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专题11 圆与相似综合：A字模型、射影定理（解析版）
圆+A字模型
图形 推导过程 结论
因为 ∽ ①; ②;
1．（中雅）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点．
（1）证明：是的切线；
（2）若，，求的半径和的长．
【解答】（1）证明：如图，连接，，，，，，
，半径，是的切线；
解：设，在中，，，由，
可得，解得：，即的半径为3，，，
，即，．
2．（中雅）如图，在△中，，以为直径的⊙交于点，点在的延长线上，且．
（1）求证：直线是⊙的切线；
（2）若，，求⊙的半径长及的值．
【解答】（1）证明：连接，如图，为直径，，，．
，．，，，
．是的半径，直线是的切线；
（2）解：由（1）知：，，，．
，，，，．，的半径长为；过点作于点，如图，，设，则，
．，，，，，
解得：．．，．
3．（长郡）如图，是的直径，点为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，直线交的延长线于点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）若，，求和的长．
【解答】解：（1）证明：连接，如图，是的切线，，，
，，，，，平分；
（2）是的直径，在中，，
在和中，，，，
，即，；在中，，
又，，，即，．
4．（雅实）如图，以的边为直径作，交于点，是上一点，连接并延长交于点，连接，且．
（1）求证：是的切线．
（2）当时，
①若时，求的大小；
②若，，则的长为 ．
【解答】（1）证明：如图1，连接．是的直径，，
．又，，，，
是的切线．
（2）解：①，，．，，．又，．
②．如图2，过点作交于点，．，，
，，，，．
，，，，，，．
又，．
圆+射影定理
图形 推导过程 结论
因为 ∽ ①; ②; ③
5.（长郡）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE＝EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．
（1）求证：AH＝HD；
（2）若＝，DF＝9，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，DE＝EC，∴AB⊥CD，∴∠C+∠CBE＝90°，∵EG⊥BC，
∴∠C+∠CEG＝90°，∴∠CBE＝∠CEG，∵∠CBE＝∠CDA，∠CEG＝∠DEH，∴∠CDA＝∠DEH，
∴HD＝EH，∵∠A+∠ADC＝90°，∠AEH+∠DEH＝90°，∴AH＝EH，∴AH＝HD；
（2）解：∵∠BDF＝90°，＝，令BD=4x，BF=5x，则，∴，BD=12,
由射影定理得：BD2＝DF DA，∴144＝9×DA，∴DA=16，又由射影定理得：AB2＝AF DA，∴AB2＝25×16，∴AB=20,即半径为10.
6.(长郡)如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC、BC交于点F、D，过点D作DE⊥AC于点E，且CE＝FE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连OE．若，AB＝10，求CE的长．
【解答】证明：（1）连接DF，OD，过点O作OH⊥AC于H，∵DE⊥AC，CE＝FE，∴DF＝DC，
∴∠C＝∠DFC，∵四边形ABDF是圆内接四边形，∴∠OBD+∠AFD＝180°，∵∠AFD+∠CFD＝180°，
∴∠OBD＝∠CFD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，又∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；
∵OH⊥AC，DE⊥AC，OD⊥DE，∴四边形ODEH是矩形，∴DE＝OH，OD＝EH，∵AB＝10，
∴AO＝OB＝OD＝EH＝5，∴DE＝＝＝4，由射影定理得：DE2＝CE×AE,∴16＝CE（10-CE），∴CE＝2或8（舍去），∴CE＝2．
7.（长沙中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．
解：（1）∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°；
（2）证明：连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的切线；
(3)设DE＝1，则AC＝2，由射影定理得：AC2＝AD×AE,∴20＝AD（AD+1），
∴AD＝4或﹣5（舍去），∵DC2＝AC2﹣AD2，∴DC＝2，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；
8．（立信）如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点．
（1）求的度数；
（2）若，求的值；
（3）若，，求的长．
【解答】解：（1）是的直径，，，；
（2），，，又，
，，即．设，则，
即．整理，得．解得或（舍去）．
．；
（3）如图，过点作于点，由垂径定理，得，设，则，，，，整理，得，即．
，．，的半径为2．．
9.（青竹湖）如图，在中，，是的中点，经过、、三点，的延长线交于点.
（1）求证：；
（2）与相切于点，交的延长线于点.
①若，求的直径
②若，求.
【解答】（1）证明：连接DE，∵∠ABC＝90°∴∠ABE＝90°∴AE是⊙O直径∴∠ADE＝90°
∴DE⊥AC又∵D是AC的中点∴DE是AC的垂直平分线∴AE＝CE；
（2）解：在△ADE和△EFA中，∵∠ADE＝∠AEF＝90°，∠DAE＝∠FAE∴△ADE∽△EFA
∴即∴AE＝2cm；
（3）解：∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，∴∠ADE＝∠AEF＝90°∴Rt△ADE∽Rt△EDF
∴∵，AD＝CD∴CF＝nCD∴DF＝（1+n）CD∴DE＝CD
在Rt△CDE中，CE2＝CD2+DE2＝CD2+（CD）2＝（n+2）CD2
∴CE＝CD∵∠CAB＝∠DEC∴sin∠CAB＝sin∠DEC＝＝＝．
10.（广益）如图，已知PB与⊙O相切于点B，A是⊙O上的一点，满足PA=PB，连接PO，交AB于E，交⊙O于C，D两点，E在线段OD上，连接AD，OB。
（1）求证：直线PA是⊙O的切线；
（2）①求证：点D是△PAB的内心
②若PA=13，sin∠APE=，求DE的长；
（3）已知，求tanC.
【解答】（1）证明：连接OA，∵PB与⊙O相切于点B，∴∠OBP＝90°，
在△OAP和△OBP中，，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴OA⊥PA，
∴直线PA是⊙O的切线；
（2）①由（1）得△OAP≌△OBP，∴∠APO＝∠BPO，∴PO平分∠APB，∵PA＝PB，∴PE⊥AB，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，∵∠OAP＝90°，∴∠DAP+∠OAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠ADE＝∠OAD，
∴∠DAE＝∠DAP，∴AD平分∠PAB，同理可得出BD平分∠PBA，∴点D是△PAB的内心；
②解：作DF⊥AP于F，在Rt△APE中，AE＝PA sin∠APE＝13×＝5，PE＝＝＝12，∵AD平分∠PAB，PE⊥AB，DF⊥AP，∴DE＝DF，∵S△APE＝S△APD+S△AED，∴×5×12＝×13×DE+×5×DE，解得：DE＝；
解：∵PE⊥AB，∴＝，∴∠DAE＝∠OCA，∵∠DEA＝∠AEC＝90°，由射影定理得：AE2＝CE DE，∵设CD＝4x，AE＝3x，DE＝y，∴（3x）2＝（4x﹣y） y，解得：y＝x或
y＝3x（不合题意，舍去），∴DE＝x，CE＝3x，在Rt△ACE中，tanC＝＝＝．
11．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．
解：（1）令二次函数y＝ax2+bx+c，
则，∴，
∴过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．
（2）以AB为直径的圆的圆心坐标为O′（﹣，0），
∴O′C＝，OO′＝；
∵CD为⊙O′切线∴O′C⊥CD，
∴∠O′CO+∠OCD＝90°，∠CO'O+∠O'CO＝90°，
∴∠CO'O＝∠DCO，∴△O'CO∽△CDO，
∴＝，即＝，
∴OD＝，∴D坐标为（，0）．
（3）存在，
抛物线对称轴为x＝﹣，
设满足条件的圆的半径为r，则E的坐标为（﹣+r，|r|）或F（﹣﹣r，|r|），
而E点在抛物线y＝﹣x2﹣x+2上，
∴|r|＝﹣（﹣+r）2﹣（﹣+r）+2；
∴r1＝﹣1+，r2＝﹣1﹣（舍去），r3＝1+，r4＝1﹣（舍去）；
故以EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为或1+．
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专题11 圆与相似综合：A字模型、射影定理（原卷版）
圆+A字模型
图形 推导过程 结论
因为 ∽ ①; ②;
1．（中雅）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点．
（1）证明：是的切线；
（2）若，，求的半径和的长．
2．（中雅）如图，在△中，，以为直径的⊙交于点，点在的延长线上，且．
（1）求证：直线是⊙的切线；
（2）若，，求⊙的半径长及的值．
3．（长郡）如图，是的直径，点为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，直线交的延长线于点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）若，，求和的长．
4．（雅实）如图，以的边为直径作，交于点，是上一点，连接并延长交于点，连接，且．
（1）求证：是的切线．
（2）当时，
①若时，求的大小；
②若，，则的长为 ．
圆+射影定理
图形 推导过程 结论
因为 ∽ ①; ②; ③
5.（长郡）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE＝EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．
（1）求证：AH＝HD；
（2）若＝，DF＝9，求⊙O的半径．
6.(长郡)如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC、BC交于点F、D，过点D作DE⊥AC于点E，且CE＝FE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连OE．若，AB＝10，求CE的长．
7.（长沙中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．
8．（立信）如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点．
（1）求的度数；
（2）若，求的值；
（3）若，，求的长．
9.（青竹湖）如图，在中，，是的中点，经过、、三点，的延长线交于点.
（1）求证：；
（2）与相切于点，交的延长线于点.
①若，求的直径
②若，求.
10.（广益）如图，已知PB与⊙O相切于点B，A是⊙O上的一点，满足PA=PB，连接PO，交AB于E，交⊙O于C，D两点，E在线段OD上，连接AD，OB。
（1）求证：直线PA是⊙O的切线；
（2）①求证：点D是△PAB的内心
②若PA=13，sin∠APE=，求DE的长；
（3）已知，求tanC.
11．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．
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