2023年浙江省杭州市初中毕业生学业水平测试数学模拟试题(四)

2023年浙江省杭州市初中毕业生学业水平测试数学模拟试题(四)
一、单选题
1．（2023七上·临湘期末）有理数，5，0，，，中，负数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023七下·遵义月考）“水是生命之源，滋润着世间万物"国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水！以下通过平移左侧的节水标志得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2020九上·东平期末）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为(　　)
A．2πcm B．1.5cm C．πcm D．1cm
4．下列说法正确的是 （　　）
A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式
B．要了解全市居民对环境的保护意识，采用抽样调查的方式
C．一个游戏的中奖率是1%，则做100次这这样的游戏一定会中奖
D．若甲组数据的方差S甲2=0.05，乙组数据的方差S乙2=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定
5．（2011·温州）如图所示的物体有两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
6．（2021七下·江干期末）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，授时精度优于0.00000001秒，0.00000001用科学记数法可表示为（　　）
A．0.1×10﹣7 B．1×10﹣8 C．1×10﹣7 D．0.1×10﹣8
7．（2020九上·中宁期中）在矩形纸片 中， ， ，现将纸片折叠压平，使 与 重合，如果设折痕为 ，那么重叠部分 的面积等于（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
8．如图，线段AB= 、CD= ，那么，线段EF的长度为（　　）
A． B． C． D．
9．（2020九上·吴兴期末）已知抛物线 的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是（　　）
A．x<3 B．x>-1 C．-13
10．（2021·北部湾模拟）如图，半径为A的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F，当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F经过的路径长是（　　）
A． B． C． D．2 π
二、填空题
11．（2021七下·江汉期末）当x　 　时，式子 的值不小于 的值
12．（2023七下·富阳期中）若M＝a2-ac+1，N＝ac-c2，则M与N的大小关系是M　 　N．
13．（2016九上·朝阳期末）在一个不透明的袋子中，装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是　 　．
14．（2020九上·五常期末）如图，圆 过正方形 的顶点 、 ，且与边 相切，若正方形的边长为 ，则圆 的半径为　 　．
15．（2020八下·丹东期末）如图，在
中，
，点M，N分别是AB，AC上的动点，沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点
始终落在BC上，
若为直角三角形，则BM的长为　 　；
16．（2021九上·临江期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0），且与y轴交于负半轴，给出六个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c＝0；⑤b2﹣4ac＞0；⑥2a﹣b＞0，其中正确结论的序号是　 　
三、解答题
17．（2020九上·平桂期末）计算： .
18．某中学开展“绿化家乡、植树造林”活动，为了解全校植树情况，对该校甲、乙、丙、丁四个班级植树情况进行了调查，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）这四个班共植树多少棵？
（2）请你在答题卡上不全两幅统计图；
（3）求图1中“甲”班级所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若四个班级植树的平均成活率是95%，全校共植树2000棵，请你估计全校种植的树中成活的树有多少棵？
19．（2019·青浦模拟）如图，一座古塔AH的高为33米，AH⊥直线l，某校九年级数学兴趣小组为了测得该古塔塔刹AB的高，在直线l上选取了点D，在D处测得点A的仰角为26.6°，测得点B的仰角为22.8°，求该古塔塔刹AB的高．（精确到0.1米）(参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.5，sin22.8°＝0.39，cos22.8°＝092，tan22.8°＝0.42)
20．（2018八上·定西期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，
①直接写出△ABC的各顶点坐标：
A（ ， ），B （ ， ） ，C （ ， ） ；
②画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
③直接写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的顶点A2 （ ， ） B2 （ ， ） (其中A2与A对应，B2与B对应，不必画图．)
21．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（1）AC与CD相等吗？为什么？
（2）若AC=2，AO=，求OD的长度．
22．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC所在平面内的一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB于点E、F．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点D在直线BC上，其它条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）；
（3）如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB和直线BC于E、F和G．试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）．
23．（2019九上·温州月考）如图1，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，BD上，且BE=1，过三点C，E，F作⊙O交CD于点G。
（1）证明∠EFG=90°．
（2）如图2，连结AF，当点F运动至点A，F，G三点共线时，求△ADF的面积。
（3）在点F整个运动过程中，
①当EF，FG，CG中满足某两条线段相等，求所有满足条件的BF的长。
②连接EG，若 时，求⊙O的半径(请直接写出答案)。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：，
∴有理数，5，0，，，中是负数的有，，共3个，
故答案为：C.
【分析】首先根据相反数及绝对值的性质将需要化简的数分别化简，再根据小于0的数就是负数即可判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A，此图形不是通过平移得到的，故A不符合题意；
B、此图形不是通过平移得到的，故B不符合题意；
C、此图形是通过平移得到的，故C符合题意；
D、此图形不是通过平移得到的，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，再对各选项逐一判断.
3．【答案】D
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】试题【分析】把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解。
【解答】设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2πr=，
解得：r=1cm．
故选D．
【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。
4．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；概率的意义；方差
【解析】【分析】本题需先根据调查方式的选择和方差的概念以及方差表示的意义，对每一项分别进行分析即可得出答案．
【解答】A、要了解一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查的方式，故本选项错误；
B、要了解全市居民对环境的保护意识，采用抽样调查的方式，故本选项正确；
C、一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏不一定绝对会中奖，故本选项错误；
D、若甲组数据的方差S甲2=0.05，乙组数据的方差S乙2=0.1，则甲组数据比乙组数据稳定，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题主要考查了方差和数据的调查方式，在解题时要能结合实际问题进行综合分析得出正确结论是本题的关键．
5．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面看，圆柱从正面看是长方形，两个圆柱，看到两个长方形．
故选A．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
6．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【分析】0.00000001=1×10﹣8.
故答案为：B.
【点评】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设AE=x，由折叠可知，EC=x，BE=4-x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即22+（4-x）2=x2，
解得：x=2.5，
由折叠可知∠AEF=∠CEF，
∵AD//BC，
∴∠CEF=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，即AE=AF=2.5，
∴S△AEF= ×AF×AB= ×2.5×2=2.5.
故答案为：D.
【分析】设AE=x，利用折叠的性质可表示出EC、BE的长，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值；利用，折叠的性质可证得∠AEF=∠CEF，利用平行线的性质可得到∠CEF=∠AFE，即可推出∠AEF=∠AFE，利用等角对等边可求出AF的长；然后利用三角形的面积公式求出△AEF的面积.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB= ，CD= ，
∴图形中的网格是由边长为1的小正方形构成的，
则EF= ．
故选C
【分析】由AB与CD的长，结合图形，利用勾股定理得到此图形是由边长为1的小正方形构成的，故EF为直角边分别为2和3的直角三角形的斜边，利用勾股定理即可求出EF的长．
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵对称轴x=1,
设抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（m，0），
则1-m=3-1,
解得m=-1,
∴ -10.
故答案为：C.
【分析】看图象得出抛物线的对称轴方程，设抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（m，0），再根据二次函数图象的坐标特征列式求出m值，然后看图得出图象在x轴上方时x的范围即可.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；弧长的计算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： 连接AC，AO，
∵AB⊥CD，
∴G为AB的中点，
∴AG=BG=AB，
∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，
∴OG=2，
∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG=，
∴AB=2AG=，
又∵CG=CO+GO=4+2=6，
∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC= ，
∵CF⊥AE，
∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，
当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合，
当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，
∴当点E从点B出发逆时针运动到点D时，点F所经过的路径长，
在Rt△ACG中，，
∴∠CAG=60°，
∴ 所对圆心角的度数为120°，
∵直径AC=，
∴的长为，
∴当点E从点B出发逆时针运动到点D时，点F所经过的路径长为.
故答案为：C.
【分析】连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义求出OG的长，利用勾股定理求出AG的长，从而求出AB，AC的长，由CF⊥AE得到△ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，可得出当点E从点B出发逆时针运动到点D时，点F所经过的路径长为，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠CAG的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长.
11．【答案】x≤3
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵ ≥ ，
∴x≤3，
故答案为：x≤3.
【分析】根据题意列出不等式，然后根据不等式的性质求解即可.
12．【答案】＞
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：∵ M＝a2-ac+1，N＝ac-c2，
∴M-N=a2-ac+1-（ac-c2）=a2-ac+1-ac+c2=a2-2ac+c2+1=（a-c）2+1≥1，
∴M＞N.
故答案为：＞.
【分析】利用作差法，根据整式减法法则得M-N=a2-2ac+c2+1，进而根据完全平方公式得M-N=（a-c）2+1，再根据偶数次幂的非负性得（a-c）2+1≥1，据此即可判断M、N的大小关系.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】因为不透明的袋子中，装有2个红球和3个白球共5个球，所以随机从袋中摸出一个球共有5种情况，而其中有3个白球，所以随机从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是.
【分析】利用概率公式即可求出，概率为，
14．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；切线的性质
【解析】【解答】如图，设⊙O与BC相切于E，连接OE，延长EO交AD于F，
∵OE为⊙O半径，
∴OE⊥BC，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴∠C=∠CDF=90°，CD=AD=2,
∴四边形ECDF是矩形，
∴EF⊥AD，EF=OE+OF=CD=2，
∴DF= AD=1，
∵OD=OE，
∴OD2=DF2+（EF-OE）2，即OD2=12+（2-OD）2，
解得：OD= ，
∴⊙O半径为 ．
故答案为： ．
【分析】如图，设⊙O与BC相切于E，连接OE，延长EO交AD于F，根据切线的性质得出OE⊥BC，可证四边形ECDF是矩形，可得EF⊥AD，EF=OE+OF=CD=2，根据垂径定理可得DF= AD=1，根据勾股定理求出OD的长即可.
15．【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ①如图1，
当
，
与
重合，M是
的中点，
；
②如图2，当
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
沿
所在直线折叠
，使点A的对应点
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，若△
为直角三角形，则
的长为
或
，
故答案为：
或
.
【分析】①如图1，当
，
与
重合，
是
的中点，于是得到结论；②如图2，当
，推出
是等腰直角三角形，得到
，列方程即可得到结论.
16．【答案】①④⑤⑥
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0，故①正确；
②∵对称轴在y轴右侧，∴x=，∴b＜0，故②错误；
③∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，故③错误；
④由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，故④正确；
⑤∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故⑤正确；
⑥∵a＞0，b＜0，∴2a-b＞0，故⑥正确；
∴正确结论的序号是①④⑤⑥.
【分析】①根据抛物线的开口方向向上，得出a＞0，即可判断①正确；
②根据抛物线的对称轴在y轴右侧，得出，从而得出b＜0，即可判断②错误；
③ 根据抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，得出c＜0，即可判断③错误；
④根据抛物线经过点（1，0），得出a+b+c=0，即可判断④正确；
⑤根据抛物线与x轴有两个交点，得出b2-4ac＞0，即可判断⑤正确；
⑥根据a＞0，b＜0，得出2a-b＞0，即可判断⑥正确.
17．【答案】解：原式＝
＝
.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据负整数指数幂的意义、特殊三角函数值、0指数幂的意义分别化简，进而根据二次根式的混合运算顺序算出答案即可.
18．【答案】解：（1）四个班共植树的棵数是：
40÷20%=200（棵）；
（2）丁所占的百分比是：×100%=35%，
丙所占的百分比是：1﹣30%﹣20%﹣35%=15%，
则丙植树的棵数是：200×15%=30（棵）；
如图：
（3）甲班级所对应的扇形圆心角的度数是：30%×360°=108°；
（4）根据题意得：2000×95%=1900（棵）．
答：全校种植的树中成活的树有1900棵．
故答案为：200．
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据乙班植树40棵，所占比为20%，即可求出这四个班种树总棵数；
（2）根据丁班植树70棵，总棵数是200，即可求出丁所占的百分比，再用整体1减去其它所占的百分比，即可得出丙所占的百分比，再乘以总棵数，即可得出丙植树的棵数，从而补全统计图；
（3）根据甲班级所占的百分比，再乘以360°，即可得出答案；
（4）用总棵数×平均成活率即可得到成活的树的棵数．
19．【答案】解：∵AH⊥直线l， ∴∠AHD＝90°， 在Rt△ADH中，tan∠ADH＝ ， ∴DH＝ ， 在Rt△BDH中，tan∠BDH＝ ， ∴DH＝ ∴ ， 解得：AB≈5.3m， 答：该古塔塔刹AB的高为5.3m．
【知识点】特殊角的三角函数值；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据垂直的定义得到∠AHD＝90°，在Rt△ADH中，根据三角函数的定义得到DH＝ ，在Rt△BDH中，根据三角函数的定义得到DH＝ ，列方程即可得到结论．
20．【答案】解：①△ABC的各顶点坐标：A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣1，﹣1）；
故答案为：﹣3、2；﹣4、﹣3；﹣1、﹣1；
②如图，△A1B1C1即为所求，
③如图，△A2B2C2即为所求，A2坐标为（﹣3，﹣2）、B2坐标为（﹣4，3）．
故答案为：﹣3、﹣2；﹣4、3．
【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称
【解析】【分析】①根据三角形在坐标中的位置可得；②分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；③分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接可得．
21．【答案】解：（1）AC=CD，理由为：
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B，
∵直线AC为圆O的切线，
∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°，
∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°，
∴∠ODB+∠B=90°，
∵∠ODB=∠CDA，
∴∠CDA+∠B=90°，
∴∠DAC=∠CDA，
则AC=CD；
（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，
根据勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即（OD+2）2=22+（）2，
解得：OD=1．
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）AC=CD，理由为：由AC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到∠BOC为直角，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的长．
22．【答案】解：（1）DE+DF=AB．理由如下：
如图1．∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF．
∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C，
∵AB=AC，∴∠C=∠B，
∴∠FDB=∠B，
∴DF=FB，
∴DE+DF=AF+FB=AB；
（2）当点D在直线BC上时，分三种情况：
①当点D在CB延长线上时，如图2①，AB=DE﹣DF；
②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF；
③当点D在BC的延长线上时，如图2②，AB=DF﹣DE；
（3）如图3，AB=DE+DG+DF．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）如图1，先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF．再根据平行线及等腰三角形的性质得出∠FDB=∠B，
由等角对等边得到DF=FB，从而证明DE+DF=AF+FB=AB；
（2）当点D在直线BC上时，分三种情况：
①当点D在CB延长线上时，如图2①，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF，再证明∠FDB=∠FBD，由等角对等边得到DF=FB，从而证明AB=AF﹣BF=DE﹣DF；
②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF；
③当点D在BC的延长线上时，如图2②，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠CDE=∠DCE，由等角对等边得到CE=DE，再证明从而证明AB=AC=AE﹣CE=DF﹣DE；
（3）如图3，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠EGC=∠C，由等角对等边得到DE+DG=CE，从而证明AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．
23．【答案】（1）证明：连结 EG，
在正方形 ABCD 中，得∠C=90°
∴EG 为⊙O 的直径
∴∠EFG=90°
（2）解：如图，过F点作FN⊥AD，交BC于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADF=45°，MN=AD，
∴ND=NF，
∴AN=FM，
∵∠MFG=∠AFN，∠MFG+∠MFE=∠AFN+∠FAN，
∴∠MFE=∠FAN，
∴△AFN≌△FEM（AAS），
∴FN=AM，EM=FN，
设AN=x, 则ND=EM=BM-BE=x-1,
∵AN+ND=4，
∴x+x-1=4,
∴x=,
∴FN=EM=BM-BE=-1=，
∴S△AFD=AD×FN=×4×=3.
（3）①1）如图，当EF=FG时，过F作FH⊥BC，FI⊥CD，
∵∠EFH+∠HFG=∠IFG+∠HFG，
∴∠EFH=∠IFG，
∴△EHF≌△GIF（AAS），
∴FH=FI，
又∵FH=BH，
∴BH=FI=HC=2,
∴BF=BH=2.
2）当CG=EF时，
∵EF=CG，
∴FG∥EC，
∵∠C=90°，
∴∠EFG=90°，∠FEC=90°，
∴四边形FECG为矩形，
又∵EF=BE，
∴BF=BE=.
3）当FG=CG，如图，过F点作FN⊥BC，
∵FG=CG，
∴∠FEG=CEG，
∵∠C=∠EFG=90°，
∴∠FGE=∠CGE，
∴EF=EC=BC-BE=4-1=3，
设EN=x,
则FN=BN=x+1,
∵EF2=FN2+EN2，
∴32=(x+1)2+x2,
解得x=,
则BN=，
BF=EN=.
②如图，作FH⊥EC，FK⊥CD，
△FKG∽△FHE，
∴,
设FH=k, 则FK=2k,
∴BH=FH=k,
∴BC=BH+HC=BH+FK=k+2k=4,
∴k=,
∴CG=CK-KG=k-2(k-1)=2-k=2-=,
∴∴EG=，
∴r=.
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 连结 EG，由90°的圆周角所对的弦为直径，可知EG为圆O的直径，于是根据直径所对的圆周角是直角可得∠EFG=90° .
（2）如图，过F点作FN⊥AD，交BC于点M，利用正方形的性质，结合等角的余角相等，用角角边定理证明△AFN≌△FEN，∴FN=AM，EM=FN，设AN=x, 把ND用含x的代数式表示，根据AN+ND=4，求出x, 则FN可求，于是可求△ADF的面积.
（3） ① 分三种情况讨论，1）当EF=FG时，过F作FH⊥BC，FI⊥CD，利用角角边定理证明△EHF≌△GIF，则对应边FH=FI，BH=FI=HC=2, 于是BF的长度可求；当CG=EF时，易证四边形FECG为矩形，则BF=2BE；当FG=CG，过F点作FN⊥BC，根据同弧所对圆周角相等推得EF=EC，从而求出EF的长，于是利用勾股定理求出FN的长，则BF的长可求.
② 设FH=k, 根据相似的性质，把相关线段用含x的代数式表示，得出BC=k+2k=4, 求出k值，则CG的长度可求，从而利用勾股定理求出直径，则半径可知.
1 / 12023年浙江省杭州市初中毕业生学业水平测试数学模拟试题(四)
一、单选题
1．（2023七上·临湘期末）有理数，5，0，，，中，负数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：，
∴有理数，5，0，，，中是负数的有，，共3个，
故答案为：C.
【分析】首先根据相反数及绝对值的性质将需要化简的数分别化简，再根据小于0的数就是负数即可判断得出答案.
2．（2023七下·遵义月考）“水是生命之源，滋润着世间万物"国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水！以下通过平移左侧的节水标志得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A，此图形不是通过平移得到的，故A不符合题意；
B、此图形不是通过平移得到的，故B不符合题意；
C、此图形是通过平移得到的，故C符合题意；
D、此图形不是通过平移得到的，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，再对各选项逐一判断.
3．（2020九上·东平期末）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为(　　)
A．2πcm B．1.5cm C．πcm D．1cm
【答案】D
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】试题【分析】把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解。
【解答】设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2πr=，
解得：r=1cm．
故选D．
【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。
4．下列说法正确的是 （　　）
A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式
B．要了解全市居民对环境的保护意识，采用抽样调查的方式
C．一个游戏的中奖率是1%，则做100次这这样的游戏一定会中奖
D．若甲组数据的方差S甲2=0.05，乙组数据的方差S乙2=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；概率的意义；方差
【解析】【分析】本题需先根据调查方式的选择和方差的概念以及方差表示的意义，对每一项分别进行分析即可得出答案．
【解答】A、要了解一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查的方式，故本选项错误；
B、要了解全市居民对环境的保护意识，采用抽样调查的方式，故本选项正确；
C、一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏不一定绝对会中奖，故本选项错误；
D、若甲组数据的方差S甲2=0.05，乙组数据的方差S乙2=0.1，则甲组数据比乙组数据稳定，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题主要考查了方差和数据的调查方式，在解题时要能结合实际问题进行综合分析得出正确结论是本题的关键．
5．（2011·温州）如图所示的物体有两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面看，圆柱从正面看是长方形，两个圆柱，看到两个长方形．
故选A．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
6．（2021七下·江干期末）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，授时精度优于0.00000001秒，0.00000001用科学记数法可表示为（　　）
A．0.1×10﹣7 B．1×10﹣8 C．1×10﹣7 D．0.1×10﹣8
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【分析】0.00000001=1×10﹣8.
故答案为：B.
【点评】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
7．（2020九上·中宁期中）在矩形纸片 中， ， ，现将纸片折叠压平，使 与 重合，如果设折痕为 ，那么重叠部分 的面积等于（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设AE=x，由折叠可知，EC=x，BE=4-x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即22+（4-x）2=x2，
解得：x=2.5，
由折叠可知∠AEF=∠CEF，
∵AD//BC，
∴∠CEF=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，即AE=AF=2.5，
∴S△AEF= ×AF×AB= ×2.5×2=2.5.
故答案为：D.
【分析】设AE=x，利用折叠的性质可表示出EC、BE的长，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值；利用，折叠的性质可证得∠AEF=∠CEF，利用平行线的性质可得到∠CEF=∠AFE，即可推出∠AEF=∠AFE，利用等角对等边可求出AF的长；然后利用三角形的面积公式求出△AEF的面积.
8．如图，线段AB= 、CD= ，那么，线段EF的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB= ，CD= ，
∴图形中的网格是由边长为1的小正方形构成的，
则EF= ．
故选C
【分析】由AB与CD的长，结合图形，利用勾股定理得到此图形是由边长为1的小正方形构成的，故EF为直角边分别为2和3的直角三角形的斜边，利用勾股定理即可求出EF的长．
9．（2020九上·吴兴期末）已知抛物线 的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是（　　）
A．x<3 B．x>-1 C．-13
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵对称轴x=1,
设抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（m，0），
则1-m=3-1,
解得m=-1,
∴ -10.
故答案为：C.
【分析】看图象得出抛物线的对称轴方程，设抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（m，0），再根据二次函数图象的坐标特征列式求出m值，然后看图得出图象在x轴上方时x的范围即可.
10．（2021·北部湾模拟）如图，半径为A的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F，当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F经过的路径长是（　　）
A． B． C． D．2 π
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；弧长的计算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： 连接AC，AO，
∵AB⊥CD，
∴G为AB的中点，
∴AG=BG=AB，
∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，
∴OG=2，
∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG=，
∴AB=2AG=，
又∵CG=CO+GO=4+2=6，
∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC= ，
∵CF⊥AE，
∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，
当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合，
当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，
∴当点E从点B出发逆时针运动到点D时，点F所经过的路径长，
在Rt△ACG中，，
∴∠CAG=60°，
∴ 所对圆心角的度数为120°，
∵直径AC=，
∴的长为，
∴当点E从点B出发逆时针运动到点D时，点F所经过的路径长为.
故答案为：C.
【分析】连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义求出OG的长，利用勾股定理求出AG的长，从而求出AB，AC的长，由CF⊥AE得到△ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，可得出当点E从点B出发逆时针运动到点D时，点F所经过的路径长为，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠CAG的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长.
二、填空题
11．（2021七下·江汉期末）当x　 　时，式子 的值不小于 的值
【答案】x≤3
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵ ≥ ，
∴x≤3，
故答案为：x≤3.
【分析】根据题意列出不等式，然后根据不等式的性质求解即可.
12．（2023七下·富阳期中）若M＝a2-ac+1，N＝ac-c2，则M与N的大小关系是M　 　N．
【答案】＞
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：∵ M＝a2-ac+1，N＝ac-c2，
∴M-N=a2-ac+1-（ac-c2）=a2-ac+1-ac+c2=a2-2ac+c2+1=（a-c）2+1≥1，
∴M＞N.
故答案为：＞.
【分析】利用作差法，根据整式减法法则得M-N=a2-2ac+c2+1，进而根据完全平方公式得M-N=（a-c）2+1，再根据偶数次幂的非负性得（a-c）2+1≥1，据此即可判断M、N的大小关系.
13．（2016九上·朝阳期末）在一个不透明的袋子中，装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】因为不透明的袋子中，装有2个红球和3个白球共5个球，所以随机从袋中摸出一个球共有5种情况，而其中有3个白球，所以随机从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是.
【分析】利用概率公式即可求出，概率为，
14．（2020九上·五常期末）如图，圆 过正方形 的顶点 、 ，且与边 相切，若正方形的边长为 ，则圆 的半径为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；切线的性质
【解析】【解答】如图，设⊙O与BC相切于E，连接OE，延长EO交AD于F，
∵OE为⊙O半径，
∴OE⊥BC，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴∠C=∠CDF=90°，CD=AD=2,
∴四边形ECDF是矩形，
∴EF⊥AD，EF=OE+OF=CD=2，
∴DF= AD=1，
∵OD=OE，
∴OD2=DF2+（EF-OE）2，即OD2=12+（2-OD）2，
解得：OD= ，
∴⊙O半径为 ．
故答案为： ．
【分析】如图，设⊙O与BC相切于E，连接OE，延长EO交AD于F，根据切线的性质得出OE⊥BC，可证四边形ECDF是矩形，可得EF⊥AD，EF=OE+OF=CD=2，根据垂径定理可得DF= AD=1，根据勾股定理求出OD的长即可.
15．（2020八下·丹东期末）如图，在
中，
，点M，N分别是AB，AC上的动点，沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点
始终落在BC上，
若为直角三角形，则BM的长为　 　；
【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ①如图1，
当
，
与
重合，M是
的中点，
；
②如图2，当
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
沿
所在直线折叠
，使点A的对应点
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，若△
为直角三角形，则
的长为
或
，
故答案为：
或
.
【分析】①如图1，当
，
与
重合，
是
的中点，于是得到结论；②如图2，当
，推出
是等腰直角三角形，得到
，列方程即可得到结论.
16．（2021九上·临江期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0），且与y轴交于负半轴，给出六个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c＝0；⑤b2﹣4ac＞0；⑥2a﹣b＞0，其中正确结论的序号是　 　
【答案】①④⑤⑥
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0，故①正确；
②∵对称轴在y轴右侧，∴x=，∴b＜0，故②错误；
③∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，故③错误；
④由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，故④正确；
⑤∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故⑤正确；
⑥∵a＞0，b＜0，∴2a-b＞0，故⑥正确；
∴正确结论的序号是①④⑤⑥.
【分析】①根据抛物线的开口方向向上，得出a＞0，即可判断①正确；
②根据抛物线的对称轴在y轴右侧，得出，从而得出b＜0，即可判断②错误；
③ 根据抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，得出c＜0，即可判断③错误；
④根据抛物线经过点（1，0），得出a+b+c=0，即可判断④正确；
⑤根据抛物线与x轴有两个交点，得出b2-4ac＞0，即可判断⑤正确；
⑥根据a＞0，b＜0，得出2a-b＞0，即可判断⑥正确.
三、解答题
17．（2020九上·平桂期末）计算： .
【答案】解：原式＝
＝
.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据负整数指数幂的意义、特殊三角函数值、0指数幂的意义分别化简，进而根据二次根式的混合运算顺序算出答案即可.
18．某中学开展“绿化家乡、植树造林”活动，为了解全校植树情况，对该校甲、乙、丙、丁四个班级植树情况进行了调查，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）这四个班共植树多少棵？
（2）请你在答题卡上不全两幅统计图；
（3）求图1中“甲”班级所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若四个班级植树的平均成活率是95%，全校共植树2000棵，请你估计全校种植的树中成活的树有多少棵？
【答案】解：（1）四个班共植树的棵数是：
40÷20%=200（棵）；
（2）丁所占的百分比是：×100%=35%，
丙所占的百分比是：1﹣30%﹣20%﹣35%=15%，
则丙植树的棵数是：200×15%=30（棵）；
如图：
（3）甲班级所对应的扇形圆心角的度数是：30%×360°=108°；
（4）根据题意得：2000×95%=1900（棵）．
答：全校种植的树中成活的树有1900棵．
故答案为：200．
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据乙班植树40棵，所占比为20%，即可求出这四个班种树总棵数；
（2）根据丁班植树70棵，总棵数是200，即可求出丁所占的百分比，再用整体1减去其它所占的百分比，即可得出丙所占的百分比，再乘以总棵数，即可得出丙植树的棵数，从而补全统计图；
（3）根据甲班级所占的百分比，再乘以360°，即可得出答案；
（4）用总棵数×平均成活率即可得到成活的树的棵数．
19．（2019·青浦模拟）如图，一座古塔AH的高为33米，AH⊥直线l，某校九年级数学兴趣小组为了测得该古塔塔刹AB的高，在直线l上选取了点D，在D处测得点A的仰角为26.6°，测得点B的仰角为22.8°，求该古塔塔刹AB的高．（精确到0.1米）(参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.5，sin22.8°＝0.39，cos22.8°＝092，tan22.8°＝0.42)
【答案】解：∵AH⊥直线l， ∴∠AHD＝90°， 在Rt△ADH中，tan∠ADH＝ ， ∴DH＝ ， 在Rt△BDH中，tan∠BDH＝ ， ∴DH＝ ∴ ， 解得：AB≈5.3m， 答：该古塔塔刹AB的高为5.3m．
【知识点】特殊角的三角函数值；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据垂直的定义得到∠AHD＝90°，在Rt△ADH中，根据三角函数的定义得到DH＝ ，在Rt△BDH中，根据三角函数的定义得到DH＝ ，列方程即可得到结论．
20．（2018八上·定西期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，
①直接写出△ABC的各顶点坐标：
A（ ， ），B （ ， ） ，C （ ， ） ；
②画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
③直接写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的顶点A2 （ ， ） B2 （ ， ） (其中A2与A对应，B2与B对应，不必画图．)
【答案】解：①△ABC的各顶点坐标：A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣1，﹣1）；
故答案为：﹣3、2；﹣4、﹣3；﹣1、﹣1；
②如图，△A1B1C1即为所求，
③如图，△A2B2C2即为所求，A2坐标为（﹣3，﹣2）、B2坐标为（﹣4，3）．
故答案为：﹣3、﹣2；﹣4、3．
【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称
【解析】【分析】①根据三角形在坐标中的位置可得；②分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；③分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接可得．
21．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（1）AC与CD相等吗？为什么？
（2）若AC=2，AO=，求OD的长度．
【答案】解：（1）AC=CD，理由为：
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B，
∵直线AC为圆O的切线，
∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°，
∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°，
∴∠ODB+∠B=90°，
∵∠ODB=∠CDA，
∴∠CDA+∠B=90°，
∴∠DAC=∠CDA，
则AC=CD；
（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，
根据勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即（OD+2）2=22+（）2，
解得：OD=1．
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）AC=CD，理由为：由AC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到∠BOC为直角，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的长．
22．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC所在平面内的一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB于点E、F．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点D在直线BC上，其它条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）；
（3）如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB和直线BC于E、F和G．试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）．
【答案】解：（1）DE+DF=AB．理由如下：
如图1．∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF．
∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C，
∵AB=AC，∴∠C=∠B，
∴∠FDB=∠B，
∴DF=FB，
∴DE+DF=AF+FB=AB；
（2）当点D在直线BC上时，分三种情况：
①当点D在CB延长线上时，如图2①，AB=DE﹣DF；
②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF；
③当点D在BC的延长线上时，如图2②，AB=DF﹣DE；
（3）如图3，AB=DE+DG+DF．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）如图1，先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF．再根据平行线及等腰三角形的性质得出∠FDB=∠B，
由等角对等边得到DF=FB，从而证明DE+DF=AF+FB=AB；
（2）当点D在直线BC上时，分三种情况：
①当点D在CB延长线上时，如图2①，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF，再证明∠FDB=∠FBD，由等角对等边得到DF=FB，从而证明AB=AF﹣BF=DE﹣DF；
②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF；
③当点D在BC的延长线上时，如图2②，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠CDE=∠DCE，由等角对等边得到CE=DE，再证明从而证明AB=AC=AE﹣CE=DF﹣DE；
（3）如图3，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠EGC=∠C，由等角对等边得到DE+DG=CE，从而证明AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．
23．（2019九上·温州月考）如图1，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，BD上，且BE=1，过三点C，E，F作⊙O交CD于点G。
（1）证明∠EFG=90°．
（2）如图2，连结AF，当点F运动至点A，F，G三点共线时，求△ADF的面积。
（3）在点F整个运动过程中，
①当EF，FG，CG中满足某两条线段相等，求所有满足条件的BF的长。
②连接EG，若 时，求⊙O的半径(请直接写出答案)。
【答案】（1）证明：连结 EG，
在正方形 ABCD 中，得∠C=90°
∴EG 为⊙O 的直径
∴∠EFG=90°
（2）解：如图，过F点作FN⊥AD，交BC于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADF=45°，MN=AD，
∴ND=NF，
∴AN=FM，
∵∠MFG=∠AFN，∠MFG+∠MFE=∠AFN+∠FAN，
∴∠MFE=∠FAN，
∴△AFN≌△FEM（AAS），
∴FN=AM，EM=FN，
设AN=x, 则ND=EM=BM-BE=x-1,
∵AN+ND=4，
∴x+x-1=4,
∴x=,
∴FN=EM=BM-BE=-1=，
∴S△AFD=AD×FN=×4×=3.
（3）①1）如图，当EF=FG时，过F作FH⊥BC，FI⊥CD，
∵∠EFH+∠HFG=∠IFG+∠HFG，
∴∠EFH=∠IFG，
∴△EHF≌△GIF（AAS），
∴FH=FI，
又∵FH=BH，
∴BH=FI=HC=2,
∴BF=BH=2.
2）当CG=EF时，
∵EF=CG，
∴FG∥EC，
∵∠C=90°，
∴∠EFG=90°，∠FEC=90°，
∴四边形FECG为矩形，
又∵EF=BE，
∴BF=BE=.
3）当FG=CG，如图，过F点作FN⊥BC，
∵FG=CG，
∴∠FEG=CEG，
∵∠C=∠EFG=90°，
∴∠FGE=∠CGE，
∴EF=EC=BC-BE=4-1=3，
设EN=x,
则FN=BN=x+1,
∵EF2=FN2+EN2，
∴32=(x+1)2+x2,
解得x=,
则BN=，
BF=EN=.
②如图，作FH⊥EC，FK⊥CD，
△FKG∽△FHE，
∴,
设FH=k, 则FK=2k,
∴BH=FH=k,
∴BC=BH+HC=BH+FK=k+2k=4,
∴k=,
∴CG=CK-KG=k-2(k-1)=2-k=2-=,
∴∴EG=，
∴r=.
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 连结 EG，由90°的圆周角所对的弦为直径，可知EG为圆O的直径，于是根据直径所对的圆周角是直角可得∠EFG=90° .
（2）如图，过F点作FN⊥AD，交BC于点M，利用正方形的性质，结合等角的余角相等，用角角边定理证明△AFN≌△FEN，∴FN=AM，EM=FN，设AN=x, 把ND用含x的代数式表示，根据AN+ND=4，求出x, 则FN可求，于是可求△ADF的面积.
（3） ① 分三种情况讨论，1）当EF=FG时，过F作FH⊥BC，FI⊥CD，利用角角边定理证明△EHF≌△GIF，则对应边FH=FI，BH=FI=HC=2, 于是BF的长度可求；当CG=EF时，易证四边形FECG为矩形，则BF=2BE；当FG=CG，过F点作FN⊥BC，根据同弧所对圆周角相等推得EF=EC，从而求出EF的长，于是利用勾股定理求出FN的长，则BF的长可求.
② 设FH=k, 根据相似的性质，把相关线段用含x的代数式表示，得出BC=k+2k=4, 求出k值，则CG的长度可求，从而利用勾股定理求出直径，则半径可知.
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