2014年快乐暑假初二升初三衔接复习部分——等腰三角形（附答案）

2014年快乐暑假初二升初三衔接复习部分——等腰三角形
一、知识梳理
等腰三角形的性质：
1、等腰三角形的 相等。（简称： ）
2、等腰三角形的 、 、 互相重合。（简称： ）
3、等边三角形的 都相等，每一个角都等于 。
等腰三角形的判定
4、 是等腰三角形。
5、 是等腰三角形。（简称： ）
等边三角形的判定：
6、有 的等腰三角形是等边三角形。
7、 的三角形是等边三角形。
二、典例精析
1、如图，已知D、E是等腰△ABC底边BC上两点，且BD=CE．求证：∠ADE=∠AED．
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2、如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD．
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3．（2010 雅安）如图，点C是线段AB ( http: / / www.21cnjy.com )上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE=BD；
（2）求证：MN∥AB．
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三、巩固提升
4．（2013 玉溪）若等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（　　）
　 A． 12 B．16 C．20 D．16或20
5．（2013 钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（　　）
　 A． 80° B． 80°或20° C． 80°或50° D． 20°
6．（2013 湘潭）如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（　　）
A． BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD
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（6） （7） （8） （9）
7．如图，△ABC中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )=AC，∠A=36°，∠ABC、∠ACB的平分线交于O，OM∥AB，ON∥AC，则图中共有等腰三角形的个数为（　　）
　 A． 5个 B． 6个 C． 7个 D． 8个
8．（2011 赤峰）如图，AD是△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为　_________　．
9．如图，△DAC和△EBC均是等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，结论正确的有　 　．（将正确答案的序号填在横线上）
10．（2014 杭州）在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．
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11．（2012 肇庆）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：（1）BC=AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
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四、拔高训练
12．（2010 株洲）如图所示的正方形网格 ( http: / / www.21cnjy.com )中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A． 6 B．7 C．8 D．9
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（12） （13） （14）
13．（2012 深圳）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（　　）
　 A． 6 B． 12 C． 32 D． 64
14．（2009 攀枝花 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　）
　 A． 60° B． 45° C． 40° D． 30°
15．（2014 温州）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
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五、课时检测
16．（2013 武汉）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（　　）
A．18° B． 24° C． 30° D． 36°
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（16） （17） （18） （19）
17．（2012 铜仁地区）如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　）
　 A． 6 B． 7 C． 8 D． 9
18．（2012 海南）如图，在△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是　_________　．
19．（2013 黔西南州）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　_________　度．
20．（2012 天水）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．
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2014年快乐暑假初二升初三衔接复习部分——等腰三角形参考答案
1、证明：在等腰△ABC中，
∵AB=A ( http: / / www.21cnjy.com )C， ∴∠B=∠C．
又∵BD=CE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴∠ADB=∠AEC．
∴∠ADE=∠AED．
法二：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，∴BF=CF，
∵BD=CE，∴DF=EF，
∴AD=AE，∴∠ADE=∠AED．
2、证明：连接AC、AD，在△ABC和△AED中，
AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED
∴△ABC≌△AED（SAS）．∴AC=AD．∴△ACD是等腰三角形．
又∵点F是CD的中点，∴AF⊥CD．
3、证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，
∵∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB，∴AE=BD；
（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，
∴∠DCN=60°，
在△ACM与△DCN中，
∵，∴△ACM≌△DCN，∴MC=NC，
∵∠MCN=60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC=∠DCN=60°，
∴∠NMC=∠DCA，
∴MN∥AB．
4．C．5．B．6．C．7．C．8．　3　9．　①②　
10．证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴BC=AD，
（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠CAB=∠DBA，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形．
11．解：在△ABF和△ACE中，，∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的对应角相等），
∴BF=CE（全等三角形的对应边相等），
∵AB=AC，AE=AF，
∴BE=BF，
在△BEP和△CFP中，，∴△BEP≌△CFP（AAS），∴PB=PC，
∵BF=CE，
∴PE=PF，
∴图中相等的线段为PE=PF，BE=CF．
12．C．13．C．14．A．
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（12题图）
15．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
16．A．17、D．18．9　19．15　
20．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS）．
（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，
又∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD．
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．