【备考2023】广西玉林市中考数学模拟试卷2（含解析）

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【备考2023】广西玉林市中考数学模拟试卷2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上．）
1．中新网北京2021年4月2日电，截至4月2日15时，北京累计接种新冠疫苗人数累计接种新冠疫苗超16 000 000剂次．数据16 000 000可用科学记数法表示为（ ）
A．16×106 B．1.6×107 C．0.16×108 D．1.6×106
2．现有一组数据：2，3，3，4，4，5，6，则下列说法正确的是（ ）
A．众数是3 B．众数是4 C．中位数是3.5 D．中位数是4
3．一个几何体的俯视图如图所示，其中的数字表示该位置上小正方体的个数，那么这个几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．在计算时，佳佳的板演过程如下：
解：原式．
老师问：“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律？”
甲同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”；
乙同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”；
丙同学回答说：“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律，也运用了加法结合律”．
下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是（ ）
A．甲同学说的对 B．乙同学说的对
C．丙同学说的对 D．甲、乙、丙说的都不对
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在Rt△ABC 中，∠Ｃ=90°，，AB=5cm，则AC的长度是（ ）
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
7．下面事件是随机事件的是（　　）
A．掷一枚硬币，出现反面
B．在标准大气压下，水加热到8℃时会沸腾
C．实数的绝对值不小于零
D．如果a，b是实数，那么a b＝b a
8．如图，的直径与弦交于点E，若B为的中点，则下列说法错误的是（ ）．
A． B． C． D．
9．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x-3=0的两根，则x1+x2的值是（　　）
A．0 B．2 C．-2 D．4
10．如图，已知矩形，下列条件能使矩形成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
11．观察下列四个图形组成的一组图形，发现它们是按照一定规律排列的，依此规律排列下去，第10个图形共有（ ）个点组成
A．26 B．27 C．28 D．29
12．如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡中的横线上．）
13．若和互为相反数，是最大的负整数，则______．
14．计算：8的平方根______，-8的立方根是_____.
15．如图，A、、三岛平面图，岛在岛的北偏东80°方向，A岛在岛的北偏西37°方向，从C岛看A，两岛的视角度数为______．
16．对于任意非零实数、，规定，例如：，则______（填“”，或“”或“”）若，则______．
17．如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边都在轴上，点在边上，，反比例函数的图象经过点，则的值为_____．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，上的点，圆心均在格点上，
（1）_____________；
（2）若点是上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连，当线段最长时，点的对应点为点，点的对应点为点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）____________________．
三、解答题（本大题共8小题，满分共66分．解答应写出证明过程或演算步骤（含相应的文字说明）．将解答写在答题卡上）
19．计算：（1）
（2）解方程组．
20．先化简，后求值：；其中．
21．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球，1个白球，一个装有1个黄球，2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出一个球，利用树状图或列表的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率．
22．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在BC上，AE交BD于F．
（1）若E是靠近点B的三等分点，求；①的值；②△BEF与△DAF的面积比；
（2）当时，求的值．
23．如图，已知正方形ABCD中，AB＝4，点E，F在对角线BD上，AE∥CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠ABE＝2∠BAE，求DF的长．
24．2012年5月20日是第23个中国学生营养日，某校社会实践小组开展活动，调查快餐营养情况，他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息．根据信息，解答下列问题．
信息：
1．快餐的成分：蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物；
2．快餐总质量为400克；
3．脂肪所占的百分比为5%；
4．所含蛋白质质量是矿物质质量的4倍．
（1）求这份快餐中所含脂肪质量；
（2）若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；
（3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和是85%，求其中所含碳水化合物的质量．
25．阅读下面材料，完成后面题目．
0°-360°间的角的三角函数
在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，那么sinA=，cosA=，tanA=，cotA=
为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点（0，0）的距离为r=（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：sinα=，cosα=，tanα=，cotα=
我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．
比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题．
（1）若90°＜α＜180°，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是哪几个？
（2）若角α的终边与直线y=2x重合，求sinα+cosα的值．
（3）若角α是钝角，其终边上一点P（x，），且cosα=x，求tanα的值．
（4）若0°≤α≤90°，求sinα+cosα的取值范围．
26．（如图 1，若抛物线 l1的顶点 A 在抛物线 l2上，抛物线 l2的顶点 B 也在抛物线 l1上（点 A 与点 B 不重合）．我们称抛物线 l1，l2互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友 好”抛物线可以有多条．
（1）如图2，抛物线 l3： 与y 轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，则点 D 的坐标为 ；
（2）求以点 D 为顶点的 l3的“友好”抛物线 l4的表达式，并指出 l3与 l4中y 同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物线 y＝a1(x－m)2＋n 的任意一条“友好”抛物线的表达式为 y＝a2(x－h)2＋k， 写出 a1与a2的关系式，并说明理由．
参考答案：
1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：将16 000 000用科学记数法表示为1.6×107．
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．【分析】根据求出这组数据的众数和中位数即可求解．
解：数据2，3，3，4，4，5，6的众数是3和4，中位数是4．
故选：D
【点评】本题考查了求一组数据的众数和中位数，众数是指一组数据中出现次数最多的数，中位数是指将数据排序后处于中间位置是数，熟知众数和中位数的意义是解题关键．
3．【分析】一一对应即可.
解：最左边有一个，中间有两个，最右边有三个，所以选A.
【点评】理解立体几何的概念是解题的关键.
4．【分析】根据加法运算律的定义进行解答即可．
解：由到既运用了加法交换律，也运用了加法结合律，所以丙同学说的对，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了加法的交换律和结合律，熟记加法交换律和结合律，，，是解题的关键．
5．【分析】根据合并同类项的方法逐项计算即可．
解：A.a与b不是同类项，不能合并，故不正确；
B.，故不正确；
C.，故不正确；
D.，正确；
故选D．
【点评】本题考查了同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．
6．【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理计算即可；
解：∵，
∴设，，
又∵AB=5cm，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数与勾股定理，准确计算是解题的关键．
7．【分析】直接利用随机事件以及不可能事件和必然事件的定义分析得出答案．
解：A、掷一枚硬币，出现反面，是随机事件，符合题意；
B、在标准大气压下，水加热到8℃时会沸腾，是不可能事件，不合题意；
C、实数的绝对值不小于零，是必然事件，不合题意；
D、如果a，b是实数，那么a b＝b a，是必然事件，不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查随机事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意随机事件的定义的合理运用．
8．【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
解：∵的直径与弦交于点E， B为的中点，
∴，，故A，C，D选项正确，
不能得出，故B选项不正确，
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理的推理，掌握垂径定理是解题的关键．一条直线如果具有①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（被平分的弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”．
9．【分析】直接根据根与系数的关系进行求解，即可得到答案．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x3=0的两根，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系进行解题．
10．【分析】已知四边形是矩形，要使它成为正方形只有两种方法：（1）一组邻边相等；（2）对角线互相垂直，据此求解即可．
解：∵四边形是矩形，
∴当或当或或或时，四边形是正方形；
故选：B.
【点评】本题主要考查了正方形的判定，熟练地掌握正方形的判定方法是解题的关键．（1）一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
11．【分析】观察图形，在1个点的基础上，依次多3个；根据其中的规律，用字母表示即可，再把字母的值为10代入计算即可．
解：∵第1个图形为1个点，
第2个图形为1+3=4个点，
第3个图形为1+3+3=7个点，
第3个图形为1+3+3=7个点，
第4个图形为1+3+3+3=10个点，
……，
∴第n个图形为1+3=个点，
当时，
故选C
【点评】本题主要考查学生对图形的变化类的知识点的理解和掌握，此题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系．
12．【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．
解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
I．当P在线段AD上时，即时，如解图1
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误；
II．当P在线段CD上时，即时，如解图2：
依题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误；
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
13．【分析】利用相反数的定义求出，确定出m的值，代入原式计算即可得到结果．
解：根据题意得：，，
∴．
故答案为：1．
【点评】此题考查了相反数的定义，代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．【分析】根据平方根以及立方根的定义即可直接求解．
解：∵（±2）2=8，
∴8的平方根是：±2；
∵（-2）3=-8，
∴-8的立方根是：-2．
故答案是：±2，-2.
【点评】本题主要考查了立方根的概念的运用．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．
15．【分析】根据方位角的定义可得：，，进而即可求解．
解：如图所示：
由题意得：，，
∴，
∴=，
故答案为：63°．
【点评】本题主要考查方位角以及平行线的性质，熟练掌握两直线平行同旁内角互补是关键．
16．【分析】直接利用新定义分别计算与，再比较大小即可，分别按新定义计算，建立分式方程求解即可．
解：，
．
故答案为：．
，
经检验：是原方程的根，
故答案为：
【点评】本题考查了有理数的除法运算及有理数的大小比较，同时考查了分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
17．【分析】连接，根据等边△OAB，求出∠AOB,根据四边形是菱形，求出，得出△DEO为等边三角形，求出求出，过作于，求出，即可求出k.
解：连接，
是等边三角形，
四边形是菱形，
是等边三角形，
过作于，
反比例函数的图象经过点，
的值为，
故答案为 ．
【点评】本题考查的是反比例函数，熟练掌握菱形，三角形的性质是解题的关键.
18．【分析】（1）先根据垂径定理确定圆心，连接，由勾股定理可求出的长；
（2）作直径的垂直平分线交半圆于，连接，则在以为圆心，为半径的圆上运动，当E，O，三点共线时， 最长
解：（1）如图，
，
故答案为：；
（2）如图，点，，即为所画，
作直径的垂直平分线交半圆于，连接则在以为圆心，为半径的圆上运动，直径的垂直平分线交于，过作的垂线交于，当E，O，三点共线时，最长，则点即为所求．
理由如下：
由作图可得：，
∴，
∴，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴当E，O，三点共线时，最长，则点即为所求．
故答案为：作直径的垂直平分线交半圆于，连接则在以为圆心，为半径的圆上运动，直径的垂直平分线交于，过作的垂线交于，当E，O，三点共线时，最长，则点即为所求．
【点评】本题主要考查了圆心的确定，垂径定理的应用，勾股定理以及在网格中确定三角形外接圆圆心，正确作出图形是解答本题的关键．
19．【分析】（1）分别利用实数的运算法则和有理数的乘方运算法则计算求出答案；
（2）利用加减法消元求解即可．
解：（1）原式==5；
（2）
由②-①得：
把代入方程①，得
所以方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，及实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．【分析】先根据分式的混合运算化简，再将字母的值代入求解
解：原式，
当时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算，正确的化简分式是解题的关键．
21．【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式就可算出．
解：列表如下
如图知，共有9种情况，
其中摸出的两个球颜色相同的由4种情况
所以摸出两个球颜色相同的概率为．
【点评】本题考查了列表法和树状图的知识，熟练运用列表和树状图列举出所有等可能是解题关键．
22．【分析】（1）①利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
②利用相似三角形的中面积比等于相似比的平方即可解决问题；
（2）利用平行四边形的性质可知OB＝OD，BC∥AD，BC＝AD，由题意可知BF：DF＝n：（2m+n），即BE：AD＝BF：DF＝n：（2m+n），故求得＝．
解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD，
∵BE：BC＝1：3，
∴＝＝．
②∵BE∥AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴（）2＝．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，BC∥AD，BC＝AD，
∵BF：OF＝n：m，
∴BF：DF＝n：（2m+n），
∴BE：AD＝BF：DF＝n：（2m+n），
∴＝．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．【分析】（1）利用平行线性质和正方形的性质可得∠AEB=∠CFD，∠ABE=∠CDF，AB=CD，则借助AAS可证明△ABE≌△CDF；
（2）过点E作HE⊥BE，交AB于H点，证明∠HAE=∠HEA，得到AH=HE．设BE=DF=HE=AH=x，则HB=x．根据AB=4，构造关于x的方程，解方程即可．
解：（1）∵AE∥CF，
∴∠AEF＝∠CFB．
∴∠AEB＝∠CFD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
（2）过点E作HE⊥BE，交AB于H点，
∴∠BHE＝∠HBE＝45°．
∵∠ABE＝2∠BAE，
∴∠BHE＝2∠BAE．
又∵∠BHE＝∠HAE+∠AEH，
∴∠HAE＝∠HEA．
∴AH＝HE．
设BE＝DF＝HE＝AH＝x，
则HB＝
∴＝4，解得x＝4﹣4．
∴DF＝4﹣4．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，此题第一问简单，第二问是“倍半角”问题，通过辅助线构造等腰三角形转化角的解决这类问题的通用方法．
24．【分析】（1）根据脂肪所占的百分比结合这份快餐的总质量，即可求出结论；
（2）这份快餐所含蛋白质的质量为x克，则含矿物质的质量为x克，然后列方程求解即可；
（3）设这份快餐所含蛋白质的质量为y克，则含矿物质的质量为y克，含碳水化合物的质量为（400×85%﹣y）克，然后列方程求解即可.
解：（1）400×5%＝20（克）．
答：这份快餐中所含脂肪质量为20克．
（2）设这份快餐所含蛋白质的质量为x克，则含矿物质的质量为x克，
依题意得：x+20+x+400×40%＝400，
解得：x＝176．
答：这份快餐所含蛋白质的质量为176克．
（3）设这份快餐所含蛋白质的质量为y克，则含矿物质的质量为y克，含碳水化合物的质量为（400×85%﹣y）克，
依题意得：400×85%+20+y＝400，
解得：y＝160，
∴400×85%﹣y＝340﹣160＝180（克）．
答：其中所含碳水化合物的质量为180克．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程.
25．【分析】（1）由点P（x，y）在第二象限，推出x＜0，y＞0，根据sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，即可判断；
（2）分两种情形讨论即可解决问题；
（3）如图2中，作PE⊥x轴于E．想办法求出OE的长，根据三角函数的定义即可解决问题；
（4）当α=0°或90°时，得到sinα+cosα的最小值sinα+cosα=1，当α=45°时，得到sinα+cosα的最大值，sinα+cosα=，由此即可解决问题.
解：（1）∵点P（x，y）在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∵sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，
∴sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，cotα＜0，
∴取取正值的是sinα．
（2）如图1中，
①当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于E．设OE=a，则PE=2a，OP=a，
∴sinα+cosα=．
②当点P在第三象限时，作PE⊥x轴于E．设OE=a，则PE=2a，OP=a，
∴sinα+cosα=．
综上所述，sinα+cosα=或．
（3）如图2中，作PE⊥x轴于E．
由题意PE=，cosα=，
∴OP=2，
∴OE=，
∴tanα=．
（4）当α=0°或90°时，得到sinα+cosα的最小值sinα+cosα=1，
当α=45°时，得到sinα+cosα的最大值，sinα+cosα=，
∴1≤sinα+cosα≤．
【点评】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目．
26．【分析】（1）设x=0，求出y的值，即可得到C的坐标，根据抛物线L3：得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；
（2）由（1）可知点D的坐标为（4，1），再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）根据：抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得（a1+a2）（h-m）2=0．可得．
解：（1）∵抛物线l3：，
∴顶点为（2，-1），对称轴为x=2，
设x=0，则y=1，
∴C（0，1），
∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，1）；
（2）解：设的函数表达式为
由“友好”抛物线的定义，过点
的函数表达式为
与中同时随增大而增大的自变量的取值范围是
（3）
理由如下：
∵ 抛物线与抛物线互为“友好”抛物线，
①+②得：
【点评】本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．
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