第八章 成对数据的统计分析 小结 教学设计（表格式）

教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高二 学期 春季
课题 《成对数据的统计分析小结》
教科书 书 名：普通高中数学教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年3 月
教学目标
1.通过本章的知识框架结构图，熟悉成对数据的统计分析的相关知识，查漏补缺，建构本章知识的结构体系； 2.通过梳理回归分析、独立性检验过程，总结成对数据的统计关系及分析方法； 3.利用样本相关系数判断、线性回归模型参数最小二乘估计、值判断，以及回归分析的预测、独立性检验的解释，体会模型思想、假设检验思想和样本估计总体的思想； 4.通过典型问题的解决，会综合运用相关系数、一元线性回归分析、列联表独立性检验解决相关成对数据等实际问题； 5.提升在实际问题中运用数学知识、技能、方法、思想的能力，落实直观想象、数据分析、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心素养。
教学内容
本节课内容选自普通高中数学教材人教A版数学选择性必修第三册第八章《成对数据的统计分析》。体会两个变量间的相关关系，掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断；会通过相关系数比较多组成对数据的相关性，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系；了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理；会通过分析残差图法、残差平方和和利用决定系数判断回归模型的拟合效果；通过实例，理解列联表的统计意义，理解判断两个分类变量是否有关系的常用方法：频率分析法、等高条形图法；了解随机变量的意义，了解独立性检验的基本思想和方法。 通过本单元的学习，学生厘清成对数值变量、分类变量的统计分析方法，强化其中构造的统计量的含义；体会模型、假设检验、样本估计总体的思想与方法，并能应用它们解决综合的实际问题。 1.教学重点： （1）构建本章的知识框架结构 （2）理解相关关系、散点图、样本相关系数等基本概念 理解一元线性回归模型的概念，通过对残差和残差图的分析，能用残差判断一元线性回归模型的拟合程度 将非线性回归问题转化为线性相关问题，能用决定系数判断线性回归模型的优劣 基于列联表，能通过实例解释独立性检验的基本思想，归纳出独立性检验的基本步骤，提升数据分析的能力 2.教学难点： （1）回归模型与函数模型的区别，随机误差产生的原因与影响 （2）运用合适的变换将非线性相关问题转化为线性相关问题，用决定系数判断模型的优劣程度 （3）统计变量的导出与意义，独立性检验的思想与方法
学生学情
学生在必修过程中对单变量数据的研究方法：获取样本数据表达数据对数据定性分析构建数字特征刻画数据决策判断，收集数据处理过程体现了样本估计总体的思想，类比思考得到，要客观、理性地研究变量之间的相关关系，仍然要用样本估计总体的思想。因为学生的数据分析能力薄弱，不能很好的处理非线性相关问题转化为线性相关问题。
教学方法和策略
整节课贯穿探索-总结式教学原则，并由此获得成功的体验，激发学生学习数学的兴趣和学好数学的信心，践行 “学会想象，体验升华过程，学会逻辑推理”的理念。 1.直观想象：通过散点图判断两个变量间的关系 2.逻辑推理：了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系 ；了解最小二乘原理，从而掌握一元线性回归模型的最小二乘估计；参数的意义及参数估计公式的推导 3.数学运算：运用相关系数来判断两个变量间的相关关系；利用卡方进行独立性检验 4.数据分析：运用残差、残差的平方和和决定系数判断线性回归模型的拟合程度 5.数学建模：基于图形建立数学模型。
教学过程
环节一、构建知识结构图 【问题1】：你能画出本章的知识结构图吗？ 1.结构图 2.构建体系
一、两个基本思想：回归分析的基本思想、独立性检验的基本思想。 二、两个重要参数：决定系数、独立性检验。 三、两种重要图形：散点图、残差图。 【问题2】：从本章开始学习成对数据得统计分析，在学习过程中，我们是通过什么方法来研究问题的呢？ 基本按照先直观描述后定量刻画的原则，体现了统计中研究问题的一般思路。例如：对于两个数值变量相关性的推断，先通过散点图进行直观推断，在此基础上通过引入样本相关系数进行定量推断；对于两个分类变量的独立性检验，先利用列联表、等高堆积条形图直观判断两个变量有关，在利用卡方独立性检验精确判断。 环节二：知识梳理 一、成对数据的统计相关性 1. 举例说明成对数据是如何产生的？ （1）案例: 教育部门为掌握学生身体健康状况,需要了解身高和体重之间的关系； 医疗卫生部门要制定预防青少年近视的措施,需要了解有哪些因素会影响视力，以及这些因素是如何影响视力的； 由此可以知道，需要了解两个或两个以上变量之间的关系，需要对同一个个体的两个维度进行观测，从而形成成对数据。 2.什么叫相关关系，它与函数关系有什么区别？ 变量的相关关系常见的有两类，一类是确定性关系，即函数关系；另一类是两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个区精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系。 3. 两个变量之间的关系类型 利用散点图识别两个变量之间的关系 4. 如何从定量的角度刻画成对样本数据的线性相关程度？ （1）样本相关系数的定义 我们称为变量和变量的样本相关系数 成对样本数据的变化特征 r的正负性 当r>0时，称成对样本数据正相关；当其中一个数据的值变小时,另一个数据的值通常也变小;当其中一个数据的值变大时,另一个数据的值通常也变大。 当r<0时，称成对样本数据负相关；当其中一个数据的值变小时,另一个数据的值通常会变大:当其中一个数据的值变大时,另一个数据的值通常会变小。 r的绝对值 样本相关系数r的取值范围为[-1，1],样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度： 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强; 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱； 样本相关系数r有时也称样本线性相关系数,|r|刻画了样本点集中于某条直线的程度.当r=0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系. 二、一元线性回归模型及其应用 （1）什么是一元线性回归模型，模型参数与的统计意义是什么？ 由于散点大致分布在一条直线的附近，所以两变量之间有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型来表示，我们称为Y关于x的一元线性回归模型. a：截距参数；b：斜率参数，它们刻画了变量Y与变量的线性关系；其中参数b的含义可以解释为自变量x对响应变量Y的均值的影响，变量x每增加一个单位，响应变量Y的均值将增加b个单位。 （2）最小二乘原理是什么？你能说说它的基本思想吗？ 人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画各样本数据与直线的“整体接近程度”。 当的取值为 我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法．求得的叫做的最小二乘估计。 最小二乘法体现了函数的思想，运用它求解参数的估计值。 基本思想是样本估计总体的思想。 怎样判断模型的拟合效果？ ①残差图法 残差点比较均匀的落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高。 ②残差平方和法 残差平方和越小,即模型的拟合效果越好。 ③决定系数 的计算公式为. 越大，越趋近于1，表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好 在实际情况中，我们还会发现不是所有的两个变量关系都适合用一元线性回归模型，那么常见的非线性模型有哪些呢？怎样求它的回归模型呢？ 指数函数型 等式两边取自然对数，得，令 则 ②幂函数型 等式两边取自然对数，得 ，令 , 则得 对数函数型 令, 则得 独立性检验 （1）如何从直观的角度判断两个分类变量是否有关 与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否互相影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征. （2）独立性检验的基本思想是什么？它与反证法有何异同 独立性检验依据的是小概率的原理，体现的是假设检验的基本思想。 它和反证法的共同点都是从某种假设，最后利用结论推断是否成立。不同点是结论形成的依据不同，而且反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误。 (3)独立性检验的基本思想是什么？ 对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)=α成立，我们称xα为α的临界值，这个临界值可作为判断χ2大小的标准，概率值α越小，临界值xα越大. 基于小概率值α的检验规则： 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2(1)根据以上数据，完成以下列联表， 男生女生合计防疫标兵非防疫标兵合计
(2) 判断是否有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关； 附： 0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828
利用频率分布直方图及频数分布表完善列联表 再计算卡方的观测值并与临界值表比对作答. 【详解】（1）由频率分布直方图，可得30名男生中成绩大于等于80分的频率为， 因此30名男生中“防疫标兵”人数为人，“非防疫标兵”人数为12人， 由频数分布表，可得30名女生中“防疫标兵”人数为10人，“非防疫标兵”人数为20人， 于是列联表为： 男生女生合计防疫标兵181028非防疫标兵122032合计303060
【师生活动】：学生独立思考，教师引导学生形成规范解答。 （2）零假设： “防疫标兵”与性别无关. 由 列联表中的数据，可以求得： 查临界值表可知，我们有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关。 【追问】通过例3，你能归纳出运用独立性解决实际问题的步骤吗？ （1）提出零假设和相互独立，并给出在问题中的解释 （2）根据数据整理出列联表 （3）计算卡方的值 （4）与临界值比较，得出结论 【设计意图】促进学生认识独立性检验结果的作用，体会频率估计概率的思想。 环节四：课堂小结 1、本节课学习了哪些内容？ 成随数据的统计分析相关知识点，构建了本章的知识结构图 2、对本节课的三道例题进行反思总结，体会用成对数据的统计方法解决实际问题的方法。 【设计意图】 通过对本节课堂内容的反思总结，明确解决成对数据统计分析实际问题的方法、思想、套路，建立统计分析的结构，提升学生的统计思维和反思总结的良好习惯。
教学反思
本单元教学设计基于单元整体化教学理念，对教科书进行了二次加工与创造，首先以成对数据的关系为出发点，让学生带着问题仔细研读教材，重在让学生主动探索成对数值变量、分类变量关系的判断、处理它们之间的区别与联系，让学生厘清变量的关系类型、逻辑观念，建立关系结构图，提升解决问题的能力的目标，设计了三个典型例题，帮助学生认识统计方法、统计思想、统计观念，引导学生建立不同知识之间的联系，提升解决问题的层次，促进解决成对数据的统计，分析实际问题的能力，本单元教学设计中，基于以学生为主体的理念，留给学生内容与任务，给学生时间，给学生展示机会和交流平台。