广东省茂名市信宜市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

信宜市2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
本试卷共6页，22小题，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑；如需改动，擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若函数在处可导，则的值（ ）
A. 与，都有关 B. 仅与有关，而与无关
C. 仅与有关，而与无关 D. 与，均无关
2. 5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（ ）
A. 取到产品的件数 B. 取到正品的概率 C. 取到次品的件数 D. 取到次品的概率
3. 设离散型随机变量X的分布列为（ ）
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量，则等于（ ）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
4. 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
6. 甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 某学校有A，B两家餐厅，小王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.则小王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（ ）
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.8 D. 0.7
8. 设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A. 从中任选1个球，有15种不同的选法
B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
10. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则A，B相互独立
C. 若A，B不相互独立，则 D. 若，则
11. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题正确的是（ ）
A. －3是函数的极值点 B. －1是函数的最小值点
C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零
12. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 是正整数
C. 是的小数部分
D. 设，，，则
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中的系数是______.
14. 已知随机变量X取可能的值1，2，3，…，n是等可能的，且，则______.
15. 已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，某同学能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.该同学从这8题中任选1题，则他做对的概率为______.
16. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数t的取值范围是______.
四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
（1）用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
（2）设，求的值.
18.（12分）
老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6篇，求：
（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
（2）他能及格的概率.
19.（12分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
20.（12分）
蒙包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于游牧生活.其结构如图所示，上面部分是侧棱长为3的正六棱锥，下面部分是高为1的正六棱柱，P，Q分别为正六棱柱上底面与下底面的中心.
（1）若OP长为x，把蒙古包的体积V表示为x的函数；
（2）求蒙古包体积的最大值.
21.（12分）
甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得－1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：
（1）在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；
（2）在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列；
（3）Y的均值和方差.
22.（12分）
已知函数（e为自然对数的底数）.
（1）求的最大值；
（2）设a为整数.若在定义域上恒成立，求a的最大值；
（3）证明：.
信宜市2022-2023学年高二下学期期中考试
数学参考答案及评分说明
一、单项选择题
1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.A 7.D 8.C
二、多项选择题
9. ABD 10. BD 11. AC 12.ACD
三、填空题
13. 15 14.19 15. 16.
四、解答题
17.解：（1）解法1： 由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成:第 1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取出1个， 有种取法;第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的 9个数字中取出2个，有种取法.根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为
………………………………………………………………5分（无文字表述扣1分）
（建议：列对式子，没有计算对排列数，扣2分，即只写对给2分）
解法2：从0~9这10个数字中选取3 个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为
=648. ……………………………………………………………………….5分（无文字表述扣1分）
（建议：列对式子，没有计算对排列数，扣2分，即只写对给2分）
(2)令，……………………………………………………………………………7分
……………………………………………………….10分
（建议：先写对结果（保留指数形式），但又展开计算最终结果16715701418256不对，扣1分）
18. 解：(1)设抽到该同学能背诵的篇数为X，则X的可能取值为0、1、2、3. ………………………1分
…………….9分 （每算对一个概率给2分）
故X分布列如下表：
X 0 1 2 3
P
…………………………………………..10分
(2)该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3) …………………………………………………………………………..11分
＝＋＝……………………………………………………………………………………12分
19.解：由函数的解析式可得：， ……...…….1分
令，得， ……………………..…….……………………………….2分
与的变化情况如下：
x 2
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
……………………………………………………………5分
所以的单调递增区间为和，……………………………………………………6分
单调递减区间为 ………………………………………………………………..……..7分
由可知在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以在区间上的最大值为，…………………………………………………8分
在区间上的最小值为…………………………………………………9分
因为，且，………………………………………………….………….11分
所以在区间上的最小值为 ……………………………………….…………….12分
20.解：正六边形的边长，…………………………………………………1分
底面积，……………………………………………………2分
于是，
其中…………………………………………………………………5分（不写定义域扣1分）
∵，，
∴，…………….……8分
当时，，单调递增，……………………………………………….……….9分
当时，，单调递减，…………………………………………………………10分
所以当时，……………………………………………………………11分
综上所述，当时，蒙古包体积最大，且最大体积为………………………….……….12分
21.解：（1）X的可能取值为-1，0，1. ………………………………………………………………………1分
根据计分规则，得：，
………………………………………………………………...4分
故X分布列如下表：
X -1 0 1
P 0.2 0.5 0.3
……………………………………………………………………………………………..5分
（2）Y的可能取值为-2，-1，0，1，2由于两轮比赛的结果是独立的，…………………………..6分
故
…………………………………………………………………….9分
故Y分布列如下表：
Y -2 -1 0 1 2
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
………………………………………………………………………………………………………………10分
(3) ……………………………..11分
（用课本69页的结论计算也可以） ……………………………………………..12分
22.解：（1）函数的定义域为，
求导得：，令，解得………………………………………………………..1 分
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，………………………………………………….2分
所以当时，………………………………………………………………………..3分
（2）由（1）知，，即，当且仅当时等号成立.
因此对，，……………………………………………………………..4分
当时，对，，则有，
于是当时，对，恒成立，…………………………………………………..5分
当时，函数的定义域为，，必有，解得，……………………….…………….6分 而为整数，则最大值不大于2，
因为对，恒成立，则对，有恒成立，当且仅当时取等号，又，恒成立，当且仅当时取等号，
于是对，，………………………………………………..……………………….7分
综上得当时，对，恒成立，即整数，
所以整数a的最大值为2. …………………………………………………………..……………..………...8分
（3）由（2）知，，，
令，有，….…………………………………………………9分
因此，………………………………………………………………………………….10分
从而，……………………………11分
所以原不等式成立…………………………………………………………………………………………….12分