秘密★启用前
遵义市南白高中 2022-2023-2 高一年级第一次联考试题
数 学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一．单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分；在．每．个．小．题．所．给．的．四．个．选．项．中．，只．有．一．
个．选．项．符．合．题．目．要．求．）
π
1．设集合 A x∣x 2k ,k Z ,B 0,2π ，则 A B
3
π π , 4π π 7 π 4 7 A． B． C． , π D． , ,
3 3 3 3 3 3 3 3
2． cos390
1 3 3 1A． B． C． D．2 2 2 2
3．已知a log3 0.3，b 30.3， c 0.30.5 ，则
A．a b c B． a c b
C．c a b D．b c a
4．如图，已知 AB a , AC b ,BD 3DC，用 a，b 表示 AD，则 AD等于
3 3 1 1 1 1 3
A． a b B． a b C． a b D． a b
4 4 4 4 4 4 4
5．已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴的正半轴重合，终边在直线 y 2x上，则cos2 sin2
3 4 2 3
A．- B． C． D．
5 5 3 4
6．若 A (1, m ) ， B(m 1,3)，C(1 m, 7)三点共线，则m
A．0 或 5 B． 5 C．5 D．0 或 5
a
7．关于向量 ，b ，下列命题中，正确的是
a b A．若 ，则 a b B ．若 a b，则 a//b
C．若 a//b，b//c，则 a//c D．若 a b a ，则 b
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8．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形 ABC，
再分别以点 A,B,C为圆心，线段 AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.
π
若莱洛三角形的周长为 ，则其面积是
2
A π 2 π 3 π 3 π 3． B． C． D．
4 8 8 4
二．多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分；在．每．个．小．题．所．给．的．四．个．选．项．中．，有．多．个．
选．项．符．合．题．目．要．求．；全．部．选．对．得．5．分．，部．分．选．对．得．2．分．，有．选．错．的．得．0．分．）
9．下列两个向量，能作为平面中一组基底的是
A． e1 1,2 ， e2 4, 2 B． e1 1,2 ， e2 0,0
C． e1 1,2 ， e2 2,4 D． e1 1,2 ， e2 2,1
10．若点P sin cos , tan 在第一象限，则在 0,2 内 的可能取值有
π 9 3
A． B． C． D．
4 3 8 2
11．已知角 A,B,C是锐角三角形 ABC的三个内角，下列结论一定成立的是
A B
A． sin(B C) sin A B． sin cos
C
2 2
C． sin B cos A D． cos(A B) cosC
12．如图，正方形 ABCD中， E为 AB中点，M 为线段 AD上的动点，BM BE BD，则下列结论正
确的是
3
A．当M 为线段 AD上的中点时，
2
1
B． 的最大值为
2
C． 的取值范围为 0,1
1 , 2 D． 的取值范围为
2
三．填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分；请．将．每．小．题．的．正．确．答．案．填．写．在．答．题．卡．相．
应．的．横．线．上．，不．在．答．题．卡．规．定．位．置．或．在．试．卷．及．草．稿．纸．上．作．答．的．答．案．无．效．）
13．与角2023 终边相同的最小正角是________．
3 1
14．甲、乙两人参加知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为 和 ，且两人是否获得一等奖相
5 3
互独立，则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是__________.
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sin 15．若
1
，则 cos
6 5 3
__________.
16．已知对任意平面向量 AB x, y ，把 AB 绕其起点 A 沿逆时针方向旋转 角得到向量
AP x cos y sin , x sin y cos ，叫做把点 B绕点 A沿逆时针方向旋转 角得到点 P，已知平面内点
A 1,2 ，点 B 1 2,2 2 2 π，把点 B绕点 A沿逆时针方向旋转 角得到点 P，则点 P的坐标_________.4
四．解答题（本题共 6 小题，其中 17 小题 10 分，18-22 题每题 12 分，共 70 分；作答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤；作．答．时．请．在．答．题．卡．相．应．的．位．置．区．域．作．答．，．不．在．对．
应．位．置．区．域．内．的．作．答．无．效．）
17．（10 分）
已知向量 a 3, 2 ，b 1,2 ， c 4,1 ．
（1）求 a b 2c；
（2）若 ka c // a 2b ，求实数 k的值．
18．（12 分）
已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴的正半轴重合，终边过点 P(1, 2)．
（1）求 tan 的值；
2 sin(π ) cos(2π )
（2）求 cos( π ) sin( π ) 的值．
2 2
19．（12 分）
已知 sin , cos 是方程5x2 (
x m 0的两个实数根，其中 , ) .
2
（1）求m的值；
1 1
（2）求 的值.
cos sin
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20．（12 分）
某中学为研究本校高一学生市联考的数学成绩，随机抽取了 100 位同学的数学成绩作为样本，按分组
80,90 ， 90,100 ， 100,110 ， 110,120 ， 120,130 ， 130,140 ， 140,150 整理后得到如下频率分布直
方图.
（1）求图中 x的值；
（2）请用样本数据估计本次联考该校数学平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
（3）用分层随机抽样的方法，从样本内数学成绩在 130,140 ， 140,150 的两组学生中抽取 5 名学生，再
从这 5 名学生中随机选出 2 人，求选出的两名学生中恰有一人数学成绩在 130,140 的概率.
21．（12 分）
如图所示，在平行四边形 ABCD BM 2中， BC， AN 1 AB， AB a， AD b．3 4
（1）试用向量 a，b来表示DN， AM ；
（2） AM 交DN于O点，若 AO OM ，求 的值．
22．（12 分）
在平行四边形OABC中，过点C的直线与线段OA、OB分别相交于点M、N，若OM xOA,ON yOB .
（1）求 y关于 x的函数解析式；
（2）设函数G x 为 R上的偶函数，当 x 0,1 时，G x （f x），又函数G x 的图象关于直线 x 1对称.
当方程G x ax 1 在 x 2k, 2k 2 (k N )上有两个不同的实数解时，求实数 a的取值范围.
2
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遵义市南白高中 2022-2023-2 高一年级第一次联考试题
数学参考答案
一．单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
二．多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B D A D B C AD BC AB ABC
三．填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 13 14 15 16
8 1
答案 223 4,1 15 5
四．解答题（本题共 6 小题，其中 17 小题 10 分，18-22 题每题 12 分，共 70 分）
17．解：（1）解：因为 a 3, 2 ，b 1,2 ， c 4,1 ．
所以，a b 2c 3,2 1,2 2 4,1 6,2 . 5 分
（2）由已知可得 ka c k 3,2 4,1 3k 4,2k 1 ，
a 2b 3,2 2 1,2 5, 2 ，
因为 ka c // a 2b ，则 2 3k 4 5 2k 1 ，
13
解得 k ． 10 分
16
18．解：（1）由题意知终边上一点 P 1,2
则 tan 2 . 6 分
（2）方法一：由（1）知 tan 2，
2sin(π ) cos(2π ) 2sin cos 2 tan 1 2 2 1
所以 cos( π π
1
) sin( ) sin cos tan 1 2 1 12 分
2 2
方法二：终边过点 P 1,2 2， r 5，则 sin ， cos
1
，
5 5
2sin(π ) cos(2π ) 2sin cos
π π 1所以 cos( ) sin( ) sin cos .
12 分
2 2
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1 20m 0
19．解：（1）由题意， sin cos
1
5
sin cos
m
5
1 2m又 sin cos 2 1 2sin cos ，即 1 ，
25 5
解得m
12
. 6分
5
12 1
（2）由（1）知 sin cos ， sin cos
25 5
2 49
所以 sin cos 1 2sin cos
25
因为 (
, )，
2
所以 sin cos 7
5
1 1 sin cos 35
12 分
cos sin sin cos 12
20. 解：（1）由频率分布直方可知， 0.012 0.022 0.028 0.018 x 0.008 0.002 10 1 ，
解得 x 0.01； 4 分
（2）由图可知，成绩在 80,90 ， 90,100 ， 100,110 ， 110,120 ， 120,130 ， 130,140 ， 140,150 的频
率分别为 0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，
设样本数据中平均成绩为 x，
则 x 85 0.12 95 0.22 105 0.28 115 0.18 125 0.10 135 0.08 145 0.02
85 10 0.22 20 0.28 30 0.18 40 0.10 50 0.08 60 0.02
85 2.2 5.6 5.4 4 4 1.2 107.4
故估计本次联考该校数学平均成绩为 107.4 分； 8 分
（3）由题知，样本内成绩在 130,140 ， 140,150 的学生分别有 8 名和 2 名，
按分层随机抽样抽取的 5 名学生中，
分数在 130,140 的学生有 4 名，记为 A，B，C，D，
在 140,150 的学生有 1 名，记为 e，
从这 5 名学生中随机选出 2 人，所有的情况有 10 种：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，
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其中恰有一人语文成绩在 130,140 的有 4 种：Ae，Be，Ce，De，
则这 5 名学生中随机选出 2 人，恰有一人语文成绩在 130,140 P 4 2的概率为 . 12 分
10 5
1
21. 解：（1）因为DN AN AD， AN AB，4
1
所以DN AB
1
AD a b . 3 分
4 4
2
因为 AM AB BM ，BM BC，3
所以 AM AB
2 2
BC a b . 6分
3 3
（2）因为D,O,N 三点共线，
所以存在实数 k，使得DO kDN
1
ka kb，
4
所以 AO AD DO
1 1
b ka kb ka 1 k b①，
4 4
因为 A,O,M三点共线，
2
所以存在实数m，使得 AO mAM ma mb②.
3
1
k m
①② 4由 得： ，解得m
3
.
1 k 2 m 14
3
3 3
所以 AO AM ， AO OM ，
14 11
3
即 . 12 分
11
|OM | |OM | |ON |
22. 解：（1）利用平行四边形性质得到 ，
|OA | |CB | | NB |
因为OM xOA,ON yOB
x y故 4 分
1 y
y x ， x 0,1 6 分
x 1
（3）G x 的图象关于直线 x 1对称，函数G x 为 R上的偶函数
即G 1 x G 1 x G 2 x G x ，
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x
,0 x 1
故G x x 1 2 x ， ,1 x 2
3 x
由对称性可知，G x 的图像关于直线 x k (k N )对称
h x 1 1 ax 过定点 A 0,
2 2
当 x 2k, 2k 2 (k N )时，如图所示：
h 2k 1 1 1
结合图象可知 2 解得 a 0
h 2k 2 0 4k 4
1
故实数 a的取值范围为 ,0 . 12 分 4k 4
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