贵州省遵义市南白高中2022-2023学年高一下学期5月第一次联考数学试题（含答案）

南白高中2022-2023学年高一下学期5月第一次联考
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分；在每个小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1.设集合，，则
A. B. C. D.
2.
A. B. C. D.
3.已知，，，则
A. B. C. D.
4.如图，已知，，，用，表示，则等于
A. B.
C. D.
5.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则
A. B. C. D.
6.若，，三点共线，则
A.0或-5 B.-5 C.5 D.0或5
7.关于向量，，下列命题中，正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，，则 D.若，则
8.数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为，则其面积是
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分；在每个小题所给的四个选项中，有多个选项符合题目要求；全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.下列两个向量，能作为平面中一组基底的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.若点在第一象限，则在内的可能取值有
A. B. C. D.
11.已知角A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的是
A. B.
C. D.
12.如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，，则下列结论正确的是
A.当M为线段AD上的中点时，
B. 的最大值为
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分；请将每小题的正确答案填写在答题卡相应的横线上，不在答题卡规定位置或在试卷及草稿纸上作答的答案无效）
13.与角2023°终边相同的最小正角是________.
14.甲、乙两人参加知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，且两人是否获得一等奖相互独立，则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是__________.
15.若，则__________.
16.已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P，已知平面内点，点，把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P，则点P的坐标_________.
四、解答题（本题共6小题，其中17小题10分，18-22题每题12分，共70分；作答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤；作答时请在答题卡相应的位置区域作答，不在对应位置区域内的作答无效）
17.（10分）
已知向量，，.
（1）求；
（2）若，求实数的值.
18.（12分）
已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点.
（1）求的值；
（2）求的值.
19.（12分）
已知，cos 是方程的两个实数根，其中.
（1）求的值；
（2）求的值.
20.（12分）
某中学为研究本校高一学生市联考的数学成绩，随机抽取了100位同学的数学成绩作为样本，按分组，，，，，，整理后得到如下频率分布直
方图.
（1）求图中的值；
（2）请用样本数据估计本次联考该校数学平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
（3）用分层随机抽样的方法，从样本内数学成绩在，的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人数学成绩在的概率.
21.（12分）
如图所示，在平行四边形中，，，，.
（1）试用向量，来表示，；
（2）AM交DN于O点，若，求的值.
22.（12分）
在平行四边形OABC中，过点C的直线与线段OA、OB分别相交于点M、N，若，.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）设函数为上的偶函数，当时，，又函数的图象关于直线对称.当方程在上有两个不同的实数解时，求实数的取值范围.
南白高中2022-2023学年高一下学期5月第一次联考
数学参考答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B D A D B C AD BC AB ABC
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 223°
四、解答题（本题共6小题，其中17小题10分，18-22题每题12分，共70分）
17.解：（1）解：因为，，.
所以，.
（2）由已知可得，
，
因为，则，
解得.
18.解：（1）由题意知终边上一点
则.
（2）方法一：由（1）知，
所以
方法二：终边过点，，则，，
所以.
19.解：（1）由题意，
又∵，即，
解得.
（2）由（1）知，
所以
因为，
所以
20.解：（1）由频率分布直方可知，，
解得；
（2）由图可知，成绩在，，，，，，的频率分别为0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，
设样本数据中平均成绩为，
则
故估计本次联考该校数学平均成绩为107.4分；
（3）由题知，样本内成绩在，的学生分别有8名和2名，
按分层随机抽样抽取的5名学生中，
分数在的学生有4名，记为A，B，C，D，
在的学生有1名，记为，
从这5名学生中随机选出2人，所有的情况有10种：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，
其中恰有一人语文成绩在的有4种：Ae，Be，Ce，De，
则这5名学生中随机选出2人，恰有一人语文成绩在的概率为.
21.解：（1）因为，，
所以.
因为，，
所以.
（2）因为D，O，N三点共线，
所以存在实数k，使得，
所以①，
因为A，O，M三点共线，
所以存在实数m，使得②.
由①②得：，解得.
所以，，
即.
22.解：（1）利用平行四边形性质得到，
因为，
故
∴，
（3）∵的图象关于直线对称，函数为上的偶函数
即，∴，
故，
由对称性可知，的图像关于直线对称
过定点
当时，如图所示：
结合图象可知解得
故实数的取值范围为.