第十二章 证明 章末复习课件（29张PPT）

(共29张PPT)
第十二章 · 证　明
小结与思考
1. 了解定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念；
2.会区分命题的条件和结论.会判断一个命题的真假.会写出一个命题的逆命题，并知道如果一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题；
3.通过具体的例子理解反例的作用；
4. 理解证明的必要性，掌握证明的格式.
学习目标
知识结构
证明
概念
证明
互逆命题
定义
命题
对名称或术语进行描述或作出规定,就叫做该名称或术语的定义.
命题的结构
命题的分类
条件
结论
真命题
假命题
已知事项
由已知事项推出的事项
判断一件事情的句子.
条件成立，结论也成立的命题
条件成立，结论不成立的命题
条件和结论互换
证明
定理
举反例
依据
证明与图形有关的命题的一般步骤
（1）根据命题，画出图形；
（2）根据命题的条件、结论，结合图形，
写出已知、求证；
（3）写出证明过程.
基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质等．
根据已知的真命题，确定确定某个命题真实性的过程叫做证明.经过证明的真命题称为定理.
知识点一 定义与命题
例1. 下列语句中，属于定义的是(　　)
A．直线BC和AD平行吗
B．过线段AB的中点C画AB的垂线
C．两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离
D．同旁内角互补，两直线平行
C
定义的一般形式有：“……叫做……”，“……是……”“……称为……”
知识点一 定义与命题
例2. 下列语句中，属于命题的是(　　)
A．同角的余角相等
B．过点A作直线MN
C．∠1＝∠2吗
D．取线段AB的中点
A
命题的特征：是句子、有判断(只需作出判断、无关对错.)
注意：疑问句、祈使句、命令句、感叹句等不是命题.
知识点一 定义与命题
例3. 命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是(　　)
A．垂直
B．两条直线
C．同一条直线
D．两条直线垂直于同一条直线
改写：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
有些时候，我们可以通过将命题改写成
“如果······那么······ ”的形式，找出命题的条件和结论.
D
知识点一 定义与命题
例4. 下列命题中，属于假命题的是(　　)
A．对顶角相等
B．同位角相等
C．两点确定一条直线
D．n边形(n≥3)的内角和是(180n－360)°
判断一个命题是假命题只需举出一个反例.使之具有命题的条件，而不具有命题的结论.
B
1
2
知识点一 定义与命题
例5. 说出下列命题的逆命题，并判定原命题和逆命题的真假：
( )
( )
( )
( )
(1)轴对称图形是等腰三角形；
逆命题：等腰三角形是轴对称图形.
假命题
真命题
(2)同角的补角相等.
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角.
真命题
假命题
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，每个命题都有逆命题.原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
巩固练习
1. 下列命题中，属于真命题的是(　　)
D
A．内错角相等
B．若a10＝b10，则a＝b
C．任意多边形的内角和为360°
D．等角的补角相等
2. 能说明命题“对于任何数a，|a|＞－a”是假命题的一个反例可以是(　　)
A
A． a＝－π B. a＝ C． a＝1 D．3.1415962…
巩固练习
3. “两负数的商为正数”的条件是___________，结论是_____________ ；
4. 改写命题“等角的补角相等”:如果_________，那么_______________.
5. 命题: 如果，那么a＞b.
(1) 这个命题的逆命题是真命题吗？说明你的理由.
(2) 如果(1)中的逆命题不是真命题，请你添加一个条件使之成为真命题，写出这个真命题.
两个数为负数
它们的商为正数
两个角相等
这两个角的补角相等
解:(1)不是真命题. 反例：a=1，b=-2时，a＞b，那么| |＜| |
解:(2) 如果a＞b且a、b是非负数，那么| |＞| |.
知识点二 证明
有关定理
（5）平行于同一条直线的两条直线平行.
（3）直角三角形的两个锐角互余.
（4）有两个角互余的三角形是直角三角形.
（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
（1）三角形三个内角的和等于180°.
（一）证明的必要性
例6. 探索两个连续奇数的平方差的规律，并加以证明.
设n为整数，两个连续奇数分别为2n-1、2n+1,
∵(2n+1)2-(2n-1)2
=[(2n+1)+(2n-1)] [(2n+1)-(2n-1)]
=8n
解：两个连续奇数的平方差能被8整除.
∴两个连续奇数的平方差能被8整除.
例7. 证明：两直线平行，同旁内角互补．
（二）证明与图形有关的命题的一般步骤
（1）根据命题，画出图形；
F
2
3
1
A
B
C
D
E
（2）根据命题的条件、结论，结合图形，
写出已知、求证；
已知：AB∥CD；
求证：∠1 + ∠2 = 180°；
（3）写出证明过程.
证明：∵ AB∥CD（已知）,
∴ ∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵ ∠1＋∠3＝180°（平角的定义），
∴ ∠1＋∠2＝180°（等量代换）．
例8. 已知:AB∥CD，求证:∠A+∠C+∠AEC=360°.
F
）
1
）
2
证明：过E点作EF∥AB，
则∠A+∠1=180°（两直线平行平行，同旁内角互补）
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD（平行于同一直线的两直线互相平行）
∴∠2+∠C=180°（两直线平行平行，同旁内角互补）
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°（等式的基本性质）
即∠A+∠C+∠AEC=360°
A
B
C
D
E
）
1
2
）
A
B
C
D
E
“铅笔头”模型
A
B
C
D
E
F
（三）与平行线的判定与性质相关的证明
变式1: 如图，AB∥CD，试用不同的方法证明∠AEC=∠A+∠C.
E
D
C
B
A
1
2
（
（
E
D
C
B
A
F
1
2
（
（
“猪蹄”模型
E
D
C
B
A
F
（三）与平行线的判定与性质相关的证明
（三）与平行线的判定与性质相关的证明
E
D
C
B
A
变式2: 如图，AB∥CD， ∠AEC与∠A、∠C 之间有怎样的数量关系？证明你的结论.
F
∠AEC=∠A-∠C
（三）与平行线的判定与性质相关的证明
变式3: 如图甲:已知AB∥DE，那么∠1+∠2+∠3等于多少度 试加以说明.
当已知条件不变,而图形变为如图乙时,结论改变了吗
图丙中的∠1+∠2+∠3+∠4是多少度呢？如果如丁图所示，∠1+∠2+∠3+…+∠n的和又为多少度？你找到了什么规律吗？
甲
乙
丙
丁
∠1+∠2+∠3=2×180°
∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°
∠1+∠2+∠3+∠4+……+∠n=(n-1)×180°
E
D
C
B
A
B
A
D
C
E
F
（四）与三角形内角和定理相关的证明
例9: 将例8变式1的图中直线AB绕点A顺时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q ，如下图，则∠AEC 、 ∠A、 ∠C、∠AFC 之间有何数量关系？
∠AEC= ∠A+∠C+∠AFC
“箭头”模型
P
变式1：在五角星ABCDE中，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和等于多少度？请加以证明.
A
C
D
E
B
2
1
╮
╰
解：易证 ∠1+∠2=∠B+∠E
∵在△ACD中，
∠ A+∠ACD+∠ADC =180°
∴∠A+∠ACE+∠1+∠2+∠ADB=180°
即:∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E=180°
你还能想到其他证明方法吗？试一试 .
（四）与三角形内角和定理相关的证明
“8字”模型
变式2：把图1、图2叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？
（四）与三角形内角和定理相关的证明
D
A
E
C
(图1)
B
D
A
E
B
C
(图2)
相等
（四）与三角形内角和定理相关的证明
变式3：如图：求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+∠F的度数.
A
B
C
D
E
F
∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+∠F=360°
巩固练习
1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中，正确的是(　 )
D
A. 只需观察得出
B. 只需依靠经验获得
C. 通过实验得出
D. 必须进行有根据的推理
2.下列平行线的判定方法中，是基本事实的是(　　)
A．同旁内角互补，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
B
3.如图，OP∥QR∥ST，则下列各式中正确的是( ).
A．∠1＋∠2＋∠3＝180°
B．∠1＋∠2－∠3＝90°
C．∠1－∠2＋∠3＝90°
D．∠2＋∠3－∠1＝180°
D
Q
T
S
P
R
O
）
2
1
4
3
）
）
）
巩固练习
巩固练习
4. 如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F.若∠BEF＝150°，则∠ABE的度数为 　60°　 .
60°
A
B
D
C
E
F
∟
巩固练习
5. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为 　105　 .
105°
A
B
C
1
∟
∟
D
巩固练习
6. 如图所示为可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠A、∠B、∠E保持不变.为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　减少　 (填“增加”或“减少”) 　10°　 .
减少
10°
C
B
A
D
E
F
50°
60°
20°
30°
巩固练习
7. 如图，AB∥DE，且∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证:BC∥EF.
(1) 证明:∵ AB∥DE(已知)，
∴ ∠1＝∠3( 　两直线平行，同位角相等　 ).
∵ ∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)，
∴ ∠2＝ 　∠4　 (等量代换).
∴ BC∥EF( 　同位角相等，两直线平行　 ).
(2) 上述推理过程中，运用的互逆的真命题是　“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平______　 .
两直线平行，同位角相等
∠4
同位角相等，两直线平行
“两直线平行，同位角相等”
和“同位角相等，两直线平行”
A
B
C
D
E
2
F
1
3
4
8. 已知：如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC=70°.求∠AGD.
A
B
C
D
E
G
1
F
2
解：∵EF∥AD(已知)，
∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠1＝∠3(等量代换)，
∴DG∥AB(内错角相等，两直线平行)．
∴ ∠BAC+ ∠AGD=180°
(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠BAC=70° (已知) ，
∴ ∠AGD=110° (等式性质) .
巩固练习
3
巩固练习
9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F.
求证： ∠CFE= ∠CEF
C
∟
∟
A
B
D
E
F
证明：在△ACE、 △ADF中，
∵∠ACB=∠ADF=90°(已知)，
∴∠CAE+ ∠CEF＝90° 、∠DAF+ ∠AFD＝90°
(直角三角形的两个锐角互余).
∵AE是角平分线(已知) ，
∴ ∠ CAE =∠ DAF (角平分线定义)
∴ ∠CEF = ∠ AFD(等式性质) .
∵ ∠CFE = ∠ AFD(对顶角相等) ，
∴ ∠CFE= ∠CEF (等量代换) .