永川北山中学校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题卷
考试时间：120分钟
【注意事项】
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
单项选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 火车开出车站一段时间内，速度v（单位：米/秒）与行驶时间t（单位：秒）之间的关系是v(t)＝0.4t+0.6t2，则火车开出几秒时加速度为2.8米/秒？（ ）
A. 秒 B. 2秒 C. 秒 D. 秒
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，二项式系数的和是，则展开式中各项系数的和为( )
A. B. C. D.
4.随机变量服从两点分布，且，令，则( )
A. B. C. D.
5.设为实数，函数在处有极值，则曲线在原点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
6.按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码．最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准码”，“标准码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一种数字编码，则不同的数字编码共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为，知道正确答案时，答对的概率为，而不知道正确答案时猜对的概率为，那么他答对题目的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，的图象分别与直线交于两点，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D.
多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分。）
9.下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量服从二项分布，则
B. 若随机变量服从正态分布，则
C. 若随机变量服从两点分布，，则
D. 若随机变量的方差，则
10.二项展开式，则( )
A. B.
C. D.
11.第届冬奥会于年月日在北京和张家口联合举行．甲、乙等名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有( )
A.安排名志愿者排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有种不同的站法
B.若每个比赛区至少安排一名志愿者，则有种不同的方案
C. 若短道速滑必须安排两名志愿者，其余各安排一名志愿者，则有种不同的方案
D. 已知名志愿者身高各不相同，若安排名志愿者拍照，前排两名，后排三名，后排要求身高最高的站中间，则有种不同的站法
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数 B. 当时，函数恰有两个零点
C. 若为增函数，则 D. 当时，函数恰有两个极值点
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数，则__________
14.已知随机变量，且，则__________
15.年月日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情某校航天科技小组决定从甲、乙等名同学中选出名同学参加市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为__________
16.已知函数，若对，，，都有，则的取值范围是__________
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（满分10分）在二项式的展开式中，当且仅当第项的二项式系数最大．
求n的值；
若展开式中的系数为，求的值．
18.（满分12分）设．
Ⅰ求函数的单调递增区间；
Ⅱ若函数的极大值为，求函数在上的最小值．
19.（满分12分）现有本书和位同学，将书全部分给这三位同学。
若本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
若本书都不相同，共有多少种分法？
若本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
20.（满分12分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设数学史、生活中的数学、数学与哲学、数学建模四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的．
求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；
设为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数，求的分布列和数学期望．
21.（满分12分）为贯彻落实《健康中国行动(2019-2030年)》《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神,确保2030年学生体质达到规定要求,各地将认真做好学生的体制健康监测.某市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查,现从该校抽取200名学生测量他们的体重,得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求这200名学生体重的平均数和方差(同一组数据用该区间的中点值作代表).
(2)由频率分布直方图可知,该校学生的体重Z服从正态分布N(,),其中近似为平均数,近似为方差.
利用该正态分布,求P(50.73< Z69.27);
若从该校随机抽取50名学生,记X表示这50名学生的体重位于区间(50.73,69.27]内的人数,利用的结果,求E(X).
参考数据:9.27.若Z~N(,),则P(-< Z+)0.6826,
P(-2< Z+2)0.9544,P(-3< Z+3)0.9974.
22.（满分12分）已知函数.
（1）求证：；
（2）设，当时，，求实数的取值范围．永川北山中学校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学参考答案
单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B C A D B D A B
6.【答案】D
【解析】由题意可得，该题等价于求个元素个分别相同、个分别相同排成一列的所有排列数，为 种故选D．
7.【答案】A
【解析】用表示事件“考生答对了”，用表示“考生知道正确答案”，
用表示“考生不知道正确答案”，
则，，，
，则
故选：．
8.【答案】B
【解析】因为函数 的图像与直线分别交于两点，
所以，，其中，且，所以，
令，则，令得：；
所以易得：时，；时，；
即函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，即的最小值为.
故答案为：B.
多项选择题
9 10 11 12
AB ABC BCD ACD
12.【答案】ACD
【解析】对于A选项，函数的定义域为，
，函数为奇函数，A选项正确；
对于B选项，当时，，则，
所以，函数在上为增函数，又，所以，函数有且只有一个零点，B选项错误；
对于C选项，，
由于函数为增函数，则对任意的恒成立，即.
令，则，则，
所以，函数在上为增函数，
当时，，此时，函数为减函数；
当时，，此时，函数为增函数.
所以，，，C选项正确；
对于D选项，当时，，则.
由B选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
由零点存在定理可知，函数在和上都存在一个零点，
因此，当时，函数有两个极值点，D选项正确.
故选：ACD.
填空题
9 10 11 12
．
16.【答案】．
【解析】函数，则，
当时，，所以函数在上单调递减，
不妨设，
则不等式等价于，
即，
令，则在上单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立，即，
令，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以，
故答案为．
四、解答题
17.由二项式的展开式中，
当且仅当第项的二项式系数最大，即最大， …………5分
易知二项式展开式通项为，
令，得， …………7分
展开式中的系数为
，即，
，解得：，
故的值为． …………10分
18.Ⅰ ， …………3分
由得或，
所以的单调递增区间为和； …………6分
Ⅱ由Ⅰ知函数在处取得极大值，
即，得 ， …………8分
则，
所以，在上单调递增，在上单调递减， …………10分
又，，
所以在上的最小值为． …………12分
19.相同元素分配，隔板法，． …………4分
分步计数原理，
分法数为； …………8分
不同元素先分组再分配，
分法数为． …………12分
20.甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有种不同的选法， …………2分
记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件，
事件共包含个基本事件， …………4分
，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为． …………6分
可能的取值为， …………7分
，，
， …………9分
所以的分布列为：
…………10分
所以的数学期望． …………12分
21.(1)由题意可得=400.02+500.3+600.4+700.23+800.04+900.01=60; …………3分
=4000.02+1000.3+00.4+1000.23+4000.04+9000.01=86. …………6分
(2)由(1)可知=60,==9.27, …………7分
则P(50.73< Z69.27)=P(60-9.27< Z60+9.27)=P(-< Z+)0.6826. …………9分
由可知1名学生的体重位于(50.73,69.27]的概率为0.6826.
因为X~B(50,0.6826), …………10分
所以E(X)=500.6826=34.13. …………12分
22.【解析】
（1）证明：令,则， …………1分
令，得，令，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增， …………2分
所以，即. …………4分
（2）， …………5分
①当时，由（1）知，
所以,当且仅当且时，等号成立，
所以在上单调递增，则恒成立.符合题意； …………7分
②当时，令，则
因为，所以，，所以， …………9分
所以在上单调递增，且，，
则存在唯一的，使得.
所以当时，，函数单调递减，
故当时，，不满足题意. …………11分
综上所述，实数的取值范围是 …………12分
