2022-2023 学年度下学期高二学年
齐齐哈尔市恒昌中学期中教学质量检测
数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
一、选择题：（本小题共 8小题，每小题 5分，共 40分。）
1．已知函数 f (x) 1 则 f / (2) （ ）
x
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 2 4 4
2．完成一项工作，有两种方法，有 6个人只会用第一种方法，另外有 4个人只会第二种方法，
从这 10个人中选 1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）
A．6种 B．10种 C．4种 D．60种
f x
3. lim 0 m x f x若 0 1（m 为常数），则 f x 等于（ ）
x 0 x 0
1
A． m B．1 C．m D．
m
4．若函数 y f (x)可导，则“ f (x) 0有实根”是“ f (x)有极值”的（ ）．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．2022 年 12 月份，齐齐哈尔出现新冠疫情，各个社区马上进入应急状态，其中甲乙丙三个
社区疫情最为严重，急需支援。学校迅速组织 6 位教师去支援,其中甲社区需要 3位教师，乙
社区需要 2 位教师，丙社区需要 1 位教师，则学校的不同的安排方法种数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
6．函数 f x ln x 1 x2的图象大致是（ ）.
2
A． B． C． D．
7．一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为1、2、3、4、5、6，
从中不放回地随机抽取 2个小球，将其编号之和记为 S .在已知 S 为偶数的情况下，S 能被3整
除的概率为（ ）
1 1 5 2
A． B． C． D．
3 4 12 3
8. 设 f x 3是定义在 R上的可导函数， f x 的导函数为 f x ，且 f x f x 2x 在 R
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上恒成立，则下列说法中正确的是（ ）
A. f 2023 f 2023 B. f 2023 f 2023
C. f 2023 f 2023 D. f 2023 f 2023
二、多选题：（本小题共 8小题，每小题 5分，共 20分。选出全部正确答案得 5
分，选出部分正确答案得 2 分，出现错误选项得 0 分）
9．5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（ ）
A A3A2 B A5 2A4 1． 3 4 ． 5 4 C．84 D． A
5
2 5
2 610 ．关于多项式 x 的展开式，下列结论正确的是（ ）
x
A．各项系数之和为 1 B．二项式系数之和为 26 C． x4 的系数为 12 D．存在常数项
11．设离散型随机变量 X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量 Y满足Y 2X 1，则下列结果正确的有（ ）
A． E(X ) 2 B．D(X ) 2.4 C． E(Y ) 5 D．D(Y ) 14
ln x
12．已知函数 f x ，若 x1 x2 时，有 f x1 f x2 m，π是圆周率，x e 2.71828
为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）
A． f x 1的单调递增区间为 0,e B．m
e
C．若0 x1 x2 4 ，则 2 x1 e
D．若 a e3 ，b 3e， c eπ ，d πe， s 3π ， t π3，则 s最大
三、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。）
13．若(1＋ 2)4＝a＋b 2(a，b 为有理数)，则 a－b 等于_________.
14.已知离散型随机变量 X 的取值为 0，1，2，且 P(X
1
0) ，P(X 1) a，P(X 2) b；
4
若 E(X ) 1，则D(X ) ___________.
π π
15．已知函数 f(x)＝f′ 4 cos x＋sin x，则 f 4 的值为________．
16．甲乙两人进行一场游戏，每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上的点
数分别为 1，2，3，4，5，6），点数大的得 3 分，点数小的得 0 分，若两人点数相同，各得 1
分。记第 n轮后，甲乙两人的累计得分分别为Xn，Yn，则 P（X1 Y1）=_______，若第 1轮
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甲得 3分，则 P（ X 3 Y3）=________
四、解答题：（本大题共 6小题，17题 10分，其它题每题 12分，共 70分。）
(x 217 n．在二项式 ) 的展开式中，____________________ ．给出下列条件：
x
①所有奇数项的二项式系数的和为 64； ②若展开式中第 2项系数为-12
试在上面二个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式的常数项；
（2 ）求 x
1
2x 1 n的展开式中
x x
3的系数。
18．已知函数 f (x) 3x3 9x 5 .
（1）求函数 f x 的单调递减区间；
（2）求函数 f x 在 1,3 上的最大值和最小值.
19．一袋中装有 6个黑球，4个白球．如果不放回地依次取出 2个球．求：
(1)第 1次取到黑球的概率；
(2)第 1次和第 2次都取到黑球的概率；
(3)在第 1次取到黑球的条件下，第 2次又取到黑球的概率．
20．已知曲线 f(x)＝x3＋ax＋b在点 P(2，－6)处的切线方程是 13x－y－32＝0.
(1)求 a，b的值；
(2)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 l：y 1＝－ x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程
4
21.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按 200 元/次收费，并注
册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：
消费次第 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 5次
收费比率 1 0.95 0.90 0.85 0.80
若该公司注册的会员中没有消费超过 5 次的，从注册的会员中，随机抽取了 100 位进行统计，
得到统计数据如下：
消费次
1 2 3 4 5
数
人数 60 20 10 5 5
假设汽车美容一次，公司成本为 150 元，根据所给数据，解答下列问题：
（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
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（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为 X
元，求 X 的分布列和期望.
22．（12 x分）已知函数 f (x) e ax2 x．
（1）当 a 1时，求曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程；
（2）若函数 F (x) f (x) x 2有两个极值点 x1， x2 ，求证： x1x2 (ln(2a)) ．
高二 数学 期中试卷 第 4 页 共 4 页恒昌中学 2022-2023高二下学期期中考试数学试卷答案
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D A B D A D
3.【解析】由题意，根据导数的概念可得，
f x0 m x f x0 f x m x f x 1lim m lim 0 0 mf x0 1，所以 f x0 .故选：D x 0 x x 0 m x m
4．【解析】 f (x) 0，但 f (x)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时 f (x)在零点处无极值，但 f (x)有极
值则 f (x)在极值处一定等于 0 .所以“ f (x) 0有实根”是“ f (x)有极值”的必要不充分条件.故选：A
5 3 2 1．【解析】C6C3C1 =90
f x 16．【解析】由题得， x(x 0)，当 (0,1)时， f x 0，函数 f x 为增函数，当 (1, )时， f x 0，
x
函数 f x 1为减函数，则当 x 1时， f x 取最大值， f 1 ，则 D 选项正确.
2
7．【解析】记“ S 能被3整除”为事件 A，“ S 为偶数”为事件 B，事件 B包括的基本事件有{1，3}，{1，5}，{3，5}，{2，4}，
n(AB) 2 1
{2，6}，{4，6}共 6个.事件 AB包括的基本事件有{1，5}、{2，4}共 2个.则 P(A | B) ，故选:A.n(B) 6 3
8. 【解析】由题设 2 f (x) f (x) 4x 3，构造 g(x) f 2(x) x4 ，则 g (x) 2 f (x) f (x) 4x 3 0，
所以 g(x)在 R上单调递增，则 g(2023) g( 2023)，即 f 2 (2023) 20234 f 2 ( 2023) ( 2023)4 ，
所以 f 2 (2023) f 2 ( 2023) ，即 f 2023 f 2023 .
二、多选题：
9 10 11 12
AB ABD AC ACD
9 3．【解析】先除去甲、乙两人，将剩下的 3人全排，共 A3 =3×2×1=6种不同的排法，再将甲、乙两人从产生的 4个
2
空中选 2个插入共 A4 =12种不同的排法，所以 5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数
A3 2是 3 A4 =6×12=72，故选 AB．
6
10 2 ．【解析】对于 A，令 x 1，则可得各项系数之和为 1 1，故 A正确；对于 B，二项式系数之和为
1
C 06 C
1
6 C
2
6 C
6
6 2
6 r
，故 B正确；对于 C， Tr 1 1 26 rC r x2r 66 ，令 2r 6 4，解得 r = 5，则 x4
6
5
的系数为 1 26 5C56 12
2
，故 C错误.对于 D， xx
的展开式的通项公式为
6 r
T C r 2 r r 6 r r 2r 6r 1 6 x 1 2 C6 x ，令2r 6 0，解得 r 3，即常数项为第四项，故 D正确；故选：
x
ABD
11．【解析】由题意有 q 0.4 0.1 0.2 0.2 1，得 q 0.1
所以 E(X ) 0 0.1 1 0.4 2 0.1 3 0.2 4 0.2 2
D(X ) 0 2 2 0.1 1 2 2 0.4 2 2 2 0.1 3 2 2 0.2 4 2 2 0.2 1.8
E Y E 2X 1 2E X 1 2 2 1 5
D Y D 2X 1 22D X 4 1.8 7.2
12．【解析】 f x 的定义域为 0, ，且 f x 1 ln x 2 ，x
当 f x 0，即 0 x e时， f x 单调递增；当 f x 0， x e时， f x 单调递减，
所以 f x 的单调递增区间为 0,e ，单调递减区间为 e, ，A 选项正确；
由于 f x 1 1的单调性，可得 f x f e ， 0 m ，所以 B 选项不正确；max e e
由 f x 的单调区间，可画出函数 f x 的简图．
由0 x1 x2 4 ， f x1 f x2 m，可知0 x1 e， e x2 4．
因为 f x e, f x f 4 ln 4 ln 2在 上单调递减，可知 2 f 2 ，4 2
故有 f x1 f 2 ．
因为 f x 在 0,e 上单调递增，所以 x1 2．
综上，有 2 x1 e，所以 C 选项正确；
因为 e 3 π，由指数函数单调性可知， eπ e3，3π 3e ， π3 πe ；
由幂函数单调性可知 πe 3e， π3 e3，3π eπ，即有3e πe π3 ， e3 eπ 3π，
故这 6 个数的最大数在3π与 π3之中，最小数在e3 与3e 之中．
f x f π f 3 f e ln π ln3 ln e由 e 3 π及 的单调性，有 ，即 ．
π 3 e
ln π ln3
由 ，可得3ln π π ln 3，即 ln π3 ln3π，所以 π3 3π；π 3
同理可得3e e3．
综上可得，6 个数中最大数是3π，最小数是3e ，所以 D 选项正确，故选 ACD．
三、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。）
13．【答案】5．
解析 ∵(1＋ 2)4＝1＋4 2＋12＋8 2＋4＝17＋12 2＝a＋b 2，又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝
12.∴a-b＝5
1
14【答案】
2
15．【答案】1
5 11 15 5 15 5 6 1
16．【答案】 ； 【详解】每一轮甲得 3分 ，得 0分的概率 ，得 1分的概率为 所以 P
12 16 36 12 36 12 36 6
（X1 Y
5
1）= ，若第 1轮甲得 3分，则 X 3 Y3 对应的甲乙得分情况可能为（9,0）（7,1）（6,3）（5,2），所以 P12
5 5 1 5 1 1 5 5 1 1 11
（ X 3 Y3）= C 2 C 2 12 12 12 6 12 12 6 6 16
四、解答题：（本大题共 6小题，17题 10分，其它题每题 12分，共 70分。）
17 ．【解析】：选① 2n 64, n 6 1。选② 2 Cn 12 n=6
3
1 2 （ ）T C3 34 6x - -160
x
（2 4）（2） xC6 2x 2 -1 4 -
1 C26 2x 4 -1 2 =-180x3 所以系数-180x
18．已知函数 f (x) 3x3 9x 5 .
（1）求函数 f x 的单调递减区间；
（2）求函数 f x 在 1,3 上的最大值和最小值.
【解析】（1） f x 9x2 9 9(x 1)(x 1)， x R
令 f x 0，得 1 x 1，所以 f x 的减区间为 1,1 .
（3）由（1），令 f x 0，得 x 1或 x 1 x 1,1 ， f x 为减函数，
x 1,3 ， f x 为增函数. f 1 11， f 1 1， f 3 59 .
所以 f x 在区间 3,3 上的最大值为59，最小值为-1.
19．一袋中装有 6个黑球，4个白球．如果不放回地依次取出 2个球．求：
(1)第 1次取到黑球的概率；
(2)第 1次和第 2次都取到黑球的概率；
(3)在第 1次取到黑球的条件下，第 2次又取到黑球的概率．
【详解】设第1次取到黑球为事件 A，第 2次取到黑球为事件 B，则第1次和第 2次都取到黑球为事件 AB
1 2 1 1从袋中不放回地依次取出 2个球的事件数为 n A10 90 ，根据分步乘法计数原理，n A A6 A9 54，
n A
于是 P A 54 3
n 90 5
2 P A B
n AB 30 1
(2)因为 n AB A6 30 .所以 ＝ ＝ n 90 3
(3)由 1 2 可得，在第1次取到黑球的条件下，第2次取到黑球的概率为
1
P ABP B A 5 33 P .A 9
5
20．已知曲线 f(x)＝x3＋ax＋b在点 P(2，－6)处的切线方程是 13x－y－32＝0.
(1)求 a，b的值；
(2) 1如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 l：y＝－ x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
4
解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数 f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得 f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得 a＝1，b＝－16.
(2) y 1∵切线与直线 ＝－ x＋3垂直，∴切线的斜率 k＝4.
4
设切点的坐标为(x0，y0)，则 f′(x0)＝3x20＋1＝4， ∴x0＝±1.
由 f(x)＝x3＋x－16， 可得 y0＝1＋1－16＝－14，
或 y0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为 y＝4(x－1)－14或 y＝4(x＋1)－18.
即 4x－y－18＝0或 4x－y－14＝0.
21．【解析】（1）因为第一次消费时，公司获得利润为200 150 50元，
第二次消费时，公司获得利润为 200 0.9 150 40元，
50 40
所以两次消费中，公司获得的平均利润为 45元，
2
（2）因为公司成本为150元，所以消费一次公司获得的平均利润为50元，消费两次公司获得的平均利润为
50 40 45 50 40 30 元，消费三次公司获得的平均利润为 40元，消费四次公司获得的平均利润为
2 3
50 40 30 20
35元，
4
50 40 30 20 10
消费五次公司获得的平均利润为 30元，
5
X 的所有可能的取值为50,45,40,35,30，
P(X 50) 60 0.6 20 10 ， P(X 45) 0.2， P(X 40) 0.1，
100 100 100
P(X 35) 5 0.05， P(X 30) 5 0.05，
100 100
X 50 45 40 35 30
P 0.6 0.2 0.1 0.05 0.05
E x 50 0.6 45 0.2 40 0.1 35 0.05 30 0.05 46.25
22【解析】（1）当 a 1时， f (x) ex x2 x ，则 f (x) e x 2x 1，
所以 k f (1) e 3，
又 f (1) e 2，所以切线方程为 y (e 3)(x 1) e 2，即 y (e 3)x 1．
x 2 x
（2）由题意得 F (x) e ax ，则 F (x) e 2ax．
因为函数 F (x)有两个极值点 x1， x2 ， 所以 F (x) 0有两个不相等的实数根 x1， x2 ．
令 h(x) e x 2ax ，则h (x) ex 2a．
①当 a 0时， h (x) 0恒成立，则函数 h(x) 为R上的增函数，
故 h(x) 在R上至多有一个零点，不符合题意；
②当 a 0 时，令 h (x) 0，得 x ln(2a)，
当 x ( ,ln(2a))时， h (x) 0，故函数 h(x) 在 ( , ln(2a))上单调递减；
当 x (ln(2a), )时， h (x) 0，故函数 h(x) 在 (ln(2a), )上单调递增，
因为函数 h(x) 0有两个不相等的实数根 x1， x2 ，
所以 h(x)min h(ln(2a)) 2a 2a ln(2a) 0
e
，得 a ，
2
不妨设 x1 x2 ，则 x1 ln(2a)， x2 ln(2a) 1，
又 h(0) 1 0 ，所以 x1 (0, ln(2a)) ．
2
令G(x) h(x) h(2ln(2a) x) ex 4a 4ax x 4a ln(2a) ，e
G (x) ex 4a
2
4a 2 ex 4a
2
则 x 4a 0，e ex
所以函数G(x)在R上单调递增．
由 x2 ln(2a)，可得G x2 G(ln(2a)) 0，即 h x2 h 2ln(2a) x2 ，
又 x1， x2 是函数 h(x) 的两个零点，即 h(x1)= h(x2)，
所以 h x1 h 2ln(2a) x2 ．
因为 x2 ln(2a) ，所以 2ln(2a) x2 ln(2a)，
又 x1 ln(2a)，函数 h(x) 在 ( , ln(2a))上单调递减，
所以 x1 2ln(2a) x2，即 x1 x2 2ln(2a) ．
2
又 x1 x2 2 x1x2 ，所以 2 x1x2 2ln(2a)，因此 x1x2 (ln(2a)) ．
