7.1.2全概率公式 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 7.1.2全概率公式 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 420.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-10 07:26:02 | ||
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文档简介
教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高二 学期 春季
课题 《全概率公式》
教科书 书 名：普通高中数学教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020 年3 月
教学目标
1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程； 2.理解全概率公式并会利用全概率公式计算概率；
教学内容
本节课内容选自普通高中数学教材2019人教A版高中数学选择性必修第三册第二章第一节《条件概率与全概率公式》，共3个课时，《全概率公式》是第二节课，本节课主要是学习全概率公式，并会利用全概率公式计算概率。本节内容是学生上节课学过的条件概率的延续和拓展，又是后续求复杂事件概率的基础。全概率公式为求解一类概率问题提供了有力的工具，它是概率论中最重要的公式之一，且蕴含着深刻的数学思想。 1.教学重点：全概率公式及其应用 2.教学难点： （1）受多因素影响的复杂事件表示为各因素影响下对应的简单互斥事件的并 （2）运用全概率公式求概率.
学生学情
学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型（如古典概型）、事件之间的关系和运算已经有所了解，本节主要是求受多因素影响的复杂事件的概率。本课以“不放回摸球实验”为载体，在条件概率的基础上利用概率的乘法公式和加法公式抽象并推导了全概率公式。公式的理解重在在具体的问题情境中进行运用，同时注意运用集合的观点理解公式。
教学过程
（一）复习引入 上节课我们学习了条件概率和概率的乘法公式，通过计算得出，在抽奖活动中抽奖次序与中奖的概率无关，知道了求一个复杂事件概率时，需要把它表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率. 这节课继续来学习解决复杂事件概率的问题. （二）创设情境 思考：袋子中有5 个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3 个蓝球，从中不放回地依次随机摸出 2 个球． （1）设 为该试验的样本空间，记 = “第一 次摸出红球第二次摸出蓝球”，= “第一次摸出红球第二次摸出红球”，它们能组成该试验的样本空间吗？如果不能，请说明理由？ （2） = “第二次摸出红球”，求事件 B 的概率； 设计意图:通过回顾样本空间的概念，为求受多因素影响的复杂事件概率转化为简单的基本事情做铺垫；通过分析复杂事件B的特征，把受两个因素影响的复杂事件表示为各因素下对应的简单互斥事件之和. 变式1：袋子中有5 个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2 个蓝球，1个黄球，显然，第1次摸到红球的概率为. 那么第2次摸到红球的概率是多大？ 变式2：一个箱子中装有个红球、个绿球、个黄球，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为. 那么第2次摸到红球的概率是多大？ 分析：用 表示事件“第次摸到红球”，表示事件“第次摸到蓝球”，表示事件“第次摸到黄球”，。事件可按第1次可能的摸球结果（红球、蓝球或黄球）表示为三个个互斥事件的并，即 所以，第2次摸到红球的概率是. 以上证明蕴含着怎样的思想？ 上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为三个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 设计意图： 采取层进式问题链的方式，由简单到复杂的方法，让学生经历猜想、归纳、证明的过程，有利于发展学生的逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。 （三）形成概念 （1）当对 B 事件发生的概率有影响的事件有 n 个（ ）时， 是否有类似的表达式？ （2）上式成立需要满足什么条件？ 设计意图：让学生亲身经历多因素（两个、三个、 n 个互斥事件）复杂事件的表示，通过三者之间的共性，实现教学内容之间的自然过渡，体现由特殊到一般的思想，从而推导出全概率公式，突破这节课的难点，同时发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 全概率公式定义： 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有. 我们称上面的公式为全概率公式. 全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 注：（1）内涵：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题. （2）将所研究事件视为试验结果，那么导致事件发生的若干不同的假设情况（也可以理解为各种原因）视为，而且只有发生了才有事件的发生，那么全概率公式给出了由因求果的推断. （3）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.合理选择，易求. （四）小试牛刀： 1、 设A，B为两个事件，已知，，，则( ) 【答案】C A. B. C. D. 2、 （多选题） 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表： 品牌甲乙其他市场占有率优质率
在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌，其他品牌，B表示可买到的优质品，则( ) A. B. C. D. 【答案】ABD 设计意图：通过概念辨析以及简单运用，让学生深化对全概率公式的理解，并深刻的体会全概率公式是用来解决“由因求果”类的问题。 （五）典型例题 例1 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 分析：“第2天去哪家餐厅用餐”是一个结果，且第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响；可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，这两个互斥事件也是原因事件，此题应该利用全概率公式求解. 解： 由全概率公式，得 因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7. 总结全概率公式求概率的步骤： 1.设事件：把事件（结果事件）看作某一过程的结果,把看作导致结果的若干个原因； 2.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即),且每一原因对结果的影响程度 (即)； 3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即). 例2 盒子中放有 12 个乒乓球，其中 9 个是新的，第一次比赛时从中任取 3 个来用，比赛后仍放回去，第二次比赛从盒子中又任取 3 个球，求第二次取到的球都是新球的概率。 解： 有题意知： 设计意图：会利用全概率公式求概率，培养学生分析问题、利用已学知识解决问题的能力。 （六）课堂小结 设计意图：通过知识与方法的总结，让学生进一步巩固本节所学内容，理清全概率公式的来龙去脉，也为介绍下一节课贝叶斯公式做好铺垫。 （七）巩固练习 1、为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 2、据条件求值： 已知A与B独立，且，求； 已知，，，求； 解：由，得， 因为 A与 B独立，所以 因为，，所以，
又，则由全概率公式，得 ， 3、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为0.85. (1)求该考生选出此题正确答案的概率； (2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率． 分析：分析题意可知，第一问是已知原因求结果，所以用全概率公式求解概率； 第二问是已知结果求原因，用条件概率公式求解概率。 （2） P(A|B)＝＝≈0.958. 前一天当天篮球羽毛球游泳篮球0.50.20.3羽毛球0.30.10.6游泳0.30.60.1
4、小王每天17：00 18：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种．已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如右表： 已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？ 解：用分别表示篮球，羽毛球，游泳三种运动项目， 用分别表示第天小王进行三种运动项目的概率. 因为小王第一天打羽毛球，所以第2天小王做三项运动的概率分别为 第3天小王做三项运动的概率分别为 因此小王第三天打羽毛球的可能性最大.
教学反思
教学中主要突出了几个方面：一是突出复杂事件转化为简单事件的基本程序，即从复杂事件的特征出发，把受多因素影响的复杂事件转化为各因素下对应的简单互斥事件的并，明确如何准确的划分样本空间，发展学生的数学建模思想和逻辑推理能力。二是例题分析，通过对典型问题的分析解决，帮助学生建立运用全概率公式求复杂事件概率的步骤。三是通过问题链设计，层层递进，不断分解难点，帮助学生理解全概率公式的概率，理解它就是“由因求果”的过程、是“加权平均”的结果。教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。注意在探究问题时留给学生充分的时间， 使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高二 学期 春季
课题 《全概率公式》
教科书 书 名：普通高中数学教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020 年3 月
教学目标
1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程； 2.理解全概率公式并会利用全概率公式计算概率；
教学内容
本节课内容选自普通高中数学教材2019人教A版高中数学选择性必修第三册第二章第一节《条件概率与全概率公式》，共3个课时，《全概率公式》是第二节课，本节课主要是学习全概率公式，并会利用全概率公式计算概率。本节内容是学生上节课学过的条件概率的延续和拓展，又是后续求复杂事件概率的基础。全概率公式为求解一类概率问题提供了有力的工具，它是概率论中最重要的公式之一，且蕴含着深刻的数学思想。 1.教学重点：全概率公式及其应用 2.教学难点： （1）受多因素影响的复杂事件表示为各因素影响下对应的简单互斥事件的并 （2）运用全概率公式求概率.
学生学情
学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型（如古典概型）、事件之间的关系和运算已经有所了解，本节主要是求受多因素影响的复杂事件的概率。本课以“不放回摸球实验”为载体，在条件概率的基础上利用概率的乘法公式和加法公式抽象并推导了全概率公式。公式的理解重在在具体的问题情境中进行运用，同时注意运用集合的观点理解公式。
教学过程
（一）复习引入 上节课我们学习了条件概率和概率的乘法公式，通过计算得出，在抽奖活动中抽奖次序与中奖的概率无关，知道了求一个复杂事件概率时，需要把它表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率. 这节课继续来学习解决复杂事件概率的问题. （二）创设情境 思考：袋子中有5 个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3 个蓝球，从中不放回地依次随机摸出 2 个球． （1）设 为该试验的样本空间，记 = “第一 次摸出红球第二次摸出蓝球”，= “第一次摸出红球第二次摸出红球”，它们能组成该试验的样本空间吗？如果不能，请说明理由？ （2） = “第二次摸出红球”，求事件 B 的概率； 设计意图:通过回顾样本空间的概念，为求受多因素影响的复杂事件概率转化为简单的基本事情做铺垫；通过分析复杂事件B的特征，把受两个因素影响的复杂事件表示为各因素下对应的简单互斥事件之和. 变式1：袋子中有5 个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2 个蓝球，1个黄球，显然，第1次摸到红球的概率为. 那么第2次摸到红球的概率是多大？ 变式2：一个箱子中装有个红球、个绿球、个黄球，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为. 那么第2次摸到红球的概率是多大？ 分析：用 表示事件“第次摸到红球”，表示事件“第次摸到蓝球”，表示事件“第次摸到黄球”，。事件可按第1次可能的摸球结果（红球、蓝球或黄球）表示为三个个互斥事件的并，即 所以，第2次摸到红球的概率是. 以上证明蕴含着怎样的思想？ 上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为三个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 设计意图： 采取层进式问题链的方式，由简单到复杂的方法，让学生经历猜想、归纳、证明的过程，有利于发展学生的逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。 （三）形成概念 （1）当对 B 事件发生的概率有影响的事件有 n 个（ ）时， 是否有类似的表达式？ （2）上式成立需要满足什么条件？ 设计意图：让学生亲身经历多因素（两个、三个、 n 个互斥事件）复杂事件的表示，通过三者之间的共性，实现教学内容之间的自然过渡，体现由特殊到一般的思想，从而推导出全概率公式，突破这节课的难点，同时发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 全概率公式定义： 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有. 我们称上面的公式为全概率公式. 全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 注：（1）内涵：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题. （2）将所研究事件视为试验结果，那么导致事件发生的若干不同的假设情况（也可以理解为各种原因）视为，而且只有发生了才有事件的发生，那么全概率公式给出了由因求果的推断. （3）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.合理选择，易求. （四）小试牛刀： 1、 设A，B为两个事件，已知，，，则( ) 【答案】C A. B. C. D. 2、 （多选题） 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表： 品牌甲乙其他市场占有率优质率
在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌，其他品牌，B表示可买到的优质品，则( ) A. B. C. D. 【答案】ABD 设计意图：通过概念辨析以及简单运用，让学生深化对全概率公式的理解，并深刻的体会全概率公式是用来解决“由因求果”类的问题。 （五）典型例题 例1 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 分析：“第2天去哪家餐厅用餐”是一个结果，且第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响；可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，这两个互斥事件也是原因事件，此题应该利用全概率公式求解. 解： 由全概率公式，得 因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7. 总结全概率公式求概率的步骤： 1.设事件：把事件（结果事件）看作某一过程的结果,把看作导致结果的若干个原因； 2.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即),且每一原因对结果的影响程度 (即)； 3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即). 例2 盒子中放有 12 个乒乓球，其中 9 个是新的，第一次比赛时从中任取 3 个来用，比赛后仍放回去，第二次比赛从盒子中又任取 3 个球，求第二次取到的球都是新球的概率。 解： 有题意知： 设计意图：会利用全概率公式求概率，培养学生分析问题、利用已学知识解决问题的能力。 （六）课堂小结 设计意图：通过知识与方法的总结，让学生进一步巩固本节所学内容，理清全概率公式的来龙去脉，也为介绍下一节课贝叶斯公式做好铺垫。 （七）巩固练习 1、为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 2、据条件求值： 已知A与B独立，且，求； 已知，，，求； 解：由，得， 因为 A与 B独立，所以 因为，，所以，
又，则由全概率公式，得 ， 3、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为0.85. (1)求该考生选出此题正确答案的概率； (2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率． 分析：分析题意可知，第一问是已知原因求结果，所以用全概率公式求解概率； 第二问是已知结果求原因，用条件概率公式求解概率。 （2） P(A|B)＝＝≈0.958. 前一天当天篮球羽毛球游泳篮球0.50.20.3羽毛球0.30.10.6游泳0.30.60.1
4、小王每天17：00 18：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种．已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如右表： 已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？ 解：用分别表示篮球，羽毛球，游泳三种运动项目， 用分别表示第天小王进行三种运动项目的概率. 因为小王第一天打羽毛球，所以第2天小王做三项运动的概率分别为 第3天小王做三项运动的概率分别为 因此小王第三天打羽毛球的可能性最大.
教学反思
教学中主要突出了几个方面：一是突出复杂事件转化为简单事件的基本程序，即从复杂事件的特征出发，把受多因素影响的复杂事件转化为各因素下对应的简单互斥事件的并，明确如何准确的划分样本空间，发展学生的数学建模思想和逻辑推理能力。二是例题分析，通过对典型问题的分析解决，帮助学生建立运用全概率公式求复杂事件概率的步骤。三是通过问题链设计，层层递进，不断分解难点，帮助学生理解全概率公式的概率，理解它就是“由因求果”的过程、是“加权平均”的结果。教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。注意在探究问题时留给学生充分的时间， 使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。