专题06 导数-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练
一、解答题
1．（2023·金华模拟）已知函数．
（1）若对时，，求正实数a的最大值；
（2）证明：；
（3）若函数的最小值为m，证明：方程有唯一的实数根，（其中是自然对数的底数）
【答案】（1）解：（） a为正实数，
∴函数在区间上单调递增，且．
①当时，，所以函数在上单调递减，
此时，符合题意．
②当时，，
由零点存在定理，时，有，即函数在上递减，
在递增，所以当时，有，此时不符合．
综上所述，正实数a的最大值为1．
（2）证明：由（1）知，当时，，
令时，有，即，
累加得，．
（3）证明：因为，所以，即函数在上递增，
又，
由零点存在定理，时，有，即，
因此，而函数在上递减，在上递增，
所以，即．
要证方程有唯一的实数解，只要证方程有唯一的实数解．
设，则，
所以函数在上递增，又，，
由零点存在定理，时，，即，
因此，又，
设，则函数在上递增，于是且，
而函数在上递减，在上递增，
，
即函数有唯一零点，故方程有唯一的实数解．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；分析法和综合法
【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论 和 ，讨论导数的正负，即可求解出正实数a的最大值；
（2）由（1）知，当时，，令时 ， 即， 利用累加法计算即可；
（3）求导，根据零点存在性定理进行求解可得结论.
2．（2023·宁波模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性：
（2）若是方程的两不等实根，求证：
（i）；
（ii）．
【答案】（1）解：由题意得，函数的定义域为.
由得：，
当时，在上单调递增；
当时，由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：因为是方程的两不等实根，
即是方程的两不等实根，
令，则，
即是方程的两不等实根.
令，则，
所以在上递增，在上递减，，
当时，；当时，且.
所以，即.
令．
（i）要证，只需证，
解法1：令，
则，
令，
则
，
所以在上递增，，
所以，所以，
所以，
所以，即，所以．
解法2：先证，
令，只需证，
只需证，
令，
，
所以在上单调递减，所以．
因为，所以，
所以，即，
所以．
解法3：由，
设，
所以，
即，
构造函数，
，
所以在上单调递增，所以．
（ii）要证：，只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
令得
即①
令得
即②
①+②得：，
即．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；分析法和综合法
【解析】【分析】(1)求导得 ，分两种情况：当a≤0时，当a>0时，分析f'(x)的符号，进而可得 函数的单调性：
(2) 根据题意可得 是方程的两不等实根，令，则，即是方程的两不等实根， 令 ，求导分析单调性，最值，只需y= 2a与y= g(x)有两个交点可得 ， 令， （i）要证，只需证，令，则， 令，求导分析单调性，可得 ，即可得出 ；
（ii）要证：，只需证：，只需证： ， 只需证：，即可证得 .
3．（2023·梅州模拟）已知函数，其中．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，函数的定义域为，
求导得，
显然函数在上单调递增，且，
因此当时，单调递减，当时，单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：，令，求导得，
当时，，则在上单调递增，，满足题意，
当时，设，则，因此函数，即在上单调递增，
而，
(i)当时，在上单调递增，
于是，满足题意，
(ii)当，即时，对，则在上单调递减，
此时，不合题意，
（iii）当时，因为在上单调递增，
且，于是，使，且当时，单调递减，
此时，不合题意，
所以实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)研究导函数的正负可确定原函数的单调性；
(2) 令，求导，分类讨论其导数的正负，可求出实数a的取值范围.
4．（2023·虹口模拟）设，，.
（1）求函数，的单调区间和极值；
（2）若关于不等式在区间上恒成立，求实数的值；
（3）若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：成等比数列.
【答案】（1）解：由题设，有，可得
令可得，所以，
所以函数在区间上单调递增；
令可得，解得，.
函数在区间上单调递增；
令可得，所以，
所以，函数在上的递增区间为：与；
递减区间为：与.
当时，函数取极大值，极大值为，
当时，函数取极小值，极小值为，
当时，函数取极大值，极大值为；
（2）解：关于不等式在区间恒成立，
即：在区间上恒成立.
令，
则，
令
则，
由（1）知：在上的极大值为，
又，
从而在上的最大值为1，
即在上恒成立.
于是在上恒成立，
所以在上单调递增；
从而，
当时，，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增；
从而在上恒成立.
所以，当时在上恒成立.
当时，存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，
又，所以当时，，与已知矛盾，
综合上述，得：.
（3）解：对于函数，令，则.
从而当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
故当时，取最大值，最大值为.
对于函数，令，则.
从而当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
故当时，取最大值，最大值为.
因此，函数与有相同的最大值.其图像如下图所示.
下面先证明：曲线与有唯一交点.
由，得，即证明方程有唯一实数根.
令，则.
所以在上恒为负数.
因为当时，，，
所以曲线与在区间上没有交点.
而在区间上，函数单调递减，函数单调递增，
所以函数在上单调递减，
进而函数在上单调递减，
由，及零点存在定理得：
函数在上存在唯一零点，
从而方程在上有唯一实数根，且.
由于直线与曲线，共有3个不同交点，
故直线必过点，
且，，
由，得，即，
而函数在上严格增，，，
故①
由，得，
即，
而函数在上严格减，，，
故②
由①，②得. ③
由，得，
故有④
因此，由③，④得，即成等比数列.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)由题意可得 ，求导分析单调性，极f(x)值，即可得出的单调区间和极值；
(2) 关于不等式，即在区间上恒成立， 令，只需F(x)min≥0，即可得出实数的值；
(3 ) 对于函数，令，求导分析单调性，进而可得最大值为 ，对于函数 ， 令，求导分析单调性可得最大值为 ， 函数与有相同的最大值，证明曲线y=F(x)与y=G1(x)有唯一交点，再证明直线 与曲线，共有3个不同交点， 可得 ， ，进而可证得 成等比数列.
5．（2023·红河模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）证明：；
（2）求的最大值．
【答案】（1）证明：因为，所以，
因为，
即，当且仅当时，等号成立，
又因为，所以；
（2）解：，
设，则，
因为，所以，
设，由，得，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
当时，取得最大值为，
所以的最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理得 ， 再根据余弦定理可求出 ，结合 ，可得；
（2）设，则，设 ，求导，根据导数的符号可得 单调性， 进而求出 的最大值，即可得的最大值 .
6．（2023·杭州模拟）已知函数．
（1）讨论函数零点个数；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）解：由，得，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以，
据此可画出大致图象如图，
所以（i）当或时，无零点：
（ii）当或时，有一个零点；
（iii)当时，有两个零点；
（2）解：①当时，即恒成立，符合题意；
②当时，由可得，则，
则，即，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，当时，，
即恒成立，即符合题意；
③当时，由（1）可知，，在上单调递增．
又，，
所以，使.
i）当时，，即，
设，
则，所以在上单调递减，
所以时，；
ii）当时，，即，
设，
因为，
令，则，
又令，
则，得在上单调递增，
有，
得在上单调递增，有，
则，得在上单调递增，
则时，，
又时，，
得当时，时，，
由上可知，在上单调递增，则此时，
综上可知，a的范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)令f(x)=0，可得 ，设，利用导数研究函数g(x)的性质，作出函数g(x)的图象，结合图象求解出函数零点个数；
(2)分a=0 ，a<0以及a>0三种情况讨论，综合即可求出 a的取值范围．
7．（2023·温州模拟）已知函数．
（1）若，求方程的解；
（2）若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明．
【答案】（1）解：，定义域为，
令，设，
故在上单调递减，在上单调递增，，
故方程的解为.
（2）解：令，得，设，
故在单调递增，在单调递减，，
当时，当时，
若有两个零点，则，故，
，令，得，
设，则，
故在单调递增，在单调递减，，
当时，当时，
若有两个极值点，则，
综上，.
不妨令，因为且，由与图象得，
由为的两根得，
两式分别乘并整理得，
所以，
要证，即证，
即证：，
由于，所以 ，
只需证，即证，（），
令，（），
当时，所以在上单调递减，
所以，故，得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1) ，用导数研究 的单调性与极值，只有在极值点处满足 ，可求出方程的解；
(2)由f(x)及f'(x)分别有两个零点，分离参数a，数形结合得到a的取值范围， 要证，即证， 结合 进一步转化为证明 ，结合x1的范围，考察 的最值得证.
8．（2023·红河模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）设，，证明：．
【答案】（1）解：由题意可知的定义域为，
令，则，
①当时，，在上恒成立，在上单调递减．
②当时，， 时，，
时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减．
③当时，，时，，
时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减．
（2）解：当时，恒成立，
故，所以，即，
由得，令（），
则，
令，则，
在单调递增，则，
即在恒成立，故在单调递增．
所以，故在恒成立．
由在单调递增，而，，故．
（3）证明：取时，，则，
所以，
因此，
则.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求出导函数，对a进行分类讨论，即可求解出 的单调性；
(2)将 在[0，+∞)上恒成立转化为当x∈[0，+∞)时， 恒成立，然后构造函数，分类讨论即可求得a的取值范围.
9．（2023·吉林模拟）已知函数，，其中．
（1）若在上单调递减，求a的取值范围．
（2）证明：，n，
【答案】（1）解：因为在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立
令，，当时，，，
所以在区间上恒成立，即在区间上单调递增，
所以当时，，所以.
（2）证明：当时，，
由（1）知，在区间上单调递减，所以，即，所以，．
令得，
所以，
即，n，．
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)利用函数在区间(0， 1)上单调递减，其导函数F'(x)≤0在区间(0， 1)上恒成立，再通过分离常量，转化成恒成立问题，从而构造函数 ，利用单调性求出最值，进而求出a的取值范围；
(2)通过函数 的单调性，得到 ， 令 ，进而得到， 再累加即可证明结论.
10．（2023·广西模拟）已知函数．
（1）设．
①求曲线在点处的切线方程．
②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．
（2）若在上恰有两个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：①当时，，则，
所以，所以曲线在点处的切线方程为，
即．
②令得，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由极值的定义知，当时，函数有极大值，无极小值.
（2）解：因为函数在上恰有两个零点，所以方程在上有两个解，
即在上有两个解，
记，，则直线与函数，有两个交点，
则，
记，则，
令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
令得，又，
所以当时，，，函数单调递增，
当时，，，函数单调递减，
又，，
如图，
由图知，要使直线与函数，有两个交点，则，
所以函数在上恰有两个零点时，a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 (1) ① 将 代入，求导，进而求得切线斜率，进而求出点处的切线方程；
② 求导，根据导数的符号可得 在上和上单调性，进而求出的极值；
(2)由已知可得 在上有两个解，记， 求导，可得函数单调性，结合图象可求出a的取值范围．
11．（2023·南宁模拟），
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明；
（3）证明对于任意正整数，都有.
【答案】（1）解：的定义域为，
①若，当时，，所以在上单调递增；
②若，当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，，即证.
（3）证明：由（2）知当且时，，
对于任意正整数，令得，
所以
.
即证：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1)先求导函数可得 ，x>-1 ，然后讨论a-1与-1的大小关系求出函数的单调区间，即可得 的单调性；
(2)当a=1时，由(1)可得函数f (x)的减区间为(-1，0) ，增区间为(0， +∞) ，然后求出函数f (x)的最小值即可；
(3)由(2)可得 ，令得 ，然后累加求和即可得证.
12．（2023·柳州模拟）已知函数.
（1）当时，求在区间上的最小值；
（2）证明：且）.
【答案】（1）解：，
，，
令，
令，
所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减.
，
故存在使，
所以在区间单调递增，在区间单调递减，
，所以在区间，，
所以在区间上递增，最小值为.
（2）证明：由（1）可知在区间上恒成立（），
所以，
对于函数，，
所以在区间上单调递增，
所以当时，，即，
所以，
即在区间上恒成立，
所以
.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数判断出 在区间上的单调性，从而求得最小值；
（2）先证得 在区间上恒成立， 进而证得结论.
13．（2023·桂林模拟）已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数零点的个数．
【答案】（1）解：因为，所以，
由函数在上单调递增，则在上恒成立．
令，，
当时，，所以恒成立．
所以在上单调递增，所以，所以
（2）解：由，则，．
所以与是的两个零点．
因为，由（1）知，函数在上单调递增，，无零点．
当时，，，，无零点．
当时，，设，，
在上递增，又，，
存在唯一零点，使得．
当时，，在上递减；
当时，，在上递增．
又，，所以，函数在上有且仅有个零点．
综上，当时，函数有且仅有个零点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】 (1)求出函数的导数，问题转化为 在上恒成立，令， ，根据函数的单调性求出a的取值范围；
(2)求出x=2，x=0是 的两个零点，只需证明 函数在上有且仅有个零点 ，结合函数的单调性证明结论成立即可.
14．（2023·包头模拟）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；
（2）若没有零点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，．
，
故曲线在点处的切线方程为，
即．
因为该切线在，轴上的截距分别为和，
所以该切线与两坐标轴所围成的直角三角形的面积．
（2）解：①当时，，则，
由图象可得，当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
故为最小值，且．
所以此时存在零点，不符合题意．
②当时，因为，
所以，
令，则，
因为，所以，在上单调递增，
又，由零点存在定理得，
在上有唯一的零点，即，因此有．
当时，，即；当时，，即．
所以在上单调递减，在上单调递增，故为最小值．
由，得，，
所以，
因为，所以，又因为，所以，所以．
所以，此时没有零点．
综上，的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)先求出切点，利用导数求得切线斜率，进而得到切线方程，再分别求出在x ， y轴上的截距，最后利用直角三角形面积公式求得三角形的面积；
(2)对a分a=1和a>1两种情况讨论，利用导数探究出函数的单调性，进而求得函数最值，分析可得答案.
15．（2023·呼和浩特模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有2个不同的极值点，，求证：.
【答案】（1）解：因为，
所以．
设，则．
当时，，，，在上是增函数；
当时，两个根，；
当时，，，
所以当时，，，是减函数；
当时，，，是增函数；
当时，，
所以当或时，，，是增函数；
当时，，，是减函数；
综上可知，当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数；
当时，在上是减函数，
在，上是增函数．
（2）证明：由题意可得，是的两个根，
则，，且，
所以．
设，则，
令，
则在上为增函数，
且，，
所以存在，使得，即，
且当时，，是减函数，
当时，，是增函数，
所以
，故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】(1)先求函数的导函数，求导后对a分成a≥2，0
(2)利用韦达定理写出这两个极值点的关系，化简 ， 并利用导数求得上式表达式简的单调区间以及最值，由此证得不等式成立.
16．（2023·抚顺模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．
【答案】（1）解：由已知得函数的定义城为，
．当且仅当时，等号成立，
当时，恒有，所以在是增函数；
当时，方程有两个不等的正根，，
由，即，解得，或．
由，即，解得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增．
综上，当时，在是增函数；
当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增．
（2）证明：由（1）知，当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以有两个极值点，，且，满足，，
所以，．
，且；
令，则，
当时，，所以在单调递增，，
于是，即，
，且，
令，则，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
因此，即，所以在单调递减，当时，，
于是，，因此，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)求导得 ， 当且仅当时，等号成立， 分两种情况：当 时，当 时，分析f'(x)的符号，可得函数的单调性；
(2)由(1)知，当时， f(x)有两个极值点 ，，且，满足，，计算f(x2)-x1 ， f(x2)- x2 ，分析单调性，极值，即可证得 ．
17．（2023·湖北模拟）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若有3个零点，，，其中．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：．
【答案】（1）解：当时，，，
则在恒成立，所以在单调递增，
故的单调递增区间为，无单调递减区间．
（2）解：（ⅰ），
，，则除1外还有两个零点，
，令，
当时，在恒成立，则，
所以在单调递减，不满足，舍去；
当时，除1外还有两个零点，则不单调，
所以存在两个零点，所以，解得，
当时，设的两个零点为，
则，，所以．
当时，，，则单调递增；
当时，，，则单调递减；
当时，，，则单调递增；
又，所以，，
而，且，
，且，所以存在，，
使得，
即有3个零点 ，，．
综上，实数a的取值范围为．
（ⅱ）证明：因为，
所以若，则，所以．
当时，先证明不等式恒成立，
设，
则，
所以函数在上单调递增，于是，
即当时，不等式恒成立．
由，可得，
因为，所以，
即，两边同除以，
得，即，
所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)当a=1时， ，求导分析f'(x)的符号，可得函数的单调区间；
(2) （ⅰ），则f (x)除1外还有两个零点，对f(x)求导，分析单调性，极值，零点，即可求出实数a的取值范围；
( ii )根据题意可得 ， 若，则，即 ， 当时，先证明不等式恒成立，由f(x3)=0，可得 ， 进而可得 ， 即，化简即可证得.
18．（2022·南阳模拟）已知函数
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，判断关于的方程在内解的个数，并说明理由．
【答案】（1）解：由题意在上恒成立，得 恒成立，
令，则 ，
当时，令，解得，
令，解得 ，
所以在为减函数，在上为增函数，
故，
故，即，
所以实数的取值范围 .
（2）解：由，得等价于，
令，
因为在上，
，单调递减，
在上，故 ，，单调递增，
注意到，，在和上各有一个零点，
共有两个零点，故方程有两个实数根.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)由题意转化为即 恒成立，由此构造函数，转化为求函数的最值问题，即可求得实数的取值范围；
(2)由题意得 等价于，构造 令 ，通过判断导数正负，判断函数单调性，结合零点存在定理，继而判断函数的零点个数.
19．（2023·湖南模拟）已知.
（1）判断函数的单调性；
（2）若是函数的两个极值点，且，求证：.
【答案】（1）解：易知函数的定义域为，
又，
当时，，，则，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，或，，
所以在上单调递减，在和上单调递增；
当时，，所以在上单调递增；
当时，或，，
所以在上单调递减，在和上单调递增.
综述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，，所以在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增.
（2）证明：由，
有，由题意可知是方程的两个不同的正根，
因此，即：，
又因为 ，
所以，
又因为，所以.
所以
.
（i）先证：.
证法一：
要证明，只需证明，
因为，，
所以只需证明，即证，
又，
故只需证明，
即证，
因为，故，所以，
令，，则，故在上单调递减，
所以，即，
证毕.
证法二：
因为，所以由（1）可知，在上单调递减，
要证，只需证明，
因为，所以，
故，证毕.
（ii）再证：.
要证，即证，
只需证明，
又，
故只需证明，
即证，
因为，所以.
综上，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；分析法和综合法
【解析】【分析】(1)函数f(x)的定义域为 ，求导得 ， 分五种情况：当a=0时，当a>0时，当-1(2)根据题意可得 ，求导得 ，则 可知是方程的两个不同的正根，结合韦达定理可得 且 ，，计算，先证 ，再证，即可证得 .
20．（2023高三下·黔东南模拟）已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若是的两个零点，且，证明：.
【答案】（1）解：由题可知，
则当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以当时，取得极小值，无极大值.
（2）证明：记，，，则，，
作差得，即，
要证明，只需证，即证，
令，则，
所以在上单调递增，则，所以成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据得到，然后求导，由导数确定单调性，即可求极值；
（2） 记，， ，根据是的两个零点得到，然后将证明转化为证明，构造函数，求导，得到的单调性，即可得到，即可证明成立.
21．（2023·绍兴模拟）设函数.
（1）证明：当时，；
（2）记，若有且仅有2个零点，求的值.
【答案】（1）证明：当时，有，单调递增，
又，则可知，使得，
所以在单调递减，在单调递增，
又，则可知；
（2）解：依题意，函数的定义域是，
当时，，即，而，
时，，时，，有两个零点，符合题意；
①当时，若，有，且，有，
又，由（1）可知又，则
所以在有1个零点：
若，有，若，
有，
可知在有1个零点，符合题意：
若，有在单调递增，，
（i）若，则当，有，
（ii）若，又，则可知，使得；
由（i）、（ii），则可知有在单调递减，所以，
又有，所以在至少有1个零点，
则可知在至少有2个零点，不符合题意；
若，有在单调递增，
又，则可知，使得，
所以在单调递增，则有，
又有，所以在至少有1个零点，
则可知在至少有2个零点，不符合题意；
②当时，由，
记，
由①可知，有且仅有满足题意，即时，满足题意.
综上可知，实数a的值为，0，1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1） 当时结合导数的运算法则和增函数的定义，所以单调递增，再利用零点存在性定理，则，使得，从而判断出在和在上的单调性，再利用，从而证出当时，成立。
（2） 依题意，函数的定义域是，再利用分类讨论的方法和函数的单调性以及零点存在性定理，进而结合已知条件得出实数a的值。
22．（2023·台州模拟）已知，，设函数，其中为自然对数的底，.
（1）当时，证明：函数在上单调递增；
（2）若对任意正实数，函数均有三个零点，其中.求实数的取值范围，并证明.
【答案】（1）证明：当时，，
设，所以，
当单调递減，
当单调递增，
所以，
即，所以函数在上单调递增.
（2）证明：由题意方程有三个解，
记函数，
当单调递增，
当单调递减，
当单调递增，
又，
所以当时，方程有三个解，且，
设，若对任意正实数，函数均有三个零点，所以，
因为，所以在单调递增，在单调递减，
所以，
所以实数的取值范围为.
因为，由方程，得.
即方程有两个解，
即，且，设，
则，即，
解得，所以，
要证，即证，
即证，
设，
，
所以在上单调递增，所以，
即得证，
所以得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合a和k的值得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而证出函数在上单调递增。
（2） 由题意方程有三个解，记函数再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法得出当时，方程有三个解，且，设，若对任意正实数，函数均有三个零点，所以，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，从而结合恒成立问题求解方法得出实数的取值范围，再结合，由方程，得，即方程有两个解，即，且，设，则，解得，所以，要证，即证，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而证出，进而证出不等式成立。
23．（2023·静安模拟）已知函数.（其中为常数）
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.
【答案】（1）解：当时，可得，
可得，所以且，
所以切线方程为，即，
即曲线所以曲线在点处的切线方程为.
（2）解：由函数，可得函数的定义域为，
又由，令，解得，，
当时，与在区间的情况如下表：
极小值 ↗
所以函数的极小值为，也是函数的最小值，
所以当时，函数的最小值为
（3）解：当时，，令，解得（舍去）
所以函数在上有一个零点；
当 时，与在区间的情况如下表：
0 0
↗ 极大值 极小值 ↗
所以函数在单调递增，在上单调递减，
此时函数的极大值为，
所以函数在上没有零点；
又由且函数在上单调递增，
且当时，，
所以函数在上只有一个零点，
综上可得，当时，在上有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1） 利用a的值得出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法和函数的解析式得出切点的坐标，再利用点斜式得出曲线在点处的切线方程 。
（2） 利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合比较法得出函数的最小值，从而得出当时的函数的最小值。
（3） 当时，得出函数的解析式，再利用函数的零点的求解方法得出函数在上有一个零点；当 时结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合零点存在性定理判断出函数在上没有零点；又由且函数在上单调递增，且当时，，再结合零点存在性定理判断出函数在上只有一个零点，综上可得当时的函数在上的零点个数。.
24．（2023·宜宾模拟）已知，函数，．
（1）若，求证：在上是增函数；
（2）若存在，使得对于任意的成立，求最大的整数的值．
【答案】（1）解：，令，，
令，解得
在上单调递减，单调递增，
，
，
命题得证.
（2）解：存在，使得对于成立，
等价于存在，使得对于成立，
由于，原题意的必要条件是，对都成立
设，使得，即，
在是减函数，在是增函数，其中，即，
，
显然，
由上图知，，
对都成立的最大整数是2，
以下证明充分性，当时，存在，使得恒成立，
，由上证明知存在大于0的正的最小值，
故存在大于0的，使得恒成立，
当时，设，
故对不恒成立，
存在，使得对于任意的成立，最大的整数的值是2.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对函数求导，得，讨论单调性，证明最小值大于0即可；
（2）将不等式转化为两个函数的图象交点问题，分别讨论两个函数的单调性，利用存在性定理判断根的范围即可求解.
25．（2023·广安模拟）已知函数有两个极值点.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数，可得，
因为函数有两个极值点，
所以方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，
设，可得，
当时，可得，单调递增；
当时，可得，单调递减，
所以时，函数取得极大值，极大值为，
又因为时，；时，，且时，，
所以方程有两个不同的实数根时，可得，
即函数有两个极值点时，的取值范围是.
（2）解：由（1）知，函数的两个极值点是方程的两根，
且，则有，
两式相除，可得，可得，
又由，可得，
所以，令，
令，则需要恒成立，
则，
令，则，
令，
则在上单调递增，
又由，则存在，使得，
当时，，则即为单调递减；
当时，，则即为单调递增，
又，所以存在，使得
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
又，所以当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递增，
所以当时，，所以，
故实数的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）根据题意转化为方程有两个不同的实根， 设，可得， ，求得函数的单调性和极大值，进而求得的取值范围；
（2）由（1）得到，得出，令，得到，求得， 令，则，再令，利用导数求得的单调性，进而得出单调递性和最小值，即可求解.
26．（2023·崇明模拟）已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有．
（1）若，，求实数a的取值范围；
（2）证明：方程至多只有一个实根；
（3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有．
【答案】（1）解：因为，，所以，
由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，易知，在上，函数和均单调递增，
所以.
（2）证明：令，故，
所以函数是严格减函数，故至多只有一个实根；
（3）证明：设的最大值为，最小值为，
在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，
设，，
因为函数是周期为2，取一个周期，且，
则有，
若，则成立，
若，设，即，故，且，则，
所以成立，
综上，对任意实数，都成立，所以原式得证．
【知识点】函数的周期性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）根据题意，将问题转化成在上 恒成立问题，再利用函数的单调性即可求出结果；
（2）构造函数，由题易知在定义域上严格单调，从而得到证明；
（3）利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再分，进行分类讨论，即可得出结论.
27．（2023·深圳模拟）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，
切线斜率为，
所以切线方程为：，
即：..
（2）解：∵，定义域为，
∴，
又∵有两个极值点，
∴有两个零点，即：（）有两个不同的根.
即：（）有两个不同的根.
令，则与在上有两个不同的交点.
∵，
则，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
又∵，，
当时，；当时，，
∴的图象如图所示，
所以，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）运用导数几何意义求得切线斜率，进而求得切线方程；
（2）将问题转化为 （）有两个不同的根，运用分离参数研究函数与在上有两个不同的交点， 运用导数研究函数的图象观察即可.
28．（2023·蚌埠模拟）已知函数，，.
（1）若，求证：；
（2）若函数与函数存在两条公切线，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，
记，
则，
记，
因为，所以在上单调递增
又
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增
所以当时，取得最小值，即
所以当时
（2）解：设函数与函数的公切线分别相切于点和点
因为，，
所以l的方程可表示为或
则有...①，...②
由①可得，代入②可得：
即
记，，则
记，
因为，所以单调递减
又，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
由上可知，要使函数与函数存在两条公切线，只需直线与函数图象有两个交点，
因为，
由图可知a的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 当时，，记，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而证出当时，不等式成立。
（2） 设函数与函数的公切线分别相切于点和点，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出切线l的方程，则有...①，...②，联立①②可得，记，，再利用求导的方法判断函数的单调性，要使函数与函数存在两条公切线，只需直线与函数图象有两个交点，再利用， 再利用两函数的图象得出实数a的取值范围。
29．（2023·安庆模拟）已知函数，，..
（1）若曲线在点处的切线方程是，求和的值；
（2）若，且的导函数恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以，
因为曲线在点处的切线方程是，
所以即
解得
（2）解：由得，.显然
因此.
令且，则，
解方程得，，
因此函数在和内单增，在和内单减，且极大值为，极小值为.的大致图象如下：
由图象可知，当或时，直线与曲线分别有两个交点，即函数恰有两个零点.
故的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合函数的解析式代入法得出切点坐标，再利用点斜式得出曲线在切点处的切线方程，进而得出a，b的值。
（2） 由结合，因此，令且，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，从而画出函数的大致图象，由图象可知，当或时，直线与曲线分别有两个交点，再结合函数的零点与直线与曲线的交点的横坐标的等价关系，即函数恰有两个零点，从而得出实数的取值范围。
30．（2023·宣城模拟）已知函数．
（1）若，求．
（2）证明：，．
【答案】（1）解：令，则可化为.
令，，则
若，则，此时在内单调递增，
，所以时，，不符合题意；
若，则由得．
当，单调递增；当，，单调递减．
因为，所以当或者时，，不符合题意；
当时，，符合题意，
故，解得．
（2）证明：要证，，只需证，
由（1）可知，．
记，则当时，
因此在内单调递减，又，所以即，
故，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1） 令，则可化为，令，，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出，进而解方程得出a的值。
（2）利用已知条件结合分析法，则要证，，只需证，，由（1）可知，，记，再利用放缩法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，即，从而证出当时，不等式 成立。
31．（2023·赣州模拟）已知函数（，e为自然对数的底数）.
（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；
（2）函数，，记的极小值为，求函数的值域.
【答案】（1）解：法一：由得，
故当时，；当时，.
故函数在区间上单调递减，在上单调递增
∴，
①当时，，函数无零点
②当时，，函数有一个零点
③当时，，又，
故当时，函数有两个零点
法二：方程等于解方程，
记，
故当时，；当时，.
故函数在区间上单调递减，在上单调递增
∴.
①当时，函数，即无零点，
②当时，函数即有一个零点，
③当时，由，，
故当时，函数，即有两个零点；
（2）解：法一：由，
得：，
由（1）知：当时，有两个零点（不妨设），
同时也是的两个零点，且函数与单调性完全相同
∴在，上单调递增，在上单调递减，
∴的极小值为，
又满足，即，
代入上式得，
又，∴，
对于二次函数，开口向下，对称轴为，
在上，.
法二：由，记，结合
显然函数在上单调递增，且，，
故存在唯一，使得，且当时，；当时，，
故在上单调递减，在单调递增，
又，，，
故存在两个零点（不妨设），
下同法一
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】 （1）法一：由结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合函数的最值和函数零点存在性定理，进而得出函数有两个零点时的实数a的取值范围；
法二：方程等于解方程，记，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合函数的最值和函数零点存在性定理，进而得出函数有两个零点时的实数a的取值范围。
（2） 法一：由结合求导的方法判断函数的单调性和由（1）知：当时，有两个零点（不妨设），同时也是的两个零点，且函数与单调性完全相同，从而结合函数的单调性得出函数的极小值，再利用满足，即，代入上式得，再利用，进而得出的取值范围，对于二次函数，开口向下，对称轴为，再结合二次函数的图象求值域的方法得出在上的函数的值域。
法二：由，记，再结合和求导的方法判断函数的单调性，显然函数在上单调递增，且，，再利用零点存在性定理，故存在唯一，使得，且当时，；当时，，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数零点存在性定理判断出存在两个零点（不妨设），同时也是的两个零点，且函数与单调性完全相同，从而结合函数的单调性得出函数的极小值，再利用满足，即，代入上式得，再利用，进而得出的取值范围，对于二次函数，开口向下，对称轴为，再结合二次函数的图象求值域的方法得出在上的函数的值域。
32．（2023·鞍山模拟）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意的，都有成立，求a的取值范围．
【答案】（1）解：该函数的定义域为，
，
①当时，恒成立，函数的递增区间为；
②当时，令，解得或，
所以函数的递增区间为，递减区间为，
所以当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为．
（2）解：对任意的，都有成立，只需任意的，，
①当时，在上是增函数，所以只需，而，所以满足题意；
②当时，，在上是增函数，
所以只需，而，所以满足题意；
③当时，，在上是减函数，
在上是增函数，所以只需即可，
而，从而不满足题意；
综上①②③可得：实数a的取值范围为．
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的定义域和分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间。
（2） 对任意的，都有成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，只需任意的，，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出实数a的取值范围。
33．（2023·邯郸模拟）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）对任意的，都有，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，则．
所以，，
故所求切线方程为，即．
（2）解：设，
则．
因为，所以至少满足，即．
设．
因为，，所以在上单调递增，
所以．
设，
则．
因为，所以，，
则在上恒成立，即在上单调递增，
所以，即对任意，都有．
a的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 （1）利用a的值得出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合函数的解析式代入法得出切点坐标，再利用点斜式得出曲线在处的切线方程。
（2） 设，再利用导数的运算法则得出
，再结合，所以至少满足，进而得出实数a的取值范围，设，再利用x的取值范围和函数的单调性，进而得出函数的最小值，所以，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围。
34．（2023·唐山模拟）已知，证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：令，则，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，等号仅当时成立，即，
从而，所以．
综上，．
（2）证明：显然时，，即成立．
令，，则，，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，等号仅当时成立，
从而可得，，所以在和上单调递减．
由（1）知，时，；时，，
所以，即．
又当且时，，所以．
故时，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性可得，即证，进而，即证，原不等式即可证明；
（2）易知时不等式成立；当时，利用二阶导数研究函数的单调性可得 时，即，即可得到证明.
35．（2023·株洲模拟）已知函数有两个极值点，．
（1）若，求a的值；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）解：依题意知，，
因为函数有两个极值点，，
所以，，，
则有有两个根，等价于有两个根，
令，则，
令，解得，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
所以时，取得最大值，
又趋向于无穷大时，趋向于0，
所以且.
若，即，
由，解得：或（舍去），
所以若，a的值为：.
（2）解：由（1）知，，
，，
整理可得，令，
所以，易得，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，所以，即，
所以，令，
则恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
即，所以a的取值范围为：.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算
【解析】【分析】（1）依题意知，再利用函数有两个极值点，结合函数求极值点的方法得出方程有两个根，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，再结合趋向于无穷大时，趋向于0，所以且，若结合得出a的值。
（2） 由（1）知，，再利用代入法得出，令，所以，易得，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
36．（2023·张家界模拟）已知函数，.
（1），求的最值；
（2）若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可得，定义域为.
设，由，得，由，得.
则在上单调递增，在上单调减，
，
故在上的最大值是，无最小值.
（2）解：由题意可得，
，
的定义域是.
①当，即时，时，时，
则在上单调递减，在上单调递增.
因为时，，时，，
所以要有两个零点，
则，解得，故；
②当，即时，由，解得，
因为，所以，则有且仅有1个零点，故不符合题意；
③当，即时，由，得或，
由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减.
因为时，，时，，
所以要有两个零点，则或
，
若，解得，不符合题意，
若，设，则化为，
时，，，
所以，无解，
即无解，故不符合题意；
④当，即时，恒成立，则在上单调递增，从而最多有1个零点，则不符合题意；
⑤当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减.
因为时，，时，，
所以要有两个零点，则或.
若，解得，不符合题意，
若.
设，则化为，
由（1）知在上单调递减，所以，无解，
即无解，故不符合题意.
综上，的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数 的最值。
（2） 由题意可得，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法和零点存在性定理、不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
37．（2023·汕头模拟）已知函数．
（1）若函数在处取得极值，求的值及函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）解：函数定义域为，，在处取得极值，则，
所以，此时，
令，，则，
所以在上单调递增，所以在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：依题意即在上有两个根，
整理为，即，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以，
所以只需在上有两个根，
令，，则，
当时，，当时，，
故在处取得极大值即最大值，，
且当时，当时，
要想在上有两个根，只需，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的定义域和求导的方法求出函数的极值点的方法，进而得出实数a的值，从而得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间。
（2） 依题意，在上有两个根，整理为，设函数，则上式为，再利用恒成立结合求导的方法判断函数的单调性，所以单调递增，所以，所以只需在上有两个根，令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合比较法得出函数的最值，从而结合函数求极限的方法得出要想在上有两个根，只需，从而得出实数的取值范围。
1 / 1专题06 导数-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练
一、解答题
1．（2023·金华模拟）已知函数．
（1）若对时，，求正实数a的最大值；
（2）证明：；
（3）若函数的最小值为m，证明：方程有唯一的实数根，（其中是自然对数的底数）
2．（2023·宁波模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性：
（2）若是方程的两不等实根，求证：
（i）；
（ii）．
3．（2023·梅州模拟）已知函数，其中．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．
4．（2023·虹口模拟）设，，.
（1）求函数，的单调区间和极值；
（2）若关于不等式在区间上恒成立，求实数的值；
（3）若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：成等比数列.
5．（2023·红河模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）证明：；
（2）求的最大值．
6．（2023·杭州模拟）已知函数．
（1）讨论函数零点个数；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
7．（2023·温州模拟）已知函数．
（1）若，求方程的解；
（2）若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明．
8．（2023·红河模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）设，，证明：．
9．（2023·吉林模拟）已知函数，，其中．
（1）若在上单调递减，求a的取值范围．
（2）证明：，n，
10．（2023·广西模拟）已知函数．
（1）设．
①求曲线在点处的切线方程．
②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．
（2）若在上恰有两个零点，求a的取值范围．
11．（2023·南宁模拟），
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明；
（3）证明对于任意正整数，都有.
12．（2023·柳州模拟）已知函数.
（1）当时，求在区间上的最小值；
（2）证明：且）.
13．（2023·桂林模拟）已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数零点的个数．
14．（2023·包头模拟）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；
（2）若没有零点，求a的取值范围．
15．（2023·呼和浩特模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有2个不同的极值点，，求证：.
16．（2023·抚顺模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．
17．（2023·湖北模拟）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若有3个零点，，，其中．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：．
18．（2022·南阳模拟）已知函数
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，判断关于的方程在内解的个数，并说明理由．
19．（2023·湖南模拟）已知.
（1）判断函数的单调性；
（2）若是函数的两个极值点，且，求证：.
20．（2023高三下·黔东南模拟）已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若是的两个零点，且，证明：.
21．（2023·绍兴模拟）设函数.
（1）证明：当时，；
（2）记，若有且仅有2个零点，求的值.
22．（2023·台州模拟）已知，，设函数，其中为自然对数的底，.
（1）当时，证明：函数在上单调递增；
（2）若对任意正实数，函数均有三个零点，其中.求实数的取值范围，并证明.
23．（2023·静安模拟）已知函数.（其中为常数）
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.
24．（2023·宜宾模拟）已知，函数，．
（1）若，求证：在上是增函数；
（2）若存在，使得对于任意的成立，求最大的整数的值．
25．（2023·广安模拟）已知函数有两个极值点.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
26．（2023·崇明模拟）已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有．
（1）若，，求实数a的取值范围；
（2）证明：方程至多只有一个实根；
（3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有．
27．（2023·深圳模拟）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围.
28．（2023·蚌埠模拟）已知函数，，.
（1）若，求证：；
（2）若函数与函数存在两条公切线，求实数的取值范围.
29．（2023·安庆模拟）已知函数，，..
（1）若曲线在点处的切线方程是，求和的值；
（2）若，且的导函数恰有两个零点，求的取值范围.
30．（2023·宣城模拟）已知函数．
（1）若，求．
（2）证明：，．
31．（2023·赣州模拟）已知函数（，e为自然对数的底数）.
（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；
（2）函数，，记的极小值为，求函数的值域.
32．（2023·鞍山模拟）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意的，都有成立，求a的取值范围．
33．（2023·邯郸模拟）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）对任意的，都有，求a的取值范围．
34．（2023·唐山模拟）已知，证明：
（1）；
（2）．
35．（2023·株洲模拟）已知函数有两个极值点，．
（1）若，求a的值；
（2）若，求a的取值范围．
36．（2023·张家界模拟）已知函数，.
（1），求的最值；
（2）若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围.
37．（2023·汕头模拟）已知函数．
（1）若函数在处取得极值，求的值及函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：（） a为正实数，
∴函数在区间上单调递增，且．
①当时，，所以函数在上单调递减，
此时，符合题意．
②当时，，
由零点存在定理，时，有，即函数在上递减，
在递增，所以当时，有，此时不符合．
综上所述，正实数a的最大值为1．
（2）证明：由（1）知，当时，，
令时，有，即，
累加得，．
（3）证明：因为，所以，即函数在上递增，
又，
由零点存在定理，时，有，即，
因此，而函数在上递减，在上递增，
所以，即．
要证方程有唯一的实数解，只要证方程有唯一的实数解．
设，则，
所以函数在上递增，又，，
由零点存在定理，时，，即，
因此，又，
设，则函数在上递增，于是且，
而函数在上递减，在上递增，
，
即函数有唯一零点，故方程有唯一的实数解．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；分析法和综合法
【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论 和 ，讨论导数的正负，即可求解出正实数a的最大值；
（2）由（1）知，当时，，令时 ， 即， 利用累加法计算即可；
（3）求导，根据零点存在性定理进行求解可得结论.
2．【答案】（1）解：由题意得，函数的定义域为.
由得：，
当时，在上单调递增；
当时，由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：因为是方程的两不等实根，
即是方程的两不等实根，
令，则，
即是方程的两不等实根.
令，则，
所以在上递增，在上递减，，
当时，；当时，且.
所以，即.
令．
（i）要证，只需证，
解法1：令，
则，
令，
则
，
所以在上递增，，
所以，所以，
所以，
所以，即，所以．
解法2：先证，
令，只需证，
只需证，
令，
，
所以在上单调递减，所以．
因为，所以，
所以，即，
所以．
解法3：由，
设，
所以，
即，
构造函数，
，
所以在上单调递增，所以．
（ii）要证：，只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
令得
即①
令得
即②
①+②得：，
即．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；分析法和综合法
【解析】【分析】(1)求导得 ，分两种情况：当a≤0时，当a>0时，分析f'(x)的符号，进而可得 函数的单调性：
(2) 根据题意可得 是方程的两不等实根，令，则，即是方程的两不等实根， 令 ，求导分析单调性，最值，只需y= 2a与y= g(x)有两个交点可得 ， 令， （i）要证，只需证，令，则， 令，求导分析单调性，可得 ，即可得出 ；
（ii）要证：，只需证：，只需证： ， 只需证：，即可证得 .
3．【答案】（1）解：当时，，函数的定义域为，
求导得，
显然函数在上单调递增，且，
因此当时，单调递减，当时，单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：，令，求导得，
当时，，则在上单调递增，，满足题意，
当时，设，则，因此函数，即在上单调递增，
而，
(i)当时，在上单调递增，
于是，满足题意，
(ii)当，即时，对，则在上单调递减，
此时，不合题意，
（iii）当时，因为在上单调递增，
且，于是，使，且当时，单调递减，
此时，不合题意，
所以实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)研究导函数的正负可确定原函数的单调性；
(2) 令，求导，分类讨论其导数的正负，可求出实数a的取值范围.
4．【答案】（1）解：由题设，有，可得
令可得，所以，
所以函数在区间上单调递增；
令可得，解得，.
函数在区间上单调递增；
令可得，所以，
所以，函数在上的递增区间为：与；
递减区间为：与.
当时，函数取极大值，极大值为，
当时，函数取极小值，极小值为，
当时，函数取极大值，极大值为；
（2）解：关于不等式在区间恒成立，
即：在区间上恒成立.
令，
则，
令
则，
由（1）知：在上的极大值为，
又，
从而在上的最大值为1，
即在上恒成立.
于是在上恒成立，
所以在上单调递增；
从而，
当时，，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增；
从而在上恒成立.
所以，当时在上恒成立.
当时，存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，
又，所以当时，，与已知矛盾，
综合上述，得：.
（3）解：对于函数，令，则.
从而当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
故当时，取最大值，最大值为.
对于函数，令，则.
从而当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
故当时，取最大值，最大值为.
因此，函数与有相同的最大值.其图像如下图所示.
下面先证明：曲线与有唯一交点.
由，得，即证明方程有唯一实数根.
令，则.
所以在上恒为负数.
因为当时，，，
所以曲线与在区间上没有交点.
而在区间上，函数单调递减，函数单调递增，
所以函数在上单调递减，
进而函数在上单调递减，
由，及零点存在定理得：
函数在上存在唯一零点，
从而方程在上有唯一实数根，且.
由于直线与曲线，共有3个不同交点，
故直线必过点，
且，，
由，得，即，
而函数在上严格增，，，
故①
由，得，
即，
而函数在上严格减，，，
故②
由①，②得. ③
由，得，
故有④
因此，由③，④得，即成等比数列.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)由题意可得 ，求导分析单调性，极f(x)值，即可得出的单调区间和极值；
(2) 关于不等式，即在区间上恒成立， 令，只需F(x)min≥0，即可得出实数的值；
(3 ) 对于函数，令，求导分析单调性，进而可得最大值为 ，对于函数 ， 令，求导分析单调性可得最大值为 ， 函数与有相同的最大值，证明曲线y=F(x)与y=G1(x)有唯一交点，再证明直线 与曲线，共有3个不同交点， 可得 ， ，进而可证得 成等比数列.
5．【答案】（1）证明：因为，所以，
因为，
即，当且仅当时，等号成立，
又因为，所以；
（2）解：，
设，则，
因为，所以，
设，由，得，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
当时，取得最大值为，
所以的最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理得 ， 再根据余弦定理可求出 ，结合 ，可得；
（2）设，则，设 ，求导，根据导数的符号可得 单调性， 进而求出 的最大值，即可得的最大值 .
6．【答案】（1）解：由，得，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以，
据此可画出大致图象如图，
所以（i）当或时，无零点：
（ii）当或时，有一个零点；
（iii)当时，有两个零点；
（2）解：①当时，即恒成立，符合题意；
②当时，由可得，则，
则，即，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，当时，，
即恒成立，即符合题意；
③当时，由（1）可知，，在上单调递增．
又，，
所以，使.
i）当时，，即，
设，
则，所以在上单调递减，
所以时，；
ii）当时，，即，
设，
因为，
令，则，
又令，
则，得在上单调递增，
有，
得在上单调递增，有，
则，得在上单调递增，
则时，，
又时，，
得当时，时，，
由上可知，在上单调递增，则此时，
综上可知，a的范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)令f(x)=0，可得 ，设，利用导数研究函数g(x)的性质，作出函数g(x)的图象，结合图象求解出函数零点个数；
(2)分a=0 ，a<0以及a>0三种情况讨论，综合即可求出 a的取值范围．
7．【答案】（1）解：，定义域为，
令，设，
故在上单调递减，在上单调递增，，
故方程的解为.
（2）解：令，得，设，
故在单调递增，在单调递减，，
当时，当时，
若有两个零点，则，故，
，令，得，
设，则，
故在单调递增，在单调递减，，
当时，当时，
若有两个极值点，则，
综上，.
不妨令，因为且，由与图象得，
由为的两根得，
两式分别乘并整理得，
所以，
要证，即证，
即证：，
由于，所以 ，
只需证，即证，（），
令，（），
当时，所以在上单调递减，
所以，故，得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1) ，用导数研究 的单调性与极值，只有在极值点处满足 ，可求出方程的解；
(2)由f(x)及f'(x)分别有两个零点，分离参数a，数形结合得到a的取值范围， 要证，即证， 结合 进一步转化为证明 ，结合x1的范围，考察 的最值得证.
8．【答案】（1）解：由题意可知的定义域为，
令，则，
①当时，，在上恒成立，在上单调递减．
②当时，， 时，，
时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减．
③当时，，时，，
时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减．
（2）解：当时，恒成立，
故，所以，即，
由得，令（），
则，
令，则，
在单调递增，则，
即在恒成立，故在单调递增．
所以，故在恒成立．
由在单调递增，而，，故．
（3）证明：取时，，则，
所以，
因此，
则.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求出导函数，对a进行分类讨论，即可求解出 的单调性；
(2)将 在[0，+∞)上恒成立转化为当x∈[0，+∞)时， 恒成立，然后构造函数，分类讨论即可求得a的取值范围.
9．【答案】（1）解：因为在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立
令，，当时，，，
所以在区间上恒成立，即在区间上单调递增，
所以当时，，所以.
（2）证明：当时，，
由（1）知，在区间上单调递减，所以，即，所以，．
令得，
所以，
即，n，．
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)利用函数在区间(0， 1)上单调递减，其导函数F'(x)≤0在区间(0， 1)上恒成立，再通过分离常量，转化成恒成立问题，从而构造函数 ，利用单调性求出最值，进而求出a的取值范围；
(2)通过函数 的单调性，得到 ， 令 ，进而得到， 再累加即可证明结论.
10．【答案】（1）解：①当时，，则，
所以，所以曲线在点处的切线方程为，
即．
②令得，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由极值的定义知，当时，函数有极大值，无极小值.
（2）解：因为函数在上恰有两个零点，所以方程在上有两个解，
即在上有两个解，
记，，则直线与函数，有两个交点，
则，
记，则，
令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
令得，又，
所以当时，，，函数单调递增，
当时，，，函数单调递减，
又，，
如图，
由图知，要使直线与函数，有两个交点，则，
所以函数在上恰有两个零点时，a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 (1) ① 将 代入，求导，进而求得切线斜率，进而求出点处的切线方程；
② 求导，根据导数的符号可得 在上和上单调性，进而求出的极值；
(2)由已知可得 在上有两个解，记， 求导，可得函数单调性，结合图象可求出a的取值范围．
11．【答案】（1）解：的定义域为，
①若，当时，，所以在上单调递增；
②若，当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，，即证.
（3）证明：由（2）知当且时，，
对于任意正整数，令得，
所以
.
即证：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1)先求导函数可得 ，x>-1 ，然后讨论a-1与-1的大小关系求出函数的单调区间，即可得 的单调性；
(2)当a=1时，由(1)可得函数f (x)的减区间为(-1，0) ，增区间为(0， +∞) ，然后求出函数f (x)的最小值即可；
(3)由(2)可得 ，令得 ，然后累加求和即可得证.
12．【答案】（1）解：，
，，
令，
令，
所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减.
，
故存在使，
所以在区间单调递增，在区间单调递减，
，所以在区间，，
所以在区间上递增，最小值为.
（2）证明：由（1）可知在区间上恒成立（），
所以，
对于函数，，
所以在区间上单调递增，
所以当时，，即，
所以，
即在区间上恒成立，
所以
.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数判断出 在区间上的单调性，从而求得最小值；
（2）先证得 在区间上恒成立， 进而证得结论.
13．【答案】（1）解：因为，所以，
由函数在上单调递增，则在上恒成立．
令，，
当时，，所以恒成立．
所以在上单调递增，所以，所以
（2）解：由，则，．
所以与是的两个零点．
因为，由（1）知，函数在上单调递增，，无零点．
当时，，，，无零点．
当时，，设，，
在上递增，又，，
存在唯一零点，使得．
当时，，在上递减；
当时，，在上递增．
又，，所以，函数在上有且仅有个零点．
综上，当时，函数有且仅有个零点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】 (1)求出函数的导数，问题转化为 在上恒成立，令， ，根据函数的单调性求出a的取值范围；
(2)求出x=2，x=0是 的两个零点，只需证明 函数在上有且仅有个零点 ，结合函数的单调性证明结论成立即可.
14．【答案】（1）解：当时，．
，
故曲线在点处的切线方程为，
即．
因为该切线在，轴上的截距分别为和，
所以该切线与两坐标轴所围成的直角三角形的面积．
（2）解：①当时，，则，
由图象可得，当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
故为最小值，且．
所以此时存在零点，不符合题意．
②当时，因为，
所以，
令，则，
因为，所以，在上单调递增，
又，由零点存在定理得，
在上有唯一的零点，即，因此有．
当时，，即；当时，，即．
所以在上单调递减，在上单调递增，故为最小值．
由，得，，
所以，
因为，所以，又因为，所以，所以．
所以，此时没有零点．
综上，的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)先求出切点，利用导数求得切线斜率，进而得到切线方程，再分别求出在x ， y轴上的截距，最后利用直角三角形面积公式求得三角形的面积；
(2)对a分a=1和a>1两种情况讨论，利用导数探究出函数的单调性，进而求得函数最值，分析可得答案.
15．【答案】（1）解：因为，
所以．
设，则．
当时，，，，在上是增函数；
当时，两个根，；
当时，，，
所以当时，，，是减函数；
当时，，，是增函数；
当时，，
所以当或时，，，是增函数；
当时，，，是减函数；
综上可知，当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数；
当时，在上是减函数，
在，上是增函数．
（2）证明：由题意可得，是的两个根，
则，，且，
所以．
设，则，
令，
则在上为增函数，
且，，
所以存在，使得，即，
且当时，，是减函数，
当时，，是增函数，
所以
，故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】(1)先求函数的导函数，求导后对a分成a≥2，0(2)利用韦达定理写出这两个极值点的关系，化简 ， 并利用导数求得上式表达式简的单调区间以及最值，由此证得不等式成立.
16．【答案】（1）解：由已知得函数的定义城为，
．当且仅当时，等号成立，
当时，恒有，所以在是增函数；
当时，方程有两个不等的正根，，
由，即，解得，或．
由，即，解得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增．
综上，当时，在是增函数；
当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增．
（2）证明：由（1）知，当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以有两个极值点，，且，满足，，
所以，．
，且；
令，则，
当时，，所以在单调递增，，
于是，即，
，且，
令，则，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
因此，即，所以在单调递减，当时，，
于是，，因此，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)求导得 ， 当且仅当时，等号成立， 分两种情况：当 时，当 时，分析f'(x)的符号，可得函数的单调性；
(2)由(1)知，当时， f(x)有两个极值点 ，，且，满足，，计算f(x2)-x1 ， f(x2)- x2 ，分析单调性，极值，即可证得 ．
17．【答案】（1）解：当时，，，
则在恒成立，所以在单调递增，
故的单调递增区间为，无单调递减区间．
（2）解：（ⅰ），
，，则除1外还有两个零点，
，令，
当时，在恒成立，则，
所以在单调递减，不满足，舍去；
当时，除1外还有两个零点，则不单调，
所以存在两个零点，所以，解得，
当时，设的两个零点为，
则，，所以．
当时，，，则单调递增；
当时，，，则单调递减；
当时，，，则单调递增；
又，所以，，
而，且，
，且，所以存在，，
使得，
即有3个零点 ，，．
综上，实数a的取值范围为．
（ⅱ）证明：因为，
所以若，则，所以．
当时，先证明不等式恒成立，
设，
则，
所以函数在上单调递增，于是，
即当时，不等式恒成立．
由，可得，
因为，所以，
即，两边同除以，
得，即，
所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)当a=1时， ，求导分析f'(x)的符号，可得函数的单调区间；
(2) （ⅰ），则f (x)除1外还有两个零点，对f(x)求导，分析单调性，极值，零点，即可求出实数a的取值范围；
( ii )根据题意可得 ， 若，则，即 ， 当时，先证明不等式恒成立，由f(x3)=0，可得 ， 进而可得 ， 即，化简即可证得.
18．【答案】（1）解：由题意在上恒成立，得 恒成立，
令，则 ，
当时，令，解得，
令，解得 ，
所以在为减函数，在上为增函数，
故，
故，即，
所以实数的取值范围 .
（2）解：由，得等价于，
令，
因为在上，
，单调递减，
在上，故 ，，单调递增，
注意到，，在和上各有一个零点，
共有两个零点，故方程有两个实数根.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)由题意转化为即 恒成立，由此构造函数，转化为求函数的最值问题，即可求得实数的取值范围；
(2)由题意得 等价于，构造 令 ，通过判断导数正负，判断函数单调性，结合零点存在定理，继而判断函数的零点个数.
19．【答案】（1）解：易知函数的定义域为，
又，
当时，，，则，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，或，，
所以在上单调递减，在和上单调递增；
当时，，所以在上单调递增；
当时，或，，
所以在上单调递减，在和上单调递增.
综述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，，所以在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增.
（2）证明：由，
有，由题意可知是方程的两个不同的正根，
因此，即：，
又因为 ，
所以，
又因为，所以.
所以
.
（i）先证：.
证法一：
要证明，只需证明，
因为，，
所以只需证明，即证，
又，
故只需证明，
即证，
因为，故，所以，
令，，则，故在上单调递减，
所以，即，
证毕.
证法二：
因为，所以由（1）可知，在上单调递减，
要证，只需证明，
因为，所以，
故，证毕.
（ii）再证：.
要证，即证，
只需证明，
又，
故只需证明，
即证，
因为，所以.
综上，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；分析法和综合法
【解析】【分析】(1)函数f(x)的定义域为 ，求导得 ， 分五种情况：当a=0时，当a>0时，当-1(2)根据题意可得 ，求导得 ，则 可知是方程的两个不同的正根，结合韦达定理可得 且 ，，计算，先证 ，再证，即可证得 .
20．【答案】（1）解：由题可知，
则当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以当时，取得极小值，无极大值.
（2）证明：记，，，则，，
作差得，即，
要证明，只需证，即证，
令，则，
所以在上单调递增，则，所以成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据得到，然后求导，由导数确定单调性，即可求极值；
（2） 记，， ，根据是的两个零点得到，然后将证明转化为证明，构造函数，求导，得到的单调性，即可得到，即可证明成立.
21．【答案】（1）证明：当时，有，单调递增，
又，则可知，使得，
所以在单调递减，在单调递增，
又，则可知；
（2）解：依题意，函数的定义域是，
当时，，即，而，
时，，时，，有两个零点，符合题意；
①当时，若，有，且，有，
又，由（1）可知又，则
所以在有1个零点：
若，有，若，
有，
可知在有1个零点，符合题意：
若，有在单调递增，，
（i）若，则当，有，
（ii）若，又，则可知，使得；
由（i）、（ii），则可知有在单调递减，所以，
又有，所以在至少有1个零点，
则可知在至少有2个零点，不符合题意；
若，有在单调递增，
又，则可知，使得，
所以在单调递增，则有，
又有，所以在至少有1个零点，
则可知在至少有2个零点，不符合题意；
②当时，由，
记，
由①可知，有且仅有满足题意，即时，满足题意.
综上可知，实数a的值为，0，1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1） 当时结合导数的运算法则和增函数的定义，所以单调递增，再利用零点存在性定理，则，使得，从而判断出在和在上的单调性，再利用，从而证出当时，成立。
（2） 依题意，函数的定义域是，再利用分类讨论的方法和函数的单调性以及零点存在性定理，进而结合已知条件得出实数a的值。
22．【答案】（1）证明：当时，，
设，所以，
当单调递減，
当单调递增，
所以，
即，所以函数在上单调递增.
（2）证明：由题意方程有三个解，
记函数，
当单调递增，
当单调递减，
当单调递增，
又，
所以当时，方程有三个解，且，
设，若对任意正实数，函数均有三个零点，所以，
因为，所以在单调递增，在单调递减，
所以，
所以实数的取值范围为.
因为，由方程，得.
即方程有两个解，
即，且，设，
则，即，
解得，所以，
要证，即证，
即证，
设，
，
所以在上单调递增，所以，
即得证，
所以得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合a和k的值得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而证出函数在上单调递增。
（2） 由题意方程有三个解，记函数再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法得出当时，方程有三个解，且，设，若对任意正实数，函数均有三个零点，所以，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，从而结合恒成立问题求解方法得出实数的取值范围，再结合，由方程，得，即方程有两个解，即，且，设，则，解得，所以，要证，即证，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而证出，进而证出不等式成立。
23．【答案】（1）解：当时，可得，
可得，所以且，
所以切线方程为，即，
即曲线所以曲线在点处的切线方程为.
（2）解：由函数，可得函数的定义域为，
又由，令，解得，，
当时，与在区间的情况如下表：
极小值 ↗
所以函数的极小值为，也是函数的最小值，
所以当时，函数的最小值为
（3）解：当时，，令，解得（舍去）
所以函数在上有一个零点；
当 时，与在区间的情况如下表：
0 0
↗ 极大值 极小值 ↗
所以函数在单调递增，在上单调递减，
此时函数的极大值为，
所以函数在上没有零点；
又由且函数在上单调递增，
且当时，，
所以函数在上只有一个零点，
综上可得，当时，在上有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1） 利用a的值得出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法和函数的解析式得出切点的坐标，再利用点斜式得出曲线在点处的切线方程 。
（2） 利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合比较法得出函数的最小值，从而得出当时的函数的最小值。
（3） 当时，得出函数的解析式，再利用函数的零点的求解方法得出函数在上有一个零点；当 时结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合零点存在性定理判断出函数在上没有零点；又由且函数在上单调递增，且当时，，再结合零点存在性定理判断出函数在上只有一个零点，综上可得当时的函数在上的零点个数。.
24．【答案】（1）解：，令，，
令，解得
在上单调递减，单调递增，
，
，
命题得证.
（2）解：存在，使得对于成立，
等价于存在，使得对于成立，
由于，原题意的必要条件是，对都成立
设，使得，即，
在是减函数，在是增函数，其中，即，
，
显然，
由上图知，，
对都成立的最大整数是2，
以下证明充分性，当时，存在，使得恒成立，
，由上证明知存在大于0的正的最小值，
故存在大于0的，使得恒成立，
当时，设，
故对不恒成立，
存在，使得对于任意的成立，最大的整数的值是2.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对函数求导，得，讨论单调性，证明最小值大于0即可；
（2）将不等式转化为两个函数的图象交点问题，分别讨论两个函数的单调性，利用存在性定理判断根的范围即可求解.
25．【答案】（1）解：因为函数，可得，
因为函数有两个极值点，
所以方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，
设，可得，
当时，可得，单调递增；
当时，可得，单调递减，
所以时，函数取得极大值，极大值为，
又因为时，；时，，且时，，
所以方程有两个不同的实数根时，可得，
即函数有两个极值点时，的取值范围是.
（2）解：由（1）知，函数的两个极值点是方程的两根，
且，则有，
两式相除，可得，可得，
又由，可得，
所以，令，
令，则需要恒成立，
则，
令，则，
令，
则在上单调递增，
又由，则存在，使得，
当时，，则即为单调递减；
当时，，则即为单调递增，
又，所以存在，使得
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
又，所以当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递增，
所以当时，，所以，
故实数的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）根据题意转化为方程有两个不同的实根， 设，可得， ，求得函数的单调性和极大值，进而求得的取值范围；
（2）由（1）得到，得出，令，得到，求得， 令，则，再令，利用导数求得的单调性，进而得出单调递性和最小值，即可求解.
26．【答案】（1）解：因为，，所以，
由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，易知，在上，函数和均单调递增，
所以.
（2）证明：令，故，
所以函数是严格减函数，故至多只有一个实根；
（3）证明：设的最大值为，最小值为，
在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，
设，，
因为函数是周期为2，取一个周期，且，
则有，
若，则成立，
若，设，即，故，且，则，
所以成立，
综上，对任意实数，都成立，所以原式得证．
【知识点】函数的周期性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）根据题意，将问题转化成在上 恒成立问题，再利用函数的单调性即可求出结果；
（2）构造函数，由题易知在定义域上严格单调，从而得到证明；
（3）利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再分，进行分类讨论，即可得出结论.
27．【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，
切线斜率为，
所以切线方程为：，
即：..
（2）解：∵，定义域为，
∴，
又∵有两个极值点，
∴有两个零点，即：（）有两个不同的根.
即：（）有两个不同的根.
令，则与在上有两个不同的交点.
∵，
则，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
又∵，，
当时，；当时，，
∴的图象如图所示，
所以，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）运用导数几何意义求得切线斜率，进而求得切线方程；
（2）将问题转化为 （）有两个不同的根，运用分离参数研究函数与在上有两个不同的交点， 运用导数研究函数的图象观察即可.
28．【答案】（1）解：当时，
记，
则，
记，
因为，所以在上单调递增
又
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增
所以当时，取得最小值，即
所以当时
（2）解：设函数与函数的公切线分别相切于点和点
因为，，
所以l的方程可表示为或
则有...①，...②
由①可得，代入②可得：
即
记，，则
记，
因为，所以单调递减
又，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
由上可知，要使函数与函数存在两条公切线，只需直线与函数图象有两个交点，
因为，
由图可知a的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 当时，，记，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而证出当时，不等式成立。
（2） 设函数与函数的公切线分别相切于点和点，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出切线l的方程，则有...①，...②，联立①②可得，记，，再利用求导的方法判断函数的单调性，要使函数与函数存在两条公切线，只需直线与函数图象有两个交点，再利用， 再利用两函数的图象得出实数a的取值范围。
29．【答案】（1）解：因为，所以，
因为曲线在点处的切线方程是，
所以即
解得
（2）解：由得，.显然
因此.
令且，则，
解方程得，，
因此函数在和内单增，在和内单减，且极大值为，极小值为.的大致图象如下：
由图象可知，当或时，直线与曲线分别有两个交点，即函数恰有两个零点.
故的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合函数的解析式代入法得出切点坐标，再利用点斜式得出曲线在切点处的切线方程，进而得出a，b的值。
（2） 由结合，因此，令且，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，从而画出函数的大致图象，由图象可知，当或时，直线与曲线分别有两个交点，再结合函数的零点与直线与曲线的交点的横坐标的等价关系，即函数恰有两个零点，从而得出实数的取值范围。
30．【答案】（1）解：令，则可化为.
令，，则
若，则，此时在内单调递增，
，所以时，，不符合题意；
若，则由得．
当，单调递增；当，，单调递减．
因为，所以当或者时，，不符合题意；
当时，，符合题意，
故，解得．
（2）证明：要证，，只需证，
由（1）可知，．
记，则当时，
因此在内单调递减，又，所以即，
故，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1） 令，则可化为，令，，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出，进而解方程得出a的值。
（2）利用已知条件结合分析法，则要证，，只需证，，由（1）可知，，记，再利用放缩法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，即，从而证出当时，不等式 成立。
31．【答案】（1）解：法一：由得，
故当时，；当时，.
故函数在区间上单调递减，在上单调递增
∴，
①当时，，函数无零点
②当时，，函数有一个零点
③当时，，又，
故当时，函数有两个零点
法二：方程等于解方程，
记，
故当时，；当时，.
故函数在区间上单调递减，在上单调递增
∴.
①当时，函数，即无零点，
②当时，函数即有一个零点，
③当时，由，，
故当时，函数，即有两个零点；
（2）解：法一：由，
得：，
由（1）知：当时，有两个零点（不妨设），
同时也是的两个零点，且函数与单调性完全相同
∴在，上单调递增，在上单调递减，
∴的极小值为，
又满足，即，
代入上式得，
又，∴，
对于二次函数，开口向下，对称轴为，
在上，.
法二：由，记，结合
显然函数在上单调递增，且，，
故存在唯一，使得，且当时，；当时，，
故在上单调递减，在单调递增，
又，，，
故存在两个零点（不妨设），
下同法一
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】 （1）法一：由结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合函数的最值和函数零点存在性定理，进而得出函数有两个零点时的实数a的取值范围；
法二：方程等于解方程，记，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合函数的最值和函数零点存在性定理，进而得出函数有两个零点时的实数a的取值范围。
（2） 法一：由结合求导的方法判断函数的单调性和由（1）知：当时，有两个零点（不妨设），同时也是的两个零点，且函数与单调性完全相同，从而结合函数的单调性得出函数的极小值，再利用满足，即，代入上式得，再利用，进而得出的取值范围，对于二次函数，开口向下，对称轴为，再结合二次函数的图象求值域的方法得出在上的函数的值域。
法二：由，记，再结合和求导的方法判断函数的单调性，显然函数在上单调递增，且，，再利用零点存在性定理，故存在唯一，使得，且当时，；当时，，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数零点存在性定理判断出存在两个零点（不妨设），同时也是的两个零点，且函数与单调性完全相同，从而结合函数的单调性得出函数的极小值，再利用满足，即，代入上式得，再利用，进而得出的取值范围，对于二次函数，开口向下，对称轴为，再结合二次函数的图象求值域的方法得出在上的函数的值域。
32．【答案】（1）解：该函数的定义域为，
，
①当时，恒成立，函数的递增区间为；
②当时，令，解得或，
所以函数的递增区间为，递减区间为，
所以当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为．
（2）解：对任意的，都有成立，只需任意的，，
①当时，在上是增函数，所以只需，而，所以满足题意；
②当时，，在上是增函数，
所以只需，而，所以满足题意；
③当时，，在上是减函数，
在上是增函数，所以只需即可，
而，从而不满足题意；
综上①②③可得：实数a的取值范围为．
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的定义域和分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间。
（2） 对任意的，都有成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，只需任意的，，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出实数a的取值范围。
33．【答案】（1）解：当时，，则．
所以，，
故所求切线方程为，即．
（2）解：设，
则．
因为，所以至少满足，即．
设．
因为，，所以在上单调递增，
所以．
设，
则．
因为，所以，，
则在上恒成立，即在上单调递增，
所以，即对任意，都有．
a的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 （1）利用a的值得出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合函数的解析式代入法得出切点坐标，再利用点斜式得出曲线在处的切线方程。
（2） 设，再利用导数的运算法则得出
，再结合，所以至少满足，进而得出实数a的取值范围，设，再利用x的取值范围和函数的单调性，进而得出函数的最小值，所以，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围。
34．【答案】（1）证明：令，则，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，等号仅当时成立，即，
从而，所以．
综上，．
（2）证明：显然时，，即成立．
令，，则，，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，等号仅当时成立，
从而可得，，所以在和上单调递减．
由（1）知，时，；时，，
所以，即．
又当且时，，所以．
故时，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性可得，即证，进而，即证，原不等式即可证明；
（2）易知时不等式成立；当时，利用二阶导数研究函数的单调性可得 时，即，即可得到证明.
35．【答案】（1）解：依题意知，，
因为函数有两个极值点，，
所以，，，
则有有两个根，等价于有两个根，
令，则，
令，解得，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
所以时，取得最大值，
又趋向于无穷大时，趋向于0，
所以且.
若，即，
由，解得：或（舍去），
所以若，a的值为：.
（2）解：由（1）知，，
，，
整理可得，令，
所以，易得，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，所以，即，
所以，令，
则恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
即，所以a的取值范围为：.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算
【解析】【分析】（1）依题意知，再利用函数有两个极值点，结合函数求极值点的方法得出方程有两个根，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，再结合趋向于无穷大时，趋向于0，所以且，若结合得出a的值。
（2） 由（1）知，，再利用代入法得出，令，所以，易得，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
36．【答案】（1）解：由题意可得，定义域为.
设，由，得，由，得.
则在上单调递增，在上单调减，
，
故在上的最大值是，无最小值.
（2）解：由题意可得，
，
的定义域是.
①当，即时，时，时，
则在上单调递减，在上单调递增.
因为时，，时，，
所以要有两个零点，
则，解得，故；
②当，即时，由，解得，
因为，所以，则有且仅有1个零点，故不符合题意；
③当，即时，由，得或，
由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减.
因为时，，时，，
所以要有两个零点，则或
，
若，解得，不符合题意，
若，设，则化为，
时，，，
所以，无解，
即无解，故不符合题意；
④当，即时，恒成立，则在上单调递增，从而最多有1个零点，则不符合题意；
⑤当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减.
因为时，，时，，
所以要有两个零点，则或.
若，解得，不符合题意，
若.
设，则化为，
由（1）知在上单调递减，所以，无解，
即无解，故不符合题意.
综上，的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数 的最值。
（2） 由题意可得，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法和零点存在性定理、不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
37．【答案】（1）解：函数定义域为，，在处取得极值，则，
所以，此时，
令，，则，
所以在上单调递增，所以在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：依题意即在上有两个根，
整理为，即，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以，
所以只需在上有两个根，
令，，则，
当时，，当时，，
故在处取得极大值即最大值，，
且当时，当时，
要想在上有两个根，只需，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的定义域和求导的方法求出函数的极值点的方法，进而得出实数a的值，从而得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间。
（2） 依题意，在上有两个根，整理为，设函数，则上式为，再利用恒成立结合求导的方法判断函数的单调性，所以单调递增，所以，所以只需在上有两个根，令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合比较法得出函数的最值，从而结合函数求极限的方法得出要想在上有两个根，只需，从而得出实数的取值范围。
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