【备考2023】广西贵港市中考数学模拟试卷3（含解析）

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【备考2023】广西贵港市中考数学模拟试卷3
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）每小题都给出标号为A.B.C.D.的四个选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑．
1．生物学家发现了一种病毒，其长度约为，将数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列结论正确的有（ ）
①任何数都不等于它的相反数；②符号相反的数互为相反数；③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等；④若有理数a,b互为相反数，则它们一定异号.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若五箱苹果的质量（单位：）分别为18，21，18，19，20，则这五箱苹果质量的中位数和众数分别是（　　）
A．18和18 B．19和18 C．20和18 D．20和19
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．一元二次方程的根的情况是(　　)
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
7．如果a＜b．那么下列结论正确的是（ ）
A． a-3＞b-3 B．-5a＜-5b C． D．
8．在实数，0，，，，中，其中无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．正八边形的外角和为
B．圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．三角形的内心到该三角形三个顶点的距离相等
10．如图，△ABC中，、分别是、的中点，给出下列结论：
①；②；③；④∽．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．如图，在给定的正方形中，点从点出发，沿边方向向终点运动， 交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．计算:2-(-4)=__________________．
14．分解因式：＝______．
15．如图，，平分交于点. 若，则_____.
16．2023年3月5日是第60个学雷锋纪念日，零陵区某校九年级社会实践活动小组于当天分别到“敬老院、零陵古城、烈士陵园、麻元社区”中的两个地点开展志愿者服务，则该社会实践活动小组恰好选择去“敬老院、烈士陵园”两地开展志愿者服务的概率为__________．
17．已知函数，当时，函数的最小值是，则实数a的取值范围是 _____．
18．从一块直径是a的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为______．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分．）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．先化简，再求值．
（1）[（2x+y）2+（y+2x）（y﹣2x）﹣2y（4x﹣y）]÷4y，其中x＝，y=；
（2）（），其中a＝1．
20．如图所示，在方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三个顶点的坐标分别是，，，先将向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到．
(1)在图中画出，并写出点的坐标；
(2)求的面积．
(3)在图中连接与，这两条线段之间有什么样关系？（直接回答，不需要说理由）
21．如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接
(1)求的面积
(2)若点是边上一点，且∽，求点坐标．
22．某校图书管理员对一周内学生从图书馆借出各类图书的数量进行了统计，结果如图所示，请你根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图和扇形统计图；
(2)求出学生最喜欢借阅漫画类图书所在扇形的圆心角的度数；
(3)该校计划购买新书共600本，若按扇形统计图中的百分比来确定每类图书的购买量，问应购买科普类图书多少本？
23．端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？
24．在中，，，于点．
(1)如图所示，点，分别在线段，上，且，当，时，求线段的长；
(2)如图所示，点，分别在，上，且，求证：是等腰直角三角形；
(3)如图所示，点在的延长线上，点在上，且，求证：．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若是抛物线上不同的两点，且，求m的值；
(3)当时，y有最小值，请直接写出n的值．
26．如图, 是一张矩形纸片, ,.在矩形的边上取一点,在上取一点,将纸片沿折叠,使与相交于点,得到,如图1或图2.
(1)写出的面积与的关系式为: ；
(2)结合图1与图2分析,当 °时，的面积等于1；
(3)如何折叠能够使的面积最大 请你利用备用图探究可能出现的情况,求出这个最大值.
参考答案：
1．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．【分析】要使二次根式有意义，则必须满足二次根式的被开方数为非负数，要使分式有意义，则必须满足分式分母不为零．
解：根据题意可得：2x－1＞0，解得：，
故选D．
【点评】本题主要考查的是二次根式的定义以及分式的性质，属于基础题型．解决这个问题的关键就是要明白二次根式的非负性以及分式的分母不为零．
3．【分析】根据题意考查0的相反数，以及互为相反数的性质，两数互为相反数，它们的和为0，符号相反的不一定是互为相反数．
解：①中0的相反数还是0，故错误，
②如2和-6符号相反，但它们不是互为相反数，故错误，
③互为相反数的两个数m，n，，到原点的距离相等，正确，
④0的相反数还是0，故错误，
只有③正确，
故选A．
【点评】本题考查了互为相反数的性质，以及0的相反数还是0，难度适中．
4．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
解：把这组数据从小到大排列为：18、18、19、20、21，数据18出现了两次最多，所以18为众数；19处在第3位是中位数.所以本题这组数据的中位数是19，众数是18.
故选B.
【点评】本题考查众数，中位数，在做题时需注意①众数是出现次数最多的数，这样的数可能有几个；②在找中位数时需先给数列进行排序，如果数列的个数是奇数个，那么中位数为中间那个数，如果数列的个数是偶数个，那么中位数为中间两个数的平均数.
5．【分析】根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂乘除法等计算法则求解判断即可．
解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选C．
【点评】本题主要考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂乘除法，熟知相关计算法则是解题的关键．
6．【分析】把a=1，b=-4，c=4代入判别式△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
解：一元二次方程，
，
方程有两个相等的实数根．
故选A．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根．
7．【分析】根据不等式的性质：性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；进行求解即可．
解：A、由a＜b，可以得到a-3＜b-3，不符合题意；
B、由a＜b，可以得到-5a＞-5b，不符合题意；
C、由a＜b，可以得到，不符合题意；
D、由a＜b，可以得到，则，符合题意；
故选D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质．
8．【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
解：无理数的定义是无限不循环的小数，一共三种：无限不循环小数；开不尽方的数；含的数；
，0，不是无理数，
故无理数为：，，共3个．
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根和无理数的定义，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键，注意：无理数包括三方面的数：①含π的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数，如0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等．
9．【分析】利用多边形、正方形的判定、三角形的外接圆与内切圆及三角形的内心的定义分别判断后即可得出答案．
解：A．正八边形的外角和为，是真命题；
B．同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，是假命题；
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，是假命题；
D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等，是假命题；
故答案为：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形、正方形的判定、三角形的外接圆与内切圆及三角形的内心的定义等知识，难度不大．
10．【分析】若D、E是AB、AC的中点，则DE是△ABC的中位线，可根据三角形中位线定理得出的等量条件进行判断．
解：、分别是、的中点，所以，DE是△ABC的中位线，故有
；；∽；
故答案为：D
【点评】此题对中位线的考查比较全面，但是比较简单，中位线定理的考查在中考当中，常与三角形的相似结合一起考查，难度也不会很大．
11．【分析】作点关于直线的对称点，连接，证明，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长．
解：如图，作点关于直线的对称点，连接，
在和中，
，
，
，
欲求的最小值，只要求出的最小值，
当时，的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长．
在中，，，，
，
的最小值是7，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点、的位置是解题的关键．
12．【分析】根据题意，作交的延长线于，证明是的角平分线即可解决问题．
解：作交的延长线于，
∵四边形 是正方形，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵， ，
∴，
∵，．
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∴点的运动轨迹是的角平分线，
∵，
由图可知，点P从点D开始运动，所以一直减小，
故选：A ．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
13．【分析】根据有理数的减法法则即可得．
解：原式，
故答案为：6．
【点评】本题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解题关键．
14．【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式继续进行因式分解．
解：
＝
＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
15．【分析】先根据角平分线的性质得出，再由得出，从而求出的度数．
解：∵平分交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为65．
【点评】本题主要考查了角平分线、平行线的性质，根据已知得出，是解决问题的关键．
16．【分析】画树状图，根据概率的计算公式解答即可．
解：将敬老院、零陵古城、烈士陵园、麻元社区分别用A、B、C、D表示，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中该社会实践活动小组恰好选择去“敬老院、烈士陵园”两地开展志愿者服务的有2种，
∴该社会实践活动小组恰好选择去“敬老院、烈士陵园”两地开展志愿者服务的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查了用树状图法求事件的概率，正确画出树状图，熟记概率的计算公式是解题的关键．
17．【分析】先求出当时，二次函数有最小值，由此求解即可．
解：∵二次函数解析式为，，
∴当时，二次函数有最小值，
∵函数，当时，函数的最小值是，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出当时，二次函数有最小值是解题的关键．
18．【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到，设圆锥的底面圆的半径为r a，利用弧长公式得到，然后解方程即可．
解：∵，，
∴，
设圆锥的底面圆的半径为r a
根据题意得，
解得，
即圆锥的底面圆的直径为a．
故答案为：a．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
19．【分析】（1）先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式法则依次化简小括号，合并同类项，再计算除法，最后将x、y的值代入计算即可；
（2）先计算异分母分式减法，将除法化为乘法，再计算乘法，最后将a=1代入求值．
解：（1）原式=
=
=y-x，
当x＝，y=时，原式=-=-；
（2）原式=
=
=，
当a=1时，原式=1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，掌握整式的四则混合运算法则和运算顺序，分式的混合运算是解题的关键．
20．【分析】（1）根据平移先求，，，然后在平面直角坐标系中描点，，，顺次连接，，即可；
（2）利用割补法S△ABC=长方形面积-3个三角形面积，代入数据计算即可；
（3）根据平移的方向与距离说明即可．
解：(1)∵三个顶点的坐标分别是，，，先将向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，对应点的坐标为，，，
在平面直角坐标系中描点，，，
顺次连接，，，
则为随求，点；
(2)S△ABC=（4+2）×（2+1）；
(3)与平行且相等.
∵平移得到．
∴平移的方向为AA1或CC1，
∴AA1∥CC1，
∵平移的距离为线段AA1或CC1或BB1，
∴AA1=CC1，
∴AA1∥CC1且AA1=CC1．
【点评】本题考查平移画图，割补法求三角形面积，平移的特征，掌握平移画图方法，割补法求三角形面积方法，平移的特征是解题关键．
21．【分析】（1）先利用D点为BC的中点得到D（1，3），再利用待定系数法确定反比例函数解析式为y＝，接着利用E点的横坐标为2得到E（2，），然后根据三角形面积公式求解；
（2）根据相似三角形的性质，利用相似比可求出CF，然后计算出OF的长，从而得到点F坐标．
解：（1）点为的中点，，
，
把代入得，
反比例函数解析式为，
， 点的横坐标为，
当时，，即，
的面积；
（2）∽，
，即，解得，
，
点坐标为．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了反比例函数图象上的点的坐标特征．
22．【分析】（1）根据借出的文学类的本数除以所占的百分比求出借出的总本数，然后求出其它类的本数，再用总本数减去另外三类的本数即可求出漫画书的本数；根据百分比的求解方法列式计算即可求出科普类与漫画类所占的百分比；
（2）根据扇形统计图可以一目了然进行的判断，再用乘以对应百分比即可；
（3）用总本数600乘以各部分所占的百分比，进行计算即可得解．
解：（1）借出图书的总本数为：（本，
其它类：（本，
漫画类：（本，
科普类所占百分比：，
漫画类所占百分比：，
补全图形如图所示：
（2）该校学生最喜欢借阅漫画类图书，其圆心角度数为；
（3）科普类：（本，
答：应购买科普类图书210本．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．【分析】设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是元/个，根据数量＝总价÷单价结合两次一共购买了27个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
解：设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是元/个，
依题意，得：，
解得：，
经检验,是原方程的解，且符合题意．
答：这种粽子的标价是8元/个．
【点评】考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．【分析】由等腰直角三角形的性质得到，再求出，则，然后由勾股定理计算即可；
证≌，得，，再证，即可得出结论；
先证≌，得，再由等腰直角三角形的性质得出，即可得出结论．
解：（1），，，
，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
即，
解得：，
∴；
（2）如图4，连接EF，
由得：，，
∵，
∴≌，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴，
即，
∵，
∴是等腰直角三角形；
（3）过点作，交的延长线于点，如图5所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴≌，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
25．【分析】（1）待定系数法求出解析式即可；
（2）将代入解析式，利用，列式计算即可；
（3）根据二次函数的性质，分，和两种情况进行求解即可．
解：（1）∵抛物线的图象经过点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式；
（2）∵是抛物线上不同的两点，
∴．
∵，
∴，
解得：或，
∵是抛物线上不同的两点，
∴．
（3）∵，
∴当时，y有最小值为．
①当时， y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴．
②当时，则：时，y有最小值为，
∴，
∴．
综上，n的值为或．
【点评】本题考查二次函数的性质．待定系数法正确的求出函数解析式，根据抛物线上的点的特点，以及二次函数的性质，进行求解，是解题的关键．
26．【分析】(1)根据折叠的性质以及矩形的性质可得NK=MK，根据△MNK的面积S=NK AD=NK，继而可得S=MK；
(2)如图1，图2，过点M作MP⊥DN，垂足为P，则有四边形ADPM为矩形，由此可得MK=2，取MK的中点为Q，连接PQ，则有PQ=KQ=MQ=MK=1，判断出△PMQ为等边三角形，继而可求得∠PKM=30°，然后针对图1与图2分别求解即可；
(3)分两种情况讨论．情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．利用方程思想求解，即可求得答案．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴在图1、图2中，DN//AM，
∴∠DNM=∠1，
又∵折叠，∴∠1=∠KMN，
∴∠KMN=∠DNM，
∴NK=MK，
∵△MNK的面积S=NK AD=NK，
∴S=MK，
故答案为MK；
(2)如图1，图2，过点M作MP⊥DN，垂足为P，则有四边形ADPM为矩形，
∴PM=AD=1，
∵△MNK的面积S=1，即MK=1，
∴MK=2，
取MK的中点为Q，连接PQ，则有PQ=KQ=MQ=MK=1，
∴△PMQ为等边三角形，∴∠PMK=60°，∴∠PKM=90°-60°=30°，
图1中，∵DN//AM，∴∠AMK=∠PKM=30°，∴∠KMN+∠1=180°-30°=150°，
又∵∠KMN=∠1，∴∠1=75°；
图2中，∵DN//AM，∴∠KMN+∠1=∠PKM=30°，
又∵∠KMN=∠1，∴∠1=15°，
综上，∠1=75°或∠1=15°，
故答案为75°或15°；
(3)分两种情况：
情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．
设MK=MB=x，则AM=5-x．
由勾股定理得：12+ (5-x)2=x2，
解得，x=2.6，
即MD= ND= 2.6，
∴S△MNK= S△ACK =×1×2.6 =1.3；
情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．
设MK=AX= CK=x，则DK=5-x，
同理可得MK=NK=2.6，
∴S△MNK= S△ACK=×1×2.6 =1.3，
∴△MNK的面积最大值为1.3，
综上△MNK的面积最大值为1.3.
【点评】本题考查了折叠问题，涉及了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质以及三角形的面积问题．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
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