函数单调性与最值专题练习
一、单选题
1．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．1或3
【答案】B
【解析】分和两种情况求解，时，在区间上为增函数，从而可求出其最大值，当时，在区间上为减函数，从而可求出其最大值，进而可得答案
【详解】解：当时，在区间上为增函数，则当时，取得最大值，即，解得；
当时，在区间上为减函数，则当时，取得最大值，即，解得舍去，
所以，
故选：B
2．已知函数，对于任意的恒成立，则实数
的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用换元法将函数的最值转化为二次函数的最值，即可求得实数的最小值.
【详解】对于任意的使恒成立，
令（），则，即，
设，则，故，
即实数m的最小值是.
故选：.
3．函数在上是减函数，且为实数，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用可排除ABD；根据函数单调性和恒成立可知C正确.
【详解】当时，ABD中不等式左右两侧均为，不等式不成立，ABD错误；
对于恒成立，即恒成立，又为上的减函数，
，C正确.
故选：C.
4．已知是定义在上的减函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a的取值范围.
【详解】∵是定义在上的减函数，且，
则，解得.
故选：A.
5．定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对变形得到，构造新函数，得到在上单调递减，再对变形为，结合，得到，根据的单调性，得到解集.
【详解】，不妨设，故，即，
令，则，故在上单调递减，，
不等式两边同除以得：，因为，所以，即，
根据在上单调递减，故，综上：
故选：B
6．已知定义在上的函数满足：对任意的，，，都有，，则满足不等式的x的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将转化为，从而得到函数为增函数，再结合将所求不等式转化为，进而根据单调性求解即可.
【详解】可转化为，不妨设，则，∴.
令，由单调性定义可知，为上的增函数.
∵，∴.
∵，∴，
∴，∴，
∴，即x的取值范围为.
故选：B.
7．已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令函数，然后得出在区间上的单调性，进而作出判断即可.
【详解】令函数，显然函数在区间上单调递减，
又因为，所以，即.
故选：C.
【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
二、填空题
8．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3，2]上的最大值为4，则a的值为________．
【答案】－3或
【分析】根据二次函数的对称轴，结合参数的取值对单调性的影响，即可容易由最值求参数值.
【详解】f(x)的对称轴为直线x＝－1.
当a>0时，f(x)max＝f（2）＝4，解得a＝；
当a<0时，f(x)max＝f(－1)＝4，解得a＝－3.
综上，得a＝或a＝－3.
故答案为：或.
【点睛】本题考查由二次函数的最值求参数值，属基础题.
9．若函数（）的最大值为，最小值为.则______.
【答案】1
【解析】利用对勾函数的单调性求解的最大值和最小值,即可计算出的值.
【详解】因为在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
当时，，当时，，
所以，
所以，
故答案为：1
10．对任意的实数，，表示，中较小的那个数，若，，则的最大值是_______．
【答案】1
【解析】先由求出的范围，此时，求出对应的最值；再由求出的范围，此时，求出对应的最值，再比较大小，即可得出结果.
【详解】由得，即，解得或；
因为表示，中较小的那个数，
所以当或；，
因为是开口向下的二次函数，对称轴为，
因此其在上单调递增，在上单调递减，且，，
所以时，的最大值为；
由得，即，解得，
所以当时，，因此，
综上，的最大值是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于对的理解，根据题意，得到表示两函数中较小的，因此只需根据函数解析式，求出对应的最值，即可求解.
11．若不等式对一切都成立，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用参变分离法将不等式转化为，令，将不等式恒成立问题转化为成立，求解函数的最大值.
【详解】解：因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，
令，可知成立，当，函数单调递减，
所以，所以.
故答案为：.
12．已知函数，，实数，满足，则的最大值为______.
【答案】
【分析】依题意可得，再根据函数的定义域求出，的取值范围，则，，根据二次函数的性质计算可得.
【详解】解：∵函数，，实数，满足，
∴，可得，，，又，
∴，则，，
所以当时，，即，时，取得最大值.
故答案为：
三、解答题
13．求函数，的最小值.
【答案】
【分析】由函数解析式知函数开口方向向下，对称轴为的二次函数，讨论对称轴的位置从而确定最小值取得的点，进而求解.
【详解】由题意知：函数开口方向向下，对称轴为，
因为，令，
当时，；
当时，.
所以函数，的最小值.
14．已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，；
(1)求证：；
(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论；
(3)解不等式
【答案】(1)证明见解析
(2)增函数；证明见解析
(3)
【分析】（1）使用赋值法，先令求得，然后再令可证；
（2）先设，然后用代换中的，结合时，可证；
（3）先用赋值法求得，然后将不等式转化为，利用单调性去掉函数符号，结合定义域可解.
（1）
令，得，解得
再令，则
所以
（2）
在上为增函数，证明如下：
设，则，
因为时，
所以
由（1）知
所以
所以在上为增函数.
（3）
因为，
所以，得，
又因为，
所以，
所以
由上可知，是定义在上为增函数
所以，原不等式，
解得，即原不等式的解集为.函数单调性与最值专题练习
一、单选题
1．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．1或3
2．已知函数，对于任意的恒成立，则实数
的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．函数在上是减函数，且为实数，则有（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是定义在上的减函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知定义在上的函数满足：对任意的，，，都有，，则满足不等式的x的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3，2]上的最大值为4，则a的值为________．
9．若函数（）的最大值为，最小值为.则______.
10．对任意的实数，，表示，中较小的那个数，若，，则的最大值是_______．
11．若不等式对一切都成立，则a的取值范围是______．
12．已知函数，，实数，满足，则的最大值为______.
三、解答题
13．求函数，的最小值.
14．已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，；
(1)求证：；
(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论；
(3)解不等式
