2014快乐暑假初三升初四衔接复习部分————矩形（附答案）

2014快乐暑假初三升初四衔接复习部分——矩形（附答案）
一、知识梳理：矩形的性质：
1、矩形的四个角 ；矩形的对角线 。
2、矩形既是 图形，又是 图形。
矩形的判定：1、有一个角是 的平行四边形是矩形。
2、对角线 的平行四边形是矩形。
3、 的平行四边形是矩形。
二、典例解析
1．（2013 威海）操作发现：
将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：△CDO是等腰三角形； （2）若DF=8，求AD的长．
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2．（2013 张家界）如图，△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
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三、巩固提升
3．（2013 重庆）如图，矩形纸片ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（　　）
　 A．6cm B． 4cm C． 2cm D． 1cm
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（3） （5） （6）
4．（2013 宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分D．两组对角分别相等
5．（2013 北京）如图，O是矩形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为　_________　．
6．（2010 北海）在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，且AE平分∠BAO．则∠AOB= 度．
7．（2014 遂宁）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：
（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．
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8．（2014 安顺）已知：如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
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四、拔高训练
9．（2010 铜仁地区）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（　　）
　 A． AB∥DC B． AC=BD C． AC⊥BD D． AB=DC
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10．（2011 兰州）如图，依次 ( http: / / www.21cnjy.com )连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为　_________　．
11．（2010 江干区模拟）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，以△AOD的三边为边，在AD的同侧作三个等边三角形△AED、△BOD、△AOF，请回答下列问题并说明理由：
（1）四边形OBEF是什么四边形？
（2）当△AOD满足什么条件时，四边形OBEF是菱形？是矩形？
（3）当△AOD满足什么条件时，以O、B、E、F为顶点的四边形不存在？
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五、课堂检测
12．（2012 黔南州）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）
　 A． AB=CD B． AD=BC C． AC=BD D． AB=BC
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（12） （14） （15）
13．（2012 黄冈）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（　　）
　 A． 矩形 B． 菱形
　 C． 对角线互相垂直的四边形 D． 对角线相等的四边形
14．（2014 毕节地区）将四根木条钉成的 ( http: / / www.21cnjy.com )长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为　_________　度．
15．（2013 牡丹江）如图， ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件　_________　（只添一个即可），使 ABCD是矩形．
16．（2013 铁岭）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
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17．（2013 定西） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
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18．（2013 大庆）已知△ABC是 ( http: / / www.21cnjy.com )等边三角形，点D、F分别在边BC、AC上，且DF∥AB，过点A平行于BC的直线与DF的延长线交于点E，连结CE、BF．
（1）求证：△ABF≌△ACE；
（2）若D是BC的中点，判断△DCE的形状，并说明理由．
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19．（2012 青岛）已知：如图，四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA=BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．
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2014快乐暑假初三升初四衔接复习部分——矩形参考答案
1．分析：（1）根据题意可得BC= ( http: / / www.21cnjy.com )DE，进而得到∠BDC=∠BCD，再根据三角形内角和定理计算出度数，然后再根据三角形内角与外角的性质可得∠DOC=∠DBC+∠BCA，进而算出度数，根据角度可得△CDO是等腰三角形；
（2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，首先根据∠F=60°，DF=8，可以算出DH=4，HF=4，DB=8，BF=16，进而得到BC=8，再根据等腰三角形的性质可得BG=AG=4，证明四边形AGHD为矩形，根据线段的和差关系可得AD长．
（1）证明：由图①知BC=DE，
∴∠BDC=∠BCD，∵∠DEF=30°，∴∠BDC=∠BCD=75°，
∵∠ACB=45°，∵∠DCO+∠BCO=75°∴∠DCO=30°
∵∠DCO+∠CDO+∠DOC=180°，∴∠DOC=30°+45°=75°，
∴∠DOC=∠BDC，∴△CDO是等腰三角形；
（2）解：作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，
在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，∴DH=4，HF=4，
在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，∴DB=8，BF=16，∴BC=BD=8，
∵AG⊥BC，∠ABC=45°，∴BG=AG=4，∴AG=DH，
∵AG∥DH，AG⊥BC， ∴四边形AGHD为矩形，
∴AD=GH=BF﹣BG﹣HF=16﹣4﹣4=12﹣4．
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2．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；
（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，∴EF==13，∴OC=EF=6.5；
（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．
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3．C．4．B．5．　20　
6．解：∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠AEO=90°，又∵AE平分∠BAO，∴∠BAE=∠OAE，
∵AE=AE，∴△AEB≌△AEO，∴AB=AO，
又∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO，∴AB=BO=AO，则△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
7．证明：（1）∵CF∥BD，∴∠DOE=∠CFE，
∵E是CD中点，∴CE=DE，
在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD=FC，
∵CF∥BD，∴四边形ODFC是平行四边形，
在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形ODFC是菱形．
8．（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
9．C．10．（）n﹣1
11。解：（1）平行四边形；
∵△AED和△OBD都是等边三角形，∴∠ADE=∠ODB=60°，AD=ED OD=BD，
∴∠ADE﹣∠ODE=∠ODB﹣∠ODE 即∠ADO=∠EDB，
∴△ADO≌△EDB．∴AO=EB，
∵△AOF是等边三角形，AO=FO，∴FO=EB
同理：BO=FE ∴四边形OBEF是平行四边形
（2）当OA=OD时，四边形OBEF为菱形，
当∠AOD=150°时，四边形OBEF为矩形；
（3）当∠AOD=60°时，以O、B、E、F为顶点的四边形不存在．
12．C．13．C．14．　30　15．AC=BD　（只添一个即可）
16．（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．
17．
解：（1）BD=CD．
理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，
∵AF=BD，∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD（三线合一），
∴∠ADB=90°，∴ AFBD是矩形．
18．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵DE∥AB，AE∥BD，∴∠EFA=∠BAC=60°，∠CAE=∠ACB=60°，
∴△EAF是等边三角形，∴AF=AE，
在△ABF和△ACE中，∵，∴△ABF≌△ACE（SAS）．
（2）△DCE是直角三角形，∠DCE=90°．
理由：连接AD，
∵DE∥AB，AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，
∵D是BC中点，∴BD=DC，∴AE=DC，
∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥DC，∴四边形ADCE是矩形，∴△DCE是直角三角形，∠DCE=90°．
19、（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°，
∵点O是EF的中点，∴OE=OF，
又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，
又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA=BD，OA=AC，
∴BD=AC，
∴ ABCD是矩形．