6.2.3 组合 教学设计（表格式）

教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高二 学期 春季
课题 《组合》
教科书 书 名：普通高中数学教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年3月
教学目标
1. 理解并掌握组合的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别。 2. 能够运用组合概念及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力。
教学内容
本节课内容选自普通高中数学教材人教A版数学选择性必修第三册第六章第二节《排列与组合》，共2个课时，《组合》是第二课时，本节课主要学习组合。 排列与组合的学习是在学习两个计数原理之后，由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础，同时排列和组合又能进一步简化和优化计数问题。学生已经学习了排列的相关知识，对一些排列问题已经有所了解。组合的学习需要学生去发现与排列有何区别、联系，一方面，它们都是从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，另一方面，排列有顺序问题，组合没有。同时组合的学习也为后面推导组合数公式打下良好基础。 通过本单元的学习，学生需要用数学的眼光看待排列与组合问题，能用数学思维解释具体问题，并尝试能去分析复杂问题，寻找解决复杂问题的方法。学习过程中蕴含着数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。 教学重点： 1. 组合概念的理解。
教学难点： 1. 组合与排列之间的联系与区别。
2. 运用组合解决实际问题。
学生学情
在学习两个计数原理的基础上，学生对问题的解决能够提出自己的看法，但在解决实际问题的过程中，常常对于结论与“顺序”的关系思考不清，因此很容易方向错误，这就是排列组合问题的特别之处。因此，学生在学习本节时要联系生活的同时也要区别常规的思考，对组合定义的理解要与排列定义进行区分与联系。学生在课堂愿意讨论，发表见解，同时也对多样化的课堂教学手段感兴趣。
教学方法和策略
兴趣是最好的老师，因为兴趣能调动学生学习的积极性。在新课讲授的过程中，教师结合学生的实际情况来创设组合学习情境，让学生在思考探索中有收获有成就感，在其中引导学生边探索边学习新知识——组合。同时，通过对比发现到排列与组合的区别与联系，这就是发现-猜想-验证-得出结论的过程。因此，本节课的教学教学内容充分发挥学生主体性。 整节课贯穿启发式教学原则，并由此获得成功的体验，激发学生学习数学的兴趣和学好数学的信心，践行 “学会思考，体验过程，学会表达”的理念。 1.数学抽象：组合的概念； 2.逻辑推理：组合与排列的联系与区别； 3.数学运算：运用组合思维。
教学过程
引导语：在前面排列的学习中，我们遇到了从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)的题目，取出时需要按照一定顺序进行排列。 如果不用按照一定的顺序排列，那么思考问题的方法还具有一致性吗？ 下面，我们从具体的问题入手。 1.情景导入-问题探究（一） 情景：3月是“学雷锋志愿服务月”，为进一步弘扬雷锋精神，践行奉献、友爱、互助的雷锋精神，学校将于3月5日组织同学们参加雷锋活动。 思考1：从甲乙丙三名同学中选两名去参加其中一项活动，有多少种不同的选法？ 思考2：思考1与6.2.1节问题一有什么联系与区别？ 师生活动：先由学生尝试自主完成上面的问题，可以同桌进行讨论。 分析：在思考1中，从甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：甲乙、甲丙、乙丙。 对于思考2，在6.2.1节问题1的选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午” 2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的。同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法。而从甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。即选取的元素相同，但一个要考虑顺序一个不需要。 追问：思考1的提问舍去问题背景如何简短概括？你能将它推广到一般情形吗？ 师生活动：教师引导学生思考、交流、总结。 分析：该问题实际就是从3个不同元素中取出2个元素作为一组一共有多少个不同的组？ 设计意图：通过具体的实例，引入组合的直观概念，使学生认识组合问题不需要考虑顺序问题，能够使学生直观理解发现有关概念。 2.概念提炼发现 从思考1与思考2中我们可以知道，同样是从3个不同元素中取出2个元素，但结果不同。6.2.1节中问题一的选法为排列，而思考1中的选法为组合，区别在于是否考虑顺序问题。 能否根据排列的定义概括出组合的定义？ 排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 相同组合：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的。 设计意图：由具体实例抽象概括特征以形成数学概念，是数学抽象的重要表现形式，也是重要的数学思想方法。 3.问题探究（二） 思考3：你能说一说排列与组合之间的联系和区别吗？ 师生活动：学生根据排列与组合的概念对比发现。 分析提炼：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m(m（2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法？ 师生活动：教师先作示范性分析，强调排列与组合的区别，主要考虑顺序对结果有无影响。接着，由学生独立完成。在学生完成本题以后，教师与学生一起核对。 解析：（1）与顺序无关，是组合问题； （2）选出3辆后将自行车分给3位同学需要考虑顺序，是排列问题。 设计意图：通过具体问题分清排列问题与组合问题，进一步巩固区别两类问题。 4.应用新知（解决实际问题） 书本例5：平面内有A，B，C，D共4个点。
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？ 师生活动：引导学生进行思考：确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序（起点-终点），是排列问题；确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序，是组合问题。接着，由学生独立完成。在学生完成本题以后，教师给出完整的解题过程。 解析：（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为=4×3=12。这12条有向线段分别为 , , , , , , （2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数。 共有如下6条：AB，AC，AD，BC，BD，CD. 书本练习题：甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛。 1）列出所有各场比赛双方； 2）列出所有冠、亚军的可能情况。 师生活动：引导学生进行思考：单循环赛是指所有参赛队在比赛中均能相遇一次，4支足球队举行单循环赛，甲-乙与乙-甲为同一场比赛，因此不考虑顺序问题，为组合问题；而不同的队伍获得冠亚军是有区别的，为排列问题。接着，由学生独立完成，在学生完成本题以后，教师给出完整的解题过程。 解析：1）单循环赛是指所有参赛队在比赛中均能相遇一次，4支足球队举行单循环赛，不考虑前后选出顺序问题，为组合问题；共有6种情况，一一列出如下：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁。 比赛后获得冠亚军队伍是有区别的，为排列问题，即从4个队伍选2个队伍分别获得冠亚军，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即情况有=4×3=12，列出如下： 冠军甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁亚军乙甲丙甲丁甲丙乙丁乙丁丙
5.方法总结与课堂小结 区别排列问题与组合问题的方法： （1）考虑元素的顺序对结果有无影响； （2）与元素的顺序无关，是组合问题，与元素的顺序有关，是排列问题。 用排列组合思想解决实际问题方法： （1）考虑是排列问题还是组合问题； （2）排列问题利用排列数计算，组合问题可一一列出情况。 设计意图： 1.学生总结本节课的知识、思想方法。 2.教师帮助学生梳理学习脉络，形成知识体系。
教学反思
本节课需要学生自主探究的内容比较多，由于学生的数学思维较为薄弱，因此在课前要给学生提出确定的预习目标及内容，让不同层次的学生有不同的预习任务，预习时学生可能遇到的问题是学生对组合概念的理解，并能区分出组合与排列；因此在教学过程中耐心的引导学生思考，面向全体学生提问，通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出组合的定义，鼓励每一个学生发表自己的见解，对于学生的发言及时给予正面的评价，形成一个好的回馈。通过这节课的学习要发展学生数学抽象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养。