韦达定理可得，，
所以，
，
，则，
因为函数在上单调递增，故，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C的方程；
(2) (i)分析可知直线PQ不与y轴垂直， 设直线的方程为 ，可知 ， 设点、，将直线PQ的方程的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用 ，求出n的值，即可得出直线PQ所过定点的坐标；
(ii)写出 关于t的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得 的最大值．
15．（2023·红河模拟）已知椭圆：的焦距为2，，分别是的左焦点和右顶点，点在上，且．
（1）求的方程；
（2）若，直线：与交于不同两点，，的内切圆的圆心在直线上，求直线的斜率．
【答案】（1）解：由，得，所以
又由，得，为椭圆的左顶点，
，解得，
分所以，
故的方程为
（2）解：由的内切圆的圆心在直线上，知直线，关于直线对称，
所以直线，的倾斜角互补，即．
联立，得．
设，，则，
，
所以，
即，
即，
即．
若即，
直线的方程为，
此时直线过点，不合题意，
所以，即，故直线的斜率为．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据题意可得 ， ， 由，得，为椭圆的左顶点， 再根据向量数量积的运算可求出a，进而求出b，可得 的方程；
(2) 由的内切圆的圆心在直线上 ，则 ， 设， ， 直线： ，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得 ，， 再计算 ， 即可求解出直线的斜率．
16．（2023·崇明模拟）已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点．
（1）若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；
（2）若，求的面积；
（3）设直线与直线交于点，证明：三点共线．
【答案】（1）解：依题意，，解得（负数舍去）.
（2）解：的直线经过，则直线方程为：；
，则椭圆的方程为：.
设联立直线和椭圆方程：，消去得到，
解得，则，故，于是.
依题意知，为椭圆的下顶点，即，由点到直线的距离，到的距离为：.
故
（3）证明：设联立直线和椭圆方程：，得到，由，得到直线方程为：，令，解得，即，又，，为说明三点共线，只用证，即证：，下用作差法说明它们相等：
，而，，，于是上式变为：.
由韦达定理，，于是，故，命题得证.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据离心率的定义，计算即可；
（2）联立直线和椭圆方程，整理得， 根据弦长公式算出，用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可；
（3）联立直线和椭圆方程，先表示出，将共线问题转化成证明，结合韦达定理进行化简计算.
17．（2023·温州模拟）已知点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，点在第一象限．
（1）求点横坐标的取值范围；
（2）线段交圆于点，记的面积分别为，求的最小值．
【答案】（1）解：由双曲线即可得交点，
设，则，
根据向量定比分点公式：，
将坐标代入双曲线得：，
两式相减得：
则有：，再结合，解得，
故．
（2）解：由可得，
在上则有
，将代入，
，
根据双曲线的定义，，
显然，
，
，
则，当且仅当时取等号，
故为．
【知识点】两点间的距离公式；双曲线的定义
【解析】【分析】(1) 设，则，根据向量定比分点公式，将点P，A的坐标代入双曲线方程中，用表示出x1的取值范围，即可得 点横坐标的取值范围；
(2)根据 ，用表示出 ，求出其最值即可.
18．（2023·宜宾模拟）已知椭圆的离心率为，右焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的上顶点在以点为圆心的圆外，过作圆的两条切线，分别与轴交于点，点，，分别与椭圆交于点，点（都不同于点），记面积为，的面积为，若，求圆的方程．
【答案】（1）解：由已知得，，
.
（2）解：由（1）知，点，过点作圆的切线，当其中一条斜率不存在时不合题意，
可设切线方程为，圆的半径为，且，
得
设切线的斜率分别为，则，
由，令得；由得，
同理，
或，
圆或.
【知识点】椭圆的标准方程；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质与离心率公式即可求解；
（2）设出切线方程，由点到直线的距离可以得出两条切线的斜率关系，得点， 同理 ，再由切线方程与椭圆联立，根据韦达定理求出，的坐标，代入三角形面积公式化简即可求解.
19．（2023·宜宾模拟）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）已知直线过点，与曲线交于，两点，为弦的中点，且，求的斜率．
【答案】（1）解：由得，，
即，所以曲线的直角坐标方程为
（2）解：易知直线过点，设直线倾斜角为，
则直线的参数方程为(为参数)，
代入得，易得，
设，对应的参数分别为，则，
故.
解得，
则，
的斜率为.
【知识点】直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程
【解析】【分析】（1） 由得， 利用和差公式展开，代入公式，即可求解；
（2）根据参数方程的几何意义，联立方程得出韦达定理，将韦达定理代入，即可求解.
20．（2023·吉林模拟）知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.
【答案】（1）解：过且斜率为的直线的方程为，
令，得，
由题意可得，解得，
椭圆E的方程为：；
（2）证明：由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：，
，，
联立，得
，，
由，得，
，
，
直线AD的方程为，令，解得，
则，同理可得，
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)写出直线方程，取x=1求得y值，得到直线与椭圆的交点，再由已知列关于a ， b的方程组，求解a，b的值，可求出椭圆E的方程；
(2) 由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：， 由椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得D ， C横纵坐标的和与积，分别写出AD ， AC的方程，求得H与G的坐标，再写出两三角形面积的乘积，结合根与系数的关系可得△ABG与△AOH的面积之积为定值.
21．（2023·吉林模拟）已知点，动点M在直线上，过点M且垂直于x轴的直线与线段的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知圆的一条直径为，延长分别交曲线C于两点，求四边形面积的最小值．
【答案】（1）解：法一：设点，则．
由题意知，即，
整理得：，
则曲线C的方程为．
法二：由题意知，点P到点的距离等于其到直线的距离相等，
则点P的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
则曲线C的方程为.
（2）解：法一：由题意知，为圆的直径，则．
由题意知直线存在斜率，设为k，且，则直线的斜率为．
又OA所在直线为，
联立，解得：或，则不妨取S点横坐标为，
联立，解得：或，则不妨取A点横坐标为，
所以．
同理可得，
四边形的面积
，
令，，则，
因为S在上单调递增，所以当时，S有最小值36．
即当时，四边形面积的最小值为36
法二：设方程为，
由，得．
由，得，
∴，
同理可得：．
令，
则在上单调递增．
∴，
当即时，四边形面积的最小值为36
即四边形面积的最小值为36．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)法一：设点P (x， y) ，由题意可知 ，将该式转化为方程，化简可得曲线C的方程；
法二：利用抛物线的定义即可求得曲线C的方程；
(2)法一： OA所在直线为， 分别联立抛物线方程和圆的方程，求得交点坐标，即可求得|AS|的表达式，同理得|BT|的表达式，即可求得四边形ABST面积的表达式，结合函数的单调性，即可求得 四边形面积的最小值；
法二： 设方程为，下面方法和法一相同.
22．（2023·深圳模拟）已知斜率存在的直线过点且与抛物线交于两点.
（1）若直线的斜率为1，为线段的中点，的纵坐标为2，求抛物线的方程；
（2）若点也在轴上，且不同于点，直线的斜率满足，求点的坐标.
【答案】（1）解：因为直线的斜率为1且过点，
所以直线的方程为：，
设，
由，得：，
所以，
所以，
因为为线段的中点，的纵坐标为2，
所以，
所以抛物线的方程为：.
（2）解：设直线的方程为：，，
，得：，
所以，
由
由，
所以，
即，
所以，
所以点的坐标为.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题知直线的方程为： ，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；
（2） 设直线的方程为：，，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出，将韦达定理代入=0，化简求出参数即可得点的坐标为.
23．（2023·广西模拟）已知椭圆，斜率为2的直线l与椭圆交于A，B两点．过点B作AB的垂线交椭圆于另一点C，再过点C作斜率为－2的直线交椭圆于另一点D．
（1）若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB的面积．
（2）试问直线AD的斜率是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，说明理由．
【答案】（1）解：设直线AB的方程为，因为到直线的距离为，所以，则.将代入，得，解得，
则.
故的面积为.
（2）解：设，直线AB的方程为，
代入，得，
则，
可得点A的坐标为
设，直线CD的方程为，
代入得
则，
可得点D的坐标为
由得，
因为，所以
则，
则.
故直线AD的斜率为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 设直线AB的方程为，因为到直线的距离为 ，求出t，联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出|AB|，即可由面积公式求解出 △AOB的面积；
(2)由直线AB的方程联立椭圆求出点A的坐标，同理由直线CD的方程联立椭圆方程求出D点坐标，再由 及点在椭圆上可得 ， 再根据斜率公式计算即可求解出直线AD的斜率为定值.
24．（2023·南宁模拟）已知椭圆的左焦点为，点在上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的上顶点为，圆，椭圆上是否存在两点使得圆内切于？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可知椭圆的右焦点为，因为点在椭圆上，
所以
，所以，椭圆的方程为．
（2）解：由（1）可知椭圆的上顶点为，假设这样的存在，且设，
则直线的斜率为，直线的方程为，
因为直线与圆相切，则，所以
两边平方化简得，
整理得，
因为，消去得，
因为，两边同时除以，得，
整理得，即点在直线上，
同理点也在直线上，
因此直线的方程为，
若直线与圆相切，则，
解得（舍去）或.
因此直线存在，且直线的方程为，
即.
【知识点】直线和圆的方程的应用；椭圆的标准方程
【解析】【分析】(1)根据椭圆上的点和焦点坐标求出a，c，即可求出椭圆E的标准方程；
(2)设点B ， C的坐标，利用直线AB，AC与圆M相切，求出直线BC的方程，再利用直线BC与圆M相切建立r的方程，求解即可得直线的方程.
25．（2023·广东模拟）已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形.
（1）求椭圆标准方程；
（2）若为原点，且满足，求的面积.
【答案】（1）解：当点，点和点为椭圆的顶点时，恰好构成边长为2的等边三角形，
①当点，点和点中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右顶点时，不妨设点，点为上顶点和下顶点，点为右顶点，此时，，
②当点，点和点中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点，不妨设点，点为左顶点和右顶点，点为上顶点，此时，（舍去），
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：设，
因为，
所以，
①当直线斜率不存在时，
即，则，
因为点在椭圆上，所以，则有，
所以，点到的距离为，
此时.
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立得消去整理得，
满足，
由韦达定理得，
所以，
所以，
又因为点在椭圆上，
所以，
化简得，
所以
，
所以点到直线的距离，
所以
综上所述，的面积为.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）分 点，点和点 中有两个点为上顶点和下顶点和点，点，点和点 中有两个点为左顶点和右顶点两种情况，求出，得到椭圆方程；
（2）设出，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，求出弦长，进而利用点到直线距离求出面积.
26．（2023·南通模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距与短轴长均为4．
（1）求E的方程；
（2）设任意过的直线为l交E于M，N，分别作E在点M，N上的两条切线，并记它们的交点为P，过作平行于l的直线分别交于A，B，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，，，解得，，故椭圆
（2）解：由题意，，显然的斜率不为0，故设的方程为，，
则，即，故，.联立过的切线方程，即，
相减可得，即，
化简可得.代入可得，故.
设的中点为，则，，故.因为，，故，
所以三点共线.又作平行于l的直线分别交于A，B，易得，取中点，根据三角形的性质有四点共线，
结合椭圆的对称性有，当且仅当时取等号.
故
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据焦距和短轴的公式求解即可；
（2） 设的方程为， ， 联立直线与椭圆的方程，根据椭圆的切线方程，联立可得， 设的中点为， 根据韦达定理可得，再结合三角形与椭圆的性质可得四点共线，从而化简，再根据的横坐标关系，结合参数的范围求解即可.
27．（2023·包头模拟）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，，D为垂足，点D的坐标为．
（1）求C的方程；
（2）若点E是直线上的动点，过点E作抛物线C的两条切线，，其中P，Q为切点，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）解：设点A的坐标为，点B的坐标为，
因为，所以，则直线的方程为，
联立方程组，消去y，整理得，
所以有，，
又，得，
整理得，解得．
所以C的方程为．
（2）证明：由，得，所以，
设过点E作抛物线C的切线的切点为，
则相应的切线方程为，即，
设点，由切线经过点E，得，即，
设，，则，是的两实数根，
可得，．
设M是的中点，则相应，
则，即，
又，
直线的方程为，即，
所以直线恒过定点．
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设点A的坐标为，点B的坐标为，根据题意可得到直线AB的方程，联立抛物线的方程，整理可得到关于x(含参p)的一元二次方程，从而得到 ，，再根据 ，代入即可求解p的值，进而得到C的方程；
(2)结合(1)中抛物线，得 ，设点，， ，从而得到 ，是的两实数根，则得到 ，， 进而得到PQ的中点M的坐标， 求出kpq， 从而得到直线PQ的方程，进而得到直线PQ恒过的定点.
28．（2023·呼和浩特模拟）已知椭圆的一个焦点为，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设A、B是x轴上的两个动点，且，直线AM、BM分别交椭圆于点P、Q（均不同于M），证明：直线PQ的斜率为定值．
【答案】（1）解：由已知，得①，
设椭圆方程，代入点得②，联立①②，
解得，，所以椭圆方程为．
（2）证明：由题可知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为．
设点，，
联立得，，满足时，
有，，
由可得，
即，即，
化简得，
代入韦达定理，可得，
又点不在直线PQ上，因此，
所以，即，故直线PQ的斜率为定值．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意，得出a ， b的关系，再代入点M，解方程即可求得椭圆方程；
(2) 由题可知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，再由|AM|=|BM|可得 ， 利用韦达定理，即可证得直线PQ的斜率为定值．
29．（2023·抚顺模拟）已知椭圆的一个焦点坐标为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆C上，且直线与的斜率之积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线与椭圆分别相交于M，N两点，直线（O为坐标原点）与椭圆的另一个交点为E，求的面积S的最大值．
【答案】（1）解：由已知得，且，即，
因此有，得．
因此，得，，所以椭圆的标准方程为．
（2）解：显然直线经过x轴上的定点，设，，
则由椭圆的对称性得，
联立，消去x得．
恒成立，所以，．
．
令，显然有，于是，当，即时取等号．
因此的面积S的最大值为．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据椭圆的顶点坐标，结合斜率的计算公式，可整理椭圆方程，建立方程，可得椭圆C的标准方程；
(2)由题意，利用三角形中线性质，分割三角形，整理三角形面积表达式，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，求得面积表达式中的变量，利用基本不等式，可得 的面积S的最大值．
30．（2022·南阳模拟）已知椭圆过直线上一点作椭圆的切线，切点为，当点在 轴上时，切线 的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，求 面积的最小值.
【答案】（1）解：当 点在 轴上时，直线，
，，椭圆方程为
（2）解：设切线为，设，
则，
且，
则，直线为到直线 距离，
则
.
设，
则，
所以的最小值为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，△=0求得a，即可求得椭圆方程；
(2)设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得|PO|及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得 ， 平方整理关于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值.
31．（2023·邵阳模拟）已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）解：∵双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，而，∴．
∴双曲线的方程为．
依题意直线的方程为．
由 消去y整理得：，
依题意：，，点A，B的横坐标分别为，
则．
∵，∴．
∴，∴．
即，解得或（舍去），且时，，
∴双曲线的方程为．
（2）解：依题意直线的斜率不等于0，设直线的方程为．
由消去整理得：，
∴，．
设，，则，．
直线的方程为，令得：，∴．
同理可得．由对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则该定点一定在轴上，
设该定点为，则，，
故
．
解得或．
故以线段为直径的圆过定点和．
【知识点】双曲线的标准方程；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解，联立直线与双曲线方程整理得，根据弦长公式即可求解， 双曲线的方程为 ；
（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.
32．（2023·湖北模拟）已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于两点，连接，分别交直线于两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R．
（1）求证：点R为线段的中点；
（2）记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数使得？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：由题意知，，
设，，，
联立，得，，
则，，
直线的方程为，
令，得，所以，
同理，．
所以
，
直线，令得，所以，
则，故点R为线段的中点．
（2）解：由（1）知，，
又，
所以．
由（1）知点R为线段的中点，
故
，
所以．
故存在，使得．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设，，，联立方程组求得P ， Q坐标，可证 ， 可证得结论；
(2)由(1)可得 ，可得 ， ， 进而可求出实数的值 .
33．（2023·河南模拟）已知椭圆的右焦点，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点．若，，求的最小值（是坐标原点）．
【答案】（1）解：由题意，椭圆的焦点为，，
由椭圆定义知
所以
所以椭圆的标准方程为
（2）解：由题意知，设
由，，得且
又，都在椭圆上，所以
两式作差，得
把代入式，得
又由，得
所以
所以到直线的距离
经检验，此时垂足在椭圆内部.
所以的最小值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由焦点得，根据椭圆定义求出，即可得解；
（2） 由题意知，设， 利用向量得坐标间关系，代入点差法所得等式，可求出，即是直线上动点，再由点到直线距离求最小值即可.
34．（2023·绍兴模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，且到的一条渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）过的左顶点且不与轴重合的直线交的右支于点，交直线于点，过作的平行线，交直线于点，证明：在定圆上.
【答案】（1）解：根据题意可知C的一条渐近线方程为，
设到渐近线的距离为，
所以，
所以的方程为.
（2）证明：设C的左顶点为A，则，
故直线为线段的垂直平分线.
所以可设PA，的斜率分别为，故直线AP的方程为.
与C的方程联立有，
设B），则，即，
所以
当轴时，，是等腰直角三角形，
且易知
当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故
因为，
所以
所以
因为
所以
所以为定值，
所以点Q在以为圆心且半径为4的定圆上.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 根据题意可知双曲线C的一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式和设点法，即设到渐近线的距离为，从而得出c的值，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出a的值，从而得出双曲线的标准方程。
（2） 设C的左顶点为A，则，故直线为线段的垂直平分线，所以可设PA，的斜率分别为，故直线AP的方程为，再与双曲线C的方程联立有，设B），再结合韦达定理，则，进而得出点B的坐标，当轴时，，是等腰直角三角形，且易知，当不垂直于x轴时，直线的斜率为，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，故，再利用，所以，再结合，所以，所以为定值，从而证出点Q在以为圆心且半径为4的定圆上。
35．（2023·台州模拟）已知过点的直线与双曲线：的左右两支分别交于、两点.
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）设点，过点且与直线垂直的直线，与双曲线交于、两点.当直线变化时，恒为一定值，求点的轨迹方程.
【答案】（1）解：当时，显然符合题意，
当时，设直线的方程为，其中，设、，
与双曲线方程联立可得，
因为直线与双曲线交于不同的两支，所以，又，
所以，解得，即，所以且，解得或，
综上可得；
（2）解：由（1）知，因为，
所以，
设，则直线的方程为：，设，
直线与双曲线方程联立可得，
即，
所以，
所以，
得，
又因为，
所以，
当时，
即时，为定值，
所以或，又因为，
所以点的轨迹方程为.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 当时，显然符合题意，当时，设直线的方程为，其中，设、，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出，即，所以且，从而解一元二次不等式求出k的取值范围。
（2） 由（1）知，再利用两点距离公式得出，设，则直线的方程为：，设，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程得出，再结合两点求距离公式得出，所以，再利用，所以，当时，即时，为定值，所以或，再利用，进而得出点的轨迹方程。
36．（2023·闵行模拟）如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为．
（1）当时，求实数的值；
（2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；
（3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题设，函数定义域为，且，
由，则；
（2）解：当时，，则，
即的斜率，假设存在，则的斜率，
则有解，即在上有解，
该方程化简为，解得或，符合要求，
因此该函数存在另外一条与垂直的切线；
（3）解：，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
设曲线的另一条切线的斜率为，
①当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线；
②当时，，且，
趋近于或趋向于正无穷大时，都趋向于正无穷大，
所以在、上各有一个零点、，
故当或时，都有
当时，故必存在，
即曲线存在相互垂直的两条切线，所以
因为，
由②知，曲线存在相互垂直的两条切线，
不妨设，，
满足，即，
又，，
所以，
故，当且仅当时等号成立，
所以，解得，
又，即 ，解得，
因为，，
所以．
综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是．
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用；两条直线垂直的判定
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再结合代入法得出实数a的值。
（2） 当时结合导数的运算法则和代入法得出，再结合导数的几何意义得出直线的斜率，假设存在，则的斜率，则有解，即在上有解，该方程化简为，再解一元二次方程得出x的值，符合要求，因此该函数存在另外一条与垂直的切线。
（3）利用已知条件结合导数的运算法则得出 ，令，再利用求导的方法判断函数h(x)的单调性，设曲线的另一条切线的斜率为，再利用分类讨论的方法和两直线垂直的判断方法、函数求极限的方法、零点存在性定理，均值不等式求最值的方法得出对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围。
37．（2023·闵行模拟）已知O为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．
（1）若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程；
（2）若直线OM经过曲线上的点，且为正整数，求a的值；
（3）若直线：与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证：．
【答案】（1）解：因为曲线和有且仅有两个公共点，
所以曲线和的两公共点为左右顶点，
则，曲线的半焦距，
所以曲线的离心率，
渐近线方程为；
（2）解：联立，得，
设，则，
所以，，
故直线OM的方程为，依题意直线OM经过点，
代入得，则，所以，
因为直线与曲线的左支相交于两点，故，
得，则，所以，
又曲线和有公共点，所以，所以，
又为正整数，所以，
所以；
（3）证明：由（2）可得，
同理，联立直线：与曲线：，
可得，
因为，所以，
又因为，
所以，
即．
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用曲线和有且仅有两个公共点，所以曲线和的两公共点为左、右顶点，进而得出a的值和曲线的半焦距c的值，再结合双曲线的离心率公式得出曲线的离心率，再利用双曲线的渐近线方程求解公式得出双曲线的渐近线方程。
（2） 利用已知条件，联立，得，设，再利用韦达定理得出，进而结合代入法得出点M的坐标，再结合斜截式得出直线OM的方程为，依题意直线OM经过点，代入得，则，再利用直线与曲线的左支相交于两点，故，则，再利用曲线和有公共点，所以，再结合为正整数，进而得出a的值。
（3） 由（2）可得，同理，联立直线：与曲线：，可得，再利用两点求斜率公式和，所以，再利用结合均值不等式求最值的方法证出不等式成立。
38．（2023·安庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，、、分别为椭圆的三个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点.
（1）若点在直线上，求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆的另一个交点为，是线段的中点，椭圆的离心率为，试探究的值是否为定值（与，无关）.若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可知，点，，的坐标分别为 ()，()，()，
所以直线的方程为，直线的方程为.
由和，消除，得，即为点的横坐标.
因为点在直线上，所以.
整理得，所以，
所以离心率.
（2）解：当椭圆的离心率为时，，，
所以椭圆的方程为，即，
直线的方程为.
联立，消去，化简整理，得，
所以点的横坐标为，纵坐标为.
因为点的坐标为，所以中点的坐标为.
又由（1）知点的横坐标为，所以点的纵坐标为.
所以，
，
故为定值.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意可知点，，的坐标，再结合两点式得出直线的方程和直线的方程，由和联立得出点的横坐标，再结合点在直线上和代入法得出，再利用椭圆的离心率公式变形和解一元二次方程的方法得出椭圆的离心率的值。
（2） 当椭圆的离心率为时结合椭圆的离心率公式得出，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，得出，进而得出椭圆的方程，再利用点斜式得出直线的方程，再结合直线与椭圆相交，联立二者方程得出点D的坐标，再结合点的坐标为和中点坐标公式得出中点的坐标，又由（1）知点的横坐标，从而得出点的纵坐标，再利用两点距离公式得出为定值。
39．（2023·蚌埠模拟）已知，是双曲线的左 右顶点，为双曲线上与，不重合的点.
（1）设直线，的斜率分别为，，求证：是定值；
（2）设直线与直线交于点，与轴交于点，点满足，直线与双曲线交于点（与，，不重合）.判断直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由.
【答案】（1）解：设，由题意，且 ，
所以
（2）解：设，，，BN的斜率为，由 知：
，由(1)知： 所以
设MN：，与双曲线 联立，
得：，
所以 ，
所以 ，
即﹐
则
整理得，解得或（舍），
故直线MN过定点.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设，由题意，再利用已知条件结合代入法得出 ，再结合两点求斜率公式得出 的值。
（2） 设，，，BN的斜率为，由 结合向量共线的坐标表示知：，再利用两点求斜率公式和(1)知的值，从而得出 的值，设直线MN：，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，再利用两点求斜率公式和已知条件得出，再结合一元二次方程求解方法得出n的值，从而得出直线MN过定点。
40．（2023·宣城模拟）已知椭圆的长轴长为4，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积的取值范围．
【答案】（1）解：椭圆的离心率为，即，
长轴长为4，，，，故椭圆的方程为．
（2）解：设，，联立，得，
则，
，，
所以
，
，，
原点到的距离，
当时，．
当时，
，当且仅当时等号成立．
综上，所以的面积的取值范围是
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式和长轴长公式、椭圆中a，b，c三者的关系式，进而解方程组得出a，b，c的值，从而得出椭圆的标准方程。
（2） 设，，联立结合判别式法和韦达定理得出和，，再利用两点求斜率公式得出，再结合弦长公式和点到直线的距离公式以及三角形的面积公式得出，当时，，当时，，再结合均值不等式求最值的方法得出的最小值，从而得出 三角形的面积的取值范围。
41．（2023·赣州模拟）已知抛物线为其焦点，点在上，且（为坐标原点）.
（1）求抛物线的方程；
（2）若是上异于点的两个动点，当时，过点作于，问平面内是否存在一个定点，使得为定值？若存在，请求出定点及该定值：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为点在上，则，而，所以，
，所以，故该抛物线的方程为.
（2）解：法一：设，不妨设，
，则，解得，
①当与轴不垂直时，，
此时直线的方程为：，整理得
，则的方程为：，则直线恒过定点
由，即，故在以为直径的圆上，该圆方程为，
即当为该圆心时，为定值；
②当轴时，，此时，而，故；
当时，也满足，
综上，平面内存在一个定点，使得为定值4
法二：设直线的方程为
联立，且，
由韦达定理得：，
由，即，解得，
即，直线恒过定点，
由，即，故在以为直径的圆上，该圆方程为，
即定点为该圆心时，为定值；
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用点在抛物线上结合代入法，则，再利用三角形的面积公式和已知条件得出，进而得出p的值，从而得出该抛物线的标准方程。
（2） 法一：设，不妨设，再利用结合已知条件和代入法得出的值，①当与轴不垂直时，，进而结合，从而得出直线的点斜式方程，从而得出直线恒过的定点M的坐标，由，即，故在以为直径的圆上，进而得出圆的标准方程，从而得出当为该圆心时，为定值；
②当轴时，，此时，而，故；当时，也满足，综上所述，平面内存在一个定点，使得为定值4。
法二：设直线的方程为，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出和，由结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及代入法，从而得出的值，进而得出n的值，从而得出直线恒过的定点M的坐标，由，即，故在以为直径的圆上，从而得出该圆d 标准方程，进而得出定点为该圆心时，为定值。
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