3.1.1+椭圆的定义+教学设计——2022-2023学高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆的定义教学设计
一、教材分析
阅读人教版选择性必修第一册教材椭圆及其标准方程这节内容，学生头脑中可能会有这些疑问：椭圆是从何而来的？为什么拉线作图就可以得到椭圆？椭圆的定义为什么是这样的？掌握好椭圆的定义，对椭圆方程的推导及性质的理解甚至后续内容如双曲线、抛物线的定义的掌握都很重要。因此本节课的内容起着承上启下的作用。
圆锥曲线的历史发展过程中蕴含着丰富的数学文化，其中椭圆历史悠久，内容经典，文化沉淀丰厚．但是不少教师受“重结论，轻过程”传统应试教育的影响，忽视椭圆概念教学，不会从数学史中挖掘椭圆概念所蕴含的数学文化，认为既没必要也不值得花许多时间在概念的发现、形成和发展过程上，取而代之的?是照本宣科，把形成椭圆概念的生动过程变为“结论＋练习”，造成学生对椭圆概念的理解一知半解．著名数学教育家张奠宙倡导“让数学文化走向数学课堂”，教师要善于将学术形态的知识转化为教育形态的知识．因此，笔者从数学文化的视角出发，结合学情，运用数学史的融入方式，对教材进行“二次开发”，让学生体验到椭圆的悠久历史，感受椭圆的无穷魅力．引导学生运用荷兰数学家舒腾发明的椭圆的三种作图方法之一（拉线作图），尝试椭圆作图活动，体验椭圆的形成过程，理解和掌握椭圆的定义，感悟数学家的高超智慧．椭圆的圆锥截线定义源于椭圆的原始形态，是椭圆概念的本质，而椭圆的轨迹定义是解析几何的产物，便于建立椭圆的方程，用代数方法研究椭圆的性质．然而传统椭圆教学下学生头脑中的两种椭圆表象是彼此割裂的？缺乏椭圆基于生活中椭圆表象的截线定义，当然更不能将椭圆的截线定义与轨迹定义融合．基于数学史的椭圆的概念教学借助于旦德林双球沟通了椭圆的截线定义与轨迹定义，由截线定义跨越了复杂的基本性质推导过程直接过渡到轨迹定义，考虑学生接受情况及时间关系，本节课没有给出证明，而是放到课后作业中去完成。
二、教学目标
（1）通过历史的回溯，了解圆锥曲线的背景（产生及发展 ） 应用及其研究方法，感受其中蕴含的数学文化；
（2）经历从具体情境中抽象椭圆的本质特征以及椭圆定义的过程，掌握椭圆的概念；会利用椭圆的定义解决相关问题。
三、重点、难点
具体情重点：掌握椭圆的概念及其标准方程
难点：从境中抽象椭圆的本质特征。
四、教学方式
著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现。”考虑到椭圆在教材中的重要地位，在教学中采用了“启发探究”式的教学方法，重点突出引导发现和 探索讨论。以便激发学生的学习兴趣，对知识进行主动建构，突破教学难点
五、教具准备
多媒体课件、图钉、细绳。
六、教学过程
（一）提问引入
1、给出椭圆的一些实例：如太阳系中行星的运行轨迹，生活中的椭圆图片等。
【设计意图】通过图片展示、天体运行轨迹引入椭圆，使学生感受数学源于生活，形成对椭圆的直观认识，激发学习兴趣。
（二）椭圆的历史介绍
1、椭圆的发现：
相传最早是公元前4世纪的古希腊人通过削尖的圆木桩发现了一条像圆又不是圆的曲线，把它命名为椭圆。那时的人们通过“平面斜截圆柱或圆锥时所得的交线”来认识椭圆。
2、最早对椭圆进行系统研究的人--阿波罗尼斯。
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（ Apollonius） 在《 圆锥曲线论》中采用平面截对顶的圆锥分别得到圆、椭圆、双曲线、抛物线，把它们统称为圆锥曲线。这本书是一部经典巨著，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，可以说是代表了希腊几何的最高水平 。
3、解析几何的出现
在17世纪，世界经历了翻天覆地的变化。在欧洲，航海、天文、军事、经济等领域飞速发展，古希腊人的纯几何方法已经跟不上社会生产力的需要，人们亟需一种更高效的研究方法。于是，两位伟人诞生了，他们是法国数学家笛卡尔和费马，也是解析几何的创始人。解析几何借助坐标系，建立了代数与几何之间的联系，并通过代数的方法研究几何图形的性质。例如，将点与坐标一一对应，曲线与代数方程一一对应，通过研究代数方程获得曲线的性质。解析几何将两个看似毫不相干的学科之间建立了联系，可以说是数学史上最伟大的突破。 这时，人们开始思考，能否通过解析几何的方法研究椭圆这些圆锥曲线呢？
4、椭圆画法的出现
笛卡儿的《几何学》对圆锥曲线方程的研究导致人们对圆锥曲线画法的探求．17世纪 法国数学家舒腾给出了椭圆的 3 种作图工具。
5、椭圆轨迹定义的出现
法国数学家洛必达(1661-1704)在《圆锥曲线分析》一书中，抛弃了古希腊人的圆锥截线定义，给出了椭圆的轨迹定义，并由此推导椭圆方程。
6、联结椭圆两种定义的桥梁
直到1822年，比利时数学家旦德林利用圆锥中的两个内切球，直接导出椭圆的焦半径性质，从而在古希腊的截线定义和十七世纪的轨迹定义之间架设起桥梁。
(
旦德林
)
【设计意图】通过介绍椭圆的历史，使学生了解椭圆的最初定义和历史成果，进一步感受几何图形抽象于生活的特征，欣赏古希腊数学家的信念与智慧。通过对解析几何的简要介绍，使学生了解解析几何诞生的历史必然性、解析几何的核心思想以及它在数学学科中的地位和作用，了解从数量关系角度定义椭圆的时代背景和学科发展背景，意识到数学是自然的、发展的、有用的。
（三）、实验探究
1、同学合作完成实验：
步骤：(1)取一条一定长的细绳
(2)把它的两端用图钉固定在纸板上
(3)当绳长大于两图钉之间的距离时，用铅笔尖
把绳子拉直，使笔尖在纸板上慢慢移动，画出一个图形。
【设计意图】注重概念形成过程.通过让学生亲自动手画椭圆，分组讨论，从感性认识自然过渡到理性认识，培养学生的观察、归纳、概括能力.
2、椭圆的定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
【设计意图】通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力和严谨性）
3、思考：（1）如果|MF1|+ |MF2|=|F1F2|，则动点M的轨迹是什么图形？
（2）如果|MF1|+ |MF2| < |F1F2| ，情况会怎样？
【设计意图】在给出定义后，通过设问让学生加深对椭圆定义中的关键词汇的理解，进一步强化椭圆定义，真正使学生理解定义的内涵和外延.
（四）、椭圆定义的运用
1、例题
（教材P49习题A组第7题）：已知圆O的半径为定长r，A是圆内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线 l 和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
(
O
A
Q
p
)
2、变式练习：
设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.，说出点E的轨迹是什么？
拓展性练习
如图1，已知A、B、C是定直线l上的三个定点，且|AB|=|BC|=6，动圆⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点F，则点F的轨迹是什么？
(
A
B
C
o
′
F
D
E
l
)
【设计意图】通过例题及练习，使学生进一步掌握椭圆的定义。
（五）、内容小结并谈谈你对本节课的体会
【设计意图】通过学生口述，检测学生课堂知识的掌握情况。通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生养成对所学知识及时总结提炼的习惯，不断提升自己。
（六）、课后提升
为什么截口是椭圆？请利用网络查阅旦德林双球实验进行解决。