2022-2023学年初数北师大版八年级下册6.3 三角形的中位线同步训练必刷题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·拱墅期末）如图，在 中，点D，点E分别是边AB，AC的中点，若 ，则DE-（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021八下·新宾期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC＝4，则EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022八下·禅城期末）已知：中，D、E、F分别是边、、的中点，则四边形的周长等于（ ）
A． B． C． D．的周长
4．（2022八下·漳州期末）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N，并步测出的长为12米，由此他就知道A，B间的距离是（ ）
A．6米 B．12米 C．24米 D．48米
5．（2022八下·高唐期末）如图，中，，则的值为（ ）
A．6 B． C．7 D．8
6．（2020七下·津南月考）如图所示， ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE，若OE＝3cm，则AD的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
7．（2022八下·金东期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，AD的中点，若EF＝4，AB＝8，则∠ACB的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
8．（2022八下·上城期末）如图， 的对角线，交于点，是的中点，连结，，，若，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2022八下·蚌埠期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是CD边的中点，E是BC边上的一动点，M、N分别是AE、PE的中点，随着点E的运动，线段MN长（ ）
A．不断增大 B．先增大，后减小
C．保持不变，长度为 D．保持不变，长度为
10．（2022八下·济南期末）如图，将△ABC沿着它的中位线DE对折，点A落在F处．若∠C＝120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是（ ）
A．140° B．120° C．100° D．80°
二、填空题（每空3分，共30分）
11．（2022八下·建平期末）如图，在平行四边形中，，点E，F分别是，的中点，则的长为 ．
12．（2022八下·东莞期末）如图，在中，，，分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是 ．
13．（2022八下·香坊期末）如图，在中，，，，点D在外，连接、，点E是的中点，，，则线段的长 ．
14．（2022八下·永定期末）东东家有一块等腰三角形的空地ABC，如图，已知E，F分别是边AB，AC的中点，量得AB=AC=12米，BC=10米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈养鸡，则需篱笆长 米.
15．（2022八下·淮安期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，点在线段上运动，是的中点，则的周长的最小值是 .
16．（2022八下·东港期末）如图，的对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若，的周长为5，则的周长等于 ．
17．（2022八下·温州期末）如图，人字梯保险杠两端点D，E分别是梯柱AB，AC的中点，梯子打开时DE=38cm，此时梯脚的距离BC长为 cm．
18．（2022八下·常熟期末） 如图，，分别为矩形的边，的中点，连接，，.已知，，则的长为 .
19．（2022八下·南浔期末）如图，已知矩形ABCD的两条边AB＝6，AD＝8，点E是对角线AC、BD的交点，点Ｐ是边AD上一个动点，作点D关于直线ＰE的对称点D′，当ED′与矩形一条边垂直时，ＰD的长是 ．
20．（2022八下·临海期末）如图，，，，分别是四边形边，，，的中点，若，则四边形的周长为 ．
三、解答题（共6题，共60分）
21．如图所示，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF//BC.
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形.
（2）线段BF，AB，AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论.
22．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连结EB并延长至点F，使BF=BE，连结EC并延长至点G，使CG=CE，连结FG.H为FG的中点，连结DH，AF。
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB=CE，∠EBC=75°，∠DCE=10°，求∠DAB的度数。
23．如图，在△ABC中，中线BD，CE相交于点O，F，G分别是OB，OC的中点。
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）连结AO，若BC=7，AO=5，则平行四边形DEFG的周长为 。
24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，取BC的中点E，连结DE。
（1）求证：DE∥AC；
（2）若AB=8，AC=12，求DE的长。
25．（2022八下·抚远期中）如图，在中，，，，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE，DF，EF，的度数为53°．
（1）求∠C的度数；
（2）求四边形ADEF的周长．
26．（2022八下·惠州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点．
（1）证明：四边形DECF是平行四边形；
（2）若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 点D，点E分别是边AB，AC的中点，
是 的中位线，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E为AC的中点，AC=4，
∴CE=2
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC
∴∠EFC=∠BCF
又∵CF平分∠ACB
∴∠ECF=∠BCF
∴∠EFC=∠ECF
∴EF=EC=2
故答案为B.
【分析】结合DE∥BC（DE为△ABC的中位线），CF平分∠ACB，本题包含典型的“双平等腰”模型，即证明△ECF为等腰三角形，EF=EC。因为DE∥BC，所以∠EFC=∠BCF，因为CF平分∠ACB，所以∠ECF=∠BCF，等量代换得∠EFC=∠ECF，根据等角对等边得到EF=EC.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别是边、、的中点，
∴DF∥AC，DE∥AB，DF= AC，DE = AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∴DF=AE= AC，DE=AF = AB，
∴平行四边形AFDE的周长=AB+AC
故答案为：A．
【分析】先证明出四边形AFDE是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解即可。
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，N分别是，的中点，
是的中位线，
(米).
故答案为：C.
【分析】由题意可得MN是△ABC的中位线，则AB=2MN，据此计算.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】延长BD交AC于F，如图所示：
∵，且，
∴AF=AB=4，点D是BF的中点，
又∵，
∴点E是BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】延长BD交AC于F，可证△BAD≌△FAD，可得AF=AB=4，BD=DF，从而得出DE是△BCF的中位线，即得，根据AC=AF+FC即可求解.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ ABCD
∴OB=OD
∵E是CD中点
∴OE是△BCD的中位线
∴AD＝2OE＝2×3＝6（cm）．
故答案为B．
【分析】先求出OB=OD，再证明OE是△BCD的中位线，最后求解即可。
7．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴OD=OB=OA=BD，∠ABC=90°，
∵点E，F分别为AO，AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF=OD=4，
∴OD=8，
∴AB=OB=OA，
∴△AOB是等边三角形
∴∠BAC=60°，
∴∠ACB=90°-∠BAC=90°-60°=30°.
故答案为：A.
【分析】利用矩形的性质可证得OD=OB=OA=BD，∠ABC=90°，利用三角形的中位线定理可求出OB的长，由此可证得AB=OB=OA，可得到△AOB是等边三角形；然后利用等边三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠ACB的度数.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质可得AO=CO，AD=BC=10，根据垂直的概念可得∠ACD=90°，利用勾股定理可得CD的值，由题意可得OE是△ACD的中位线，则CD=2OE，据此计算.
9．【答案】C
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接AP，
∵矩形ABCD中，AB＝DC＝2，P是CD边上的中点，
∴DP＝1，
∴AP＝，
连接AP，
∵M，N分别是AE、PE的中点，
∴MN是△AEP的中位线，
∴MN＝AP＝．
故答案为：C．
【分析】先求出DP＝1，再求出MN是△AEP的中位线，最后求解即可。
10．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠C=120°，∠A=20°，
∴∠B=40°，
∵DE是△ABC中位线，
∴DE∥BC，
∴∠B+∠DEB=180°，∠B=∠AED=∠DEF=40°
∴∠DEB=140°，
∴∠FEB=∠DEB-∠DEF=100°，
故答案为：C．
【分析】先求出∠B=40°，再求出∠DEB=140°，最后计算求解即可。
11．【答案】15
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=30，
∵点E，F分别是BD，CD的中点，
∴EF=BC=15
故答案为：15．
【分析】先求出BC=AD=30，再根据线段的中点求解即可。
12．【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
， ， ，
的周长为 ，
，
，
即的周长为6．
故答案为：6．
【分析】根据三角形中位线定理可得答案。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，延长AD、BC相交于点F
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=90°=∠ACB，
又∵，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC，
∴AF=AB，BC=CF
在Rt△ABC中，AC=12，BC=5，
∴
∴AF=13
∵AD=4，
∴DF=AF-AD=13-4=9
∵E是BD的中点，
∴CE是△BDF的中位线
∴
故答案为：．
【分析】先求出AF=AB，BC=CF，再求出CE是△BDF的中位线，最后计算求解即可。
14．【答案】27
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： E，F分别是边AB，AC的中点，AB=AC=12米，BC=10米，
∴需篱笆长为：（米）.
故答案为：27.
【分析】根据中点的定义和三角形中位线定理分别求出BE、CF和EF长，然后列式求篱笆长，即可解答.
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E为CD中点，F为CP中点，
∴EF=PD，
∴C△CEF=CE+CF+EF=CE+（CP+PD）=（CD+PC+PD）=C△CDP
∴当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；
即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；
如图，作D关于AB的对称点T，连接CT，则PD=PT，
∵AD=AT=BC=2，CD=4，∠CDT=90°，
∴，
∵△CDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC，
∵PT+PC≥CT，
∴PT+PC≥，
∴PT+PC的最小值为4，
∴△PDC的最小值为4+，
∴C△CEF=C△CDP=.
故答案为：.
【分析】根据三角形中位线定理得EF=PD，易得C△CEF=C△CDP，当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小，即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；如图，作D关于AB的对称点T，连接CT，则PD=PT，故PC+PD=PT+PC=CT，利用勾股定理算出CT即可解决问题.
16．【答案】16
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵OA=1，且的周长为5，
∴OE+AE=5-1=4，
又∵点E是AD的中点，
∴AD=2AE，OE是△ACD的中位线，
∴CD=2OE，
∴AD+CD=2AE+2OE=2(AE+OE)=8，
∴的周长为：，
故答案为：16．
【分析】先求出AD=2AE，OE是△ACD的中位线，再求出CD=2OE，最后利用四边形的周长公式计算求解即可。
17．【答案】76
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是梯柱AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
又∵梯子打开时DE=38cm，
∴此时BC=2DE=76cm.
故答案为：76.
【分析】根据点D，E分别是梯柱AB，AC的中点，推出DE是△ABC的中位线，再由三角形中位线的性质，即平行且等于第三边的一半，即可求出梯子打开时BC的长.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD、AF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，，
∴，，
∵E，F分别为矩形ABCD的边CD，BC的中点，
∴，
设，则，
∵，
∴在Rt△ADE中、Rt△CEF中、Rt△AEF中、Rt△ABF中，由勾股定理可得：
，
∴由①②可得：，
解得：（负根舍去），
∴；
故答案为：.
【分析】连接BD、AF，由矩形性质得BD=AC，∠ADC=∠ECF=90°，CD=AB，由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得EF=BD，设ED=CE=a，CF=BF=b，在Rt△ADE中、Rt△CEF中、Rt△AEF中、Rt△ABF中，由勾股定理可求得a的值，然后根据AB=2a可求解.
19．【答案】 或5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，当ED′⊥AD时，
∵矩形ABCD，
∴AE=CE，CD⊥AD，AB=CD=6，
∴EF∥CD，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF=CD=×6=3，DF=AD=4，AC=BD=2DE
在Rt△ADC中
，
∴DE=5
∵点D关于直线ＰE的对称点D′，
∴DE=ED′=5，DP=D′P，
∴FD′=5-3=2，
设DP=D′P=x，则PF=4-x，
在Rt△PFD′中
D′F2+PF2=D′P2即x2=（4-x）2+4
解之：；
当D′E⊥AB时
∵DA⊥AB，
∴AD∥D′E，
∴∠DPE=∠PED′，
∵点D关于直线ＰE的对称点D′，
∴△DPE和△D′PE关于直线PE对称，
∴∠DPE=∠D′PE，
∴∠PED′=∠D′PE，
∴DP′=DP=D′E=5.
∴PD的长为 或5.
【分析】当ED′⊥AD时，利用矩形的性质可证得AE=CE，CD⊥AD，AB=CD=6，利用三角形的中位线定理可求出EF的长，同时可求出DF的长，AC=BD=2DE，利用勾股定理求出AC的长，可得到DE的长；再利用轴对称的性质可证得DE=ED′=5，DP=D′P，从而可求出FD′的长，设DP=D′P=x，则PF=4-x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值；可得到PD的长；当D′E⊥AB时，易证AD∥D′E，利用平行线的性质可证得∠DPE=∠PED′，利用轴对称的性质去证明∠PED′=∠D′PE，利用等边对等角可得到DP′=DP=D′E=5；综上所述可得到PD的长.
20．【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，，，
∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，GF是△DBC的中位线，GH是△ADC的中位线，
，，，，
四边形EFGH的周长.
故答案为：10.
【分析】由题意可得EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，GF是△BDC的中位线，GH是△ADC的中位线，则EF=AC=3，GH=AC=3，EH=BD=2，FG=BD=2，据此不难求出四边形EFGH的周长.
21．【答案】（1）证明：如图，延长CE交AB于点G.
，
在 和 中，
，
为 的中位线，
∴四边形BDEF是平行四边形
（2）解：
证明如下：
四边形BDEF是平行四边形， .
分别是BC，GC的中点， .
，
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1) 延长CE交AB于点G，利用ASA证明△AGE≌△ACE，得出GE=EC，结合BD=CD，得出DE为△CGE为中位线，则知DE∥AB，从而证得四边形BDEF是平行四边形；
(2)根据平行四边形的性质得出BF=DE，根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出BF=BG，由△AGE≌△ACE得出AG=AC，最后根据线段间的和差关系，即可求出结果.
22．【答案】（1）证明：∵BF=BE，CG=CE
∴BC为△FEG的中位线，
∴BC∥FG，BC=FG
又∵H是FG的中点，
FH=FG，
∴BC=FH.
四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD∥FH，AD=FH，
∴四边形AFHD是平行四边形.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB.
∵CE=CB，
∴∠BEC=∠EBC=75°，
∴∠BCE=180°-75°-75°=30°，
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°，
∴∠DAB=40°
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理可证得BC∥FG，BC=FG，利用线段中点的定义可得到FH=FG，由此可推出BC=FH；利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，AD=BC，由此可推出AD∥FH，AD=FH；然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用平行四边形的性质可证得∠DAB=∠DCB，利用等边对等角可求出∠BEC的度数；再利用三角形的内角和定理可求出∠BCE的度数；再根据∠DCB=∠DCE+∠BCE，代入计算可求出∠DCB的度数，即可得到∠DAB的度数.
23．【答案】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的中线，
E，D分别是AB，AC的中点，
ED是△ABC的中位线，
ED∥BC，ED=BC
F、G分别是OB，OC的中点，
FG是△OBC的中位线，
FG∥BC，FG=BC，
则FG∥ED，FG=ED，
四边形DEFG是平行四边形.
（2）12
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）同理可证EF是△AOB的中位线，GF是△BOC的中位线，
∴EF=AO=2.5，GF=BC=3.5
∴平行四边形DEFG的周长为2（EF+GF）=2（2.5+3.5）=12.
故答案为：12.
【分析】（1）利用三角形中线的定义可证得ED是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得 ED∥BC，ED=BC ；同理可证FG∥BC，FG=BC，由此可推出 FG∥ED，FG=ED，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）同理可证EF是△AOB的中位线，GF是△BOC的中位线，利用三角形的中位线定理可求出EF，GF的长，然后根据平行四边形DEFG的周长为2（EF+GF），代入计算可求解.
24．【答案】（1）证明：如图，延长BD交AC于点F.
AD平分∠BAC，∠BAD=∠FAD.
AD⊥BF，∴∠BDA=∠FDA.
又∵AD=AD.
△ABD≌△AFD（ASA），∴BD=FD.
又∵E为BC的中点，DE为△BCF的中位线.
DE∥FC，∴DE∥AC
（2）解：由△ABD≌△AFD得AB=AF.
CF=AC-AF=AC-AB=12-8=4.
DE是△BCF的中位线，∴DE=FC=2。
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长BD交AC于点F，利用角平分线的定义可证得∠BAD=∠FAD，利用垂直的定义可证得∠BDA=∠FDA，再利用ASA证明△ABD≌△AFD，利用全等三角形的性质可证得BF=FD；再证明DE为△BCF的中位线，利用三角形的中位线定理可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得AB=AF，再证明CF=AC-AB，可求出CF的长；再利用三角形的中位线定理可求出DE的长.
25．【答案】（1）解：∵D，F分别是边AB，AC的中点，
∴DF//BC，
∵∠ADF＝53°，
∴∠B＝∠ADF＝53°，
∵∠A＝90°，
∴∠C＝180°－90°－53°＝37°．
（2）解：∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴DE//AC，，EF//AB，，AF=AC，AD=AB，
∵，，
∴AF＝DE＝2，，
∴四边形ADEF的周长．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先利用利用三角形中位线的性质可得DF//BC，所以∠B＝∠ADF＝53°，再利用三角形的内角和求出∠C＝180°－90°－53°＝37°即可；
（2）先求出AF＝DE＝2，，再利用四边形的周长公式求解即可。
26．【答案】（1）证明：∵D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴DE∥CF，
∵DF∥CE，
∴四边形DECF是平行四边形；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝12，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝×12＝6，
∵四边形DECF是平行四边形，
∴DE＝CF＝6，DF＝CE，
∵D是边AC的中点，
∴CD＝AC＝×5＝ ，
∵∠ACB＝90°，CF是BC的延长线，
∴∠DCF＝90°，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：DF＝＝＝，
∴四边形DECF的周长＝2（DE+DF）＝2×（6+）＝25．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）易得DE是△ABC的中位线，可得DE∥BC，即得DE∥CF，根据平行线的判定即证；
（2）由勾股定理得BC=12，根据三角形中位线定理可得DE＝BC＝6， 由平行四边形的性质可得DE＝CF＝6，DF＝CE，由线段的中点可得CD＝AC=， 在Rt△DCF中，由勾股定理求出DF的长，根据四边形DECF的周长＝2（DE+DF） 即可求解.
1 / 12022-2023学年初数北师大版八年级下册6.3 三角形的中位线同步训练必刷题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·拱墅期末）如图，在 中，点D，点E分别是边AB，AC的中点，若 ，则DE-（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 点D，点E分别是边AB，AC的中点，
是 的中位线，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出答案.
2．（2021八下·新宾期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC＝4，则EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E为AC的中点，AC=4，
∴CE=2
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC
∴∠EFC=∠BCF
又∵CF平分∠ACB
∴∠ECF=∠BCF
∴∠EFC=∠ECF
∴EF=EC=2
故答案为B.
【分析】结合DE∥BC（DE为△ABC的中位线），CF平分∠ACB，本题包含典型的“双平等腰”模型，即证明△ECF为等腰三角形，EF=EC。因为DE∥BC，所以∠EFC=∠BCF，因为CF平分∠ACB，所以∠ECF=∠BCF，等量代换得∠EFC=∠ECF，根据等角对等边得到EF=EC.
3．（2022八下·禅城期末）已知：中，D、E、F分别是边、、的中点，则四边形的周长等于（ ）
A． B． C． D．的周长
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别是边、、的中点，
∴DF∥AC，DE∥AB，DF= AC，DE = AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∴DF=AE= AC，DE=AF = AB，
∴平行四边形AFDE的周长=AB+AC
故答案为：A．
【分析】先证明出四边形AFDE是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解即可。
4．（2022八下·漳州期末）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N，并步测出的长为12米，由此他就知道A，B间的距离是（ ）
A．6米 B．12米 C．24米 D．48米
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，N分别是，的中点，
是的中位线，
(米).
故答案为：C.
【分析】由题意可得MN是△ABC的中位线，则AB=2MN，据此计算.
5．（2022八下·高唐期末）如图，中，，则的值为（ ）
A．6 B． C．7 D．8
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】延长BD交AC于F，如图所示：
∵，且，
∴AF=AB=4，点D是BF的中点，
又∵，
∴点E是BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】延长BD交AC于F，可证△BAD≌△FAD，可得AF=AB=4，BD=DF，从而得出DE是△BCF的中位线，即得，根据AC=AF+FC即可求解.
6．（2020七下·津南月考）如图所示， ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE，若OE＝3cm，则AD的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ ABCD
∴OB=OD
∵E是CD中点
∴OE是△BCD的中位线
∴AD＝2OE＝2×3＝6（cm）．
故答案为B．
【分析】先求出OB=OD，再证明OE是△BCD的中位线，最后求解即可。
7．（2022八下·金东期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，AD的中点，若EF＝4，AB＝8，则∠ACB的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴OD=OB=OA=BD，∠ABC=90°，
∵点E，F分别为AO，AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF=OD=4，
∴OD=8，
∴AB=OB=OA，
∴△AOB是等边三角形
∴∠BAC=60°，
∴∠ACB=90°-∠BAC=90°-60°=30°.
故答案为：A.
【分析】利用矩形的性质可证得OD=OB=OA=BD，∠ABC=90°，利用三角形的中位线定理可求出OB的长，由此可证得AB=OB=OA，可得到△AOB是等边三角形；然后利用等边三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠ACB的度数.
8．（2022八下·上城期末）如图， 的对角线，交于点，是的中点，连结，，，若，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质可得AO=CO，AD=BC=10，根据垂直的概念可得∠ACD=90°，利用勾股定理可得CD的值，由题意可得OE是△ACD的中位线，则CD=2OE，据此计算.
9．（2022八下·蚌埠期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是CD边的中点，E是BC边上的一动点，M、N分别是AE、PE的中点，随着点E的运动，线段MN长（ ）
A．不断增大 B．先增大，后减小
C．保持不变，长度为 D．保持不变，长度为
【答案】C
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接AP，
∵矩形ABCD中，AB＝DC＝2，P是CD边上的中点，
∴DP＝1，
∴AP＝，
连接AP，
∵M，N分别是AE、PE的中点，
∴MN是△AEP的中位线，
∴MN＝AP＝．
故答案为：C．
【分析】先求出DP＝1，再求出MN是△AEP的中位线，最后求解即可。
10．（2022八下·济南期末）如图，将△ABC沿着它的中位线DE对折，点A落在F处．若∠C＝120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是（ ）
A．140° B．120° C．100° D．80°
【答案】C
【知识点】角的运算；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠C=120°，∠A=20°，
∴∠B=40°，
∵DE是△ABC中位线，
∴DE∥BC，
∴∠B+∠DEB=180°，∠B=∠AED=∠DEF=40°
∴∠DEB=140°，
∴∠FEB=∠DEB-∠DEF=100°，
故答案为：C．
【分析】先求出∠B=40°，再求出∠DEB=140°，最后计算求解即可。
二、填空题（每空3分，共30分）
11．（2022八下·建平期末）如图，在平行四边形中，，点E，F分别是，的中点，则的长为 ．
【答案】15
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=30，
∵点E，F分别是BD，CD的中点，
∴EF=BC=15
故答案为：15．
【分析】先求出BC=AD=30，再根据线段的中点求解即可。
12．（2022八下·东莞期末）如图，在中，，，分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是 ．
【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
， ， ，
的周长为 ，
，
，
即的周长为6．
故答案为：6．
【分析】根据三角形中位线定理可得答案。
13．（2022八下·香坊期末）如图，在中，，，，点D在外，连接、，点E是的中点，，，则线段的长 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，延长AD、BC相交于点F
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=90°=∠ACB，
又∵，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC，
∴AF=AB，BC=CF
在Rt△ABC中，AC=12，BC=5，
∴
∴AF=13
∵AD=4，
∴DF=AF-AD=13-4=9
∵E是BD的中点，
∴CE是△BDF的中位线
∴
故答案为：．
【分析】先求出AF=AB，BC=CF，再求出CE是△BDF的中位线，最后计算求解即可。
14．（2022八下·永定期末）东东家有一块等腰三角形的空地ABC，如图，已知E，F分别是边AB，AC的中点，量得AB=AC=12米，BC=10米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈养鸡，则需篱笆长 米.
【答案】27
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： E，F分别是边AB，AC的中点，AB=AC=12米，BC=10米，
∴需篱笆长为：（米）.
故答案为：27.
【分析】根据中点的定义和三角形中位线定理分别求出BE、CF和EF长，然后列式求篱笆长，即可解答.
15．（2022八下·淮安期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，点在线段上运动，是的中点，则的周长的最小值是 .
【答案】
【知识点】矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E为CD中点，F为CP中点，
∴EF=PD，
∴C△CEF=CE+CF+EF=CE+（CP+PD）=（CD+PC+PD）=C△CDP
∴当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；
即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；
如图，作D关于AB的对称点T，连接CT，则PD=PT，
∵AD=AT=BC=2，CD=4，∠CDT=90°，
∴，
∵△CDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC，
∵PT+PC≥CT，
∴PT+PC≥，
∴PT+PC的最小值为4，
∴△PDC的最小值为4+，
∴C△CEF=C△CDP=.
故答案为：.
【分析】根据三角形中位线定理得EF=PD，易得C△CEF=C△CDP，当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小，即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；如图，作D关于AB的对称点T，连接CT，则PD=PT，故PC+PD=PT+PC=CT，利用勾股定理算出CT即可解决问题.
16．（2022八下·东港期末）如图，的对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若，的周长为5，则的周长等于 ．
【答案】16
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵OA=1，且的周长为5，
∴OE+AE=5-1=4，
又∵点E是AD的中点，
∴AD=2AE，OE是△ACD的中位线，
∴CD=2OE，
∴AD+CD=2AE+2OE=2(AE+OE)=8，
∴的周长为：，
故答案为：16．
【分析】先求出AD=2AE，OE是△ACD的中位线，再求出CD=2OE，最后利用四边形的周长公式计算求解即可。
17．（2022八下·温州期末）如图，人字梯保险杠两端点D，E分别是梯柱AB，AC的中点，梯子打开时DE=38cm，此时梯脚的距离BC长为 cm．
【答案】76
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是梯柱AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
又∵梯子打开时DE=38cm，
∴此时BC=2DE=76cm.
故答案为：76.
【分析】根据点D，E分别是梯柱AB，AC的中点，推出DE是△ABC的中位线，再由三角形中位线的性质，即平行且等于第三边的一半，即可求出梯子打开时BC的长.
18．（2022八下·常熟期末） 如图，，分别为矩形的边，的中点，连接，，.已知，，则的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD、AF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，，
∴，，
∵E，F分别为矩形ABCD的边CD，BC的中点，
∴，
设，则，
∵，
∴在Rt△ADE中、Rt△CEF中、Rt△AEF中、Rt△ABF中，由勾股定理可得：
，
∴由①②可得：，
解得：（负根舍去），
∴；
故答案为：.
【分析】连接BD、AF，由矩形性质得BD=AC，∠ADC=∠ECF=90°，CD=AB，由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得EF=BD，设ED=CE=a，CF=BF=b，在Rt△ADE中、Rt△CEF中、Rt△AEF中、Rt△ABF中，由勾股定理可求得a的值，然后根据AB=2a可求解.
19．（2022八下·南浔期末）如图，已知矩形ABCD的两条边AB＝6，AD＝8，点E是对角线AC、BD的交点，点Ｐ是边AD上一个动点，作点D关于直线ＰE的对称点D′，当ED′与矩形一条边垂直时，ＰD的长是 ．
【答案】 或5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，当ED′⊥AD时，
∵矩形ABCD，
∴AE=CE，CD⊥AD，AB=CD=6，
∴EF∥CD，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF=CD=×6=3，DF=AD=4，AC=BD=2DE
在Rt△ADC中
，
∴DE=5
∵点D关于直线ＰE的对称点D′，
∴DE=ED′=5，DP=D′P，
∴FD′=5-3=2，
设DP=D′P=x，则PF=4-x，
在Rt△PFD′中
D′F2+PF2=D′P2即x2=（4-x）2+4
解之：；
当D′E⊥AB时
∵DA⊥AB，
∴AD∥D′E，
∴∠DPE=∠PED′，
∵点D关于直线ＰE的对称点D′，
∴△DPE和△D′PE关于直线PE对称，
∴∠DPE=∠D′PE，
∴∠PED′=∠D′PE，
∴DP′=DP=D′E=5.
∴PD的长为 或5.
【分析】当ED′⊥AD时，利用矩形的性质可证得AE=CE，CD⊥AD，AB=CD=6，利用三角形的中位线定理可求出EF的长，同时可求出DF的长，AC=BD=2DE，利用勾股定理求出AC的长，可得到DE的长；再利用轴对称的性质可证得DE=ED′=5，DP=D′P，从而可求出FD′的长，设DP=D′P=x，则PF=4-x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值；可得到PD的长；当D′E⊥AB时，易证AD∥D′E，利用平行线的性质可证得∠DPE=∠PED′，利用轴对称的性质去证明∠PED′=∠D′PE，利用等边对等角可得到DP′=DP=D′E=5；综上所述可得到PD的长.
20．（2022八下·临海期末）如图，，，，分别是四边形边，，，的中点，若，则四边形的周长为 ．
【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，，，
∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，GF是△DBC的中位线，GH是△ADC的中位线，
，，，，
四边形EFGH的周长.
故答案为：10.
【分析】由题意可得EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，GF是△BDC的中位线，GH是△ADC的中位线，则EF=AC=3，GH=AC=3，EH=BD=2，FG=BD=2，据此不难求出四边形EFGH的周长.
三、解答题（共6题，共60分）
21．如图所示，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF//BC.
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形.
（2）线段BF，AB，AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论.
【答案】（1）证明：如图，延长CE交AB于点G.
，
在 和 中，
，
为 的中位线，
∴四边形BDEF是平行四边形
（2）解：
证明如下：
四边形BDEF是平行四边形， .
分别是BC，GC的中点， .
，
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1) 延长CE交AB于点G，利用ASA证明△AGE≌△ACE，得出GE=EC，结合BD=CD，得出DE为△CGE为中位线，则知DE∥AB，从而证得四边形BDEF是平行四边形；
(2)根据平行四边形的性质得出BF=DE，根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出BF=BG，由△AGE≌△ACE得出AG=AC，最后根据线段间的和差关系，即可求出结果.
22．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连结EB并延长至点F，使BF=BE，连结EC并延长至点G，使CG=CE，连结FG.H为FG的中点，连结DH，AF。
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB=CE，∠EBC=75°，∠DCE=10°，求∠DAB的度数。
【答案】（1）证明：∵BF=BE，CG=CE
∴BC为△FEG的中位线，
∴BC∥FG，BC=FG
又∵H是FG的中点，
FH=FG，
∴BC=FH.
四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD∥FH，AD=FH，
∴四边形AFHD是平行四边形.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB.
∵CE=CB，
∴∠BEC=∠EBC=75°，
∴∠BCE=180°-75°-75°=30°，
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°，
∴∠DAB=40°
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理可证得BC∥FG，BC=FG，利用线段中点的定义可得到FH=FG，由此可推出BC=FH；利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，AD=BC，由此可推出AD∥FH，AD=FH；然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用平行四边形的性质可证得∠DAB=∠DCB，利用等边对等角可求出∠BEC的度数；再利用三角形的内角和定理可求出∠BCE的度数；再根据∠DCB=∠DCE+∠BCE，代入计算可求出∠DCB的度数，即可得到∠DAB的度数.
23．如图，在△ABC中，中线BD，CE相交于点O，F，G分别是OB，OC的中点。
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）连结AO，若BC=7，AO=5，则平行四边形DEFG的周长为 。
【答案】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的中线，
E，D分别是AB，AC的中点，
ED是△ABC的中位线，
ED∥BC，ED=BC
F、G分别是OB，OC的中点，
FG是△OBC的中位线，
FG∥BC，FG=BC，
则FG∥ED，FG=ED，
四边形DEFG是平行四边形.
（2）12
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）同理可证EF是△AOB的中位线，GF是△BOC的中位线，
∴EF=AO=2.5，GF=BC=3.5
∴平行四边形DEFG的周长为2（EF+GF）=2（2.5+3.5）=12.
故答案为：12.
【分析】（1）利用三角形中线的定义可证得ED是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得 ED∥BC，ED=BC ；同理可证FG∥BC，FG=BC，由此可推出 FG∥ED，FG=ED，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）同理可证EF是△AOB的中位线，GF是△BOC的中位线，利用三角形的中位线定理可求出EF，GF的长，然后根据平行四边形DEFG的周长为2（EF+GF），代入计算可求解.
24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，取BC的中点E，连结DE。
（1）求证：DE∥AC；
（2）若AB=8，AC=12，求DE的长。
【答案】（1）证明：如图，延长BD交AC于点F.
AD平分∠BAC，∠BAD=∠FAD.
AD⊥BF，∴∠BDA=∠FDA.
又∵AD=AD.
△ABD≌△AFD（ASA），∴BD=FD.
又∵E为BC的中点，DE为△BCF的中位线.
DE∥FC，∴DE∥AC
（2）解：由△ABD≌△AFD得AB=AF.
CF=AC-AF=AC-AB=12-8=4.
DE是△BCF的中位线，∴DE=FC=2。
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长BD交AC于点F，利用角平分线的定义可证得∠BAD=∠FAD，利用垂直的定义可证得∠BDA=∠FDA，再利用ASA证明△ABD≌△AFD，利用全等三角形的性质可证得BF=FD；再证明DE为△BCF的中位线，利用三角形的中位线定理可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得AB=AF，再证明CF=AC-AB，可求出CF的长；再利用三角形的中位线定理可求出DE的长.
25．（2022八下·抚远期中）如图，在中，，，，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE，DF，EF，的度数为53°．
（1）求∠C的度数；
（2）求四边形ADEF的周长．
【答案】（1）解：∵D，F分别是边AB，AC的中点，
∴DF//BC，
∵∠ADF＝53°，
∴∠B＝∠ADF＝53°，
∵∠A＝90°，
∴∠C＝180°－90°－53°＝37°．
（2）解：∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴DE//AC，，EF//AB，，AF=AC，AD=AB，
∵，，
∴AF＝DE＝2，，
∴四边形ADEF的周长．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先利用利用三角形中位线的性质可得DF//BC，所以∠B＝∠ADF＝53°，再利用三角形的内角和求出∠C＝180°－90°－53°＝37°即可；
（2）先求出AF＝DE＝2，，再利用四边形的周长公式求解即可。
26．（2022八下·惠州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点．
（1）证明：四边形DECF是平行四边形；
（2）若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长．
【答案】（1）证明：∵D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴DE∥CF，
∵DF∥CE，
∴四边形DECF是平行四边形；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝12，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝×12＝6，
∵四边形DECF是平行四边形，
∴DE＝CF＝6，DF＝CE，
∵D是边AC的中点，
∴CD＝AC＝×5＝ ，
∵∠ACB＝90°，CF是BC的延长线，
∴∠DCF＝90°，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：DF＝＝＝，
∴四边形DECF的周长＝2（DE+DF）＝2×（6+）＝25．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）易得DE是△ABC的中位线，可得DE∥BC，即得DE∥CF，根据平行线的判定即证；
（2）由勾股定理得BC=12，根据三角形中位线定理可得DE＝BC＝6， 由平行四边形的性质可得DE＝CF＝6，DF＝CE，由线段的中点可得CD＝AC=， 在Rt△DCF中，由勾股定理求出DF的长，根据四边形DECF的周长＝2（DE+DF） 即可求解.
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