6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 76.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-10 07:23:42 | ||
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文档简介
教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高二 学期 秋季
课题 《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》
教科书 书 名：选择性必修第三册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年5月
教学目标
1.通过情景和问题的分析，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理； 2.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义； 3.能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题； 4.在学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理和计数原理解决实际问题的过程中，落实数据分析、数学运算和逻辑推理等核心素养的培育。
教学内容
本节课内容选自普通高中数学教材人教A版数学选择性必修第三册第六章第一节《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》，共2个课时，本节课是第一课时。分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决计数问题的基础，称为基本计数原理。这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计数原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式——排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便的解决一些问题。 1.教学重点： （1）归纳出两个计数原理，能应用它们解决简单的实际问题。 2.教学难点： （1）分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解； （2）正确区分“分类加法计数原理”和“分步乘法计数原理”。
学生学情
计数原理涉及方方面面，主要用于生活中常见的计数原理问题。高二的学生已具备一定的数学知识方法，接受两个原理的内容并不难，并应用原理理解一些简单实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”，虽然学生已经具备一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养。
教学方法和策略
1.通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例让学生感悟两个原理的应用并最终学会应用； 2.通过“学生自主探究、合作探究。师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题。
教学过程
引入课题 先看下面的问题： ①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ ②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.
在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 1 分类加法计数原理 （1）提出问题 问题1用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 探究：你能说说问题的特征吗？ （2）发现新知 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法. 那么完成这件事共有 种不同的方法. （3）典型例题 例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）. 变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第3类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳： 完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法……在第n类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法. 理解分类加法计数原理： 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 2 分步乘法计数原理 （1）提出问题 问题2：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以,,…，,,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 用列举法可以列出所有可能的号码： 我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码． 探究：你能说说这个问题的特征吗？ （2）发现新知 分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法. 那么完成这件事共有 种不同的方法. （3）知识应用 例2.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生． 解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择； 第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择． 根据分步乘法计数原理，共有 30×24 =720种不同的选法． 探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第3步有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情需要个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳： 完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法. 理解分步乘法计数原理： 分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事. 3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成. 3 综合应用 例3. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. ①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ ②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 【分析】 ①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理. ②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理. ③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这 件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理. 解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是 =4+3+2=9; ( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是 =4×3×2=24 . 。 4 课堂练习 1. 填空题 (1) 一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________； (2) 从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是_________. 在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，那么A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10. 这种算法有什么问题？ 3. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书. (1) 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法 (2) 从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法 4. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名. (1) 从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法 (2) 从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法 5 课堂总结 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
课程基本信息
学科 数学 年级 高二 学期 秋季
课题 《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》
教科书 书 名：选择性必修第三册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年5月
教学目标
1.通过情景和问题的分析，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理； 2.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义； 3.能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题； 4.在学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理和计数原理解决实际问题的过程中，落实数据分析、数学运算和逻辑推理等核心素养的培育。
教学内容
本节课内容选自普通高中数学教材人教A版数学选择性必修第三册第六章第一节《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》，共2个课时，本节课是第一课时。分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决计数问题的基础，称为基本计数原理。这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计数原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式——排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便的解决一些问题。 1.教学重点： （1）归纳出两个计数原理，能应用它们解决简单的实际问题。 2.教学难点： （1）分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解； （2）正确区分“分类加法计数原理”和“分步乘法计数原理”。
学生学情
计数原理涉及方方面面，主要用于生活中常见的计数原理问题。高二的学生已具备一定的数学知识方法，接受两个原理的内容并不难，并应用原理理解一些简单实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”，虽然学生已经具备一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养。
教学方法和策略
1.通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例让学生感悟两个原理的应用并最终学会应用； 2.通过“学生自主探究、合作探究。师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题。
教学过程
引入课题 先看下面的问题： ①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ ②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.
在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 1 分类加法计数原理 （1）提出问题 问题1用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 探究：你能说说问题的特征吗？ （2）发现新知 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法. 那么完成这件事共有 种不同的方法. （3）典型例题 例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）. 变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第3类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳： 完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法……在第n类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法. 理解分类加法计数原理： 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 2 分步乘法计数原理 （1）提出问题 问题2：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以,,…，,,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 用列举法可以列出所有可能的号码： 我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码． 探究：你能说说这个问题的特征吗？ （2）发现新知 分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法. 那么完成这件事共有 种不同的方法. （3）知识应用 例2.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生． 解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择； 第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择． 根据分步乘法计数原理，共有 30×24 =720种不同的选法． 探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第3步有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情需要个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳： 完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法. 理解分步乘法计数原理： 分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事. 3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成. 3 综合应用 例3. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. ①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ ②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 【分析】 ①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理. ②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理. ③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这 件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理. 解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是 =4+3+2=9; ( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是 =4×3×2=24 . 。 4 课堂练习 1. 填空题 (1) 一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________； (2) 从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是_________. 在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，那么A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10. 这种算法有什么问题？ 3. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书. (1) 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法 (2) 从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法 4. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名. (1) 从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法 (2) 从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法 5 课堂总结 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。