四川省雅安市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学（文）试题（含答案）

雅安市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷（文科）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知命题，则为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．用反证法证明命题“设，，为实数，若是无理数，则，，至少有一个是无理数”时，假设正确的是（ ）
A．假设，，不都是无理数 B．假设，，至少有一个是有理数
C．假设，，都是有理数 D．假设，，至少有一个不是无理数
3．已知函数的导函数则的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．极坐标的直角坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．若复数满足，则（ ）
A．2 B． C．3 D．5
6．将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．关于线性回归的描述，下列命题错误的是（ ）
A．回归直线一定经过样本点的中心 B．残差平方和越小，拟合效果越好
C．决定系数越接近1，拟合效果越好 D．残差平方和越小，决定系数越小
8．已知曲线在点处的切线方程为, 则（ ）
A． B． C． D．
9．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）
A． B．C．D．
10．若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．函数恰有两个零点，则实数k的范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若函数（a为常数）有三个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．下列三句话：①陈某打人；②陈某犯法；③打人犯法.若按照演绎推理的“三段论”排列，属于小前提的是___________.（填序号）
14．已知函数，则在处的切线方程是__________．
15．在研究两个变量的线性相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条曲线的周围，令，求得回归直线方程，则该模型的回归方程为______________
16．在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，z对应的点为点，则点与点之间距离的最小值_________________
三、解答题
17．甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：，
P() 0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
18．设集合，，.
(1)若，求和A；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.
（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；
（2）当θ∈(0,π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.
20．已知函数在处取得极值2.
(1)求a，b的值：
(2)求函数在上的最值.
21．已知圆：经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点，直线：与椭圆交于两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的值．
22．已知函数．
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)当时，求函数的极值点；
(3)若函数有两个零点，求实数m的取值范围．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1-5．CC.CCD 6-10．ADABC 11-12．CB
10．C【详解】对于AB选项:；构造函数，A项可变成；B项可变为求导得，令即
所以，函数单调递减；，函数单调递增，因为，且，所以无法判断的大小关系，故AB错误对于CD选项：;构造函数，C项变为；D项变为求导得，令即
所以，单调递增；，单调递减；因为，根据单调性可得，即
11．C【详解】.当时，，则在R上单调递增，不合题意；
当时，令，则，则在上单调递减，在上单调递增.又注意到，则当函数恰有两个零点时，，则.故选：C
12．B【详解】当时，则，可得，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，且时,函数值为正，故；当时，则，则在上单调递增，在上单调递减，故；综上所述：的图象如下图所示：
令，则，原题意等价于与有三个交点，由图象可得：实数a的取值范围为.故选：B.
13．① 14． 15．
16．【详解】设，，,即，化简整理可得 ，复数的对应点的轨迹，
对应的点为点，点与点之间距离的最小值为，
17．(1)A，B两家公司长途客车准点的概率分别为，(2)有【详解】（1）根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，则；B共有班次240次，准点班次有210次，设B家公司长途客车准点事件为N，则.A家公司长途客车准点的概率为；B家公司长途客车准点的概率为.
（2）列联表
准点班次数 未准点班次数 合计
A 240 20 260
B 210 30 240
合计 450 50 500
=，根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关..
18．(1)，(2)
【详解】（1），则或，当时，，所以，.
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以，又，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
19．（1）x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0；（2）.
【详解】（1）圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，∴圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
∴直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.（2）由得
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.
20．(1)的值为，的值为2；(2)最小值为2，最大值为.
【详解】（1），，
在处取得极值2，且，即，解得，
此时，由，可得，在上单调递减，
由，可得， 在上单调递增，所以在处取得极值，符合题意，所以的值为，的值为2；
（2）由（1）有，，由，可得，在上单调递减，由，可得， 在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增，因此在处取得极小值，即为最小值，，，，，在处取得最大值，综上所述，在上的最小值为2，最大值为.
21．(1)(2)1【详解】（1）由题意知：椭圆的焦点在轴上，圆：与轴交点为，即为椭圆的焦点，圆：与轴交点为，即为椭圆的上下顶点，
∴，，∴，∴椭圆的标准方程为：．
（2）设，，由，得，则，，又， ∴直线的斜率，直线的斜率，∴，
解得，故所求的值为1．
22．(1)(2)极小值点为，极大值点为(3)
【详解】（1）当a＝2时，函数，，则，∴，又∵，∴的图象在处的切线方程为，即．
（2），，当a＜－4时，由可得，且，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，则函数在处取得极小值，在处取得极大值，故函数的极小值点为，极大值点为．（3，，由，得，
所以“函数有两个零点”等价于“直线与曲线有两个交点”，
对函数求导，得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故时，函数取得极小值，
又；当时，，
根据以上信息作出函数的大致图象，如图，
所以当时，直线与曲线有两个交点．
所以当时，函数有两个零点．