2.1等式性质与不等式性质 教学设计（表格式）

教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高一 学期 秋季
课题 《等式与不等式性质》
教科书 书 名：普通高中数学教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年7月
教学内容分析
教材内容包括梳理等式性质及其蕴含的思想方法，不等式的基本性质及其研究方法以及不等式的其他性质。 等式性质可分为相等关系自身特性和运算中的不变性两类。从自身特性看，包括“对称性”和“传递性”。“对称性”是两个相等的实数放在等号两边的两种不同的表现形式；“传递性”是实数相等的内在联系，两者均是实数序的特征；从运算角度看，有基本层面的“加法”“乘法”运算中的不变性，即等式两边同加或同乘同一个实数，等式保持不变。 不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法，也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类。不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种。“自反性”是不相等的两个实数大小关系的两种不同表达形式，是实数序特性的体现。“传递性”是三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现。运算中的不变性、规律性是指对不等号两边的实数同时进行“加法”“乘法 等运算，得出新的不等关系。由于“正数乘正数大于0”“负数乘正数小于0”，所以不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式的性质的差异。实际上，在代数问题中，运算中的不变性、规律性就是性质，它是发现代数性质的“引路人”，在代数领域中具有基础地位。 利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性质，即以基本性质为理论依据，以运算中的不变性和规律性为研究方向，通过“猜想—证明—修正—再证明—得出性质”的方法探究出其他的性质。 结合以上分析，确定本节课的教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；在等式基本性质蕴含的数学思想方法引导下，类比等式基本性质，探究不等式的基本性质.
教学目标分析
梳理等式基本性质中蕴含的数学思想方法； 运用等式基本性质中蕴含的思想方法，类比等式的基本性质，猜想、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的基本性质；体会在研究不等式的基本性质中的“运算中的不变性”，发展学生逻辑推理素养； 运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质；运用不等式的性质证明一些简单的命题，发展学生逻辑推理素养. 4.学生能够分析简单不等式的证明思路，利用不等式的性质证明简单的不等关系.
学生学情分析（含教学重难点分析）
学生对梳理等式基本性质包括相等关系自身的特性和运算中的不变性两个方面存在困难.等式的五个基本性质是学生熟知的，但对性质中所蕴含的思想方法缺乏上位的思考，尤其是体会相等关系自身的特性较为困难.教学中采用让学生对性质的特点进行归类的方法，总结每类性质的特点，引导学生从实数序关系的特性角度体会相等关系自身的特性. 学生类比等式基本性质及其蕴含的思想方法猜想并证明不等式的基本性质存在困难.由于初中时学生学习过不等式的基本性质3和性质4，而性质1和性质2学生认为是显然成立的，学生思维达不到从逻辑推理角度证明性质.教学中在强调逻辑推理的重要性的同时，还要强调两个实数比较大小的基本事实和实数的一些其他事实是证明的依据. 学生缺少从代数角度证明不等式的经验，运用两个实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明一些简单命题存在一定的困难.教学中，要帮助学生运用“分析法”进行分析，适当采用问题串的形式引导学生生成证明思路，引导学生领会“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路. 教学重点：探索不等式的基本性质；不等式性质的直观解释和逻辑证明 教学难点：梳理出不等式性质中蕴含的思想方法；类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，猜想证明不等式的基本性质.
教学方法和策略分析
教学方法：观察法、引导探究法、类比探究法 本节课在学法设计上，采取旧知回顾--提出问题--探索猜想--启发引导--验证猜想--推理修正--应用反思的学习模式；在教学设计上，采用以问题为中心，学生探索、交流与教师启发、引导相结合的教学方法，引导学生独立思考，大胆猜想，有效调动学生的思维，提供合作交流的机会，培养学生的合作意识，发展学生逻辑推理素养。 本节课的教学设计意在让学生通过与旧知识——等式的基本性质的类比中，通过自主探索与合作交流获得新知.所以,在教学过程中,要特别注意安排学生经历猜想——验证——归纳的完整的数学思维过程，让学生在独立思考的基础上进行交流活动,并注重合情推理能力的培养. 学法：自主探究、合作交流．
教学手段
多媒体课件、几何画板演示
教学过程
环节一：确定研究内容，明确研究方法 导入语：同学们，通过上节课的学习，我们知道现实世界的大小关系包括相等关系和不等关系两类，数学中用“等式”和“不等式”表达这两类关系.上节课我们提到解不等式要用不等式的性质，不等式到底都有哪些性质呢？今天我们一起学习不等式性质.既然不等式和等式一样，都是对大小关系的刻画，我们就可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发，来研究不等式的性质.好！我们一起走进“等式性质与不等式性质”. 【设计意图】： 此环节以单元教学理念为指导，着眼于学生的最近发展区，唤醒学生与所研究内容相关的认知.开门见山，直接引入课题，学生能够明确学习目标，带着目标开展学习活动. 环节二：复习等式性质，梳理思想方法 　　问题1：请你回忆一下两个实数大小关系的基本事实及等式都有哪些性质？ 　　预案一 性质3，4，5学生比较熟悉，能相互补充说出，但说不出性质1，2. 　　追问1：这三条性质有什么共性？可以看作是运用了什么相同的方法“得到的”？ 　　师生活动：教师板书这三条性质. 　　学生在教师引导下归纳这3条性质是从运算角度提出的，即等式两边加、减，乘，除同一个数，等式仍然成立.教师指出，这三条性质反映了相等关系在运算中保持不变性的特点.教师进一步指出，性质3中减法可以看成加法，即两边同加“-c”，性质5中的除法可以看成乘法，即两边同乘“1/c”，高中数学加减乘除的运算更趋于一般性，所以可以将其合并.由于数学的基本运算有加法和乘法，所以这些性质可称为等式的基本性质.数学基本运算可派生出像乘方等运算的结论，就是一些常用的性质. 　　追问2：等式是否还有其他性质？ 　　师生活动：教师点出还有些等式的性质，我们在无意识地使用，之所以大家说不出来，因为它们太显然了，是相等关系本身蕴含的性质.比如说，一个相等关系，即两个相等的实数，无论哪个写在等号左边或右边，等式均成立，即“如果a=b，则b=a”，此性质与a,b的顺序无关，它反映了等式自身的特性. 　　追问3：从等式自身性质的角度是否还有其他性质？ 　　师生活动：在教师指导下，学生说出性质2，教师板书.教师点出此性质也反映了等式自身的特性. 　　预案二 学生相互补充能说出性质1，2，3，4，5，其中性质3，4，5是学生比较熟悉的，但对性质1，2只有少数学生能回答出来. 　　追问：为什么大多数人答不出性质1，2？ 　　师生活动：（这个追问实际上也对学生起到了思想方法上的提示作用）教师点出“等式的这两条性质，我们无意识地在使用，但说不出来，因为它们太显然了，是相等关系本身蕴含的”；接着梳理性质3，4，5蕴含的思想方法（如预案一）. 　　预案三 学生相互补充说出性质1，2，3，4，5（如果学生不预习、也不允许学生在课堂上看教科书，这种情况几乎不会发生）. 　　学生回忆、交流并相互补充，口答等式性质，教师板书5条性质. 　　追问：观察等式的5条基本性质，哪些性质具有共性？是什么共性？哪些基本性质可以看作是运用了相同的方法（发现的视角相同）得到的？具体的角度是什么？ 　　师生活动：学生发现性质3，4，5具有共性，它们都是在等式的两边进行了运算，然后发现性质1，2蕴含的共性. 　　问题2：你能归纳一下等式基本性质蕴含了哪些思想方法吗？ 师生活动：学生总结，发现等式的基本性质的方法有“相等关系自身的特性”和“相等关系对运算保持不变”两种.教师强调这两个方面是研究等式基本性质中体现的思想方法. 【设计意图】：通过问题1和问题2，学生回忆、分析等式的基本性质，通过对性质分类、归纳和深入分析，梳理等式的基本性质中蕴含的思想方法，突破本课时的教学难点，为研究不等式的基本性质做好铺垫. 环节三：探究不等式的性质，体会类比探究方法 　　问题3：初中我们通过由特殊到一般的方法，归纳过一些不等式的性质.现在，你打算如何研究不等式的性质？ 　　预设方案：学生领悟到研究不等式的性质可类比发现等式性质及其蕴含的思想方法. 　　追问：从什么视角来研究不等式的性质？ 　　师生活动：学生表述，从不等式的“自身”和“运算”两个视角研究不等式的基本性质. 【设计意图】：由学生自主发现研究问题的方法，提高学生对等式性质中蕴含的思想方法的理解和对类比学习方法的认识. 　　问题4：类比等式的基本性质蕴含的“自身特性”的思想方法，你能猜想并证明不等式的基本性质吗？ 　　师生活动：教师组织学生先独立思考再讨论.教师参与小组讨论之中，适当指导. 　　预设方案：学生猜想不等式自身特性有“如果 ，那么 ”.但学生会认为这是显然成立的事实，不能从逻辑推理角度进行证明. 　　追问1：你打算怎么进行证明？ 　　师生活动： 　　学生证明预设两种方案： 　　方案一：学生运用数轴说明a,b的大小关系.教师评价此方法是从几何角度分析代数性质的，其直观性较强，能帮助我们感受到此性质反映了“不等式自身的特性”.同时教师指出数学结论要从逻辑推理角度进行严格的证明.教师继续提问，能否进行证明？（见方案二） 　　方案二：教师视情况引导，目前只能用两个实数大小关系的基本事实，别无他法. 　　追问2：此性质与等式性质1有何异同？ 　　师生活动：学生发现由于不等号是有方向的，实数位置对调后，符号也要对调. 【设计意图】：让学生自主进行类比研究，体会性质1反映的是不等关系自身的特性.学生在利用两个实数大小关系的基本事实证明的过程中，感受到数学问题的证明均有章可循，有理有据. 　　追问3：你还有什么结论？通过性质1的证明中的启示，能否修证你的证明过程？ 　　预设方案：学生猜想不等式自身特性有“如果a>b, b>c，那么a>c”.学生的证明预设两种方案. 　　预案一：学生利用实数的几何意义，即在数轴上找到三个数，分析其大小关系（学生受到性质1证明过程的启发，一般不会采用此方法）； 　　预案二：学生分析证明思路，若要证明a>c，只需证a-c>0.学生容易想到与a-b>0，b-c>0建立联系.考虑到a-c =(a-b)+(b-c)，只需判断此代数式的符号. 　　追问：如何证明(a-b)+(b-c)大于0？ 　　师生活动：学生联想实数的基本事实，“正数加正数是正数”问题得证.教师指出，实数的一些基本事实在证明中的有着重要的作用，让学生体会代数证明的逻辑性和严谨性. 【设计意图】：此性质的探究过程，一方面使学生经历类比的探究过程，另一方面使学生体会数学证明的逻辑性和严谨性，感受到“猜想要有证明，证明要有依据”. 　　问题5：类比等式性质中蕴含的“运算中的不变性”的思想方法，你能猜想并证明不等式的基本性质吗？ 　　师生活动：教师组织学生先独立思考再讨论.教师参与小组讨论之中，适当指导. 　　预设方案：学生猜想“不等式在加法运算中‘保号性’”，即“如果a>b，那么a+c>b+c”.在前两个性质证明的基础上，学生能够分析要证a+c>b+c，只需证 (a+c)-(b+c)与0的大小关系，也就是a-b与0的大小关系.得出如下证明：由a>b，得a-b>0，所以(a+c)-(b+c)>0, 即a+c>b+c. 　　追问：用文字语言怎样表达此性质？两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗？ 　　师生活动：1.学生用文字语言表达，即不等式的两边都加同一个实数，所得不等式与原不等式同向.教师点明文字语言表达具有“直白”的特点，有助于理解其本质，即反映了不等式在加法运算中的“保号性”.教师指出“减法”与“加法”在运算中是一致的，加法是基本运算，进而此性质为基本性质.　　 　　2.通过教师课件展示a+c,b+c的变化，学生体会此性质的几何意义，并注意到可用运动方向表达实数c的正负.教师强调，几何语言的表达具有“直观”的特点，建议学生经常从几何视角发现或解释一些代数问题，能实现更直观地认识问题，更深刻地理解问题. 　　 【设计意图】：对同一个概念进行多元联系表示，有利于揭示概念的本质.不等式是用不等号连接起来的式子，有的不等式的内涵是比较抽象的，为了帮助学生理解和掌握不等式的本质，用文字语言、图形语言等多种形式来表达重点的不等式的性质，有助于对问题的深入理解. 　　追问：是否还有其他结论？ 　　预设方案：学生猜想“不等式在乘法运算中的规律性”，即不等式两边同乘同一个实数的结论，并用数学语言表达. 　　师生活动：学生猜想“如果a>b,c>0，那么ac>bc”，“如果a>b,c<0，那么ac0，（a-b)c 的正负由c的正负决定，从而需要分析讨论，这样学生也自然有了证明的思路. 　　追问1：用文字语言怎样表述此性质？ 　　师生活动：学生表述，“不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向”.教师强调文字语言具有较为“直白”的特点，让学生感受此性质反映了“不等式在乘法运算中的规律性”. 教师还要再次强调可以把“乘法”“除法”合并为“乘法”，高中数学对运算的认识更趋于一般性，乘法是基本运算，此性质仍为基本性质. 【设计意图】：此性质对学生来说比较熟悉，此环节能使学生巩固类比的学习方法，体会此性质反映的是不等式在乘法运算中的不变性、规律性. 　　问题6：加法乘法是数学的基本运算，因此上述四条性质是不等式的基本性质.不等式与等式基本性质的共性与差异有哪些？ 　　师生活动：学生总结出两者都具有“自身特性”和“运算中的不变性、 规律性”.由于不等号具有方向性，“自反性”和“两边同乘负数时，不等号变号”是不等式表现出的特性. 【设计意图】：总结等式基本性质与不等式基本性质的差异，并能从本质上理解不等号变号的原因. 　　问题7：利用不等式的基本性质，你还可以猜想并证明不等式的其他性质吗？ 　　追问：在基本性质3中，不等式的两边同加同一个实数.如果两边同加不同的实数，即不等式的两边分别加上不相等的两个数，能得到什么不等关系？ 　　预设方案：学生猜想“大数加大数，大于小数加小数”，即“如果a>b,c>d，那么a+c>b+d ”.证明方法有两种： 　　方法一：学生分析证明方法，若要证a+c>b+d，只需证（a+c）-（b+d）>0，与已知联系，也就是证明（a+c）-（b+d）>0.由已知a-b>0,c-d>0，由“正数加正数是正数”这一基本事实，猜想得证. 　　教师评价，此证明是基于两个实数大小关系的基本事实和实数的一些基本事实证明的，这是证明不等式的根本大法，在证明不等关系时占据“一席之地”. 　　追问：此方法是利用不等式的基本性质“发现”的.能否利用不等式的基本性质，证明你发现的这个新性质？学生探索证法二（如下）. 　　方法二：学生从性质3中得到启发，要证a+c>b+d，需要构造与a+c和b+d 相关的不等式，联想不等式基本性质，可有以下证明. 　　由性质3，得a+c>b+c，c+b>d+b；由性质2，得a+c>b+d. 　　教师评价，此方法是基于不等式的基本性质的应用，逻辑性很强.指出此性质为性质5. 【设计意图】：数学结论之间相互关联，挖掘结论间的关系，能使学生整体把握知识，形成整体认知.此性质的证明为综合运用不等式的基本性质证明不等关系提供了范例. 　　追问：在基本性质4中，不等式的两边同乘同一个实数.如果同乘不同的实数，你有何结论？ 　　预设方案：学生猜想“大数乘大数，大于小数乘小数”，即“如果a>b,c>d，那么ac>bd ”. 　　追问：在不等式的基本性质中，乘法运算不具备“保号性”，主要原因是负数的影响.你认为上述猜想是否正确？如何修正？ 　　师生活动：学生回答，不等式基本性质4中强调，两边同乘负数不等号要变方向，所以此问题中，乘法不一定具备“保号性”.同时，学生与性质4进行对比，发现对于正数乘法是具有“保号性”的.教师评价，这是缩小范围修正错误的方法，由学生课后进行证明.教师指出此性质为不等式性质6. 　　追问2：如果性质6中a=c,b=d，你有何新的结论？ 　　师生活动：学生可以得出“如果a>b>0，那么a2>b2”，并能推广到“如果a>b>0，那么an>bn（n∈N*, n≥2）”.教师指出这是不等式的性质7，它是性质6的特例.教师指出以“不等式在运算中的不变性、规律性”为研究抓手，我们还能推导出很多不等关系，鼓励同学们多发现、提出和证明一些结论. 【设计意图】：让学生经历“猜想—证明—修正—再证明—得出性质—理解”的研究数学问题的过程，加深学生对类比学习的理解；让学生充分认识到“运算中的不变性、规律性”在研究不等式性质中的“引路人”作用，加深学生对“代数性质”的认识，从而发展“四基”，提高“四能”. 环节四：不等式性质的简单应用　　 　　过渡语：上节课所学的两个实数大小的基本事实与本节课所得到的7条不等式的性质是我们今后解决不等式问题的基本依据，下面我们就来看看如何借助它们来解决不等式的简单问题. 【设计意图】：本题利用不等式基本性质，体现“分析法”的证明思路和“综合法”的表达方式，提高学生分析解决问题的能力，提升学生的数学应用意识. 环节五：课堂小结，布置作业 　　问题8：本节课我们重点学习了不等式的基本性质和不等式的常用性质，你是怎样研究不等式的基本性质的？ 　　预设方案：学生能回答，先梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法，从不等式的自身性质和运算的角度猜想并证明不等式的基本性质，由不等式的基本性质推理不等式的一些常用性质. 　　追问：类比探究都要经历什么过程？ 　　师生活动：学生总结，教师帮助整理：经历“前备经验—归纳特点—类比猜想—推理证明（修正）—理解表达—探究个性—应用反思”的过程.　　 【设计意图】：从知识和思想方法的角度进行课堂小结，有助于学生在学会知识的同时，又学会思想方法，这样可将知识与思想方法共同纳入到认知结构中. 作业：习题2.1第6，7，8，10，11题 环节六：目标检测设计 3.已知，求下列各式的取值范围． (1)；(2)；（3). 【设计意图】：考查学生对不等式性质的简单应用能力；考查学生对不等式的证明方法的探究水平，以及综合运用不等式性质；考查学生对不等式性质的灵活应用能力。