3.1.1椭圆及其标准方程第一课时+教学设计——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高二 学期 秋季
课题 椭圆及其标准方程
教科书 书 名：选择性必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年5月
教学目标
（1）通过用画椭圆的实验，能用自己的语言叙述椭圆的定义，会用定义判定点的轨迹； （2）通过椭圆知识的学习，体会类比思想、数形结合思想和坐标法。
教学内容
本节课是人教A版选选择性必修第一册中的第三章第二节第一课时的内容，其主要内容是研究椭圆的定义及其标准方程，属于概念性知识.解析几何是在直角坐标系的基础上，利用代数方法解决几何问题的一门学科. 从知识上讲，本节是在直线和圆的基础上，对解析法的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，三种圆锥曲线独编为一章，体现椭圆的重要地位。解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上.在研究椭圆定义和方程的过程中，几何直观观察和代数严格推导相互结合，同时要借助圆作类比，用类比的思想为学生的思维搭桥铺路.因此本节课内容起到了承上启下的重要作用，是本章和本节的重点. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程。
教学过程
（一）．导入新知 1.创设情境、引出新知 一、圆锥曲线的形成 问题1：我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，如果改变圆锥的轴与截面所成的角，会得到怎样的曲线呢？ 然后用动画演示。 用一个平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，圆、椭圆、抛物线、双曲线。我们通常把后三者称为圆锥曲线。 二、圆锥曲线的发展简史 圆锥曲线的发现和研究始于古希腊，在阿波罗尼奥斯(古希腊数学家)的《圆锥曲线论》中，三种圆锥曲线是基于平面截圆锥给出的。很长一段时间人们用纯几何的方法研究这些与圆密切相关的曲线，由于推理过程复杂，有人开始寻求新的方法来研究这些曲线。直到17世纪后，法国数学家笛卡尔认为欧式几何中没有普适性的证明方法，而且技巧性强等缺陷，于是他开始寻找用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何，此后人们开始使用他发现的坐标法（具有普适性，程序化的特点）来研究圆锥曲线。 三、圆锥曲线在生活中的应用 用课件演示一些生活中椭圆的例子，还有一些天体运行的轨迹图，发电厂冷却塔的外形线是双曲线，探照灯反射镜面、卫星接收天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的抛物面…… 问题2：本章我们继续采用坐标法，类比直线与圆的方程的研究过程，你认为我们应该按照怎样的研究路径来研究圆锥曲线呢？ 【设计意图】通过介绍圆锥曲线的形成和发展简史，借助多媒体生动、直观的演示，了解生活中圆锥曲线的应用，使学生明确学习椭圆的重要性和必要性。同时激发他们探求实际问题的兴趣，使他们主动、积极地参与到教学中来，通过问题2，让学生明白本章的研究路径，为后续的学习做好准备. 四、新知探究 观看视频——火星探测器天问一号五次近火制动的轨道 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用。那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？ 【设计意图】让学生了解我国航空航天技术的飞跃发展，航天技术的发展离不开数学知识，激发学生的爱国情怀，为中华民族伟大复兴而努力学习。并为椭圆的学习做铺垫。 2．尝试实验，探究概念（导练 导议） 请学生拿出事先准备好的自制教具：木板、细绳、图钉、铅笔进行以下实验 实验1：取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一点, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 这时笔尖(动点)画出的轨迹是什么？移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 实验2：取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一点, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离, 分别固定在图板的两点F1, F2, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲线？ 在画椭圆的过程中引导学生思考以下3个问题： （1）在画图过程中，细绳的两端是固定的还是运动的？ （2）在画图过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？ （3）在画图过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 问题5：你能类比圆的定义，说出椭圆的定义吗？ 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于 | F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。(ellipse）．这两个定点叫做椭圆的焦点 (focus)，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 （focus distance)，焦距的一半称为半焦距. 追问1：椭圆定义中我们应该特别关注哪些要素？ 追问2：若绳长等于两图钉之间的距离，画出的图形还是椭圆吗？ 追问3：若绳长小于两图钉之间的距离呢？ 学生边作图、边思考、边讨论，每组学生都可对上述三个问题进行研究比较.引导学生全员参与，积极发言，相互补充，从而探究出三个结论并概括出椭圆的定义． 【设计意图】以活动为载体，让学生在“做中学”数学，通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验.同时，我力求改变单一、被动的学习方式，让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会，让他们通过观察、讨论、概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维的能力 3．应用举例，及时评价 例1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆. （1）到的距离之和为6的点的轨迹. 解：因为，所以点的轨迹为椭圆. （2）都的距离之和为4的点的轨迹. 解：因为，所以点的轨迹不是椭圆（是线段）。 （3）到的距离之和为3的点的轨迹. 解：因为，故点无轨迹图形. 【设计意图】恰当处理预设与生成的关系，运用反馈调节机制，及时评价，激励学生的学习热情. 问题6:在了解了椭圆的概念后，下一步我们应该研究什么？ 追问1：类比圆的方程建立过程，你能说出用坐标法建立椭圆方程的大致步骤吗？ 追问2：观察椭圆的形状,你认为怎样建立坐标系可使得椭圆的方程形式简单？ 思考1: 你能用坐标表示点M满足的关系吗？ 思考2: 如何化简这个方程呢？ 思考3：观察直角坐标系中的椭圆图，你能从中找出表示 的线段吗？ 【设计意图】说明的几何意义，进一步解释引进b的好处，体会解析几何的数形结合思想。 思考4：如图，如果椭圆的两焦点在y轴上，且它们的坐标分别为(0, c) ，(0,c) ，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 【设计意图】通过两种方程，进行对比反思，让学生利用对称性进行猜想，培养学生的类比思维能力．不仅使学生加深对椭圆定义和标准方程的理解，有助于教学目标的实现，而且使学生体会和学习类比的思想方法，为后边双曲线、抛物线及其它知识的学习打下基础. 4.归纳小结，布置作业 小结：椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆 (ellipse）．焦点坐标、椭圆的两种标准方程。 【设计意图】归纳小结由师生共同完成，引导学生积极发言，通过填写表格对本节内容进行反思、归纳、总结，从而达到深化知识理解，构建知识网络，领悟思想方法的目的．
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。