关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
6.1 任意角的正弦、 余弦、 正切、 余切（第 3 课时）（分层练习）
【夯实基础】
一．选择题（共 8 小题）
1．（2022 春 黄浦区校级期中）“x＝2kπ+ （k∈Z）”是“sinx＝ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条
C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022 春 浦东新区校级月考）“sinα＝cosα”是“α＝2k ，k∈Z”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022 春 奉贤区校级月考）在直角坐标系中，角 α、β 终边与单位圆的交点分别为 A、B（如图），将∠
AOB 绕原点 O 顺时针旋转角 β，得到∠A'OB'，则点 A'的坐标为（ ）
A．（sin（α+β），cos（α+β）） B．（sin（α﹣β），cos（α﹣β））
C．（cos（α+β），sin（α+β）） D．（cos（α﹣β），sin（α﹣β））
4．（2022 春 浦东新区校级期中）在平面直角坐标系中，若角 α 的顶点在原点，始边在 x 轴的正半轴，终
边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ）
A． B． C．sin（π+α） D．cos（π+α）
5．（2022 春 浦东新区校级期中）已知 α 是第四象限角，P（3，y）是角 α 终边上的一个点，若 cosα＝ ，
则 y＝（ ）
A．﹣4 B．4 C．±4 D．不确定
6．（2022 春 杨浦区校级期中）在平面直角坐标系 xOy 中，α 为第四象限角，角 α 的终边与单位圆 O 交于
点 P（x0，y0），若 cos（ ）＝ ，则 x0＝（ ）
A． B． C． D．
7．（2022 春 杨浦区校级期中）若角 α 是第四象限角，且 ，则角 是第（ ）象
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
限角
A．一 B．二 C．三 D．四
8．（2022 春 杨浦区校级期中）已知 sinα+sinβ＝sin（α+β），有以下两个结论：①存在 α 在第一象限，β
在第二象限；②存在 α 在第一象限，β 在第四象限；则（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①错②对 D．①对②错
二．填空题（共 13 小题）
9．（2022 春 奉贤区校级月考）设 a＜0，角 α 的终边经过点 P（﹣3a，4a），那么 sinα＝ ．
10．（2022 春 浦东新区校级期中）点 （a＜0）是角 α 终边上一点，那么 sinα＝ ．
11．（2022 春 徐汇区校级期中）设角 θ 的终边经过点 P（4，﹣3），那么 2cosθ﹣sinθ＝ ．
12．（2022 春 奉贤区校级期中）已知角 α 的终边经过点 P（12，5），则 cosα＝ ．
13．（2022 春 奉贤区校级月考）在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 的终边与单位圆交于点 A，且点 A 的纵坐
标为 ，则 cosα＝ ．
14．（2022 春 虹口区校级月考）在角 θ1，θ2，θ3，…，θ29 的终边上分别有一点 P1，P2，P3，…，P29，如
果点 Pk 的坐标为（sin（15°﹣k°），sin（75°+k°）），1≤k≤29，k∈N，则 cosθ1+cosθ2+cosθ3+…+cosθ29
＝ ．
15．（2022 春 奉贤区校级月考）如果角 α 是第三象限角，则点 P（tanα，sinα）位于第 象限．
16．（2022 春 虹口区校级期末）如图所示，角 α 的终边与单位圆交于点 P，已知点 P 的坐标为（﹣3，
4），则 sin2α＝ ．
17．（2022 春 杨浦区校级期中）已知角 α 的终边过点 P（5，a），且 ，则 sinα+cosα 的值
为 ．
18．（2022 春 松江区校级月考）已知 α 在第三、第四象限内，sinα＝ ，那么 m 的取值范围
是 ．
19．（2022 春 浦东新区校级月考）若 A（1，a）是角 θ 终边上的一点，且 sinθ＝ ，则实数 a 的值
为 ．
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
20．（2022 春 宝山区校级期中）若角 α 的终边上有一点 P（﹣3，﹣4），则 cosα＝ ．
21．（2022 春 黄浦区校级期中）已知 θ 是第三象限角，且满足 ，则 的终边在第
象限．
【能力提升】
三．解答题（共 3 小题）
22．（2022 春 浦东新区校级月考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 θ 的终边在第二象限与单位圆交于
点 P．
（1）若点 P 的横坐标为﹣ ，求 的值；
（2）若将 OP 绕点 O 逆时针旋转 ，得到角 α（即 α＝θ+ ），若 tanα＝ ，求 tanθ 的值．
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
23．（2022 春 浦东新区校级月考）已知角 α、β．
（1）若角 α、β 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，α、β∈（0，π），角 β 的终边与单位圆
交点的横坐标是﹣ ，角 α+β 的终边与单位圆交点的纵坐标是 ，求 cosα；
（2）若（1+sinα）（1+cosα）＝ ，求（1﹣sinα）（1﹣cosα）的值；
（3）若 α、β 都是锐角，sin2α+sin2β＝sin（α+β），求 sinα+sinβ 的取值范围．
24．（2022 春 徐汇区校级月考）如图，以 Ox 为始边作角 α 与 β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位
圆相交于点 P、Q，已知点 P 的坐标为 ．
（1）求 的值；
（2）已知 OP⊥OQ，求 sin（α+β）．
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
6.1 任意角的正弦、 余弦、 正切、 余切（第 3 课时）（分层练习）
【夯实基础】
一．选择题（共 8 小题）
1．（2022 春 黄浦区校级期中）“x＝2kπ+ （k∈Z）”是“sinx＝ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条
C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由“x＝2kπ+ （k∈z）” “sinx＝ ”，反之不成立，即可得出．
【解答】解：由“x＝2kπ+ （k∈z）” “sinx＝ ”，
反之，由“sinx＝ ” “x＝2kπ+ 或 （k∈z）”．
综上可知：“x＝2kπ+ （k∈z）”是“sinx＝ ”成立的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数方程的解法、充分必要条件，属于基础题．
2．（2022 春 浦东新区校级月考）“sinα＝cosα”是“α＝2k ，k∈Z”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．
【解答】解：由“sinα＝cosα”得：α＝kπ+ ，k∈Z，
故 sinα＝cosα 是“ ”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数以及集合的包含关系，是一道基础题．
3．（2022 春 奉贤区校级月考）在直角坐标系中，角 α、β 终边与单位圆的交点分别为 A、B（如图），将∠
AOB 绕原点 O 顺时针旋转角 β，得到∠A'OB'，则点 A'的坐标为（ ）
A．（sin（α+β），cos（α+β）） B．（sin（α﹣β），cos（α﹣β））
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
C．（cos（α+β），sin（α+β）） D．（cos（α﹣β），sin（α﹣β））
【分析】首先根据题意确定角∠A'OB'的大小，然后根据三角函数的定义可得结果．
【解答】解：点 A′是∠A′OB′的终边与单位圆的交点，
又∠A′OB′＝∠AOB＝α﹣β，
根据三角函数定义点 A′的坐标为（cos（α﹣β），sin（α﹣β））．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的定义，属于基础题．
4．（2022 春 浦东新区校级期中）在平面直角坐标系中，若角 α 的顶点在原点，始边在 x 轴的正半轴，终
边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ）
A． B． C．sin（π+α） D．cos（π+α）
【分析】由已知可得 sinα＞0，cosα＜0，利用诱导公式化简各个选项即可得解．
【解答】解：因为角 α 的顶点在原点，始边在 x 轴的正半轴，终边在第二象限，
所以 sinα＞0，cosα＜0，
所以 sin（α+ ）＝cosα＜0，
cos（α+ ）＝﹣sinα＜0，
sin（π+α）＝﹣sinα＜0，
cos（π+α）＝﹣cosα＞0．
故选：D．
【点评】本题考查了诱导公式，任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题．
5．（2022 春 浦东新区校级期中）已知 α 是第四象限角，P（3，y）是角 α 终边上的一个点，若 cosα＝ ，
则 y＝（ ）
A．﹣4 B．4 C．±4 D．不确定
【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，点在各个象限中的符号，求得 y 的值．
【解答】解：∵α 是第四象限角，P（3，y）是角 α 终边上的一个点，∴y＜0，
若 cosα＝ ＝ ，则 y＝﹣4，
故选：A．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，点在各个象限中的符号，属于基础题．
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
6．（2022 春 杨浦区校级期中）在平面直角坐标系 xOy 中，α 为第四象限角，角 α 的终边与单位圆 O 交于
点 P（x0，y0），若 cos（ ）＝ ，则 x0＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得 cosα＝x0，由题意利用同角三角函数基本关系式可求 sin
（ ）的值，进而根据两角差的余弦公式即可得解．
【解答】解：在平面直角坐标系 xOy 中，α 为第四象限角，角 α 的终边与单位圆 O 交于点 P（x0，y0），
∴cosα＝x0，
∵α∈（﹣ ，0）， ∈（﹣ ， ），
又 cos（ ）＝ ＜ ，
∴ ∈（﹣ ，0），
∴sin（ ）＝﹣ ，
∴x0＝cosα＝cos[（ ）﹣ ]＝cos（ ）cos +sin（ ）sin ＝ ﹣ ＝
．
故选：A．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查
了计算能力和转化思想，属于基础题．
7．（2022 春 杨浦区校级期中）若角 α 是第四象限角，且 ，则角 是第（ ）象
限角
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】利用已知条件判断 cos 的符号，然后判断角所在象限．
【解答】解：α 是第四象限角，可得：2kπ﹣ ＜α＜2kπ，k∈Z，
∴kπ﹣ ＜ ＜kπ，k∈Z，
且|cos |＝﹣cos ，
∴cos ＜0，∴2kπ+ ＜ ＜2kπ+ ，k∈Z，．
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
∴2kπ+ ＜ ＜2kπ+π，k∈Z．
是第二象限角．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的值的符号，象限角的判断等基本知识，是基础题．
8．（2022 春 杨浦区校级期中）已知 sinα+sinβ＝sin（α+β），有以下两个结论：①存在 α 在第一象限，β
在第二象限；②存在 α 在第一象限，β 在第四象限；则（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①错②对 D．①对②错
【分析】结合两角和的正弦及特殊角确定正确选项．
【解答】解：若 α 在第一象限，β 在第二象限，则 sinα＞0＞sinαcosβ，sinβ＞cosαsinβ，
可得 sinα+sinβ＞sinαcosβ+cosαsinβ＝sin（α+β），故①错误；
取 ， ，sinα+sinβ＝sin（α+β）＝0，故②正确．
故选：C．
【点评】本题考查象限角与轴线角，考查三角函数值的求法，是基础题．
二．填空题（共 13 小题）
9．（2022 春 奉贤区校级月考）设 a＜0，角 α 的终边经过点 P（﹣3a，4a），那么 sinα＝ ﹣ ．
【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．
【解答】解：设 a＜0，角 α 的终边经过点 P（﹣3a，4a），
所以 sinα＝ ＝ ＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
10．（2022 春 浦东新区校级期中）点 （a＜0）是角 α 终边上一点，那么 sinα＝
．
【分析】由已知求得|OP|，再由正弦函数的定义求解．
【解答】解：∵ （a＜0）到坐标原点的距离为|OP|＝ ，
∴sinα＝ ．
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
故答案为： ．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．
11．（2022 春 徐汇区校级期中）设角 θ 的终边经过点 P（4，﹣3），那么 2cosθ﹣sinθ＝ ．
【分析】由已知结合三角函数的定义即可直接求解．
【解答】解：由题意得 cosθ＝ ，sinθ＝﹣ ，
所以 2cosθ﹣sinθ＝2× + ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题．
12．（2022 春 奉贤区校级期中）已知角 α 的终边经过点 P（12，5），则 cosα＝ ．
【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可．
【解答】解：∵α 的终边经过点 P（12，5），
∴r＝ ＝13，
∴cosα＝ ＝ ，
故答案为： ，
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，基本知识的考查．
13．（2022 春 奉贤区校级月考）在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 的终边与单位圆交于点 A，且点 A 的纵坐
标为 ，则 cosα＝ ± ．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得 cosα 的值．
【解答】解：由题意可得，点 A 的纵坐标为 ，点 A 的横坐标为± ，
故 cosα＝x＝± ．
故答案为：± ．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
14．（2022 春 虹口区校级月考）在角 θ1，θ2，θ3，…，θ29 的终边上分别有一点 P1，P2，P3，…，P29，如
果点 Pk 的坐标为（sin（15°﹣k°），sin（75°+k°）），1≤k≤29，k∈N，则 cosθ1+cosθ2+cosθ3+…+cosθ29
＝ 0 ．
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
【分析】根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解．
【解答】解：∵sin（15°﹣k°）＝cos（75°+k°），
∴由三角函数定义知 cosθk＝sin（15°﹣k°），
故 cosθ1+cosθ2+cosθ3+…+cosθ29＝sin14°+sin13°+ +sin（﹣13°）+sin（﹣14°）＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查三角函数的定义，属于基础题．
15．（2022 春 奉贤区校级月考）如果角 α 是第三象限角，则点 P（tanα，sinα）位于第 四 象限．
【分析】由三角函数在各个象限的符号，可得结论．
【解答】解：角 α 是第三象限角，可得 tanα＞0，sinα＜0，
则点 P（tanα，sinα）位于第四象限，
故答案为：四．
【点评】本题考查三角函数在各个象限的符号，考查推理能力，属于基础题．
16．（2022 春 虹口区校级期末）如图所示，角 α 的终边与单位圆交于点 P，已知点 P 的坐标为（﹣3，
4），则 sin2α＝ ﹣ ．
【分析】利用任意角的三角函数的定义，可求得 sinα 与 cosα 的值，再利用二倍角的三角函数可得答案．
【解答】解：∵角 α 的终边与单位圆交于点 P 的坐标为（﹣3，4），
∴r＝|OP|＝ ＝5，
∴sinα＝ ＝ ，cosα＝ ＝﹣ ，
∴sin2α＝2sinαcosα＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查二倍角的三角函数，考查运算求解能力，属于基础题．
17．（2022 春 杨浦区校级期中）已知角 α 的终边过点 P（5，a），且 ，则 sinα+cosα 的值为 ﹣
．
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求出 a 的值，进而可求 sinα 和 cosα 的值，最后代入求出式子
的值．
【解答】解：由角 α 的终边过点 P（5，a），且 ＝ ，解得 a＝﹣12，
所以 sinα＝ ＝﹣ ，cosα＝ ＝ ，
故 sinα+cosα＝﹣ + ＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
18．（2022 春 松江区校级月考）已知 α 在第三、第四象限内，sinα＝ ，那么 m 的取值范围是 （﹣
1， ） ．
【分析】由题意，利用正弦函数的值域，解分式不等式组，求得 m 的范围．
【解答】解：∵α 在第三、第四象限内，sinα＝ ，
∴sinα∈（﹣1，0），即﹣1＜ ＜0，
即 ，∴ ，∴﹣1＜m＜ ，
故答案为：（﹣1， ）．
【点评】本题主要考查正弦函数在各个象限中的符号，分式不等式的解法，属于基础题．
19．（2022 春 浦东新区校级月考）若 A（1，a）是角 θ 终边上的一点，且 sinθ＝ ，则实数 a 的值为
．
【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得 a 的值．
【解答】解：∵A（1，a）是角 θ 终边上的一点，且 sinθ＝ ＝ ，
∴实数 a＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
20．（2022 春 宝山区校级期中）若角 α 的终边上有一点 P（﹣3，﹣4），则 cosα＝ ﹣ ．
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
【分析】利用三角函数的定义可求得 cosα 即可．
【解答】解：∵角 α 的终边上一点 P（﹣3，﹣4），
∴|OP|＝ ＝5，
∴cosα＝ ＝﹣ ，
故答案为：﹣
【点评】本题考查三角函数的定义，属于基础题．
21．（2022 春 黄浦区校级期中）已知 θ 是第三象限角，且满足 ，则 的终边在第
二 象限．
【分析】由 θ 是第三象限角，可得 为第二或第四象限角，结合|sin |＝sin 求得答案．
【解答】解：∵θ 是第三象限角，∴π+2kπ＜θ＜ +2kπ，k∈Z，
则 +kπ＜ ＜ +kπ，k∈Z，即 为第二或第四象限角，
又|sin |＝sin ，
∴ 为第二象限角，
故答案为：二．
【点评】本题考查三角函数值的符号，考查了象限角的概念，属于基础题．
【能力提升】
22．（2022 春 浦东新区校级月考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 θ 的终边在第二象限与单位圆交于
点 P．
（1）若点 P 的横坐标为﹣ ，求 的值；
（2）若将 OP 绕点 O 逆时针旋转 ，得到角 α（即 α＝θ+ ），若 tanα＝ ，求 tanθ 的值．
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
【分析】（1）由已知利用任意角的三角函数的定义求得 cosθ，sinθ 的值，则答案可求；
（2）α＝θ+ ，得 tanθ＝tan（α﹣ ），展开两角差的正切求解．
【解答】解：（1）由题意可知，cosθ＝ ，sinθ＝ ，
则 ＝ ＝ ；
（2）由 α＝θ+ ，tanα＝ ，得 tanθ＝tan（α﹣ ）＝
＝ ．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及两角差的正切，是基础题．
23．（2022 春 浦东新区校级月考）已知角 α、β．
（1）若角 α、β 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，α、β∈（0，π），角 β 的终边与单位圆
交点的横坐标是﹣ ，角 α+β 的终边与单位圆交点的纵坐标是 ，求 cosα；
（2）若（1+sinα）（1+cosα）＝ ，求（1﹣sinα）（1﹣cosα）的值；
（3）若 α、β 都是锐角，sin2α+sin2β＝sin（α+β），求 sinα+sinβ 的取值范围．
【分析】（1）由题设条件得 cosβ＝﹣ ，sin（α+β）＝ ，进而根据 α、β∈（0，π），结合 cosα＝
cos[（α+β）﹣β]求解；
（2）由题设知 sinα+cosα+sinαcosα＝ ，结合（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα，代换解方程得 sinα+cosα＝
，进而根据（1﹣sinα）（1﹣cosα）＝ 进行求解；
（3）先证明 ，再结合辅助角公式、三角函数的性质能求出 sinα+sinβ 的取值范围．
【解答】解：（1）∵α、β∈（0，π），角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是﹣ ，
角 α+β 的终边与单位圆交点的纵坐标是 ，
∴β 为钝角，cosβ＝﹣ ，sinβ＝ ＝ ，sin（α+β）＝ ．
cos（α+β）＝﹣ ＝﹣ ，
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
∴cosα＝cos[（α+β）﹣β]＝cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ＝ ＝ ；
（2）∵（1+sinα）（1+cosα）＝ ，∴ ，
∵（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα，
∴ ＝0，
∵sinα+cosα∈[﹣ ]，
∴sinα+cosα＝ ，
∴sinαcosα＝ ，
∴（1﹣sinα）（1﹣cosα）
＝1﹣sinα﹣cosα+sinαcosα＝
＝ ＝ ．
（3）当 时，sin2α+sin2β＝sin（α+β），
下面证明 α+β＝ ．
∵sin2α+sin2β＝sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，
∴sinα（sinα﹣cosβ）＝sinβ（cosα﹣sinβ），
假设 ，则 sinα≠cosβ，
∵α，β 都是锐角，∴sinα＞0，sinβ＞0，cosα＞0，cosβ＞0，
若 sinα＞cosβ，则 cosα＞sinβ，∴sin2α+cos2α＞cos2β+sin2β＝1，即 1＞1，矛盾；
若 sinα＜cosβ，则 cosα＜sinβ，∴sin2α+cos2α＜cos2β+sin2β，即 1＜1，矛盾．
∴假设不成立，即 ，
∴sinα+sinβ＝sinα+cosα＝ ，
∵0 ，∴ ，
∴ ，∴1＜ ，
∴sinα+sinβ 的取值范围是（1， ]．
【点评】本题考查三角函数的运算，考查同角三角函数关系式、诱导公式、三角函数恒等变换公式、反
证法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
24．（2022 春 徐汇区校级月考）如图，以 Ox 为始边作角 α 与 β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位
圆相交于点 P、Q，已知点 P 的坐标为 ．
（1）求 的值；
（2）已知 OP⊥OQ，求 sin（α+β）．
【分析】（1）利用三角函数的定义、二倍角公式、同角三角函数关系式求解即可；
（2）利用垂直关系得到 ，然后由诱导公式求出 sinβ，cosβ，再利用两角和的正弦公式求解即
可．
【解答】解：（1）由三角函数的定义可得， ，
则 ＝ ＝
＝ ；
（2）因为 OP⊥OQ，则 ，
所以 ，
则 ，
，
所以 sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了三角函数的定义、二倍角公式、同角三角函数关系式、诱导公式以及两角和差公式
的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
