下关一中教育集团 2022~2023 学年高二年级下学期期中考
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B C A C C B
【解析】
1．由题意可知集合 B {x | x y 1，x，y R}为数集，集合 A {(x，y) | x2 y2 1，x，y R}表
示点集，二者元素类型不同，所以 A B ，故选 D．
2 1 1 2i 1 2 1．∵ i ，∴复数 的对应的点在第四象限，故选 D． 1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5 1 2i
3．因为{an}是等比数列，所以 a1a2a
9
3a4a5a6a7a8a9 2 512，故选 B．
4．A：对任意的两个随机事件 M、N， p(MN ) p(M ) p(N )成立条件是事件独立，所以错误；
B：抛掷一枚质地均匀的硬币 100 次，“正面朝上”的次数一定为 50 次，只能说接近，不
等肯定，故而错误；C：完成一件事，可以有不同方式，方法一，先选 2 人担任指挥，再
从剩余 48 人中选 18 人；方法二，也可以先整体选出 20 人，再从 20 人中选 2 人担任指挥，
b b m
所以选项正确；D： a b 0 ，m 0，则 ，所以选项错误，故选 C．
a a m
5 AF 1 AB 1 AE 1 AB 1 2 AC 5
1 7
．由题可知 AB AD ，∵点 F 在 BE 上，∴ x y ，
2 2 2 2 3 6 3 6
故选 A．
6．根据题意，分 2 步进行分析：①将 4 名大学生分为 3 组，有C24 6种分组方法，②将分好
的 3 组安排参加 3 个社区参加志愿活动，有A33 6 种情况，则有 6 6 36 种分配方案，故
选 C．
7 sin A cosC C π π ．∵ ， ， ，∴cosC sin A cos
π
A
，C π A，故选 C．
2 2 2
数学 XG 参考答案·第 1 页（共 8 页）
8．如图 1，连接OE ，作ON AD ，交CF 于点 N ，∵E 是 AB 的中点，
∴OE AB ，∵BC 平面 ABE ，OE 平面 ABE ，∴BC OE ，
∵AB BC B， AB，BC 平面 ABCF ，∴OE 平面 ABCF ，又
AD 平面 ABCF ，∴OE AD ，又 ON AD ， OE ON O ，
OE，ON 平面ONE ，∴AD 平面ONE ，设平面ONE 与上底面 图 1
交于 PQ，∵ME AD，∴点 M 的轨迹为 PQ；∵ AB 8， BC 6 ， D 是母线 BC 中点，
2
∴ tan BAD BD 3 tan O1ON ，∴O1N OO tan O ON
9
PQ 2 42 91 1 ，
AB 8 4
4
5 7 NO 3 73 1 1 3 73 5 7 15 511 ， OO 21 O1N
2 ，∴S△OPQ ON PQ ，故选2 4 2 2 4 2 16
B．
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11 12
答案 BCD ABC ABC BC
【解析】
9．A 是正确的：二项分布 X ~ B 1 1 2 2，5
，则随机变量的期望 E(X ) 2 ；B 是错的：举
5 5
1 1
1 2 ，易知 不成立；C 是错的：已知 k R ，直线 x k(y 1) 0恒经过定点 (0， 1) ；
x y
D 是错的： 2 3，显然 x2 y2 不成立，故选 BCD．
10．对 A：∵2an 1 an an 2，n N
* ，∴a *n 1 an an 2 an 1，n N ，则数列{an}为等差数列，
S5 50，a8 0，即 a3 10，a8 0，则 d 2 ，则 an a3 d (n 3) 10 2(n 3) 2n 16，
n(a a ) n(14 2n 16)
A 2故 正确；对 B：a 14，则 S 1 n1 n n 15n ，故 B 正确；对2 2
S
C： n n 15 显然成立；对 D：Sn n
2 15n，开口向下，对称轴为 n 7.5 ， * ，
n ∵n N
故当 n 7 或 n 8时， Sn 取得最大值 56，故 D 错误，故选 ABC．
11．A： x 0，f (x) x ln x 1，f (x) ln x x ln x 1，所以正确；B： x 0 ， sin x x，
x
h(x) sin x x ， h (x) cos x 1≤0，所以函数单调递减，故而有 h(x)≤ h(0) 0，
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∴h(x) 0，sin x x 1，所以正确；C：x 0，f (x) ln x，k f (x) ，k 1，切点为(1，0)，
x
所 以 切 线 方 程 是 y 1(x 1)，y x 1 ， 所 以 命 题 正 确 ； D ： f (x) 0 有 解 ，
f (x) (x 2)2，x 2，但在两侧导函数为正，所以函数无极值，所以命题错误，故选 ABC．
12．A：抛物线 y2 4x 的准线方程是 x 1，所以答案是错的；B：因为双曲线 x2 y2 1，
x2 y2
所以 a 1，b 1，所以离心率 e 2 ，故正确；C：因为双曲线 2 2 1(a 0，b 0) ，a b
所以焦点坐标为 ( c，0)，(c，0) ，渐近线方程为 bx ay 0 ，所以焦点到渐近线的距离为
d | bc |
2 2 2 2
b ，故正确；D：设 A(x，y )，B(x x1 y1 x2 y2
a2 b2 1 1 1
，y1) ，则 1， 1，两式4 2 4 2
y2 y2 x2 x2 1
相减得： 1 2 1 2 ，因为 AB 的中点坐标是 ， 12 4 2
，所以直线的斜率为
k y1 y 2 x 1 x2 1
x x 2(y y ) 4 ，故错误，故选 BC． 1 2 1 2
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 13 14 15 16
1 893 π 1
答案 74 sin e 1
2 990 7 2
【解析】
13 cos 4π． cos π π
cos
π 1
．
3 3 3 2
14． a C4 ( 2)4 C5 ( 1)51 5 6 80 6 74 ．
15 5 1．抽检第 1 件产品不合格的概率为 ，抽检的第 1 件产品合格，第 2 件产品不合格
100 20
95 5 19 1 19 776 97
的概率为 ，所以这批产品被拒绝的概率为 ，所以被
100 99 396 20 396 7290 990
97 893
接受的概率为1 ．
990 990
数学 XG 参考答案·第 3 页（共 8 页）
16 π π 1
1 1 1
．由正弦函数的单调性可知 sin sin ，由不等式 ex x 1 e2 1 e 1 ，
7 6 2 2 2
sin π 1所以 e 1．
7 2
四、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
BA BC 2 π
解：（Ⅰ）在△ABC 中， ， B ，
| BA | | BC | 2 4
又 AB 3 6 ， AC 6，
2
AB AC
AB sin B
3 6
2 3由正弦定理可得 ，故 ，
sin ACB sin B sin ACB AC 6 2
π
因为△ABC 是锐角三角形，所以 ACB ． ………………………………………（5 分）
3
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ACB
π 2π
，所以 ACD ，
3 3
2π
在△ACD 中， AC 6，CD 10， ACD ，
3
所以 AD AC 2 CD2 2AC CD cos ACD 62 102 1 2 6 10 14，
2
所以△ACD 的周长为 6 10 14 30． ……………………………………………（10 分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）求这件产品是合格品的概率为 40％ (1 5％) 60％ (1 4％) 0.956 ．
…………………………………………………（6 分）
（Ⅱ）设 B {取到的是合格品}， A {产品来自第 i 批} (i 1，2) ，
则 P(A1) 40％，P(A2 ) 60％， ………………………………………………………（8 分）
则 P(B | A1) 1 5％ 95％，P(B | A2 ) 1 4％ 96％，………………………………（10 分）
根据公式得：
P(A | B) P(A 1)P(B | A1) 40％ 95％ 951 ． P(A1)P(B | A1) P(A2 )P(B | A2 ) 40％ 95％ 60％ 96％ 239
………………………………………………………………………………（12 分）
19．（本小题满分 12 分）
3
（Ⅰ）解：因为 Sn nan n(n 1) ， 2
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3
当 n≥ 2 时， Sn 1 (n 1)an 1 (n 1)(n 2)， 2
3 3
∵an Sn Sn 1 nan (n 1)an 1 n(n 1) (n 1)(n 2)， ………………………（2 分） 2 2
(n 3∵ 1)an (n 1)an 1 (n 1)[n (n 2)] 0， 2
∴(n 1)an (n 1)an 1 3(n 1) 0，……………………………………………………（4 分）
∴an an 1 3，又 a1 1，所以{an}是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴an 1 (n 1) 3 3n 2． ………………………………………………………（6 分）
b 1 1 1 1 1 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得 n a a
，
n n 1 (3n 2)(3n 1) 3 3n 2 3n 1
………………………………………………………………………………………（8 分）
T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ n 3 4 4 7 7 10 3n 2 3n 1 3 3n 1
，
………………………………………………………………………………………（10 分）
1 1 1
∵Tn 单调递增，
∴Tn ≥T1 1 3 4
，
4
1 0 T 1又∵ ，∴ ，
3n 1 n 3
1
综上可得 ≤T 1n ．…………………………………………………………………（12 分） 4 3
20．（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）证明： DE∥平面 ABC ，理由如下：
如图 2，分别取 AC，BC 的中点O，P ，连接 DO，EP，OP ，
因为 AD CD ，所以 DO AC ，
又平面 ACD 平面 ABC ，平面 ACD 平面 ABC AC ， 图 2
DO 平面 ACD ，所以 DO 平面 ABC ，
同理 EP 平面 ABC ，所以 EP∥DO ， ………………………………………………（2 分）
又因为△ACD，△BCE 是全等的正三角形，所以 EP DO ，
所以四边形 DOPE 是平行四边形，
所以 DE∥OP ，
因为 ED 平面 ABC ，OP 平面 ABC ，
所以 ED∥平面 ABC ． ………………………………………………………………（5 分）
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（Ⅱ）解：连接 BO，则易知 BO 平面 ACD ，以O为坐标原点，
分别以OD，OA，OB 的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立如图 3
所示的空间直角坐标系O xyz ，令 AC 2 ，
则O(0，0，0)，A(0，1，0)，C(0， 1，0)，D( 3，0，0)，
图 3
1 3 H 0 P 0 1 3
1 3
， ， ， ， ， ，∵DE OP，∴E 3， ， ，
2 2 2 2 2 2
所以 AC (0 2 0) AE 3
3 3 1 3
， ， ， ， ， ，DH 3， ， ，
2 2 2 2
…………………………………………………………………………………（8 分）
设平面 ACE 的法向量为m (x，y，z) ，
2y 0， m AC 0，
所以 所以 3 3
m
AE 0， 3x y z 0， 2 2
则 y 0 ，取 z 2 ，∴x 1，则m ( 1，0，2)，
DH m 2 3 15
所以 cos DH，m ，
| DH | | m | 2 5 5
设直线 DH 与平面 ACE 所成的角为 ，则 sin 15 | cos DH，m | ．
5
……………………………………………………………………………………………（12 分）
21．（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）解：设抛物线上的点M (x0，y0 ) ，过 M 作 MQ x 轴于 Q，
设线段 MQ 中点 P(x，y)，
x0 x， 2 1
于是有 而 y20 2 px0 ，即 (2y)
2 2 px，从而得 y pxy ， 0 2y， 2
……………………………………………………………………………（2 分）
当 M 为抛物线顶点时，可视为过 M 作 x 轴垂线的垂足 Q 与点 M 重合，其中点 P 与 M 重
合，坐标也满足上述方程，
2 1 p
所以垂线段的中点的轨迹方程是 y px ，它是顶点在原点，焦点为 ，0 ，开口向右2 8
的抛物线． ………………………………………………………………………（6 分）
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y x 2，
（Ⅱ）证明：由 22 y 2y 4 0 A(x，y )，B(x ，y )
y 2x
得 ，设 1 1 2 2 ，，
y2 y2 (y y )2
则有 y1 y2 4 ，x x 1 2 1 21 2 4 ， ……………………………………（9 分） 2 2 4
OA OB x1x2 y1 y2 4 ( 4) 0，即OA OB ，
所以OA OB ， ………………………………………………………………………（11 分）
所以原点 O 在以 AB 为直径的圆上． ……………………………………………（12 分）
22．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）函数的定义域为 x R ．
f (x) (x 1) ex (x 1)(ex )
ex (x 1)ex
(x 2)ex ，
令 f (x) 0，解得 x 2 ，
f (x)， f (x) 的变化情况如下表所示：
x ( ， 2) 2 ( 2， )
f (x) － 0 ＋
f (x) 1单调递减 单调递增
e2
所以， f (x) 在区间 ( ， 2)上单调递减，在区间 ( 2， )上单调递增，
1
当 x 2 时， f (x) 有极小值 f ( 2) 2 ． ………………………………………（4 分） e
（Ⅱ）令 f (x) 0 ，解得 x 1．
当 x 1时， f (x) 0；当 x 1时， f (x) 0 ，
所以，f (x)
1
的图象经过特殊点 A 2，
e2
，B( 1，0)，C(0，1) ．
当 x 时，与一次函数相比，
指数函数 y e x 呈爆炸性增长，
从而 f (x)
x 1
e x
0 ；
当 x 时， f (x) ， f (x) ．
根据以上信息，我们画出 f (x) 的大致图象如图 4 所示． 图 4
…………………………………………………………………………………（8 分）
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（Ⅲ）方程 f (x) a(a R) 的解的个数为函数 y f (x) 的图象与直线 y a 的交点个数，
1
由（Ⅰ）及图 4 可得，当 x 2 时， f (x) 有最小值 f ( 2) ，
e2
所以，关于方程 f (x) a(a R) 的解的个数有如下结论：
a 1当 2 时，解为 0 个； e
a 1当 2 或 a≥0 时，解为 1 个； e
1
当 2 a 0时，解为 2 个． …………………………………………………（12 分） e
数学 XG 参考答案·第 8 页（共 8 页）秘密★启用前
6.将4名学生志愿者分配到A、B、C社区参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配
1名志愿者，则不同的分配方案共有
下关一中教育集团2022~2023学年高二年级下学期期中考
A.12种
B.24种
C.36种
D.48种
数学试卷
7.在三角形ABC中，已知sinA=-cosC,则有
AB=号
B.C=2+B
C.C=7A
D.A-Z+C
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4
页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
8.如图2，在圆柱OO,中，AB为底面直径，E是AB的中点，D是母线BC的中点，M是上底面上的动点，若
AB=8,BC=6,且ME⊥AD,则线段OM的轨迹面积为
，0
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
B.15S11
16
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦千净后，再
C.4517
图2
选涂其他答案标号.在试題卷上作答无效
16
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
D.6
目要求的)
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求
1.已知集合A={(x,y)x2+y2=1,x,yeR},B={xx+y=1,x,yeR},则
的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
A.A∩B={0,1
B.AnB={(0,1),(1,0)}
9.下列判断错误的是
C.A=B
D.AnB=
2复数2对应的点所在象限是
A二项分布X-,》,则随机变量的期壁5()=号
1
B.若xA.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C.已知k∈R,直线x+k(y+1)=0恒经过定点(0,1)
3.已知正数项等比数列{a}的前n项积为Ⅱ.，若a,=2,则Ⅱ，=
D.若x>y,则x2>y
A.18
B.512
C.1024
D.与首项a,有关
4.下列命题正确的是
10.已知数列a,满足2=a,3为a,的前n项和，且S,=50,4,=0,则
2
A.对任意的两个随机事件M、N,p(MN)=p(M)p(N)
A.a.=-2n+16
B.S=-n2+15n
B.抛掷一枚质地均匀的硬币100次，“正面朝上”的次数一定为50次
C.某班有50人，从中“选出20人，且其中2人要担任指挥”参加一项活动，则完成这件事情的做法可以
c倍}是等差数列
D.Sn取得最大值16
为C3C或C0C0
11.下列命题正确的是
D若a60,m0,则
A.x>0,f(x)=xlnx,f'(x)=Inx+1
5.如图1，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上且为中点，若AF=
B.x>0,sinxC.x>0,f(x)=lnx,函数在点(1,0)处的切线方程是y=x-1
xAB+yAD,则x+y=
D.若f'(x)=0有解，则函数f(x)必有极值点
A.6
12.下列说法正确的是
4
A.抛物线y2=-4x的准线方程是x=-1
B.
5
B.双曲线x2-y2=100的离心率e=√2
5
C.
6
C双曲线。1(0>0，b>0)的焦点P到渐近线的距离是b
D.
D.双曲线-2=4，直线1与双曲线交于A,B两点，若4B的中点坐标是分，一，则直线1的斜毕为-4
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