2014年快乐暑假初三升初四衔接复习部分——菱形和正方形（附答案）

2014年快乐暑假初三升初四衔接复习部分——菱形和正方形
一、知识梳理
知识点1：菱形的性质和判定：
1、菱形的四条边 。
2、菱形的对角线 ，并且 。
3、 的平行四边形是菱形。4、 的平行四边形是菱形。
5、 的四边形是菱形。
知识点2：正方形的性质和判定
1、正方形的 ， ；
2、正方形的对角线 。
3、 的菱形是正方形。4、 的菱形是正方形。
5、 的矩形是正方形。6、 的矩形是正方形。
二、典例解析
1．（2013 扬州）如图，在菱形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（　　）
A．50° B． 60° C． 70° D． 80°
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（1） （2） （3） （4）
2．（2014 天水）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，∠ADE=∠CDF．
（1）求证：AE=CF；
（2）连结DB交CF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连结EG、FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．
3、如图，E、F分别是正方形ABCD的边C ( http: / / www.21cnjy.com )D、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④∠CEA=∠DFB；⑤S△AOB=S四边形DEOF．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2012 赤峰）如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
三、巩固提升
5．（2013 巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（　　）
　 A． 24 B． 16 C． 4 D． 2
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（5） （6） （7） （8）
6．（2014 烟台）如图，在菱形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（　　）
　 A． 28° B． 52° C． 62° D． 72°
7．（2012 宁德）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6cm，则AB=　_________　cm．
8．（2014 重庆）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为　　．
9．（2011 衢州）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．
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四、拔高训练
10．（2013 菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　）
　 A． 16 B． 17 C． 18 D． 19
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（10） （11） （12）
11．（2014 宜宾）如图，将n个边 ( http: / / www.21cnjy.com )长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（　　）
　 A． n B． n﹣1 C． （）n﹣1 D． n
12．（2014 苏州模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件　_________　．
13．（2013 湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．
（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；
（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．
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五、课堂检测
14．（2012 河池）用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）
A． 一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
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　 （14） （15） （16） （17）
15．（2014 福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　）
　 A． 45° B． 55° C． 60° D． 75°
16．（2011 内江）如图，点E ( http: / / www.21cnjy.com )、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足　_________　条件时，四边形EFGH是菱形．
17．（2009 莆田）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：　____　，使得该菱形为正方形．
18．（2013 南漳县模拟）如图，△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
（1）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（2）当点O在边AC上运动到何处且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．
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2014年快乐暑假初三升初四衔接复习部分——菱形和正方形参考答案
1．B．
2．（1）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°，
在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF；
（2）四边形DEGF是菱形．
理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，
∵AE=CF，∴AB﹣AE=BC﹣CF，即BE=BF，
∵△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴BD垂直平分EF，
又∵OG=OD，
∴四边形DEGF是菱形．
3．C
4．（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），
∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴2∠COD+2∠COF=180°，
∴∠COD+∠COF=90°，
∴∠DOF=90°；
∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知），
∴OD⊥AC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性质），
∴∠CDO=90°，
∵CF⊥OF，
∴∠CFO=90°
∴四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形；
理由如下：∵∠AOC=90°，AD=DC，
∴OD=DC；
又由（1）知四边形CDOF是矩形，则
四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形．
5．C．6．C．7．　12　8．　28　
9．证明：（1）∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，且AE=BD
又∵AD是BC边的中线，∴BD=CD，∴AE=CD，
∵AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD=EC；
（2）∵∠BAC=90°，AD是斜边BC上的中线，∴AD=BD=CD，
又∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形．
10．B．11．B．12．　AC=BD　
13．解：（1）AD=CF．
理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，
∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，
即∠AOD=∠COF，
在△AOD和△COF中，，∴△AOD≌△COF（SAS），∴AD=CF；
（2）与（1）同理求出CF=AD，
如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE，
∵正方形ODEF的边长为，
∴OE=OD=×=2，∴DG=OG=OE=×2=1，∴AG=AO+OG=3+1=4，
在Rt△ADG中，AD===，∴CF=AD=．
14．B．15．C．16．　AB=CD　17．　AC=BD或AB⊥BC　
18、解：（1）∵OF是∠BCA的外角平分线，∴∠OCF=∠FCD，
又∵MN∥BC，∴∠OFC=∠ECD，∴∠OFC=∠COF，∴OF=OC，∴OE=OF；
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
∴∠ECF=90°，
∵CE=12，CF=5，∴EF==13，
∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE，
又∵MN∥BC，∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，∴OE=OC，∴CO是△ECF上的中线，∴CO=EF=6.5；
（2）点O是AC的中点且∠ACB=90°，
理由：∵O为AC中点，∴OA=OC，
∵由（1）知OE=OF，∴四边形AECF为平行四边形；
∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，
∴ AECF为矩形，
又∵AC⊥EF．
∴ AECF是正方形．
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．
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