2022-2023学年初数北师大版八年级下册6.4 多边形的内角与外角和 同步训练必刷题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·富阳期中）五边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．450° D．540°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：五边形的外角和为360°.
故答案为：B.
【分析】多边形的外角和等于360°.
2．（2022八下·灌阳期中）正多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是360°，这个多边形的每一个外角都等于45°，
∴这个多边形的外角的个数为 ，
∴这个多边形的边数是8.
故答案为：C.
【分析】利用360°除以每个外角的度数可得多边形的边数.
3．（2022八下·余杭期中）在五边形ABCDE中，∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的度数之比为3：5：3：4：3，则∠D的外角等于（ ）
A．60° B．75° C．90° D．120°
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设∠A＝3x°，则∠B＝5x°，∠C＝3x°，∠D＝4x°，∠E＝3x°，
∴3x°+5x°+3x°+4x°+3x°＝540°，
解得：x＝30.
∴∠D＝4×30°＝120°.
∵180°﹣120°＝60°，
∴∠D的外角等于60°.
故答案为：A.
【分析】根据题意可设∠A＝3x°，则∠B＝5x°，∠C＝3x°，∠D＝4x°，∠E＝3x°，利用五边形内角和＝540°列出方程，求出x值即得∠D的度数，根据∠D与∠D的外角互补即可求解.
4．（2022八下·杭州期中）若一个正多边形的每一个外角都等于36°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正多边形的每一个外角都等于36°，
∴正多边形的边数＝＝10.
故答案为：D.
【分析】利用多边形外角和的度数除以其外角，即得正多边形的边数.
5．（2022八下·温州期中）如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB=57°，则∠AGD=（ ）
A．108° B．36° C．129° D．72°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠D=180°×3÷5=108°，
∵∠CFB=57°，
∴∠BFD=180°-∠CFB=180°-57°=123°，
∵BF∥AG，
∴∠BAG+∠FBA=180°，
在五边形ABFDG中，
∴540°=∠BAG+∠FBA+∠BFD+∠D+∠AGD=180°+123°+108°+∠AGD，
∴∠AGD=129°.
故答案为：C.
【分析】由正五边形性质求得∠D的度数，再由邻补角性质可求得∠BFD的度数，再根据平行线的性质得∠BAG+∠FBA=180°，最后在五边形ABFDG中，540°=∠BAG+∠FBA+∠BFD+∠D+∠AGD，代入数据求出∠BAG的度数即可.
6．（2022八下·苍南期中）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得（n-2）×180=120n，
解得n=6<
∴ 这个多边形是六边形.
故答案为：B.
【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意列出方程，解方程求出n的值，即可得出答案.
7．（2022八下·新昌期中）一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∴这个多边形的内角和为（n﹣2）×180°，
∵这个多边形的内角和是外角和的4倍，
∴（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得：n＝10，
∴这个多边形的边数是10．
故答案为：C.
【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于n的一元一次方程，即（n﹣2）×180°＝360°×4，解方程求出n即可得出正确答案.
8．（2022八下·宁波期中）若n边形的内角和与外角和相加为，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵n边形的内角和与外角和相加为，外角和为360°，内角和为(n-2)×180°，
∴(n-2)×180°=1800°-360°，
解得n=10，
故答案为：D.
【分析】由多边形的外角和等于360°，内角和等于（n-2）180°并结合题意“n边形的内角和与外角和相加等于1800°”可得关于n的方程，解方程可求解.
9．（2022八下·乐清期中）衢州钟灵塔的塔基是个正n边形（n是正整数）.测得塔基所在的正n边形的一个外角为60°，如图所示，n的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正n边形的一个外角为60°，多边形外角和为360°，
∴n=360÷60=6，
故答案为：B.
【分析】利用多边形外角和除以其外角的度数，即得n值.
10．（2022八下·承德期末）如图，五边形ABCDE中，，，、、分别是、、的外角，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】解：延长AB和DC，得∠4与∠5，
∴∠4=180°-∠B，
∠5=180°-∠C，
∴∠4+∠5=360°-（∠B+∠C）=170°，
根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°-（∠4+∠5）=360°-170°=190°．
故答案为：B．
【分析】延长AB和DC，由邻补角的定义可得∠4=180°-∠B，∠5=180°-∠C，从而求∠4+∠5=360°-（∠B+∠C）=170°，由多边形的外角和定理得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，继而求解.
二、填空题（每空3分，共30分）
11．（2022八下·龙港期中）七边形的内角和为 度.
【答案】900
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：七边形的内角和为（7-2）×180°=900°.
故答案为：900.
【分析】利用n边形的内角和为（n-2）×180°，将n=7代入计算可求解.
12．（2023八下·萧山期中） 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 .
【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是10.
故答案为：10.
【分析】设这个多边形的边数为n，则内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意列出关于n的方程，然后求解即可.
13．（2022八下·顺义期末）如图所示的多边形中，根据标出的各内角度数，求出x的值是 ．
【答案】100
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
由题意得，140°+4x°＝540°，
解得x＝100．
故答案为：100．
【分析】根据题意列出方程140°+4x°＝540°，再求出x的值即可。
14．（2023八下·鄞州期中）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=136°，点E在边AD上，连结BE，若∠D与∠EBC互补，则∠EBA的值为
【答案】44°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠A+∠C=136°，
∴∠D+∠ABC=224°.
∵∠D+∠EBC=180°，
∴∠ABC-∠EBC=44°，
∴∠EBA=∠ABC-∠EBC=44°.
故答案为：44°.
【分析】根据四边形内角和为360°结合已知条件可得∠D+∠ABC=224°，由∠D与∠EBC互补可得∠D+∠EBC=180°，将两式相减可得∠ABC-∠EBC=44°，然后根据角的和差关系进行解答.
15．（2023八下·瓯海期中）第五套人民币中的5角硬币色泽为镍白色，正，反面的内周边缘均为正十一边形.则其内角和为 °.
【答案】1620
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：十一边形的内角和等于：（11-2） 180°＝1620°.
故答案为：1620.
【分析】n边形的内角和为(n-2)×180°，据此计算.
16．（2022八下·锦州期末）如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数为 ．
【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是360°，每个外角都是，
∴360÷30=12，
∴这个多边形有12条边，
故答案为：12．
【分析】利用正多边形的边数=外角和÷一个外角的度数可得答案。
17．（2022八下·甘孜期末）已知一个多边形的内角和再加上一个外角共 ， 则这个多边形的边数是
【答案】5
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数是，加的外角为，
则（n－2） 180°+=600°，
∴n=5，=60°，
即这个多边形的边数是 5．
故答案为：5.
【分析】设多边形的边数是n，加的外角为α，由题意可得(n-2) 180°+α=600°，据此求解.
18．（2022八下·上城期末）在平行四边形中，：：：：：：，则 .
【答案】45°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设，则，，，则有
，
解得，
即.
故答案为：45°.
【分析】设∠A=x，则∠B=3x，∠C=x，∠D=3x，根据四边形内角和为360°可得x的度数，据此解答.
19．（2022八下·历下期末）足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ．
【答案】12°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：因为正多边形内角和为（n-2） 180°，正多边形每个内角都相等，
所以正五边形的每个内角的度数为（5-2） 180°=108°，
正六边形的每个内角的度数为（6-2） 180°=120°．
∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°．
故答案为：12°．
【分析】根据正多边的性质求出正五边形和正六边形的一个内角，再利用周角即可得到∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°。
20．（2022八下·通州期中）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则 ．
【答案】310°
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接AC，
∵∠ABC=130°，
∴∠BAC+∠BCA =180°-130°=50°，
∴．
故答案为：．
【分析】连接AC，利用三角形的内角和求出∠BAC+∠BCA =180°-130°=50°，再利用多边形的内角和求出即可。
三、解答题（共6题，共60分）
21．（2020八下·白云期末）多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形.如图，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了.
图①被分割成2个小三角形
图②被分割成3个小三角形
图③被分割成4个小三角形
（1）请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数：
图①被分割成 个小三角形、图②被分割成 个小三角形、图③被分割成 个小三角形；
（2）如果按照上述三种分割方法分别分割 边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数(用含 的代数式写出结论即可，不必画图)：按照上述图①、图②、图③的分割方法， 边形分别可以被分割成 、 、 个小三角形.
【答案】（1）4；5；6
（2）（n-2）；（n-1）；n
【知识点】多边形内角与外角；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）仿照已知的分割法，对六边形进行分割，见下图，分割成的三角形的个数分别是4个、5个、6个.
故答案为：4,5,6；
（ 2 ）结合两个特殊图形，可以发现:第一种分割法把n边形分割成了(n-2)个三角形;
第二种分割法把n边形分割成了(n-1)个三角形;
第三种分割法把n边形分割成了n个三角形.
故答案为：n-2,n-1,n.
【分析】从已知分割图中，图 ① 是作一个顶点出发的所有对角线对其进行分割;图②是连接多边形的其中一边上的一个点和各个顶点，对其进行分割;图③是连接多边形内部的任意一点和多边形的各个顶点，对其进行分割;
（1）根据上述方法分别进行分割，可以发现把六边形分割而成的三角形的个数分别是4个，5个，6个;
（2）根据这样的两个特殊图形，发现:第一种分割法，分割成的三角形的个数比边数少2,第二种分割法分割成的三角形的个数比边数少1,第三种分割法分割成的三角形的个数等于多边形的边数.
22．已知一个多边形的内角和与外角和之比为11：2。
（1）求这个多边形的内角和；
（2）求这个多边形的边数。
【答案】（1）解：设这个多边形的内角和为x，根据题意得，
x：360°=11：2
解之：x=1198°.
答：这个多边形的内角和为1980°.
（2）解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
（n-2）×180°=1980°
解之：x=13.
答：这个多边形的边数为13.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）利用一个多边形的内角和：外角和=11：2，设未知数，建立关于x的方程，解方程求出x的值.
（2）利用n边形的内角和为（n-2）×180°，建立关于n的方程，解方程求出n的值.
23．在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，试求出∠BEC的度数。
【答案】（1）解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=∠C，
∠B=∠C=（360°-∠A-∠D）÷2=70°
（2）解：∵BE∥AD，
∴∠BEC=∠D=80°，∠ABE+∠A=180°，
∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE=40°，
∠C=180°-∠EBC-∠BEC=180°-40°-80°=60°
（3）解：∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D=360°-140°-80°=140°
∵∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，
∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，
∠EBC+∠BCE=（∠ABC+∠BCD）=×140°=70°，
∠BEC=180°-（∠EBC+∠BCE）=180°-70°=110°
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）利用四边形内角和为360°，得出结果。
（2）利用两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，得出 ∠BEC=∠D ， ∠ABE=180°-∠A ，再利用角平分线的定义，得出 ∠EBC=∠ABE ，然后利用三角形内角和为180°，得出结果。
（3）利用四边形内角和为360度，角平分线得出∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，得出∠EBC+∠BCE=（∠ABC+∠BCD） ，从而得出结果。
24．如图
（1）如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数；
（2）如图2，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数。
【答案】（1）解：在四边形BCDM中，
∠C+∠B+∠D+∠2=360°，在四边形MEFN中，
∠1+∠3+∠E+∠F=360°
∠1=∠A+∠G，∠2+∠3=180°，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+360°-180°=540°.
（2）解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）利用四边形和三角形外角，得出 ∠C+∠B+∠D+∠2=360° ， ∠1+∠3+∠E+∠F=360° ，从而得出结果。
（2）利用三角形外角，得到 ∠7=∠1+∠5，∠8=∠4+∠6，从而得出结果。
25．（2020八下·清涧期末）如图，小明从点A出发，前进 后向右转30°，再前进 后又向右转 ，这样一直走下去，直到他第一次回到出发点A停止，他所走的路径构成了一个多边形.
（1）小明一共走了多少米？
（2）求这个多边形的内角和.
【答案】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，
∴360÷30=12，12×20=240（米）；
答：小明一共走了240米；
（2）解：根据题意得：
（12-2）×180°=1800°，
答：这个多边形的内角和是1800度.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，求得边数，即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式即可得到结论.
26．（2021八下·锡山期末）定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形.
（1）在三等角四边形 中， ，则 的取值范围为 ；
（2）如图1，折叠平行四边形 ，使得顶点 分别落在边 上的点 处，折痕为 .求证：四边形 为三等角四边形；
（3）如图 ，在三等角四边形 中， ，若 ， ， ，则 的长度为 .
【答案】（1）60°＜∠A＜∠120°
（2）证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵折叠平行四边形 ，使得顶点 分别落在边 上的点 处，
∴DE=DA，DF=DC，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是三等角四边形
（3）
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；多边形内角与外角；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形的内角和为（4-2）×180°=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∵ ，0＜∠D＜180°，
∴180°＜3∠A＜360°，
∴ ，
故答案为：
（3）如图，过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，
∵∠DAB=∠B=∠BCD，∠DAE+∠DAB=180°，∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，
∴AD=DE=BF= ，CD=DF=7，
∴AE=BE-AB=CD-AB=2，
∵DG⊥BE，DH⊥BF，
∴AG=EG= AE=1，CH=HF= CF，
∴DG= ，
∴S平行四边形DEBF=BE·DG=BF·DH，即7×5= DH，
解得：DH= ，
∴CH= = ，
∴CF=2CH= ，
∴BC=BF-CF= .
故答案为：
【分析】（1）由四边形的内角和结合已知条件可得180°＜3∠A＜360°，求解即可；
（2）由平行四边形的性质可得∠E=∠F，∠E+∠EBF=180°，由折叠的性质可得DE=DA，DF=DC，由等腰三角形的性质以及邻补角的性质可推出∠DAB=∠DCB=∠ABC，据此证明；
（3）过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，由平行四边形的性质可得DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，进而推出∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，求得AD、CD、AE的值，由等腰三角形的性质可得AG=EG=1，CH=HF，由勾股定理可得DG的值，由平行四边形的面积公式可得DH，由勾股定理可得CH的值，进而求得CF、BC的值.
1 / 12022-2023学年初数北师大版八年级下册6.4 多边形的内角与外角和 同步训练必刷题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·富阳期中）五边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．450° D．540°
2．（2022八下·灌阳期中）正多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2022八下·余杭期中）在五边形ABCDE中，∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的度数之比为3：5：3：4：3，则∠D的外角等于（ ）
A．60° B．75° C．90° D．120°
4．（2022八下·杭州期中）若一个正多边形的每一个外角都等于36°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2022八下·温州期中）如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB=57°，则∠AGD=（ ）
A．108° B．36° C．129° D．72°
6．（2022八下·苍南期中）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形．
7．（2022八下·新昌期中）一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（2022八下·宁波期中）若n边形的内角和与外角和相加为，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．（2022八下·乐清期中）衢州钟灵塔的塔基是个正n边形（n是正整数）.测得塔基所在的正n边形的一个外角为60°，如图所示，n的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2022八下·承德期末）如图，五边形ABCDE中，，，、、分别是、、的外角，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空3分，共30分）
11．（2022八下·龙港期中）七边形的内角和为 度.
12．（2023八下·萧山期中） 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 .
13．（2022八下·顺义期末）如图所示的多边形中，根据标出的各内角度数，求出x的值是 ．
14．（2023八下·鄞州期中）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=136°，点E在边AD上，连结BE，若∠D与∠EBC互补，则∠EBA的值为
15．（2023八下·瓯海期中）第五套人民币中的5角硬币色泽为镍白色，正，反面的内周边缘均为正十一边形.则其内角和为 °.
16．（2022八下·锦州期末）如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数为 ．
17．（2022八下·甘孜期末）已知一个多边形的内角和再加上一个外角共 ， 则这个多边形的边数是
18．（2022八下·上城期末）在平行四边形中，：：：：：：，则 .
19．（2022八下·历下期末）足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ．
20．（2022八下·通州期中）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则 ．
三、解答题（共6题，共60分）
21．（2020八下·白云期末）多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形.如图，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了.
图①被分割成2个小三角形
图②被分割成3个小三角形
图③被分割成4个小三角形
（1）请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数：
图①被分割成 个小三角形、图②被分割成 个小三角形、图③被分割成 个小三角形；
（2）如果按照上述三种分割方法分别分割 边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数(用含 的代数式写出结论即可，不必画图)：按照上述图①、图②、图③的分割方法， 边形分别可以被分割成 、 、 个小三角形.
22．已知一个多边形的内角和与外角和之比为11：2。
（1）求这个多边形的内角和；
（2）求这个多边形的边数。
23．在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，试求出∠BEC的度数。
24．如图
（1）如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数；
（2）如图2，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数。
25．（2020八下·清涧期末）如图，小明从点A出发，前进 后向右转30°，再前进 后又向右转 ，这样一直走下去，直到他第一次回到出发点A停止，他所走的路径构成了一个多边形.
（1）小明一共走了多少米？
（2）求这个多边形的内角和.
26．（2021八下·锡山期末）定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形.
（1）在三等角四边形 中， ，则 的取值范围为 ；
（2）如图1，折叠平行四边形 ，使得顶点 分别落在边 上的点 处，折痕为 .求证：四边形 为三等角四边形；
（3）如图 ，在三等角四边形 中， ，若 ， ， ，则 的长度为 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：五边形的外角和为360°.
故答案为：B.
【分析】多边形的外角和等于360°.
2．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是360°，这个多边形的每一个外角都等于45°，
∴这个多边形的外角的个数为 ，
∴这个多边形的边数是8.
故答案为：C.
【分析】利用360°除以每个外角的度数可得多边形的边数.
3．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设∠A＝3x°，则∠B＝5x°，∠C＝3x°，∠D＝4x°，∠E＝3x°，
∴3x°+5x°+3x°+4x°+3x°＝540°，
解得：x＝30.
∴∠D＝4×30°＝120°.
∵180°﹣120°＝60°，
∴∠D的外角等于60°.
故答案为：A.
【分析】根据题意可设∠A＝3x°，则∠B＝5x°，∠C＝3x°，∠D＝4x°，∠E＝3x°，利用五边形内角和＝540°列出方程，求出x值即得∠D的度数，根据∠D与∠D的外角互补即可求解.
4．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正多边形的每一个外角都等于36°，
∴正多边形的边数＝＝10.
故答案为：D.
【分析】利用多边形外角和的度数除以其外角，即得正多边形的边数.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠D=180°×3÷5=108°，
∵∠CFB=57°，
∴∠BFD=180°-∠CFB=180°-57°=123°，
∵BF∥AG，
∴∠BAG+∠FBA=180°，
在五边形ABFDG中，
∴540°=∠BAG+∠FBA+∠BFD+∠D+∠AGD=180°+123°+108°+∠AGD，
∴∠AGD=129°.
故答案为：C.
【分析】由正五边形性质求得∠D的度数，再由邻补角性质可求得∠BFD的度数，再根据平行线的性质得∠BAG+∠FBA=180°，最后在五边形ABFDG中，540°=∠BAG+∠FBA+∠BFD+∠D+∠AGD，代入数据求出∠BAG的度数即可.
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得（n-2）×180=120n，
解得n=6<
∴ 这个多边形是六边形.
故答案为：B.
【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意列出方程，解方程求出n的值，即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∴这个多边形的内角和为（n﹣2）×180°，
∵这个多边形的内角和是外角和的4倍，
∴（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得：n＝10，
∴这个多边形的边数是10．
故答案为：C.
【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于n的一元一次方程，即（n﹣2）×180°＝360°×4，解方程求出n即可得出正确答案.
8．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵n边形的内角和与外角和相加为，外角和为360°，内角和为(n-2)×180°，
∴(n-2)×180°=1800°-360°，
解得n=10，
故答案为：D.
【分析】由多边形的外角和等于360°，内角和等于（n-2）180°并结合题意“n边形的内角和与外角和相加等于1800°”可得关于n的方程，解方程可求解.
9．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正n边形的一个外角为60°，多边形外角和为360°，
∴n=360÷60=6，
故答案为：B.
【分析】利用多边形外角和除以其外角的度数，即得n值.
10．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】解：延长AB和DC，得∠4与∠5，
∴∠4=180°-∠B，
∠5=180°-∠C，
∴∠4+∠5=360°-（∠B+∠C）=170°，
根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°-（∠4+∠5）=360°-170°=190°．
故答案为：B．
【分析】延长AB和DC，由邻补角的定义可得∠4=180°-∠B，∠5=180°-∠C，从而求∠4+∠5=360°-（∠B+∠C）=170°，由多边形的外角和定理得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，继而求解.
11．【答案】900
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：七边形的内角和为（7-2）×180°=900°.
故答案为：900.
【分析】利用n边形的内角和为（n-2）×180°，将n=7代入计算可求解.
12．【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是10.
故答案为：10.
【分析】设这个多边形的边数为n，则内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意列出关于n的方程，然后求解即可.
13．【答案】100
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
由题意得，140°+4x°＝540°，
解得x＝100．
故答案为：100．
【分析】根据题意列出方程140°+4x°＝540°，再求出x的值即可。
14．【答案】44°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠A+∠C=136°，
∴∠D+∠ABC=224°.
∵∠D+∠EBC=180°，
∴∠ABC-∠EBC=44°，
∴∠EBA=∠ABC-∠EBC=44°.
故答案为：44°.
【分析】根据四边形内角和为360°结合已知条件可得∠D+∠ABC=224°，由∠D与∠EBC互补可得∠D+∠EBC=180°，将两式相减可得∠ABC-∠EBC=44°，然后根据角的和差关系进行解答.
15．【答案】1620
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：十一边形的内角和等于：（11-2） 180°＝1620°.
故答案为：1620.
【分析】n边形的内角和为(n-2)×180°，据此计算.
16．【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是360°，每个外角都是，
∴360÷30=12，
∴这个多边形有12条边，
故答案为：12．
【分析】利用正多边形的边数=外角和÷一个外角的度数可得答案。
17．【答案】5
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数是，加的外角为，
则（n－2） 180°+=600°，
∴n=5，=60°，
即这个多边形的边数是 5．
故答案为：5.
【分析】设多边形的边数是n，加的外角为α，由题意可得(n-2) 180°+α=600°，据此求解.
18．【答案】45°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设，则，，，则有
，
解得，
即.
故答案为：45°.
【分析】设∠A=x，则∠B=3x，∠C=x，∠D=3x，根据四边形内角和为360°可得x的度数，据此解答.
19．【答案】12°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：因为正多边形内角和为（n-2） 180°，正多边形每个内角都相等，
所以正五边形的每个内角的度数为（5-2） 180°=108°，
正六边形的每个内角的度数为（6-2） 180°=120°．
∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°．
故答案为：12°．
【分析】根据正多边的性质求出正五边形和正六边形的一个内角，再利用周角即可得到∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°。
20．【答案】310°
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接AC，
∵∠ABC=130°，
∴∠BAC+∠BCA =180°-130°=50°，
∴．
故答案为：．
【分析】连接AC，利用三角形的内角和求出∠BAC+∠BCA =180°-130°=50°，再利用多边形的内角和求出即可。
21．【答案】（1）4；5；6
（2）（n-2）；（n-1）；n
【知识点】多边形内角与外角；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）仿照已知的分割法，对六边形进行分割，见下图，分割成的三角形的个数分别是4个、5个、6个.
故答案为：4,5,6；
（ 2 ）结合两个特殊图形，可以发现:第一种分割法把n边形分割成了(n-2)个三角形;
第二种分割法把n边形分割成了(n-1)个三角形;
第三种分割法把n边形分割成了n个三角形.
故答案为：n-2,n-1,n.
【分析】从已知分割图中，图 ① 是作一个顶点出发的所有对角线对其进行分割;图②是连接多边形的其中一边上的一个点和各个顶点，对其进行分割;图③是连接多边形内部的任意一点和多边形的各个顶点，对其进行分割;
（1）根据上述方法分别进行分割，可以发现把六边形分割而成的三角形的个数分别是4个，5个，6个;
（2）根据这样的两个特殊图形，发现:第一种分割法，分割成的三角形的个数比边数少2,第二种分割法分割成的三角形的个数比边数少1,第三种分割法分割成的三角形的个数等于多边形的边数.
22．【答案】（1）解：设这个多边形的内角和为x，根据题意得，
x：360°=11：2
解之：x=1198°.
答：这个多边形的内角和为1980°.
（2）解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
（n-2）×180°=1980°
解之：x=13.
答：这个多边形的边数为13.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）利用一个多边形的内角和：外角和=11：2，设未知数，建立关于x的方程，解方程求出x的值.
（2）利用n边形的内角和为（n-2）×180°，建立关于n的方程，解方程求出n的值.
23．【答案】（1）解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=∠C，
∠B=∠C=（360°-∠A-∠D）÷2=70°
（2）解：∵BE∥AD，
∴∠BEC=∠D=80°，∠ABE+∠A=180°，
∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE=40°，
∠C=180°-∠EBC-∠BEC=180°-40°-80°=60°
（3）解：∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D=360°-140°-80°=140°
∵∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，
∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，
∠EBC+∠BCE=（∠ABC+∠BCD）=×140°=70°，
∠BEC=180°-（∠EBC+∠BCE）=180°-70°=110°
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）利用四边形内角和为360°，得出结果。
（2）利用两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，得出 ∠BEC=∠D ， ∠ABE=180°-∠A ，再利用角平分线的定义，得出 ∠EBC=∠ABE ，然后利用三角形内角和为180°，得出结果。
（3）利用四边形内角和为360度，角平分线得出∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，得出∠EBC+∠BCE=（∠ABC+∠BCD） ，从而得出结果。
24．【答案】（1）解：在四边形BCDM中，
∠C+∠B+∠D+∠2=360°，在四边形MEFN中，
∠1+∠3+∠E+∠F=360°
∠1=∠A+∠G，∠2+∠3=180°，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+360°-180°=540°.
（2）解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）利用四边形和三角形外角，得出 ∠C+∠B+∠D+∠2=360° ， ∠1+∠3+∠E+∠F=360° ，从而得出结果。
（2）利用三角形外角，得到 ∠7=∠1+∠5，∠8=∠4+∠6，从而得出结果。
25．【答案】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，
∴360÷30=12，12×20=240（米）；
答：小明一共走了240米；
（2）解：根据题意得：
（12-2）×180°=1800°，
答：这个多边形的内角和是1800度.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，求得边数，即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式即可得到结论.
26．【答案】（1）60°＜∠A＜∠120°
（2）证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵折叠平行四边形 ，使得顶点 分别落在边 上的点 处，
∴DE=DA，DF=DC，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是三等角四边形
（3）
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；多边形内角与外角；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形的内角和为（4-2）×180°=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∵ ，0＜∠D＜180°，
∴180°＜3∠A＜360°，
∴ ，
故答案为：
（3）如图，过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，
∵∠DAB=∠B=∠BCD，∠DAE+∠DAB=180°，∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，
∴AD=DE=BF= ，CD=DF=7，
∴AE=BE-AB=CD-AB=2，
∵DG⊥BE，DH⊥BF，
∴AG=EG= AE=1，CH=HF= CF，
∴DG= ，
∴S平行四边形DEBF=BE·DG=BF·DH，即7×5= DH，
解得：DH= ，
∴CH= = ，
∴CF=2CH= ，
∴BC=BF-CF= .
故答案为：
【分析】（1）由四边形的内角和结合已知条件可得180°＜3∠A＜360°，求解即可；
（2）由平行四边形的性质可得∠E=∠F，∠E+∠EBF=180°，由折叠的性质可得DE=DA，DF=DC，由等腰三角形的性质以及邻补角的性质可推出∠DAB=∠DCB=∠ABC，据此证明；
（3）过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，由平行四边形的性质可得DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，进而推出∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，求得AD、CD、AE的值，由等腰三角形的性质可得AG=EG=1，CH=HF，由勾股定理可得DG的值，由平行四边形的面积公式可得DH，由勾股定理可得CH的值，进而求得CF、BC的值.
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