目录
第三讲 随机事件与概率 2
入门测 2
题型一：随机事件 4
知识清单 4
典型例题 5
方法总结： 7
题型二：频率与概率 8
知识清单 8
典型例题 9
方法总结： 10
题型三：事件的加法运算 11
知识清单 11
典型例题 12
方法总结： 16
出门测 18
课后练习 19
第三讲 随机事件与概率
入门测
1．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．
①采用随机抽样法：抽签取出20个样本；
②采用系统抽样法：将零件编号为00,01，…，99，然后平均分组抽取20个样本；
③采用分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中一共抽取20个样本．
下列说法中正确的是
A．无论采用哪种方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等
B．①②两种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等；③并非如此
C．①③两种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等；②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的
答案：A
2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是
A．8,8 B．10,6 C．9,7 D．12,4
答案：C
3．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表(其中)：
分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
频数 2 3 2 4
则样本在区间[10,50]上的频率为________．
答案：0.7
4．有五组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；
②平均日学习时间和平均学习成绩；
③某人每日吸烟量和身体健康情况；
④圆的半径与面积；
⑤汽车的重量和每千米耗油量．
其中两个变量成正相关的是
A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤
答案：B
5. 某公司对下属员工在马年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如下的直方图，如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有 人．
答案：180人
题型一：随机事件
知识清单
知识1 随机现象
（1）确定性现象（必然现象）
在一定条件下，事先就能断定必然会出现某种结果的现象称为确定性现象，也称为必然现象．
（2）随机现象
在一定条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现的现象称为随机现象．
（3）试验
为了探索随机现象的规律性．就要对随机现象进行观察，我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验叫做试验．每让其条件实现一次。就称进行了一次试验．
（4）随机试验
一个试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有结果是明确可知的，但不止一个；
③每次试验总是出现这些结果中的一个，但在试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果．
像这样的试验是一个随机试验．
知识2 事件
（1）必然事件
在条件S下，一定会发生的事件．叫做相对于条件S的必然事件．
（2）不可能事件
在条件S下，一定不会发生的事件．叫做相对于条件S的不可能事件．
（3）确定事件
相对于条件5的必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．
（4）随机事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件s的随机事件，简称随机事件．
（5）事件及其表示
确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A、B、C、…表示．
典型例题
1.以下现象是随机现象的是
A.标准大气压下，水加热到，必回沸腾
B.走到十字路口，遇到红灯
C.长和宽分别为的矩形，其面积是
D.实系数一次方程必有一实根
【答案】B
2.有下面的实验（1）如果，那么；（2）某人买彩票中奖；（3）；（4）在地球上，苹果不抓住必然往下掉.其中是必然现象的有
A.（1） B.（4） C.（1）（3） D.（1）（4）
【答案】D
3.给出下列命题
①“当时，”是必然现象；②“当时，”是不可能现象；③“当时，”是随机现象；④“当时，”是必然现象
其中真命题的个数是
A. B. C. D.
【答案】B
4.件产品中，件正品，件次品，从中抽取件：至少有一件正品；至少有三件是次品；六件都是次品；有两件次品，四件正品.以上四个现象中，随机现象的个数是
A. B. C. D.
【答案】C
5.从个同类产品（其中有10个正品，2个次品）中，任意取三个的必然事件是
A.3个都是正品 B.至少有1个是次品
C.3个都是次品 D.至少有1个是正品
【答案】D
6.已知集合，从集合中选取不同的两个数，构成平面直角坐标系上的点的坐标，观察点的位置，则事件“点落在轴上”包括的基本事件共有
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】C
二.填空题
7.某人投篮次，投中次是事件.
【答案】不可能
8.给出关于满足是的真子集的非空集合的四个命题：
①若任取，则是必然现象②若任取，则是不可能现象
③若任取，则是随机现象④若任取，则是必然现象
其中正确的命题有个.
【答案】
9.写出下面实验的基本事件空间.
从含有件次品的件产品中任取件，观察其中次品数.
【答案】
10.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的三面旗帜上分别标注上号码、、，现任取出三面，事件“三面旗帜的颜色号码均不相同”所包含的基本事件个数为.
【答案】
三．解答题
11.做试验“从这三个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，为第一次取到的数字，为第次取到的数字”
（1）写出这个试验的基本事件空间：
（2）求这个试验基本事件的总数：
（3）写出“第一次取出的数字是”这一事件包含的基本事件.
【答案】（1）这个事件的基本事件空间
（2）易知这个实验的基本事件的总数是
（3）
12从这名学生中任意抽取人参加学校组织的座谈会.
（1）写出该事件的基本事件空间
（2）写出事件“被选中”所包含的基本事件.
【答案】
解：（1）该事件的基本事件空间为
.
（2）事件“被选中”包含个基本事件:.
方法总结：
方法1互斥事件与对立事件的判断方法
（1）从概念看，对立事件必是互斥事件，两个对立或互斥的事件不能同时发生，但对立事件有且只有一个发生，而互斥事件有可能两个都不发生，即互斥事件至多有一个发生．
（2）从集合观点看，表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集，但表示两个对立事件的集合的并集是全集，而表示两个互斥事件的集合的并集不一定是全集．
（3）从概率和看，两个对立事件的概率之和一定等于l，而两个互斥事件的概率之和小于或等于1．
题型二：频率与概率
知识清单
知识1 频率与概率
（1）频数与频率
在相同条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率,且．
（2）概率
对于给定的随机事件，由于事件发生的频率会随着试验次数的增加逐渐稳定在某个常数附近，把这个常数记作，称为事件的概率，简称为的概率．
①概率从数量上反映一个事件发生的可能性的大小．
②概率的定义实际上也是求一个事件概率的基本方法．
知识2 频率与概率的关系
（1）频率随着试验次数的变化而变化，而概率却是一个常数，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时，频率向概率靠近．
（2）频率是概率的近似值．在实际应用中，只要试验次数足够多，所得的频率就可近似地当成随机事件的概率．
（3）频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件的频率可能不同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．
概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．而频率在大量重复试验的前提下可近似作为这个事件的概率．
随机事件的频率与概率的异同比较如表所示：
随机事件 相同点 不同点
频率 都能反映事件在一定条件下发生的可能性大小 通过大量重复试验测出来的 有波动性
概率 通过理论计算求出来的 有稳定性
典型例题
1.在次重复进行的试验中，事件发生的频率是，当很大时，事件发生的概率与的关系是
A. B. C. D.
【答案】A
2.下列说法：
（1）概率反映随机事件发生的可能性大小；
（2）做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是实验的概率；
（3）频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论
值；
（4）在大量的重复试验中，频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值。其中正确得个
数是
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
3.下列说法一定正确的是（）
A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若他罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B.一颗骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2次
C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万次彩票一定会中奖
D.随机事件发生的概率与试验次数无关
【答案】D
4.某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的频率为
A. B. C.6 D.接近
【答案】B
5.若经检验，某厂的产品合格率为 ，问“从该厂产品中任意的抽取10件，其中一定有9件合格品”这种说法是否正确？为什么？
【答案】
解:不正确，因为产品的合格率为,指的是件产品中大约有件合格品,但不能说件产品中一定有件合格品.
6.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：
分组 [500,900] [900,1100] [1100,1300] [1300,1500] [1500,1700] [1700,1900] [1900,]
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
将各组的频率填入表中；
根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率。
【答案】
解:（1）
分组 [500,900] [900,1100] [1100,1300] [1300,1500] [1500,1700] [1700,1900] [1900,]
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
（2）由（1）可得,所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为.
方法总结：
题型三：事件的加法运算
知识清单
知识1 事件的关系
事件的关系 定义 与集合类比记忆
包含关系 当事件发生时，事件一定发生，则 （1）与集合类比，包含，即 ； （2）不可能事件记为, 且； （3）事件也包含于事件，即
相等事件 若，且,则事件与事件相等，记作 . 两个相等事件要么同时发生，要么同时不发生．表示为同一事件
并（和）事件 当且仅当事件发生或事件发生时，事件发生，则称事件为事件，与事件的并事件（或和事件），记作（或） 与集合类比，并事件相当于求并集
交（积）事件 当且仅当事件发生且事件发生时，事件发生，则称事件为事件与事件的交事件（或积事件），记作（或） 与集合类比，并事件相当于求并集
互斥事件 两个集合的交集可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即，此时，称事件与事件互斥 事件与事件在任何一次试验中都不会同时发生
对立事件 若为不可能事件，为必然事件，则称事件与事件互为对立事件 事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生
温馨提示
互斥事件是不可能同时发生的事件，但是可以同时不发生．对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
知识2 概率的性质
（1）由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在内，从而概率满足．
（2）在每次试验中，必然事件一定发生，因此它的频率为．从而必然事件的概率为．
（3）在每次试验中，不可能事件一定不发生，因此它的频率为，从而不可能事件的概率为．
知识3 概率的加法公式
（1）当事件与互斥时，．
如果事件彼此互斥，
那么即互斥事件和的慨率等于概率的和．
（2）若事件互为对立事件，
则为必然事件，
即．
若事件互为对立事件，则
．
典型例题
1. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件的概率分别是,则下列说法正确的是
（A） 与是互斥事件，也是对立事件
（B）与是互斥事件，也是对立事件
（C）与互斥事件，但不是对立事件
（D）与是互斥事件，也是对立事件
【答案】D
由于彼此互斥，且A+B+C+D是一个必然事件。故其关系可如图表示．由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D．
2.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。
A.① B.②④ C.③ D.①③
【答案】C
3.从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，取到红心的概率为，则没有取到红心的概率为（）
A. B. C. D.1
【答案】C
4.把红、黑、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）
A.对立事件 B.不可能事件
C.互斥但不对立事件 D.以上答案均不正确
【答案】C
5.一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，以下事件：
①恰有1件次品和恰有2件次品；
②至少1件次品和全是次品；
③至少1件正品和至少1件次品；
④至少1件次品和全是正品。
其中互斥事件的个数是（）
A.1 B.2 C.3 D.4.
【答案】B
6.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是__________
【答案】
7.某台电话机在打进的电话中响第声时被接的概率为，响第声时被接的概率为0，响第声时被接的概率为，若电话在前声内被接的概率为，则电话在响第声时被接的概率为多少？
【答案】
解:设“”电话响第声被接“为事件,则这四个事件彼此互斥,
从而有
即,得
故电话在响第声时被接的概率为.
8.假设向三个相邻的敌军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.5，炸中其余两个军火库的概率都为0.1。若只要炸中一个，另外两个也要发生爆炸。求军火库发生爆炸的概率。
【答案】
解:设以、、分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件,
于是,
又设表示军火库爆炸这个事件,则有,其中、、彼此互斥,（因为只投一枚炸弹,所以不会同时炸中两个以上军火可）.
9. 在某次射击比赛前，甲、乙两名运动员在赛前训练中命中10环的次数统计如下：
甲的射击次数 10 20 50 100 200 400
命中10环的次数 9 17 44 92 179 360
命中10环的频率
乙的射击次数 10 20 50 100 200 400
命中10环的次数 8 17 44 93 177 363
命中10环的频率
请根据上表回答以下问题：
（1）分别计算出两名运动员命中10环的频率；
（2）根据两表中的数据预测两名运动员在这次比赛中命中10环的概率．
【答案】（1）甲：；乙：．
（2）由（1）中的计算结果可知，随着射击次数的增加，两名运动员命中10环的频率都集中在0．90这个值的附近，所以估计两名运动员在这次比赛中命中10环的概率都约为0．90．
10. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息．安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数（人） X 30 25 Y 10
结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55％．
（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值：
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）
【答案】（1）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20．
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本．顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计．其估计值为（分钟）．
（2）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得
因为且是互斥事件，所以.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为
11. 甲、乙两人下棋，“和棋”的概率为，“乙胜，，的概率为．
求：（1）“甲胜”，的概率；（2）“甲不输”的概率．
【解析】 （1）“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率．
（2）解法一：设事件A为“甲不输”，看成是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以
解法二：设事件A为“甲不输”，看成是“乙胜”的对立事件，所以
方法总结：
方法1 利用概率的概念求概率
概率是频率的稳定值，只是表示事件发生的可能性，并不等同于事件实际发生的可能性，所以在实际生活中根据概率作决策时，若把实际结果与根据概率算出的结果判断为一定相同，往往存在很大的风险．
方法2 用互斥事件的加法公式求概率
判断出事件之间是互斥事件时可用互斥事件的概率和求它的概率．
方法3 用对立事件的概率公式求概率
当直接求某一事件的概率较为复杂（或不能求）时，可以先求其对立事件的概率，再运用公式计算，即使用间接法求概率．
出门测
1从装有2个红球和2个白球的中袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是
A.至少有1个白球，都是白球
B.至少有1个白球，至少有1个红球。
C.恰有1个白球，恰有2个白球
D.至少有1个白球，都是红球。
【答案】C
2.下列四种说法：
①对立事件一定是互斥事件；
②若A.B为两个事件，则;
③若事件彼此互斥，则;
④若事件满足,则是对立事件。
其中错误的个数是（）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
3.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设，，，，则其中互斥事件有，互为对立的时间有。
【答案】A与B,A与C,B与C,B与D;B与D.
4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为
【答案】
课后练习
1．袋中有大小相同的三个白球和两个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
2.某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则恰有1名优秀工人的概率为( )
A. B. C. D.
答案：
3.若集合,，从中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是
A． B． C． D.
答案：C
4.一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则事件与同时发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
5.一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )
A． B． C． D．
答案：B
6.从存放号码分别为1,2，…,10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
则取到号码为奇数的频率是
A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37
【答案】A
7..随机事件发生的概率的范围是
A. B. C. D.
【答案】C
8.如图所示，靶子由一个中心圆面I和两个同心圆环II，III构成，射手命中I、II，III的概率分别为0.35,0.30,0.25，则不命中靶的概率是
【答案】
9.先后抛掷2枚均匀的硬币
①一共可能出现多少种不同的结果？
②出现“1枚正面，1枚反面”的结果有多少种？
③出现“1枚正面，1枚反面”的概率是多少？
④有人说：“一共可能出现“2枚正面”;“2枚反面”;“1枚正面，1枚反面””这2种结果.
因此出现“1枚正面，1枚反面”的概率是这种说法对不对？
【答案】①;4②;③;④不对.
10．袋中又大小相同的红球和白球各1个，每次任取1个，有放回地摸三次．
（Ⅰ）写出所有基本事件‘
（Ⅱ）求三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率；
（Ⅲ）求三次摸到的球至少有1个白球的概率．
【答案】解：
（1）基本事件为{红红红，红红白，红白白，红白红，白白白，白白红，白红红，白红红 }共8个
（2）记“三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率”为事件A,则P(A)=
（3）记“三次摸到的球至少有1个白球”为事件B，“三次摸到的求都是红球”为事件C,则C的基本事件为（红红红），所以P(C)=,因为C是B的对立事件，所以P(B)=1-=. 11．一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．
(1)求连续取两次都是白球的概率；
(2)若取1个红球记2分，取1个白球记1分，取1个黑球记0分，求连续取两次的分数之和为2的概率．
【答案】解：
（1）连续取两次所包含的基本事件有：（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑）；
（白1，红），（白1，白1），（白1，白2），（白1，黑），（白2，红），（白2，白1），
（白2，白2），（白2，黑），（黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，黑）.
所以基本事件的总数为16.记“连续取两次都是白球”为事件A,则P(A)=.
(2)记“连续取两次分数之和为2分”为事件B，则P(B)= .
12.口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，
(1)写出基本事件空间，并求共有多少个基本事件？
(2)摸出来的两只球都是白球的概率是多少？
(3)摸出来的两只球颜色不同的概率为多少
【答案】解：
（1）分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件：
（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（2,3）（2,4）（2,5）（3,4）（3,5）（4,5）因此共10个基本事件.
（2）记“摸出来的两只球都是白球”为事件A，则
（3）记“摸出来的两只球颜色不同”为事件B，则目录
第三讲 随机事件与概率 2
入门测 2
题型一：随机事件 4
知识清单 4
典型例题 5
方法总结： 7
题型二：频率与概率 8
知识清单 8
典型例题 9
方法总结： 10
题型三：事件的加法运算 11
知识清单 11
典型例题 12
方法总结： 16
出门测 18
课后练习 19
第三讲 随机事件与概率
入门测
1．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是
A．8,8 B．10,6 C．9,7 D．12,4
2．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表(其中)：
分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
频数 2 3 2 4
则样本在区间[10,50]上的频率为________．
3. 某公司对下属员工在马年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如下的直方图，如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有 人．
题型一：随机事件
知识清单
知识1 随机现象
（1）确定性现象（必然现象）
在一定条件下，事先就能断定必然会出现某种结果的现象称为确定性现象，也称为必然现象．
（2）随机现象
在一定条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现的现象称为随机现象．
（3）试验
为了探索随机现象的规律性．就要对随机现象进行观察，我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验叫做试验．每让其条件实现一次。就称进行了一次试验．
（4）随机试验
一个试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有结果是明确可知的，但不止一个；
③每次试验总是出现这些结果中的一个，但在试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果．
像这样的试验是一个随机试验．
知识2 事件
（1）必然事件
在条件S下，一定会发生的事件．叫做相对于条件S的必然事件．
（2）不可能事件
在条件S下，一定不会发生的事件．叫做相对于条件S的不可能事件．
（3）确定事件
相对于条件5的必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．
（4）随机事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件s的随机事件，简称随机事件．
（5）事件及其表示
确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A、B、C、…表示．
典型例题
1.以下现象是随机现象的是
A.标准大气压下，水加热到，必回沸腾
B.走到十字路口，遇到红灯
C.长和宽分别为的矩形，其面积是
D.实系数一次方程必有一实根
2.有下面的实验（1）如果，那么；（2）某人买彩票中奖；（3）；（4）在地球上，苹果不抓住必然往下掉.其中是必然现象的有
A.（1） B.（4） C.（1）（3） D.（1）（4）
3.给出下列命题
①“当时，”是必然现象；②“当时，”是不可能现象；③“当时，”是随机现象；④“当时，”是必然现象
其中真命题的个数是
A. B. C. D.
4.件产品中，件正品，件次品，从中抽取件：至少有一件正品；至少有三件是次品；六件都是次品；有两件次品，四件正品.以上四个现象中，随机现象的个数是
A. B. C. D.
5.从个同类产品（其中有10个正品，2个次品）中，任意取三个的必然事件是
A.3个都是正品 B.至少有1个是次品
C.3个都是次品 D.至少有1个是正品
6.已知集合，从集合中选取不同的两个数，构成平面直角坐标系上的点的坐标，观察点的位置，则事件“点落在轴上”包括的基本事件共有
A.个 B.个 C.个 D.个
二.填空题
7.某人投篮次，投中次是事件.
8.给出关于满足是的真子集的非空集合的四个命题：
①若任取，则是必然现象②若任取，则是不可能现象
③若任取，则是随机现象④若任取，则是必然现象
其中正确的命题有个.
9.写出下面实验的基本事件空间.
从含有件次品的件产品中任取件，观察其中次品数.
10.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的三面旗帜上分别标注上号码、、，现任取出三面，事件“三面旗帜的颜色号码均不相同”所包含的基本事件个数为.
三．解答题
11.做试验“从这三个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，为第一次取到的数字，为第次取到的数字”
（1）写出这个试验的基本事件空间：
（2）求这个试验基本事件的总数：
（3）写出“第一次取出的数字是”这一事件包含的基本事件.
12从这名学生中任意抽取人参加学校组织的座谈会.
（1）写出该事件的基本事件空间
（2）写出事件“被选中”所包含的基本事件.
方法总结：
方法1互斥事件与对立事件的判断方法
（1）从概念看，对立事件必是互斥事件，两个对立或互斥的事件不能同时发生，但对立事件有且只有一个发生，而互斥事件有可能两个都不发生，即互斥事件至多有一个发生．
（2）从集合观点看，表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集，但表示两个对立事件的集合的并集是全集，而表示两个互斥事件的集合的并集不一定是全集．
（3）从概率和看，两个对立事件的概率之和一定等于l，而两个互斥事件的概率之和小于或等于1．
题型二：频率与概率
知识清单
知识1 频率与概率
（1）频数与频率
在相同条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率,且．
（2）概率
对于给定的随机事件，由于事件发生的频率会随着试验次数的增加逐渐稳定在某个常数附近，把这个常数记作，称为事件的概率，简称为的概率．
①概率从数量上反映一个事件发生的可能性的大小．
②概率的定义实际上也是求一个事件概率的基本方法．
知识2 频率与概率的关系
（1）频率随着试验次数的变化而变化，而概率却是一个常数，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时，频率向概率靠近．
（2）频率是概率的近似值．在实际应用中，只要试验次数足够多，所得的频率就可近似地当成随机事件的概率．
（3）频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件的频率可能不同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．
概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．而频率在大量重复试验的前提下可近似作为这个事件的概率．
随机事件的频率与概率的异同比较如表所示：
随机事件 相同点 不同点
频率 都能反映事件在一定条件下发生的可能性大小 通过大量重复试验测出来的 有波动性
概率 通过理论计算求出来的 有稳定性
典型例题
1.在次重复进行的试验中，事件发生的频率是，当很大时，事件发生的概率与的关系是
A. B. C. D.
A
2.下列说法：
（1）概率反映随机事件发生的可能性大小；
（2）做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是实验的概率；
（3）频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论
值；
（4）在大量的重复试验中，频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值。其中正确得个
数是
A.1 B.2 C.3 D.4
C
3.下列说法一定正确的是（）
A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若他罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B.一颗骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2次
C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万次彩票一定会中奖
D.随机事件发生的概率与试验次数无关
D
4.某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的频率为
A. B. C.6 D.接近
B
5.若经检验，某厂的产品合格率为 ，问“从该厂产品中任意的抽取10件，其中一定有9件合格品”这种说法是否正确？为什么？
6.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：
分组 [500,900] [900,1100] [1100,1300] [1300,1500] [1500,1700] [1700,1900] [1900,]
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
将各组的频率填入表中；
根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率。
:
分组 [500,900] [900,1100] [1100,1300] [1300,1500] [1500,1700] [1700,1900] [1900,]
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
（
方法总结：
题型三：事件的加法运算
知识清单
知识1 事件的关系
事件的关系 定义 与集合类比记忆
包含关系 当事件发生时，事件一定发生，则 （1）与集合类比，包含，即 ； （2）不可能事件记为, 且； （3）事件也包含于事件，即
相等事件 若，且,则事件与事件相等，记作 . 两个相等事件要么同时发生，要么同时不发生．表示为同一事件
并（和）事件 当且仅当事件发生或事件发生时，事件发生，则称事件为事件，与事件的并事件（或和事件），记作（或） 与集合类比，并事件相当于求并集
交（积）事件 当且仅当事件发生且事件发生时，事件发生，则称事件为事件与事件的交事件（或积事件），记作（或） 与集合类比，并事件相当于求并集
互斥事件 两个集合的交集可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即，此时，称事件与事件互斥 事件与事件在任何一次试验中都不会同时发生
对立事件 若为不可能事件，为必然事件，则称事件与事件互为对立事件 事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生
温馨提示
互斥事件是不可能同时发生的事件，但是可以同时不发生．对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
知识2 概率的性质
（1）由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在内，从而概率满足．
（2）在每次试验中，必然事件一定发生，因此它的频率为．从而必然事件的概率为．
（3）在每次试验中，不可能事件一定不发生，因此它的频率为，从而不可能事件的概率为．
知识3 概率的加法公式
（1）当事件与互斥时，．
如果事件彼此互斥，
那么即互斥事件和的慨率等于概率的和．
（2）若事件互为对立事件，
则为必然事件，
即．
若事件互为对立事件，则
．
典型例题
1. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件的概率分别是,则下列说法正确的是
（A） 与是互斥事件，也是对立事件
（B）与是互斥事件，也是对立事件
（C）与互斥事件，但不是对立事件
（D）与是互斥事件，也是对立事件
2.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。
A.① B.②④ C.③ D.①③
3.从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，取到红心的概率为，则没有取到红心的概率为（）
A. B. C. D.1
4.把红、黑、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）
A.对立事件 B.不可能事件
C.互斥但不对立事件 D.以上答案均不正确
5.一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，以下事件：
①恰有1件次品和恰有2件次品；
②至少1件次品和全是次品；
③至少1件正品和至少1件次品；
④至少1件次品和全是正品。
其中互斥事件的个数是（）
A.1 B.2 C.3 D.4.
6.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是__________
7.某台电话机在打进的电话中响第声时被接的概率为，响第声时被接的概率为0，响第声时被接的概率为，若电话在前声内被接的概率为，则电话在响第声时被接的概率为多少？
8.假设向三个相邻的敌军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.5，炸中其余两个军火库的概率都为0.1。若只要炸中一个，另外两个也要发生爆炸。求军火库发生爆炸的概率。
9. 在某次射击比赛前，甲、乙两名运动员在赛前训练中命中10环的次数统计如下：
甲的射击次数 10 20 50 100 200 400
命中10环的次数 9 17 44 92 179 360
命中10环的频率
乙的射击次数 10 20 50 100 200 400
命中10环的次数 8 17 44 93 177 363
命中10环的频率
请根据上表回答以下问题：
（1）分别计算出两名运动员命中10环的频率；
（2）根据两表中的数据预测两名运动员在这次比赛中命中10环的概率．
10. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息．安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数（人） X 30 25 Y 10
结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55％．
（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值：
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）
11. 甲、乙两人下棋，“和棋”的概率为，“乙胜，，的概率为．
求：（1）“甲胜”，的概率；（2）“甲不输”的概率．
方法总结：
方法1 利用概率的概念求概率
概率是频率的稳定值，只是表示事件发生的可能性，并不等同于事件实际发生的可能性，所以在实际生活中根据概率作决策时，若把实际结果与根据概率算出的结果判断为一定相同，往往存在很大的风险．
方法2 用互斥事件的加法公式求概率
判断出事件之间是互斥事件时可用互斥事件的概率和求它的概率．
方法3 用对立事件的概率公式求概率
当直接求某一事件的概率较为复杂（或不能求）时，可以先求其对立事件的概率，再运用公式计算，即使用间接法求概率．
出门测
1从装有2个红球和2个白球的中袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是
A.至少有1个白球，都是白球
B.至少有1个白球，至少有1个红球。
C.恰有1个白球，恰有2个白球
D.至少有1个白球，都是红球。
2.下列四种说法：
①对立事件一定是互斥事件；
②若A.B为两个事件，则;
③若事件彼此互斥，则;
④若事件满足,则是对立事件。
其中错误的个数是（）
A.0 B.1 C.2 D.3
3.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设，，，，则其中互斥事件有，互为对立的时间有。
4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为
课后练习
1．袋中有大小相同的三个白球和两个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（ ）
A． B． C． D．
2.某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则恰有1名优秀工人的概率为( )
A. B. C. D.
3.若集合,，从中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是
A． B． C． D.
4.一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则事件与同时发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
5.一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )
A． B． C． D．
6.从存放号码分别为1,2，…,10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
则取到号码为奇数的频率是
A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37
7..随机事件发生的概率的范围是
A. B. C. D.
8.如图所示，靶子由一个中心圆面I和两个同心圆环II，III构成，射手命中I、II，III的概率分别为0.35,0.30,0.25，则不命中靶的概率是
9.先后抛掷2枚均匀的硬币
①一共可能出现多少种不同的结果？
②出现“1枚正面，1枚反面”的结果有多少种？
③出现“1枚正面，1枚反面”的概率是多少？
④有人说：“一共可能出现“2枚正面”;“2枚反面”;“1枚正面，1枚反面””这2种结果.
因此出现“1枚正面，1枚反面”的概率是这种说法对不对？
10．袋中又大小相同的红球和白球各1个，每次任取1个，有放回地摸三次．
（Ⅰ）写出所有基本事件‘
（Ⅱ）求三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率；
（Ⅲ）求三次摸到的球至少有1个白球的概率．
11．一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．
(1)求连续取两次都是白球的概率；
(2)若取1个红球记2分，取1个白球记1分，取1个黑球记0分，求连续取两次的分数之和为2的概率．
12.口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，
(1)写出基本事件空间，并求共有多少个基本事件？
(2)摸出来的两只球都是白球的概率是多少？
(3)摸出来的两只球颜色不同的概率为多少
