2014快乐暑假初二升初三衔接——三角形全等（含答案）

2014快乐暑假初二升初三衔接——三角形全等
一、知识梳理
1、 的两个三角形全等。即 。
2、 的两个三角形全等。即 。
3、 的两个三角形全等。即 。
4、 的两个三角形全等。即 。
5、 的两个三角形全等。即 。
6、全等三角形的 相等， 相等。证明两条线段（或两个角）相等，可以通过证明其所在的两个三角形 。
二、典例精析
1、（2013 舟山）如图，△ABC与△D ( http: / / www.21cnjy.com )CB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？
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2、（2013 珠海）如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．
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三、巩固提升
3．（2013 安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　）
　 A． ∠A=∠C B． AD=CB C． BE=DF D． AD∥BC
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（3） （4） （5）
4．（2012 贵阳）如图，已知点A、D、 ( http: / / www.21cnjy.com )C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　）
　 A． ∠BCA=∠F B． ∠B=∠E C． BC∥EF D． ∠A=∠EDF
5．（2013 铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）
A． BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C． BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
6．如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，则他带的是第三块玻璃去，依据是（　　）
A．SSS B．SAS C． ASA D．AAS
7．（2013 湛江）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．
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8．（2013 玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．
求证：△ABC≌△AED．
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9．（2013 武汉）如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
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10．（2013 泉州）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：BE=CF．
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四、拔高训练
11．（2009 芜湖）如图所示的4×4正方形网格中，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（　　）
A．330° B．315° C．310° D．320°
12．（2013 湖北）如图，已知△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．
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13．（2013 大庆）如图，把一 ( http: / / www.21cnjy.com )个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．
（1）求证：CF=DG；
（2）求出∠FHG的度数．
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14．已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别是OC、OD中点．
求证：（1）OC=OD；
（2）求证：AE∥BF．
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15．如图，点M、N分别在正三角形ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q，求∠AQN的度数．
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16．（2012 镇江）如图，在四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
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17．（2008 房山区一模）阅读与理解：
图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．
操作与证明：
（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C ( http: / / www.21cnjy.com )按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
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（2）操作：若将图1中的△ ( http: / / www.21cnjy.com )C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
猜想与发现：
根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？
五、课堂小测
18．（2013 来宾）如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件中不能证明△ABE≌△ACD的是（　　）
　 A． AD=AE B． BD=CE C． BE=CD D． ∠B=∠C
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（18） （19） （20）
19．（2013 贺州）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（　　）
20．（2013 昭通）如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件　_________　，就得△ABC≌△DEF．
21．（2013 义乌市 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是　_________　．
22（2013 呼和浩特）如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB．
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23（2012 重庆）已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
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六、体验中考
24、（2014年泰安）在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
（2）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．
其中真命题的个数为（　　）
　 A．4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
25、（2014年泰安）将两个斜边长相 ( http: / / www.21cnjy.com )等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（　　）
A．10° B． 20° C． 7.5° D． 15°
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（24） （25）
26、2012 泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（　　）
　 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
27、（2014年泰安）如图，∠ABC ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．
（1）求证：∠FMC=∠FCM；
（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．
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28、（2013 泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．
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29、（2011 泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
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2014快乐暑假初二升初三衔接——三角形全等参考答案
1、证明：（1）∵在△ABE和△DCE中
∠A＝∠D；∠AEB＝∠DEC ；AB＝DC
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
( http: / / www.21cnjy.com )解：（2）∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，
∴∠EBC=25°．
2、证明：∵∠BCE=∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，即∠ACB=∠ECD，
在△ABC和△EDC中，
∠ACB＝∠ECD，EC＝AC；∠A＝∠E
∴△ABC≌△EDC（ASA），∴BC=DC．
3．B．4．B．5．C．6．C．
7．证明：∵FB=CE，∴FB+FC=CE+FC，∴BC=EF，
∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AC=DF．
8．证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，
∵在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）．
9．证明：∵BE=FC，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE；
又∵AB=DC，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE；（SAS）∴∠A=∠D．
10．证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BE=CF．
11．B．
12．解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM．
选择△AEM≌△ACN，理由如下：
∵△ADE≌△ABC，∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB，
∴∠EAM=∠CAN，
∵在△AEM和△ACN中，∴△AEM≌△ACN（ASA）．
13．（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，
，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；
（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，
又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，
∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．
14．证明：（1）∵AC∥BD，∴∠C=∠D，∠CAO=∠DBO，AO=BO，
∴△AOC≌△BOD，∴CO=DO；
（2）∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF=OD=OC=OE，
由AO=BO，EO=FO，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∴AE∥BF．（其他方法：证明全等，在证明内错角相等也可）
15．解：∵BM=CN∴CM=AN，
又∵AB=AC，∠BAN=∠ACM，
∴△AMC≌△BNA，则∠BNA=∠AMC，
∵∠MAN+∠ANB+∠AQN=180°
∠MAN+∠AMC+∠ACB=180°，
∴∠AQN=∠ACB=60°．
16．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，
∵E为AB的中点，∴AE=BE，
在△AED和△BFE中，，∴△AED≌△BFE（AAS）；
（2）解：EG与DF的位置关系是EG垂直平分DF，理由为：连接EG，
∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，
∴∠GDF=∠BFE，
由（1）△AED≌△BFE得：DE=EF，即GE为DF上的中线，
∴GE垂直平分DF．
17．解：操作与证明：
（1）BE=AD．
∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，∴∠BCE=∠ACD=30度，
∵△ABC与△C′DE是等边三角形，∴CA=CB，CE=CD，
∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD．
（2）BE=AD．
∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α，∴∠BCE=∠ACD=α，
∵△ABC与△C′DE是等边三角形，∴CA=CB，CE=CD，
∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD．
猜想与发现：
当α为180°时，线段AD的长度最大，等于a+b；当α为0°（或360°）时，线段AD的长度最小，等于a﹣b．
18．C．19．C．20．BC=EF　21．AC=AB　
22、证明：∵∠1=∠2，∴∠1+ECA=∠2+∠ACE，即∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，∵∴△ABC≌△DEC（SAS）．∴DE=AB．
23．证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即：∠EAD=∠BAC，
在△EAD和△BAC中，∴△ABC≌△AED（ASA），∴BC=ED．
24、B 25、D． 26、D
27、（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，，∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴CF=MF，∴∠FMC=∠FCM；
（2）AD⊥MC，
理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥CM，∴AD⊥MC．
28、（1）证明：∵在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，
∵在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFD=∠AFB，
∵∠AFB=∠CFE，∴∠AFD=∠CFE；
29、（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG，
（2）解：BE=CM．
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，
又∵∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．
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