银川市西夏区2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学（理科）
时间：120分钟 总分：150分
一．选择题（每道小题只有一个正确答案，共12道小题，每小题5分，共计60分）
1．复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 函数的增区间为（ ）
A. B. C. D.
3．将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过5次操作之后所得图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
4.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，假设应该是（ ）
A.至多有一个内角不大于60° B.至少有一个内角大于60°
C.三个内角都大于60° D.仅有一个内角大于60°
5. 上海世博会期间，有4名同学参加志愿工作，将这4名同学分配到3个不同场馆工作，要求每个场馆至少一人，则不同的分配方案有（ ）
A.36 B.30 C.24 D.42
6.用数学归纳法证明时，由到，不等式左端应增加的式子为（ ）
A. B. C. D.
7.若的展开式中常数项为，则实数（ ）
A. B. C. D.2
8. 在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
9．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．单调递减区间是 B．有极小值 C．有最小值 D．最大值为
10.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为和(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是
A．在t1时刻，甲车在乙车前面
B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
11.设复数，满足，，复数在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形ABC的面积为（ ）
A．3 B． C．2 D．
12.若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．2
二．填空题（共四小题，每小题5分，共计20分）
13.某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，要求3人中至少有1名女生的选派方案有 种（用数字作答）
14．曲线与所围成的阴影区域的面积是
15.已知函数,若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_________．
16.从装有个球其中个白球，个黑球的口袋中取出个球，共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，另一类是取出个白球，个黑球，共有．试根据上述思想化简下列式子： ．
三．解答题（要求有详细的解题步骤，共6道小题，共计70分）
17.（10分）已知复数
（1）求
（2）已知是关于x的方程的一个根，求实数p,q的值
18.（12分）一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：）紧急刹车至停止.求
（1）求火车在刹车4秒时速度的瞬时变化率（即4秒时的瞬时加速度）；
（2）紧急刹车后至停止火车运行的路程.
19.（12分）已知函数
（1）若在数列中，，，计算，，，并由此猜想通项公式；
（2）证明（1）中的猜想．
20.（12分）已知任意三角形的三边长分别为，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为。其原理是由内切圆的圆心与三角形三个顶点的连线把三角形分割成三个小三角形，每个小三角形的面积等于大三角形的边长与内切球半径的乘积的，三个小三角形面积相加即得。请运用类比思想，解决空间四面体中的以下问题.
（1）已知四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R，请运用类比思想，写出该四面体的中的相应结论
（2）应用（1）中的结论求解：已知三棱锥（又叫四面体）P-ABC，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，求此三棱锥的内切球半径。
21.（12分）设函数曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
22.已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数在区间上取得最小值4，求的值.银川市西夏区2022-2023学年高二下学期5月期中考试
参考答案
CDDCA DABBA BB
16； ； ;
18.（1）速度的瞬时变化率即速度关于时间的导数
在4秒时的瞬时变化率
19..【答案】解：1)在中，因为，．
所以，，，
所以猜想的通项公式为
2)证明：因为，，
所以，即．
所以是以为首项，为公差的等差数列．
所以，
所以的通项公式得证． (第二问也可以用数学归纳法证明)
21.(1)解:f′(x)=a+,又根据切线方程可知x=2时,y=,f′(2)=,则有解得 所以f(x)=x-.
(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由f′(x)=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1+)(x-x0),即y-(x0-)=(1+)(x-x0).
令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-).
令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.
22.【详解】（1）当时，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以的递增区间，递减区间，极小值，无极大值
（2）
①当时，，在单调递增，
，解得不满足，故舍去
②当时，时，，单调递减；时，，单调递增
，解得，不满足，故舍去
③当时，，在单调递减，
，解得，满足
综上：
