2022-2023 学年度第二学期宣化区高二年级期中数学参考答案
一、单选题
1.C 2.D 3.B 4.D 5.D 6.B 7.C 8.A
解：由 P(A) 0.5，得 ，由 P(B) P(A)P(B | A) P(A)P(B | A) ，
即0.4 0.5 0.3 0.5P(B | A) ，所以 P(B | A) 0.5.故选：C.
二、多选题
9.ABC 10.BD 11.ACD 12.AD
1 1 2 1
解：对于 A，即三个小组都攻克了该技术难题，其概率为 ，故 A正确；
2 2 3 6
对于 B，即只有甲小组攻克该技术难题，其概率为 ，故 B 错误；
对于 C，记受到奖励的小组数为 X，则 X的所有可能取值为 0，1，2，3，且
，
P(X 1) 1 (1 1)(1 2 1 ) (1 ) 1 2 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) ，
2 2 3 2 2 3 2 2 3 3
， ，
故 X 的数学期望 ，故 C 错误；
对于 D，设事件 A 为“该技术难题被攻克”，事件 B为“只有丙小组受到奖励”，由题意得
，P(AB) (1
1
)(1 1 2 1 ) ，所以
2 2 3 6
1
P(B | A) P(AB) 6 2
P(A) 11 11，故 D 正确．故选： AD.
12
三、填空题
15 1
13. 14.[ 1,1] 15.150 16.
56 e
解： y cekx ， 两边取对数，可得 ln y ln(cekx) ln c ln ekx ln c kx ，
令 z ln y，可得 z ln c kx， z 0.5x 2，
1 1
ln c 2， c e2， k 0.5 k，则 c 故答案为 .
e e
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四、解答题
2 7
17.解： (1)由第 3 项和第 8 项的二项式系数相等可得 Cn Cn ，解得 n 9.
(2) r由 (1)知，展开式的第 r 1项为：Tr 1 C9 (ax)
9 r ( 1 )r
x
9 r r 9
3r
3
a C x 2 ；令9 r 0得 r 6，此时：9 2
9 6 6
展开式的常数项为： a C9 84，则 a3 1，即 a 1.
18.解： (1) f (x) x ln x的定义域为 (0, )，
f (x) 1 ln x ， f (1) 1，又 f (1) 0，
曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程为： y x 1；
(2) f (x) 1 ln x，令 f (x) 0，得 x 1 ，
e
x 1 时， f (x) 0；0 x 1 时， f (x) 0，
e e
1 1
故 f (x)的单调递增区间是 ( , )，单调递减区间是 (0, )；
e e
(3)方程 f (x) ax 1 0 1在[ ,e] 1上有两个相异实根，即方程 x ln x ax 1 0在[ ,e]上有两个相
e e
异实根，即 a ln x 1 [1 在 ,e]上有两个相异实根，
x e
令 g(x) 1 ln x ，则 g (x) 1 1 x 1 1 2 2 ，当 x [ ,1)时，g (x) 0，当 x [1,e]时，g (x) 0，x x x x e
g(x)在[1 ,1)单调递减，在[1,e]上单调递增，
e
又 g(1) 1， g(1) e 1， g(e) 1 1 1 ， g( ) g(e) e 1 2 0 ，
e e e e
要使 a ln x 1 1 在[ ,e] 1上有两个相异实根，须
x e 1 a 1 e
1实数 a 的取值范围为 (1,1 ].
e
19.解： (1)提出假设H 0：是否患病与喝酒无关，
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由题意可求：
2 250 (1100 3600)
2
10.4175 7.879
150 50 100 200
所以有99.5%的把握认为患病与喝酒有关；
(2) 110由题意知：所抽取的 15人中，未患病的有15 11人，患病的有15 40 4人，
150 150
C3 58
记“至少有一人患病”为事件 A，则 P(A) 1 113 .
58
答：至少有一人患病的概率为 .
C15 91 91
20.解： (1) x 5时， y 11，
y a 10(x 6)2 a由函数式 ，得 10 11，解得a 2；
x 3 2
(2) 2 2由 (1)知该商品每日的销售量 y 10(x 6) ，
x 3
设商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x)，
则 ，3 x 6，
，
令 f (x) 0，解得 x 4，
当3 x 4时， f (x) 0，函数 f (x)在 上单调递增;
当 4 x 6时， f (x) 0，函数 f (x)在 上单调递减;
当 x 4时，函数 f (x)取得最大值 f (4) 42，
所以当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获的利润最大，为 42 元.
21.解：(1)根据二项分布，得甲在初赛恰好正确背诵 8 首的概率为 C8 (1 10 4510 ) 2 1024
所以甲在初赛恰好正确背诵 8 首的概率为 45
1024
(2)甲的积分 X 的可能的取值为 8 分，5分，2 分， 1分， 4分，
P(X 8) C 4 ( 2)4 16 P(X 5) C 3( 2)3 3 96 P(X 2) C 2( 2)2(3)2 216则 4 ， 4 ， ，5 625 5 5 625 4 5 5 625
P(X 1) C1 2 (3)3 216 3 81 44 ， P(X 4) C4 ( )
4 ，
5 5 625 5 625
所以 X 的概率分布列为：
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8 5 2 1 4
X
16 96 216 216 81
P 625 625 625 625 625
22.解： (1)因为 ，所以定义域为 (0, ) ，且 ，所以 ，
又 ，所以函数 f (x)的图象在 x 1处的切线方程 y 2x 1；
(2) 1因为 ，令 f (x) 0，得 x ；
e2
0 x 1令 f (x) 0，得 ；所以 f (x)2 的递增区间为 ， f (x)的递减区间为e
1
所以当 x 2 时，函数取极小值，极小值为 ，无极大值；e
(3)由 (1)知， ，所以 对任意 x 1恒成立，
k x x ln x即 对任意 x 1恒成立．令 ，则 ，
x 1
令 ，则 ，所以函数 h(x)在 上单调递增．
因为 ， ，所以方程 在 上存在唯一实根
，
当1 x x0 时， ，即 ，当 x x0时， ，即 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以
所以 故整数 k 的最大值是3.
第 4页，共 4页2022-2023 学年度第二学期宣化区高二年级期中
数学试卷
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数 f (x) x3 2x2 ，则曲线 y f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为( )
A. 2x y 4 0 B. 2x y 4 0 C. 4x y 8 0 D. 4x y 8 0
2. 由变量 x 与 y 相对应的一组数据 、 、 、 、 得到的线性回
归方程为 y 1.2x 12 ，则 y1 y2 y3 y4 y5 等于( )
A. 88 B. 90 C. 92 D. 96
3. 已知函数 f (x) x3 2mx2 m2x 在 x 1处取得极大值，则 m 的值为( )
A. 1 B. 3 C. 1 或 3 D. 2 或 2
(2 x)10 a a x a x2 a x104. 0 1 2 … 10 .则a1 a2 a3 … a10 ( )
A. 1 B. 1 C. 1023 D. 1023
5. 若函数 f (x) ln x ax2 2在区间 内存在单调递增区间，则实数 a 取值范围是( )
A. B. C. D. ( 2, )
6. 甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行劳动技术比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次，已知甲
和乙都没有得到冠军，并且乙不是第 5 名，则这 5 个人的名次排列情况共有( )
A. 72 种 B. 54 种 C. 36 种 D. 27 种
7. 已知 f (x)是函数 f (x) 的导数．若 y f (x)的图象如图所示，
则 y f (x) 的图象最有可能是( )
A. B. C. D.
8.猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三名同学同时猜一个灯谜，每人猜对的
1
概率均为 ，并且每人是否猜对相互独立．在三人中至少有两人猜对的条件下，甲猜对的概率
3
为.( )
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5 5 5 4
A. B. C. D.
7 6 27 7
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列运算不正确的是( )
1
A. (3x) 3x lnx B. C. D. (log2 x) = x ln 2
10. A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有( )
A. 若 A、B 两人站在一起有 24 种方法 B. 若 A、B 不相邻共有 72 种方法
C. 若 A在 B左边有 48 种排法 D. 若 A不站在最左边，B不站最右边，有 78 种方法
1 5
11. 二项式 (2x ) 的展开式中的有理项为( )
x
10
A. B. 80x C. 80x 2 D. 32x 5
x
12. 以人工智能、量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，
对人类生产力的创新提升意义重大．某公司抓住机遇，成立了甲、乙、丙三个科研小组针对某
技术难题同时进行科研攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组
1 1 2
攻克该技术难题的概率分别为 ， ， ，且三个小组各自独立进行科研攻关，则下列说法正
2 2 3
确的是( )
1 1
A. 甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为 B. 只有甲小组受到奖励的概率为
6 2
3
C. 受到奖励的小组数的期望值等于
2
2
D. 该技术难题被攻克的条件下，只有丙小组受到奖励的概率为
11
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 某科技小组有 5名男生、3 名女生，从中任选 3名同学参加活动，若 X表示选出女生的人
数，则 ______
f (x) 1 x3 ax214. 若函数 x 5 无极值点，则实数 a 的取值范围是__________.
3
15. 有 3 名党员干部到 5个贫困户家里扶贫，每名党员干部至少帮扶一个贫困户，且每个贫困
户家里有且仅有一名党员干部帮扶，则共有__________种不同的安排方案． ( 用数字作答 )
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16. 用模型 y cekx拟合变量 y 与 x 的关系时，为了求出回归方程，设 z ln y，得到线性回归
方程 z 0.5x 2 ，则 ck __________.
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. ( 本小题 10 分 ) 已知二项式 (ax
1
)n 的第三项和第八项的二项式系数相等．
x
(1) 求 n 的值． (2) 若展开式的常数项为 84，求 a.
18. ( 本小题12.0分 ) 已知函数 f (x) x ln x.
(1) 求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程； (2) 求 f (x) 的单调区间；
(3) 1若方程 f (x) ax 1 0 在[ ,e]上有两个相异实根，求实数 a的取值范围．
e
19. ( 本小题12.0分 ) 某医疗机构为了解某疾病与喝酒是否有关，进行了一次抽样调查，数据
如下表：
未患病 患病 合计
喝酒 110 40 150
不喝酒 90 10 100
合计 200 50 250
(1) 根据数据，能否有99.5%把握认为，患病与喝酒有关
(2) 从喝酒的 150 人中按分层抽样的方法抽取 15 人，再从这 15 人中抽取 3 人，求至少有 1 人患
病的概率.
n(ad bc)22
参考公式： (其中 n a b c d )
(a b)(c d )(a c)(b d )
P( 2 x0 ) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8280
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20. ( 本小题12.0分 ) 某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量 y( 单位：千克 ) 与
x( a 2销售价格 单位：元/千克 ) 满足关系式 y 10(x 6) ，其中3 x 6 ，a 为常数.已
x 3
知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克.
(1) 求实数 a 的值；
(2) 若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x的值，使商场每日销售该商品所获得的利
润最大，并求出最大值.
21. ( 本小题12.0分 ) 某校高二年级模仿《中国诗词大会》节目举办学校诗词大会，进入正赛
的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机抽取 10 首不同的古诗，参赛者能够正确背诵 6 首及
1
以上的参赛者进入正赛，若学生甲参赛，他背诵每一首古诗的正确的概率均为 ；
2
(1) 求甲在初赛中恰好正确背诵 8 首的概率；
(2) 若进入正赛，则用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取 4首不同的古
2
诗，每首古诗背诵正确加 2分，错误减 1 分，由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为 ，
5
求甲在正赛中积分 X 的概率分布列．
22. ( 本小题12.0分 ) 已知函数 f (x) x(1 ln x)
(1) 求函数 f (x) 的图象在 x 1处的切线方程；
(2) 求函数 f (x)的极值；
(3)若 ，且 k(x 1) f (x) 对任意 x 1恒成立，求 k 的最大值．
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