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专题12 圆与反A模型：切割线反A模型、常规子母型反A模型
（原卷版）
圆+切割线反A
图形 相似的证明 结论
因为 ∽ ①; ②
1．（一中）如图，是的直径，平分，点，在上，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
2.（广益）如图，是⊙的直径，为延长线上一点，过作⊙的切线，切点为，平分交⊙于，交于.
（1）求证：△∽△.
（2）已知⊙的半径为，，过作于。
①求； ②求的长.
3.（长郡）已知：如图，⊙的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连结．
（1）求证：是⊙的切线．
（2）求证：．
（3）若，，求直径的长．
4．（中雅）如图，为⊙的直径，点在的延长线上，点在⊙上，且．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）已知，，点是下半圆的中点，，垂足为，交于点，求的长．
5．（长郡）如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分，延长交直线于点，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径．
6．（青竹湖）如图，经过的顶点、，并与边相交于点，过点作，交于点，交于点，连接，点为弧的中点．
（1）求证：为的切线；
（2）若的半径为3，，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接，若，求的长．
7.（麓山国际）如图，在中，，是的角平分线．以为圆心，为半径作
（1）求证：是的切线．
（2）已知交于点，延长交于点，，求的值．
（3）在（2）的条件下，设的半径为3，求 的长.
圆+普通的子母型反A
图形 相似的证明 结论
因为 ∽
8．（长郡）如图，为的直径，、为圆上两点，连接、，且，延长与的延长线相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
9.（雅礼）如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知.
(1)求证：是的切线：
(2)若，.求劣弧与弦所围阴影图形的面积；
(3)若，，求的长.
10．（立信）如图，内接于，，的平分线与交于点，与交于点，延长，与的延长线交于点，连接，是的中点，连接．
（1）判断与的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
11.如图1，在中，为直径，点在圆上，，，是上一动点（与点、不重合），平分交边于点，，垂足为点．
（1）当点与圆心重合时，如图2所示，则 ；
（2）若，试探究与有何面积关系，并证明；
（3）当与相似时，求的值．
12.（北雅）如图，的直径垂直于弦于点，点是延长线上异于点的一个动点，连结交于点，连结交于点，连结，．
（1）求证：；
（2）若，，
①若，求的长；
②若，，求与之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，求的最大值．
专题12 圆与反A模型：切割线反A模型、常规子母型反A模型
（原卷版）
圆+切割线反A
图形 相似的证明 结论
因为 ∽ ①; ②
1．（一中）如图，是的直径，平分，点，在上，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
2.（广益）如图，是⊙的直径，为延长线上一点，过作⊙的切线，切点为，平分交⊙于，交于.
（1）求证：△∽△.
（2）已知⊙的半径为，，过作于。
①求； ②求的长.
3.（长郡）已知：如图，⊙的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连结．
（1）求证：是⊙的切线．
（2）求证：．
（3）若，，求直径的长．
4．（中雅）如图，为⊙的直径，点在的延长线上，点在⊙上，且．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）已知，，点是下半圆的中点，，垂足为，交于点，求的长．
5．（长郡）如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分，延长交直线于点，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径．
6．（青竹湖）如图，经过的顶点、，并与边相交于点，过点作，交于点，交于点，连接，点为弧的中点．
（1）求证：为的切线；
（2）若的半径为3，，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接，若，求的长．
7.（麓山国际）如图，在中，，是的角平分线．以为圆心，为半径作
（1）求证：是的切线．
（2）已知交于点，延长交于点，，求的值．
（3）在（2）的条件下，设的半径为3，求 的长.
圆+普通的子母型反A
图形 相似的证明 结论
因为 ∽
8．（长郡）如图，为的直径，、为圆上两点，连接、，且，延长与的延长线相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
9.（雅礼）如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知.
(1)求证：是的切线：
(2)若，.求劣弧与弦所围阴影图形的面积；
(3)若，，求的长.
10．（立信）如图，内接于，，的平分线与交于点，与交于点，延长，与的延长线交于点，连接，是的中点，连接．
（1）判断与的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
11.如图1，在中，为直径，点在圆上，，，是上一动点（与点、不重合），平分交边于点，，垂足为点．
（1）当点与圆心重合时，如图2所示，则 ；
（2）若，试探究与有何面积关系，并证明；
（3）当与相似时，求的值．
12.（北雅）如图，的直径垂直于弦于点，点是延长线上异于点的一个动点，连结交于点，连结交于点，连结，．
（1）求证：；
（2）若，，
①若，求的长；
②若，，求与之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，求的最大值．
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专题12 圆与反A模型：切割线反A模型、常规子母型反A模型
（解析版）
圆+切割线反A
图形 相似的证明 结论
因为 ∽ ①; ②
1．（一中）如图，是的直径，平分，点，在上，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：连接，，，平分，，，，，，，，是的半径，是的切线；
（2）解：连接，，是的直径，，，，，，，四边形是的内接四边形，，，，，，，，，，．
2.（广益）如图，是⊙的直径，为延长线上一点，过作⊙的切线，切点为，平分交⊙于，交于.
（1）求证：△∽△.
（2）已知⊙的半径为，，过作于。
①求； ②求的长.
【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠OCA+∠ACP＝90°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠CAO＝90°，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠B＝∠ACP，又∵∠CPA＝∠BPC，∴△PAC∽△PCB；
（2）①由（1）知△PAC∽△PCB，∴＝＝，∵PC＝2，AB＝5×2＝10，∴＝，
∴AP＝2（取正值），∴＝＝，∵∠ADC＝∠B，∴tan∠ADC＝tan∠B＝＝；
②如图，连接OD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD＝ACB＝45°，∴∠BOD＝∠DOA＝90°，
∵CH⊥AB，∴∠CHG＝90°＝∠DOA，∴OD∥CH，∴△DOG∽△CHG，在Rt△ABC中，设AC＝x，则BC＝x，∴x2+（x）2＝102，∴x＝（取正值），∴AC＝，BC＝，
∵S△ABC＝BC AC＝AB CH，∴×＝10CH，∴CH＝，∵tan∠B＝，
∴＝＝，∴BH＝，∴OH＝BH﹣BO＝﹣5＝，∵△DOG∽△CHG，
∴＝，即＝，∴GH＝2﹣．
3.（长郡）已知：如图，⊙的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连结．
（1）求证：是⊙的切线．
（2）求证：．
（3）若，，求直径的长．
【解答】（1）证明：连接OD，OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，∵AB⊥CD，AB是直径，
∴弧BD＝弧BC，∴∠DOP＝∠COP，在△DOP和△COP中，，
∴△DOP≌△COP（SAS），∴∠PDO＝∠PCO＝90°，∵D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠PDO＝90°，∴∠ADO＝∠PDB＝90°﹣∠BDO，
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠A＝∠PDB，∵∠BPD＝∠BPD，∴△PDB∽△PAD，
∴，∴PD2＝PA PB；
（3）解：∵DC⊥AB，∴∠ADB＝∠DMB＝90°，∴∠A+∠DBM＝90°，∠CDB+∠DBM＝90°，
∴∠A＝∠CDB，∵tan∠CDB＝，∴tanA＝＝，∵△PDB∽△PAD，∴＝＝＝
∵PD＝4，∴PB＝2，PA＝8，∴AB＝8﹣2＝6．
4．（中雅）如图，为⊙的直径，点在的延长线上，点在⊙上，且．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）已知，，点是下半圆的中点，，垂足为，交于点，求的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：∵PC2＝PB PA，即＝，∵∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，
∴∠PCB＝∠PAC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，如图2所示：∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB PA，
∴PA＝＝＝40，∴AB＝PA﹣PB＝30，∵△PBC∽△PCA，∴＝＝2，
设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，解得：x＝6，即BC＝6，
∵点D是的中点，AB为⊙O的直径，∴∠AOD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AEF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DFO＝∠ABC，∴△DOF∽△ACB，∴＝＝，∴OF＝OD＝，即AF＝，
∵EF∥BC，∴＝＝，
∴EF＝BC＝．
5．（长郡）如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分，延长交直线于点，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径．
【解答】（1）证明：如图，连接，平分，，，，
，，又，，是的半径，
是的切线；
（2）解：设半径为，即，，，
，，，，，，
在中，由勾股定理得，，即，解得，
即的半径为．
6．（青竹湖）如图，经过的顶点、，并与边相交于点，过点作，交于点，交于点，连接，点为弧的中点．
（1）求证：为的切线；
（2）若的半径为3，，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接，若，求的长．
【解答】（1）证明：连接并延长交于，连接，如图：为直径，，，，点为弧的中点，，，，，，，，又是的半径，为的切线；
（2）解：连接交于，为弧的中，，，
的半径为3，，，
，，，，
，，，，，；
（3）解：连接，
四边形内接于，，又，，
，，又，，，，
，，，，，，，，，，，，，，，，，
．
7.（麓山国际）如图，在中，，是的角平分线．以为圆心，为半径作
（1）求证：是的切线．
（2）已知交于点，延长交于点，，求的值．
（3）在（2）的条件下，设的半径为3，求 的长.
【解答】（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC＝OF，∴AB是⊙O的切线；
（2）如图，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO+∠OCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D＝，∴＝，
∴＝；
（3）由（2）可知：＝，∴设AE＝x，AC＝2x，∵△ACE∽△ADC，∴，
∴AC2＝AE AD，∴（2x）2＝x（x+6），解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），
∴AE＝2，AC＝4，由（1）可知：AC＝AF＝4，∠OFB＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△OFB∽△ACB，
∴＝，设BF＝a，∴BC＝，∴BO＝BC﹣OC＝﹣3，在Rt△BOF中，BO2＝OF2+BF2，
∴（﹣3）2＝32+a2，∴解得：a＝或a＝0（不合题意，舍去），∴AB＝AF+BF＝．
圆+普通的子母型反A
图形 相似的证明 结论
因为 ∽
8．（长郡）如图，为的直径，、为圆上两点，连接、，且，延长与的延长线相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【解答】（1）证明：，，，，，，，，
又，；
（2）如图，过点作于，，设，，
，，，，，
．
9.（雅礼）如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知.
(1)求证：是的切线：
(2)若，.求劣弧与弦所围阴影图形的面积；
(3)若，，求的长.
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OB＝OD，∴∠3＝∠B，∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3，
在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，
∴OD⊥AD，则AD为⊙O的切线；
（2）解：连接OD，作OF⊥BD于F，如图2所示：∵OB＝OD，∠B＝30°，∴∠ODB＝∠B＝30°，
∴∠DOB＝120°，∵∠C＝90°，∠CAD＝∠B＝30°，
∴CD＝AC＝1，BC＝AC＝3，∴BD＝BC﹣CD＝2，∵OF⊥BD，
∴DF＝BF＝BD＝1，OF＝BF＝，∴OB＝2OF＝，
∴劣弧BD与弦BD所围图形的面积＝扇形ODB的面积﹣△ODB的面积＝﹣×2×＝﹣；
（3）解：∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∴＝＝，
∴AC2＝CD×BC＝CD（CD+BD），即42＝CD（CD+6），解得：CD＝2，或CD＝﹣8（舍去），
∴CD＝2，∴AD＝＝2，∵＝，∴＝，∴AB＝4，∵AD是⊙O的切线，
∴AD2＝AE×AB，∴AE＝＝＝．
10．（立信）如图，内接于，，的平分线与交于点，与交于点，延长，与的延长线交于点，连接，是的中点，连接．
（1）判断与的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【解答】（1）解：，理由如下：如图，连接，，，是的中点，
由等腰三角形的性质得；
（2）证明：是直径，，，在与中，
，，，，；
（3）解：如图，过点作的垂线，垂足为，则为的中点，，
又，，，，，
，即，，，又，
，由（2）知，．
11.如图1，在中，为直径，点在圆上，，，是上一动点（与点、不重合），平分交边于点，，垂足为点．
（1）当点与圆心重合时，如图2所示，则 ；
（2）若，试探究与有何面积关系，并证明；
（3）当与相似时，求的值．
【解答】解：（1）为的直径，，，，设，，，，，，，平分，，，，，，，，
，，．故答案为：；
（2）．证明：，，又，，
，平分，，，，
过点作于，
，平分，，，，，
，，，，．
（3），，与相似，或，
①当时，则，，，，，平分，，
；
②当时，则，，平分，，，
，，，，，．
综上所述，的值为或．
12.（北雅）如图，的直径垂直于弦于点，点是延长线上异于点的一个动点，连结交于点，连结交于点，连结，．
（1）求证：；
（2）若，，
①若，求的长；
②若，，求与之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，求的最大值．
【解答】（1）证明：连接，如图，
为的直径，，，，，
，，；
（2）解：①如图，连接，
，，，，，，
，，，，，
，，，，
，，；
②四边形为圆的内接四边形，，，，
，，与是等高的三角形，
，，，
与之间的函数关系式为；
（3）解：在中，，由（1）得：，
，，，，
四边形内接于，，，，，
，，，
，的最大值为：．
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