2023届高三下学期5月高考考前押题卷数学（文）试题（河南适用）（含解析）

2023年高考考前押题卷（河南适用）
文科数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.设函数，，，过定点.则“的图象经过点”是“在上递减”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.为弘扬传统文化，某校进行了书法大赛，同学们踊跃报名.在成绩公布之前，可以确定甲、乙、丙名从小就练习书法的同学锁定了前三名.甲和乙去询问成绩，组委会对甲说：“很遗憾，你没有获得冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”由对话推断，丙获得冠军的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.设复数满足，，则的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.近年来，高考更加注重学生综合运用和思维能力的考查.自年全国乙卷选择题创造性地出了“通过构造函数比较数值大小”的问题，各地相关模拟题层出不穷.为充分了解学生对该类问题的解决思路，某校数学组对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了若干名学生，他们的解决方案有放弃（记为方法），使用特值尝试（记为方法），构造函数（记为方法），作差（或商）构造不等式（记为方法），使用泰勒展开（记为方法）.经调查，男女生在解决问题时思维上存在着差异.在五种解决方案上，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则（ ）
A. 样本中方案的女生比男生人数多
B. 使用，方案的人数在总人数中超过一半
C. 方案的女生和方案的男生在整个样本中频率相等
D. 样本中方案的学生数和方案的学生数一样多
6.在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的半径及此时对应直线方程的斜率是（ ）
A．； B．；
C．； D．；
7.已知，其中，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.种群的数量是指在一定面积或容积中某个种群的个体总数.一个种群的个体数目多少，也叫种群大小.种群增长模型可以概括为两种：世代不相重叠种群的离散增长模型和世代重叠种群的连续增长模型.假定某种动物一年只生殖一次，寿命只有一年，那么，这种动物的种群就是世代不相重叠的.草原上往往有季节性的小水坑，栖居在这些小水坑中的某种水生昆虫，雌虫每年产一次卵，卵孵化长成幼虫，蛹在泥中度过干旱季节，到第二年，蛹才变成虫，并交配、产卵.因此，这样的昆虫种群世代是不重叠的，种群增长是不连续的.为了更好地研究该昆虫的种群数量(单位: 百万只)与时间(单位: 年) 之间的关系, 科学家通过观察建立了函数模型且. 已知第一年该昆虫的种群数量为百万只，第年该昆虫的种群数量为百万只, 给出下列结论:
①第年该昆虫的种群数量超过千万只；
②若该昆虫的种群数量达到亿, 则至少要经过年；
③若, 则成等差数列；
④若成等差数列,, 则.
其中正确结论的个数为（ ）
A. B. C. D.
9.已知正方体的棱长为，分别为线段上和平面内的两个动点，，中点的轨迹所形成的图形记为.则与平面、、围成的几何体体积为（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数.则当时，的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数，当时，存在零点，则实数的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
12.在中，已知点分别在上，使得线段和交于一点.若，，则下列说法中错误的是：（ ）
A.若，则有；
B.若，则，；
C.若，，则的最大值为；
D.若，当时，与交于，当时，与交于.，，则.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.点在平面区域内，则实数的取值范围是________.
14.设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成角满足.这样的点所构成的区域的面积为，满足条件的一组，值为：________，________.（写出一组即可）
15.已知为等差数列，若集合的所有非空真子集的元素之和为，则 .
16.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，，分别为的外接圆、内切圆半径.若，则________.
三、解答题：本大题共5个大题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.数列与满足：，，（，，…）.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.如图，四棱锥中侧面为等边三角形且垂直于底面，，，.
（1）在图中作出过点且与平面平行的截面，不需要说明理由；
（2）截面将四棱锥分为两部分，记较大部分的体积为，较小部分的体积为，
求.
19.自主创新是我国经济发展的核心动力，科技自立自强已被赋予国家发展战略支点的功能.世界知识产权组织（WIPO）年月日发布的《世界知识产权指标》报告显示，年全球专利、商标和外观设计的知识产权申请量均创历史新高.其中，中国提交的专利申请数量最多，接近全球专利申请量的一半.丰硕成果的取得，离不开国家政策的扶持和资金的大量投入.以下是五家中国芯片企业年的研发资金投入（单位：百万元）和专利数（单位：千个）的统计表：
（1）求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到）；
（2）建立关于的线性回归方程，并估计某芯片企业年预计研发资金投入为（百万元）时，则该年可能获得的专利数；
（3）某芯片企业研发资金的来源，主要为社会集资和企业自投，其中社会集资为（百万元）.经研究表明，企业获得的利润与企业自投资金与专利数的乘积成正比.由（2）中结论，为了企业的良性发展，当研发资金投入为多少时，可使得企业该年获得的利润最大？（该结果保留整数）
参考公式：对于一组数据（，，，…，），相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.参考数据：.
20.已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知点，是曲线的左右焦点，过点且不与坐标轴垂直的直线交曲线于点两点，判断是否存在实数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21.已知函数，.
（1）当时，求证：；
（2）记有两个零点，，证明：.
四、选做题（二选一）
22.（10分）在极坐标系下，曲线的方程为，以极点为原点，极轴所在直线为轴建立直角坐标系，点的坐标为，点为曲线与轴的交点，曲线上的任一点满足：.
（1）写出曲线的普通方程及曲线的极坐标方程；
（2）设点为曲线在极轴上方的一点，且，以为直角顶点，为一条直角边作等腰直角三角形（在的右下方），求点轨迹的极坐标方程.
23.（10分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）设函数的最小值为，实数，满足，，，求证：.
答案
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 答案：
D
解析：
，，故，.
2. 答案：
A
解析：
易得定点，函数的图象经过点，则，则函数在上递减.若函数在上递减，则或.则“的图象经过点”是“在上递减”的充分不必要条件.
3. 答案：
C
解析：
由概率的性质，只考虑人情况即可.由对话推断，人的名次所有可能情况为（乙甲丙），（乙丙甲），（丙乙甲）.故丙获得冠军的概率为.
4. 答案：
A
解析：
由，，两边取模得：，则.由基本不等式得：，故，当且仅当时取等号.
5. 答案：
B
解析：,所以，因为，方案的人在男女生各自人群中占比都是，故在总人数中也是，超过一半，男女生具体人数不确定，所以无法比较其它方案人数.
6. 答案：
D
解析：
直线，变形可得，所以该动直线过定点.
则以点为圆心且与直线相切的所有圆中，圆心到定点的距离为最大半径，所以半径的最大值为．此时，圆心与定点连线垂直于直线，其斜率为，则直线斜率为.
7. 答案：
A
解析：
原不等式可化为 ，
即.令，则在上单调递增，由得，解得.
8. 答案：
C
解析：
由题意，解得故.
，即①正确；
令，得，即②错误；
由得：，化简得：，即③正确；
由，，得：，.由成等差数列得：，即④错误.
9. 答案：
D
解析：
显然，.在中，.故是以为球心，为半径的球.其与正方体三个面围成的几何体为个球，体积为.
10. 答案：
D
解析：
设，定义域为，
，
所以，为奇函数.
当时，为偶函数，为奇函数.
，，为选项B.
当时，为偶函数，
为奇函数.，，
为选项A.
当时，为奇函数，为偶函数.
因为，，为选项C.
故选：D.
11. 答案：
B
解析：
有正实数解.即，
设，则，
令，则，即单调递增，且，易知，故.
12. 答案：
C
解析：
对于A，显然为的重心，则有.故A正确.
对于B，选定为基底.设，由，从而.故.又易得，从而.由点和点共线，利用向量知识可得：解得：
故而.由相关知识可得：，，从而.再设，，由三点共线，故，得.由相关知识可得：，即.故B正确.
对于C，由，故而，则.同理，.所以，，
则.设，，
因为，所以，当且仅当，
即，即时等号成立.所以，.所以，的最大值为.故C错误.
对于D，由向量知识可得分别为的两个三等分点.设，，则.
由.
.解得：，
故.故D正确.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 答案：
解析：
将点代入直线得，则.
14. 答案：
解析：
由题意，点构成的区域为一个圆环，其面积为.故可能的一组，.即，.
15. 答案：
解析：
注意到,含有元素的非空真子集有个.则集合的所有非空真子集的元素之和为.由等差数列的性质知，故.
16. 答案：
解析：
，.在中，由正弦定理得：.
不妨设点在双曲线右支上，的内切圆切轴于点.
由双曲线性质知，为双曲线的右顶点.
，.
又由内心的性质可知..
解得.故.
三、解答题：本大题共5个大题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 答案：
见解析
解析：
（1）将条件两式相加，得.又，所以，
将条件两式相减，得，
令，则，故上式为，
设，对比系数可得，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故.
（2）由（1）知：
，，
故，
所以.
18. 答案：
见解析
解析：
（1）如图所示，
取的中点，的中点，则平面即为所求的平面.理由如下：
因为点，分别为，中点，∴，
又平面，平面，所以平面，∵，，∴，四边形为平行四边形，∴，
又平面，平面，所以平面，
又，，平面，∴平面平面；
（2）取的中点，则平面.
设，则，，.，.，..故.
19. 答案：
见解析
解析：
（1）由已知数据可得，，
，
，
，
所以相关系数，
因为，所以与有很强的线性相关性，可以用线性回归模型拟合.
（2）由于，，
所以关于的线性回归方程为，
当时，，
故当投入为百万元时，年的专利数约为千个.
（3）企业自投资金与专利数乘积最大时，企业利润最高.
则，当时，取得最大值.即研发资金投入为百万元时，可使得该企业该年获得的利润最大.
20. 答案：
见解析
解析：
（1）设，，则，
由，得即，，
因为，代入整理得，即为的轨迹为椭圆.
（2）由题意的斜率不为，设，，，
联立
由，知，
同理，
故.
令，则上式.
由为定值，则或，解得或，故或，得或.
21. 答案：
见解析
解析：
（1）要证当时，即证，，
不等式两边同除以得，，等价于，
由切线不等式，知上式成立.
（2）求的零点，
即是求的根，令，即，这个方程仅有一个根，故，原命题等价于方程有两个零点，，易得，由得到，
又，要证，只需证：，
不妨设，证明：，（）构造函数，（），
因为，所以在上单调递减，
即，证得成立.故，此时有，再结合，可得.
四、选做题（二选一）
22. 答案：
见解析
解析：
（1）由，得，将，代入上式，得，故点为，所以曲线的普通方程为.
设动点为，由，得，化简得，将，代入上式，得，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）设为，则，且，
设为，则根据题意可得：∴
又，且，∴，，
∴，，
∴点轨迹的极坐标方程为，.
23. 答案：
见解析
解析：
（1），即.
当时，不等式可化为，解得.又∵，∴；
当时，不等式可化为，解得.又∵，∴.
当时，不等式可化为，解得.又∵，∴.
综上所得.∴原不等式的解集为.
（2）由绝对值不等式性质得，，
∴，即.由，
等且仅当即，即时等号成立.原不等式成立.