平面向量数量积综合应用专题练习
1．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知菱形的边长为2，．若为菱形内部（含边界）任一点，则的最大值是（ ）
A．2 B．4
C． D．
3．已知在中，向量，，满足且，则为（ ）
A．等腰直角三角形 B．非等腰的直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
4．已知函数，其在一个周期内的图象分别与x轴、y轴交于点A、点B，并与过点A的直线相交于另外两点C、D.设O为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知非零向量，满足，且关于的方程有实根，则向量与夹角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面四边形中，，，.若E、F为边BD上的动点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知平行四边形中，，，．若点满足，点为中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，内角的对边分别为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，符合条件的有一个，则
9．已知在中，，，其外接圆的圆心为O，则__________.
10．在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最小值为___________．
11．已知，是两个平面向量，且对任意，恒有，则的最大值是_________.
12．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．则________；将的图象向右平移1个单位得到的图象对应的函数为，则________．
13．在中，三内角为.若.
(1)若，求角的大小；
(2)若，求当取最大时，的值.
14．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
(1)求角C的值；
(2)若，求周长的取值范围．平面向量数量积综合应用专题练习
1．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三点共线，结合向量的线性运算将用表示，根据共线的条件得出参数值，然后对等式两边同时平方即可.
【详解】，又，即，
由三点共线可知，，即，故.
由题知，，.
将上式两边平方可得，，即.
故选：B
2．如图，已知菱形的边长为2，．若为菱形内部（含边界）任一点，则的最大值是（ ）
A．2 B．4
C． D．
【答案】D
【分析】取线段的中点，再利用向量的线性运算、向量的数量积运算列式，求出CE长的最大值作答.
【详解】取线段的中点，连接，如图，
有，因此，
因此最大，当且仅当最长，即点与点重合，
显然，，，
因此，即的最大值为，
所以的最大值是.
故选：D
3．已知在中，向量，，满足且，则为（ ）
A．等腰直角三角形 B．非等腰的直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】由得，则；由得，则的角平分线与垂直，可得，即可得解.
【详解】由得，即，则；
由得，
而分别为方向上的单位向量，
则的角平分线与垂直，可得，
则为等腰直角三角形.
故选：A．
4．已知函数，其在一个周期内的图象分别与x轴、y轴交于点A、点B，并与过点A的直线相交于另外两点C、D.设O为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图象结合三角函数求点，进而求，即可得结果.
【详解】因为，
可得，即，
由图可知：点A为减区间的对称中心，
令，解得，
取，则，即，
可得，
因为点A为线段CD的中点，则，
所以.
故选：B.
5．已知非零向量，满足，且关于的方程有实根，则向量与夹角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据方程有实根得到，利用向量模长关系可求得，根据余弦函数图象结合向量夹角的范围可求得结果.
【详解】记向量与夹角为，因为关于的方程有实根，
所以，
所以，又，所以，
即与的夹角的取值范围是.
故选：A.
6．在平面四边形中，，，.若E、F为边BD上的动点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由可知平面四边形是平行四边形，由可知四边形是菱形且边长为，由可知，即可求出相关的角度和长度，把分解为向量之和，用数量积公式化简为即可得到最大值，再由基本不等式即可得到最小值.
【详解】如图，设交于.不妨设点到点的距离大于点到点的距离.
由可知且，所以平面四边形是平行四边形.
设，因为，
所以，
所以，所以平面四边形是菱形.
又因为，即,
所以，因为，所以，
所以.，
因为，所以.
所以
当，即点在处或点在处时，有最大值，
因为，
当且仅当时等号成立，所以有最小值.
所以的取值范围为.
故选：A
7．已知平行四边形中，，，．若点满足，点为中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将向量、、用基底表示，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】如下图所示：
因为，则，又因为点为的中点，则，
，
，
所以，
.
故选：C.
8．在中，内角的对边分别为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，符合条件的有一个，则
【答案】ABC
【分析】根据向量的四边形法则和正余弦弦定理，逐项分析判断即可得解.
【详解】对A，由分别为向量方向上的单位向量，
根据平行四边形法则向量平分角，
又，则，
所以，所以，故A正确；
对B，由，根据正弦定理可得：
，
所以，由在三角形中，
所以，所以，故B正确；
对C，在三角形中，由可得，根据正弦定理可得，故C正确；
对D，若，即，此时符合条件的有两个，故D错误.
故选：ABC
9．已知在中，，，其外接圆的圆心为O，则__________.
【答案】10
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律，结合圆的性质计算作答.
【详解】取AB，AC的中点D，E，连接，如图，
当圆心O与点E不重合时，则OD⊥AB，OE⊥AC，，
则＝
，
当圆心O与点E重合时，，，
所以.
故答案为：10
10．在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最小值为___________．
【答案】
【分析】首先由及得出，再由得出，由得出，设，，结合已知得出，根据基本不等式求解即可．
【详解】因为，且，
所以，即，
所以，
因为，
所以，
所以，由得，
由得，
因为，
所以，即，
由及得，
设，，
因为，
所以，，
所以
将，代入得，，即，
所以，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故答案为：．
11．已知，是两个平面向量，且对任意，恒有，则的最大值是_________.
【答案】
【分析】由题意知，从而设，，则，利用基本不等式求出最大值.
【详解】对任意，恒有，
向量的终点到向量所在直线的距离最短.
.
设，，则，
，
当且仅当时，等号成立.
的最大值是.
故答案为：.
12．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．则________；将的图象向右平移1个单位得到的图象对应的函数为，则________．
【答案】 / /
【分析】根据图象可求得最小正周期，由此可得，结合五点作图法可求得，将代入解析式可求得点坐标，根据垂直关系可构造方程求得的值，进而得到的解析式，再根据三角函数的变换规则得到的解析式，从而求出.
【详解】由图象可知的最小正周期，，
由五点作图法可知：，解得，
又，，，，
即，，，
，，，又，
，，
将的图象向右平移1个单位得到，
所以.
故答案为：；.
13．在中，三内角为.若.
(1)若，求角的大小；
(2)若，求当取最大时，的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据向量的数量积的坐标运算,再利用辅助角公式即可求解；
(2)根据向量平行的坐标运算，再利用正切的和差公式以及基本不等式，即可求解.
【详解】（1）因为，则.
因为，则，则，则；
（2）因为，所以，则.
由于为三角形内角，则只能均为锐角，即.，
当且仅当时，取“=”号.
又，则的最大值为，此时.
所以，当的最大时，.
14．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
(1)求角C的值；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示得，应用正余弦定理的边角关系化简，结合锐角三角形求角C；
（2）法一：将用的三角函数表示出来，结合求周长范围；法二：首先得到，再用表示周长，利用函数的单调性求范围.
【详解】（1），
（法一），，，
∴，则，又为锐角三角形，故.
（法二）则，，
∴，且为锐角三角形，故.
（2），，
由于为锐角三角形，则，且，解得，
（法一）周长
，而，即，
∴，故的周长l的取值范围为．
（法二）由上，由余弦定理得，
周长，
记，则在单调递增，
∴的周长l的取值范围为．
