2023年浙江省杭州市初中毕业生学业水平测试数学模拟试题(一)
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2020七下·厦门期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．三角形的内角和等于180°
C．相等的角是对顶角
D．如果一个数是无限小数，那么这个数是无理数
2．（2020九上·乌拉特前旗期中）下列平面图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021·赤峰）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2013·宜宾）某棵果树前x年的总产量y与x之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前x年的年平均产量最高，则x的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
5．（2021·解放模拟）如图是由大小相同的正方体搭成的几何体，将小正方体①去掉后，下列说法正确的是（ ）
A．主视图不变 B．俯视图不变
C．左视图不变 D．三种视图都不变
6．（2020七下·开江期末）2020年2月11日在日内瓦，世卫组织总干事谭德塞在记者会上宣布，将新型冠状病毒（2019-nCov）引发的疾病正式命名为：2019冠状病毒病，（COVID-19，即Corona Virus Disease 2019），大小约为 ，有包膜，基因特征与SARS-Cov有区别。用科学记数法表示 等于（ ）米.
A． B． C． D．
7．（相交弦定理）如图，AB为⊙O的直径，AB=10cm，弦CD⊥AB，垂足为E，且AE：EB=2：3，则AC=（ ）
A．3cm B．4cm C． cm D． cm
8．（2019八上·兰州月考）如图，在Rt△ABC 中∠ACB = 90° ， AC = 3 ，BC = 4 ，点 D在 AB上， AD = AC ， AF⊥CD 交CD 于点 E ，交CB 于点 F ，则CF 的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.5
9．（2021九下·福州开学考）若二次函数y＝x2+与y＝－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）
A．这两个函数图象有相同的对称轴
B．这两个函数图象的开口方向相反
C．方程－x2+k＝0没有实数根
D．二次函数y＝－x2＋k的最大值为
10．（2021九上·龙沙期末）如图，在平行四边形中，点M为的中点，与相交于点N，若已知，那么等于（ ）
A．6 B．9 C．12 D．3
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（初中数学浙教版七下精彩练习4.3用乘法公式分解因式（1））分解因式： .
12．（2019八上·无锡月考）某人一天饮水1890毫升，将1890精确到1000后可以表示为 .
13．（2022九上·温州期中）一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是3的概率是 ．
14．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.6.1 直线和圆的位置关系）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣ x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ．
15．（2020八上·沈阳期末）如图，长方形ABOC中点A坐标为（4，5），点E是x轴上一动点，连接AE，把∠B沿AE折叠，当点B落在y轴上时点E的坐标为 ．
16．（2017·孝义模拟）如图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，其支架AB，CD，EF，GH，BE，DG，FK的长度都为40cm（支架的宽度忽略不计），四边形BQCP、DMEQ、FNGM是互相全等的菱形，当晾衣架的A端拉伸到距离墙壁最远时，∠B=∠D=∠F=80°，这时A端到墙壁的距离约为 cm．
（sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）
三、解答题（共7题，共66分）
17．（2021九下·江北期中）化简下列各式：
（1）（a﹣2b）2+（a﹣b）（a+4b）；
（2） .
18．（2021六上·青浦月考）某台风给香港造成了重大的损失，某中学开展爱心捐助活动，根据预备年级的捐款情况绘制如下统计图：
请根据统计图给出得信息回答下列问题：
（1）本次活动中预备年级共有 名同学捐款？
（2）本次活动种捐款20元以上（不包括捐款20元的）人数占预备年级捐款总人数的几分之几？（写出过程）
19．（2011·内江）放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在大洲广场上放风筝．如图他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D处．此时风筝线AD与水平线的夹角为30°． 为了便于观察．小明迅速向前边移动边收线到达了离A处7米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A、B、C在冋一条直线上，∠ACD=90°．请你求出小明此吋所收回的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段， ≈1.414， ≈1.732．最后结果精确到1米）
20．（2022八下·仁寿期中）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点.
Ⅰ 试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
Ⅱ 连OB，在x轴上取点C，使 ，并求 的面积；
Ⅲ 直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
21．（2023·衢州模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D.
①求证：BD⊥AD；
②若AC＝9，tan∠ABC＝，求⊙O的半径.
22．如图，一块平行四边形场地ABCD，测得∠ABC=60°，AB=2，AD=4，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接CE，AF．现计划在四边形AECF区域内种植花草．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）求四边形AECF的面积．
23．（2018九上·宁江期末）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求证：AF+EF=DE；
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；无理数的概念；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，故此选项不合题意；
B、三角形的内角和等于180°，原命题是真命题，故此选项符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，故此选项不合题意；
D、如果一个数是无限小数，若是无限循环小数，那么这个数不是无理数，原命题是假命题，故此选项不合题意；
故答案为：B.
【分析】根据命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假，正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：①既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②是轴对称图形，但不是中心对称图形；
③既是轴对称图形，又是中心对称图形；
④是轴对称图形，但不是中心对称图形；
∴共有 个既是轴对称图形又是中心对称图形
故答案为：B
【分析】根据中心对称及轴对称图形的定义逐项判定即可。
3．【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：此几何体为圆锥，
圆锥母线长为9cm，直径为6 cm，
侧面积 ，
故答案为：A．
【分析】根据圆锥母线长为9cm，直径为6 cm，计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：利用前x年的年平均产量增加越快，则总产量增加就越快，
根据图象可得出第7年总产量增加最快，即前7年的年平均产量最高，x=7．
故选C．
【分析】由已知中图象表示某棵果树前x年的总产量y与x之间的关系，可分析出平均产量的几何意义，结合图象可得答案．
5．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：若小正方体①去掉后，其左视图不变，即左视图依然还是两层，底层有2个正方形，上层有1个正方形.
故答案为：C.
【分析】根据三视图的概念判断出去掉①后俯视图、左视图、主视图的层数以及每层小正方形的个数，然后进行判断即可.
6．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：科学记数法：将一个数表示成 的形式，其中 ，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，
因为 ，
所以 ，
故答案为：C.
【分析】绝对值小于1的正数可以用科学记数法的表示，一般形式为a×10-n的形式。其中1≤|a|＜10，-n=原数左边第一个不为0的数字前面的0的个数的相反数.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；相交弦定理
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，∴CE=DE，
∴CE2=AE BE，
∵AB=10cm，且AE：EB=2：3，
∴AE=4cm，EB=6cm，
∴CE=2 cm，
∴AC= = =2 cm．
故选D．
【分析】由垂径定理得到CE=DE，又根据相交弦定理得到CE ED=AE EB，即CE2=AE BE，可求得CE，再由勾股定理求出AC即可．
8．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】连接DF，如图所示.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB 5.
∵AD=AC=3，AF⊥CD，∴CE=DE，BD=AB﹣AD=2，∴CF=DF.
在△ADF和△ACF中，∵ ，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF=∠ACF=90°，∴∠BDF=90°.设CF=x，则DF=x，BF=4﹣x.
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2=BF2，即x2+22=（4﹣x）2，解得：x=1.5；∴CF=1.5.
故答案为：D.
【分析】 连接DF，如图所示，在Rt△ABC中，首先根据勾股定理算出AB的长，根据线段的和差由BD=AB-AD算出BD，根据等腰三角形的三线合一得出CE=DE，再根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出CF=DF，从而利用SSS判断出△ADF≌△ACF，根据全等三角形的对应角相等得出∠ADF=∠ACF=90°，设CF=x，则DF=x，BF=4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理建立方程，求解即可算出x的长，从而即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2＋的顶点坐标为（0，），
∴二次函数y＝ x2＋k的顶点坐标也为（0，），即有k＝，
它们的对称轴都为y轴，其中抛物线y＝x2＋的开口向上，抛物线y＝ x2＋的开口向下，二次函数y＝ x2＋的最大值为，方程 x2＋k＝0有实数根．
∴A、B、D正确，C、错误.
故答案为：C.
【分析】先确定二次函数y＝x2＋的顶点坐标为（0，），由于二次函数y＝x2＋与y＝ x2＋k的图象的顶点重合，则得到k＝，然后根据二次函数性质得到它们的对称轴都为y轴，其中抛物线y＝x2＋的开口向上，抛物线y＝ x2＋的开口向下，二次函数y＝ x2＋的最大值为，并且k＝时，可得到方程 x2＋k＝0有实数根．
10．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点M为CD的中点，
∴DM=，
在平行四边形中AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABN=∠MDN，∠BAN=∠DMN，
∴△ABN∽△MDN，
∴，
∴AN=2MN，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质即可得出答案。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
=
=
=
= .
故答案为： .
【分析】先把原式化成 ，利用平方差公式分解因式，再把 化成 ，再利用平方差公式分解因式，即可得出结果.
12．【答案】2×103
【知识点】近似数及有效数字
【解析】【解答】解：将1890精确到1000后可以表示为2×103.
故答案为:2×103.
【分析】先利用科学记数法表示，再把百位上的数字8进行四舍五入即可.
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵6个面一共有6个数字，朝上一面的数字是3的只有1种情况，
∴P（朝上一面的数字是3）=.
故答案为：
【分析】由题意可知一共有6种结果数，但朝上一面的数字是3的只有1种情况，然后利用概率公式进行计算.
14．【答案】2
【知识点】全等三角形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：
如图，作AP⊥直线y=﹣ x+3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小∵A的坐标为（﹣1，0），
设直线与x轴，y轴分别交于B，C，
∴B（0，3），C（4，0），
∴OB=3，AC=5，
∴BC= =5，
∴AC=BC，
在△APC与△BOC中， ，
∴△APC≌△OBC，
∴AP=OB=3，
∴PQ= =2 ．
【分析】过点A作AP⊥直线y=﹣ x+3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小。用角角边可证△APC≌△OBC，根据全等三角形的性质可得AP=OB，在直角三角形APQ中用勾股定理可求PQ的长。
15．【答案】（ ，0）或（﹣6，0）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，当点E在OB上，
∵点A坐标为（4，5），
∴AC＝4，AB＝5，
由折叠可得∴B'C＝ ＝ ＝3，
∴B'O＝OC﹣B'C＝2，
∵B'E2＝B'O2+OE2，
∴（4﹣EO）2＝4+OE2，
∴OE＝ ，
∴点E（ ，0）
若点E在BO的延长线上，
∴B'C＝ ＝ ＝3，
∴B'O＝OC+B'C＝8，
∵B'E2＝B'O2+OE2，
∴（4+EO）2＝64+OE2，
∴OE＝6，
∴点E（﹣6，0）
故答案为：（ ，0）或（﹣6，0）
【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质可求AB'＝AB＝5，BE＝B'E，由勾股定理可求B'C＝5，OE的长，即可求解．
16．【答案】102.72
【知识点】菱形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：连接GK，过N作NI⊥GK于I，
由题意得，GN= GH=20，EF∥GH，
∴∠GNK=∠F=80°，
∴∠GNI= GNK=40°，
∴sin40°= =0.643，
∴GI=20×0.643=12.84，
∴GK=25.68，
∴A端到墙壁的距离约为4×25.68=102.72．
故答案为：102.72．
【分析】通过过N点作垂线，构造直角三角形，由EF∥GH可得∠GNK=∠F=80°，进而∠GNI= ∠ GNK=40°，由GN求GI可利用正弦，求出GK，再乘以4得出所求距离.
17．【答案】（1）解：原式＝a2﹣4ab+4b2+a2+3ab﹣4b2
＝2a2﹣ab.
（2）解：原式＝ ÷
＝
＝ .
【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式、多项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则化简即可；
（2）根据异分母分式加法法则以及分式的除法法则化简即可.
18．【答案】（1）195
（2）解：（16＋25＋4）÷195
=（41＋4）÷195
=45÷195
=
答：本次活动种捐款20元以上（不包括捐款20元的）人数占预备年级捐款总人数的。
【知识点】求一个数是另一数的几分之几
【解析】【解答】解：（1）25＋70＋55＋16＋25＋4
=95＋55＋16＋25＋4
=150＋16＋25＋4
=166＋25＋4
=191＋4
=195（名）
故答案为：（1）195。
【分析】（1）本次活动中预备年级共有捐款学生人数=各个捐款金额的人数相加；
（2）本次活动种捐款20元以上（不包括捐款20元的）人数占预备年级捐款总人数的分率=本次活动种捐款20元以上（不包括捐款20元的）人数÷预备年级捐款总人数的。
19．【答案】解：设CD为x米．
∵∠ACD=90°，
∴在直角△ADC中，∠DAC=30°，AC=CD÷tan30°= x，
在直角△BCD中，∠DBC=45°，BC=CD=x，BD= x，
∵AC﹣BC=AB=7米，
∴ x﹣x=7，
又∵ ≈1.414， ≈1.732，
∴x=10米，
则小明此时所收回的风筝的长度为：AD﹣BD=2x﹣ x≈6（米）
【知识点】锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】设CD为x米，根据三角函数即可表示出AC于BC的长，根据AC﹣BC=AB即可得到一个关于x的方程，解方程即可求得x的值．
20．【答案】解：（Ⅰ）∵把A(－2，1)代入y＝ 得：m＝－2×1＝－2，
∴y＝－ ；
∵把B(1，n)代入y＝－ 得：n＝－2，
∴B(1，－2)，
∵把A、B的坐标代入y＝kx＋b得： ，
∴ ，
∴y＝－x－1.
答：反比例函数的表达式是y＝－ ，一次函数的表达式是y＝－x－1.
(Ⅱ)作BD⊥x轴于D，
∵BO＝BC，
∴OD＝DC.
∴D(1，0)，C(2，0)
∴S△OBC＝ ×2×2＝2.
（Ⅲ）一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围是：x＜－2或0＜x＜1 .
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）把A(-2，1)代入y=中可得m的值，据此可得反比例函数的解析式，将B（1，n）代入可得n的值，得到点B的坐标，然后将A、B的坐标代入y=kx+b中求出k、b的值，进而可得一次函数的解析式；
（Ⅱ）作BD⊥x轴于D，根据等腰三角形的性质可得OD＝DC，则D（1，0）、C（2，0），然后利用三角形的面积公式进行计算；（Ⅲ）根据图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方部分所对应的x的范围即可.
21．【答案】解：①证明：如图，连接OB，
∵BD为⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵点B为 的中点，
∴ ，
∴∠CAB＝∠BAE，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠CAB＝∠OBA，
∴OB∥AD，
∴∠D＝90°，
∴BD⊥AD；
②解：如图，连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠AEC＝∠ABC，
∴
∴
∵AC＝9，
∴EC＝12，
在Rt△ACE中，
∵∠ACE＝90°，
∴
∴⊙O的半径为 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】①连接OB，根据切线的性质可得∠OBD＝90°，由圆周角定理可得∠CAB＝∠BAE，根据等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠OBA，则∠CAB＝∠OBA，推出OB∥AD，据此证明；
②连接CE，由圆周角定理可得∠ACE＝90°，∠AEC＝∠ABC，结合三角函数的概念可得EC，然后利用勾股定理进行计算.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD=S△CBD，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，AE BD=CF BD，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：过点B作BH⊥AD，交DA的延长线于点H，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABH=30°，
∵AB=2，
∴AH=1，BH= =，
∴DH=AH+AD=1+4=5，
∴BD= =2，
∵S△ABD=BD AE=AD BH，
即×2×AE=×4× ，
解得：AE=，
∴BE= =，
同理：DF=BE=，
∴EF=BD﹣BE﹣DF=，
∴S四边形AECF=EF AE=．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得S△ABD=S△CBD，又由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，可得AE∥CF，AE=CF，继而证得四边形AECF是平行四边形；
（2）首先过点B作BH⊥AD，交DA的延长线于点H，利用勾股定理可求得BH，DH的长，然后利用三角形的面积公式，求得AE的长，继而求得BE与DF的长，则可求得答案．
23．【答案】（1）解：如图①所示，连接BF，
∵BC=BE，
在Rt△BCF和Rt△BEF中
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；
（2）解：如图②所示：
延长DE交AC与点F，连接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；
（3）解：如图③所示：
连接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF-FC=AC=DE，
∴AF-EF=DE．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据HL证Rt△BCF≌Rt△BEF，得EF=CF，进而得出结论。（2）依据题意正确画出图形，解题思路和（1）完全相同。（3）根据HL证Rt△BCF≌Rt△BEF，得EF=CF，得出新的结论AF-EF=DE．
1 / 12023年浙江省杭州市初中毕业生学业水平测试数学模拟试题(一)
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2020七下·厦门期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．三角形的内角和等于180°
C．相等的角是对顶角
D．如果一个数是无限小数，那么这个数是无理数
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；无理数的概念；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，故此选项不合题意；
B、三角形的内角和等于180°，原命题是真命题，故此选项符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，故此选项不合题意；
D、如果一个数是无限小数，若是无限循环小数，那么这个数不是无理数，原命题是假命题，故此选项不合题意；
故答案为：B.
【分析】根据命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假，正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．
2．（2020九上·乌拉特前旗期中）下列平面图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：①既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②是轴对称图形，但不是中心对称图形；
③既是轴对称图形，又是中心对称图形；
④是轴对称图形，但不是中心对称图形；
∴共有 个既是轴对称图形又是中心对称图形
故答案为：B
【分析】根据中心对称及轴对称图形的定义逐项判定即可。
3．（2021·赤峰）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：此几何体为圆锥，
圆锥母线长为9cm，直径为6 cm，
侧面积 ，
故答案为：A．
【分析】根据圆锥母线长为9cm，直径为6 cm，计算求解即可。
4．（2013·宜宾）某棵果树前x年的总产量y与x之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前x年的年平均产量最高，则x的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：利用前x年的年平均产量增加越快，则总产量增加就越快，
根据图象可得出第7年总产量增加最快，即前7年的年平均产量最高，x=7．
故选C．
【分析】由已知中图象表示某棵果树前x年的总产量y与x之间的关系，可分析出平均产量的几何意义，结合图象可得答案．
5．（2021·解放模拟）如图是由大小相同的正方体搭成的几何体，将小正方体①去掉后，下列说法正确的是（ ）
A．主视图不变 B．俯视图不变
C．左视图不变 D．三种视图都不变
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：若小正方体①去掉后，其左视图不变，即左视图依然还是两层，底层有2个正方形，上层有1个正方形.
故答案为：C.
【分析】根据三视图的概念判断出去掉①后俯视图、左视图、主视图的层数以及每层小正方形的个数，然后进行判断即可.
6．（2020七下·开江期末）2020年2月11日在日内瓦，世卫组织总干事谭德塞在记者会上宣布，将新型冠状病毒（2019-nCov）引发的疾病正式命名为：2019冠状病毒病，（COVID-19，即Corona Virus Disease 2019），大小约为 ，有包膜，基因特征与SARS-Cov有区别。用科学记数法表示 等于（ ）米.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：科学记数法：将一个数表示成 的形式，其中 ，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，
因为 ，
所以 ，
故答案为：C.
【分析】绝对值小于1的正数可以用科学记数法的表示，一般形式为a×10-n的形式。其中1≤|a|＜10，-n=原数左边第一个不为0的数字前面的0的个数的相反数.
7．（相交弦定理）如图，AB为⊙O的直径，AB=10cm，弦CD⊥AB，垂足为E，且AE：EB=2：3，则AC=（ ）
A．3cm B．4cm C． cm D． cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；相交弦定理
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，∴CE=DE，
∴CE2=AE BE，
∵AB=10cm，且AE：EB=2：3，
∴AE=4cm，EB=6cm，
∴CE=2 cm，
∴AC= = =2 cm．
故选D．
【分析】由垂径定理得到CE=DE，又根据相交弦定理得到CE ED=AE EB，即CE2=AE BE，可求得CE，再由勾股定理求出AC即可．
8．（2019八上·兰州月考）如图，在Rt△ABC 中∠ACB = 90° ， AC = 3 ，BC = 4 ，点 D在 AB上， AD = AC ， AF⊥CD 交CD 于点 E ，交CB 于点 F ，则CF 的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.5
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】连接DF，如图所示.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB 5.
∵AD=AC=3，AF⊥CD，∴CE=DE，BD=AB﹣AD=2，∴CF=DF.
在△ADF和△ACF中，∵ ，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF=∠ACF=90°，∴∠BDF=90°.设CF=x，则DF=x，BF=4﹣x.
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2=BF2，即x2+22=（4﹣x）2，解得：x=1.5；∴CF=1.5.
故答案为：D.
【分析】 连接DF，如图所示，在Rt△ABC中，首先根据勾股定理算出AB的长，根据线段的和差由BD=AB-AD算出BD，根据等腰三角形的三线合一得出CE=DE，再根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出CF=DF，从而利用SSS判断出△ADF≌△ACF，根据全等三角形的对应角相等得出∠ADF=∠ACF=90°，设CF=x，则DF=x，BF=4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理建立方程，求解即可算出x的长，从而即可得出答案.
9．（2021九下·福州开学考）若二次函数y＝x2+与y＝－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）
A．这两个函数图象有相同的对称轴
B．这两个函数图象的开口方向相反
C．方程－x2+k＝0没有实数根
D．二次函数y＝－x2＋k的最大值为
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2＋的顶点坐标为（0，），
∴二次函数y＝ x2＋k的顶点坐标也为（0，），即有k＝，
它们的对称轴都为y轴，其中抛物线y＝x2＋的开口向上，抛物线y＝ x2＋的开口向下，二次函数y＝ x2＋的最大值为，方程 x2＋k＝0有实数根．
∴A、B、D正确，C、错误.
故答案为：C.
【分析】先确定二次函数y＝x2＋的顶点坐标为（0，），由于二次函数y＝x2＋与y＝ x2＋k的图象的顶点重合，则得到k＝，然后根据二次函数性质得到它们的对称轴都为y轴，其中抛物线y＝x2＋的开口向上，抛物线y＝ x2＋的开口向下，二次函数y＝ x2＋的最大值为，并且k＝时，可得到方程 x2＋k＝0有实数根．
10．（2021九上·龙沙期末）如图，在平行四边形中，点M为的中点，与相交于点N，若已知，那么等于（ ）
A．6 B．9 C．12 D．3
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点M为CD的中点，
∴DM=，
在平行四边形中AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABN=∠MDN，∠BAN=∠DMN，
∴△ABN∽△MDN，
∴，
∴AN=2MN，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质即可得出答案。
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（初中数学浙教版七下精彩练习4.3用乘法公式分解因式（1））分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
=
=
=
= .
故答案为： .
【分析】先把原式化成 ，利用平方差公式分解因式，再把 化成 ，再利用平方差公式分解因式，即可得出结果.
12．（2019八上·无锡月考）某人一天饮水1890毫升，将1890精确到1000后可以表示为 .
【答案】2×103
【知识点】近似数及有效数字
【解析】【解答】解：将1890精确到1000后可以表示为2×103.
故答案为:2×103.
【分析】先利用科学记数法表示，再把百位上的数字8进行四舍五入即可.
13．（2022九上·温州期中）一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是3的概率是 ．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵6个面一共有6个数字，朝上一面的数字是3的只有1种情况，
∴P（朝上一面的数字是3）=.
故答案为：
【分析】由题意可知一共有6种结果数，但朝上一面的数字是3的只有1种情况，然后利用概率公式进行计算.
14．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.6.1 直线和圆的位置关系）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣ x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ．
【答案】2
【知识点】全等三角形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：
如图，作AP⊥直线y=﹣ x+3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小∵A的坐标为（﹣1，0），
设直线与x轴，y轴分别交于B，C，
∴B（0，3），C（4，0），
∴OB=3，AC=5，
∴BC= =5，
∴AC=BC，
在△APC与△BOC中， ，
∴△APC≌△OBC，
∴AP=OB=3，
∴PQ= =2 ．
【分析】过点A作AP⊥直线y=﹣ x+3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小。用角角边可证△APC≌△OBC，根据全等三角形的性质可得AP=OB，在直角三角形APQ中用勾股定理可求PQ的长。
15．（2020八上·沈阳期末）如图，长方形ABOC中点A坐标为（4，5），点E是x轴上一动点，连接AE，把∠B沿AE折叠，当点B落在y轴上时点E的坐标为 ．
【答案】（ ，0）或（﹣6，0）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，当点E在OB上，
∵点A坐标为（4，5），
∴AC＝4，AB＝5，
由折叠可得∴B'C＝ ＝ ＝3，
∴B'O＝OC﹣B'C＝2，
∵B'E2＝B'O2+OE2，
∴（4﹣EO）2＝4+OE2，
∴OE＝ ，
∴点E（ ，0）
若点E在BO的延长线上，
∴B'C＝ ＝ ＝3，
∴B'O＝OC+B'C＝8，
∵B'E2＝B'O2+OE2，
∴（4+EO）2＝64+OE2，
∴OE＝6，
∴点E（﹣6，0）
故答案为：（ ，0）或（﹣6，0）
【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质可求AB'＝AB＝5，BE＝B'E，由勾股定理可求B'C＝5，OE的长，即可求解．
16．（2017·孝义模拟）如图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，其支架AB，CD，EF，GH，BE，DG，FK的长度都为40cm（支架的宽度忽略不计），四边形BQCP、DMEQ、FNGM是互相全等的菱形，当晾衣架的A端拉伸到距离墙壁最远时，∠B=∠D=∠F=80°，这时A端到墙壁的距离约为 cm．
（sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）
【答案】102.72
【知识点】菱形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：连接GK，过N作NI⊥GK于I，
由题意得，GN= GH=20，EF∥GH，
∴∠GNK=∠F=80°，
∴∠GNI= GNK=40°，
∴sin40°= =0.643，
∴GI=20×0.643=12.84，
∴GK=25.68，
∴A端到墙壁的距离约为4×25.68=102.72．
故答案为：102.72．
【分析】通过过N点作垂线，构造直角三角形，由EF∥GH可得∠GNK=∠F=80°，进而∠GNI= ∠ GNK=40°，由GN求GI可利用正弦，求出GK，再乘以4得出所求距离.
三、解答题（共7题，共66分）
17．（2021九下·江北期中）化简下列各式：
（1）（a﹣2b）2+（a﹣b）（a+4b）；
（2） .
【答案】（1）解：原式＝a2﹣4ab+4b2+a2+3ab﹣4b2
＝2a2﹣ab.
（2）解：原式＝ ÷
＝
＝ .
【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式、多项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则化简即可；
（2）根据异分母分式加法法则以及分式的除法法则化简即可.
18．（2021六上·青浦月考）某台风给香港造成了重大的损失，某中学开展爱心捐助活动，根据预备年级的捐款情况绘制如下统计图：
请根据统计图给出得信息回答下列问题：
（1）本次活动中预备年级共有 名同学捐款？
（2）本次活动种捐款20元以上（不包括捐款20元的）人数占预备年级捐款总人数的几分之几？（写出过程）
【答案】（1）195
（2）解：（16＋25＋4）÷195
=（41＋4）÷195
=45÷195
=
答：本次活动种捐款20元以上（不包括捐款20元的）人数占预备年级捐款总人数的。
【知识点】求一个数是另一数的几分之几
【解析】【解答】解：（1）25＋70＋55＋16＋25＋4
=95＋55＋16＋25＋4
=150＋16＋25＋4
=166＋25＋4
=191＋4
=195（名）
故答案为：（1）195。
【分析】（1）本次活动中预备年级共有捐款学生人数=各个捐款金额的人数相加；
（2）本次活动种捐款20元以上（不包括捐款20元的）人数占预备年级捐款总人数的分率=本次活动种捐款20元以上（不包括捐款20元的）人数÷预备年级捐款总人数的。
19．（2011·内江）放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在大洲广场上放风筝．如图他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D处．此时风筝线AD与水平线的夹角为30°． 为了便于观察．小明迅速向前边移动边收线到达了离A处7米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A、B、C在冋一条直线上，∠ACD=90°．请你求出小明此吋所收回的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段， ≈1.414， ≈1.732．最后结果精确到1米）
【答案】解：设CD为x米．
∵∠ACD=90°，
∴在直角△ADC中，∠DAC=30°，AC=CD÷tan30°= x，
在直角△BCD中，∠DBC=45°，BC=CD=x，BD= x，
∵AC﹣BC=AB=7米，
∴ x﹣x=7，
又∵ ≈1.414， ≈1.732，
∴x=10米，
则小明此时所收回的风筝的长度为：AD﹣BD=2x﹣ x≈6（米）
【知识点】锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】设CD为x米，根据三角函数即可表示出AC于BC的长，根据AC﹣BC=AB即可得到一个关于x的方程，解方程即可求得x的值．
20．（2022八下·仁寿期中）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点.
Ⅰ 试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
Ⅱ 连OB，在x轴上取点C，使 ，并求 的面积；
Ⅲ 直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）∵把A(－2，1)代入y＝ 得：m＝－2×1＝－2，
∴y＝－ ；
∵把B(1，n)代入y＝－ 得：n＝－2，
∴B(1，－2)，
∵把A、B的坐标代入y＝kx＋b得： ，
∴ ，
∴y＝－x－1.
答：反比例函数的表达式是y＝－ ，一次函数的表达式是y＝－x－1.
(Ⅱ)作BD⊥x轴于D，
∵BO＝BC，
∴OD＝DC.
∴D(1，0)，C(2，0)
∴S△OBC＝ ×2×2＝2.
（Ⅲ）一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围是：x＜－2或0＜x＜1 .
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）把A(-2，1)代入y=中可得m的值，据此可得反比例函数的解析式，将B（1，n）代入可得n的值，得到点B的坐标，然后将A、B的坐标代入y=kx+b中求出k、b的值，进而可得一次函数的解析式；
（Ⅱ）作BD⊥x轴于D，根据等腰三角形的性质可得OD＝DC，则D（1，0）、C（2，0），然后利用三角形的面积公式进行计算；（Ⅲ）根据图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方部分所对应的x的范围即可.
21．（2023·衢州模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D.
①求证：BD⊥AD；
②若AC＝9，tan∠ABC＝，求⊙O的半径.
【答案】解：①证明：如图，连接OB，
∵BD为⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵点B为 的中点，
∴ ，
∴∠CAB＝∠BAE，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠CAB＝∠OBA，
∴OB∥AD，
∴∠D＝90°，
∴BD⊥AD；
②解：如图，连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠AEC＝∠ABC，
∴
∴
∵AC＝9，
∴EC＝12，
在Rt△ACE中，
∵∠ACE＝90°，
∴
∴⊙O的半径为 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】①连接OB，根据切线的性质可得∠OBD＝90°，由圆周角定理可得∠CAB＝∠BAE，根据等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠OBA，则∠CAB＝∠OBA，推出OB∥AD，据此证明；
②连接CE，由圆周角定理可得∠ACE＝90°，∠AEC＝∠ABC，结合三角函数的概念可得EC，然后利用勾股定理进行计算.
22．如图，一块平行四边形场地ABCD，测得∠ABC=60°，AB=2，AD=4，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接CE，AF．现计划在四边形AECF区域内种植花草．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）求四边形AECF的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD=S△CBD，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，AE BD=CF BD，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：过点B作BH⊥AD，交DA的延长线于点H，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABH=30°，
∵AB=2，
∴AH=1，BH= =，
∴DH=AH+AD=1+4=5，
∴BD= =2，
∵S△ABD=BD AE=AD BH，
即×2×AE=×4× ，
解得：AE=，
∴BE= =，
同理：DF=BE=，
∴EF=BD﹣BE﹣DF=，
∴S四边形AECF=EF AE=．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得S△ABD=S△CBD，又由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，可得AE∥CF，AE=CF，继而证得四边形AECF是平行四边形；
（2）首先过点B作BH⊥AD，交DA的延长线于点H，利用勾股定理可求得BH，DH的长，然后利用三角形的面积公式，求得AE的长，继而求得BE与DF的长，则可求得答案．
23．（2018九上·宁江期末）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求证：AF+EF=DE；
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如图①所示，连接BF，
∵BC=BE，
在Rt△BCF和Rt△BEF中
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；
（2）解：如图②所示：
延长DE交AC与点F，连接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；
（3）解：如图③所示：
连接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF-FC=AC=DE，
∴AF-EF=DE．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据HL证Rt△BCF≌Rt△BEF，得EF=CF，进而得出结论。（2）依据题意正确画出图形，解题思路和（1）完全相同。（3）根据HL证Rt△BCF≌Rt△BEF，得EF=CF，得出新的结论AF-EF=DE．
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