专题06 指对幂比较大小（含解析）-【艺考生专供】冲刺2023年高考数学选填题考点基础练

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【艺考生专供】冲刺2023年高考数学选填题考点基础练
专题06 指对幂比较大小
一、单选题
1．已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
9．下列判断正确的是（ ）
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．4＜π D．0.90.3＞0.90.5
10．设，，，则（ ）．
A． B．
C． D．
11．已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．若，则a b c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
13．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
14．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知，，（ ）
A． B． C． D．
16．已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
17．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
18．若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
19．下列不等号连接不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
21．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
22．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
23．已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
24．已知，则（ ）
A． B． C． D．
25．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
26．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
27．设，，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
28．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
29．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
30．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
31．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
32．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
33．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
34．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
35．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
36．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
37．已知,则（ ）
A． B．
C． D．
38．已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
39．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
40．若，则（ ）
A． B． C． D．
41．已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
42．已知，则（ ）
A． B． C． D．
43．若，,，则（ ）
A． B． C． D．
44．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
45．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
46．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
47．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
48．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
49．已知，，，，则、、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
50．设，，．则（ ）
A． B． C． D．
51．设，则（ ）
A． B． C． D．
52．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
参考答案
1．C
【分析】根据指数函数的单调性比较大小．
【详解】∵是减函数，，所以，
又，
∴．
故选：C．
2．A
【分析】根据指数函数的单调性结合中间量“1”即可得解.
【详解】解：因为函数为减函数，
所以，
又因为，
所以.
故选：A.
3．C
【分析】先求出的范围，再比较大小即可.
【详解】，，，故.
故选：C.
4．A
【分析】由对数函数、指数函数的单调性确定a，b，c所在区间，比较大小即可得解.
【详解】解:由在单调递减，得，即；
，即；
由在R上单调递减，得，即；
即.
故选:A.
5．D
【分析】直接由对数函数的单调性判断，再由指数的运算得到，即可判断.
【详解】由以及，可得.
故选：D.
6．B
【分析】利用“分段法”来求得的大小关系.
【详解】，
，
，
所以.
故选：B
7．B
【分析】利用进行分段，结合指数、对数函数的知识求得正确答案.
【详解】，
，
，
所以.
故选：B
8．D
【分析】根据指对数的性质判断大小关系即可.
【详解】由，
所以.
故选：D
9．D
【分析】结合函数的单调性依次进行判断即可．
【详解】解：对于Ａ项，∵y＝2.5x是增函数，且2.5<3，
∴2.52.5<2.53,
对于B项，∵y＝0.8x是减函数，且2<3，
∴0.82>0.83,
对于C项，∵y＝是增函数，且，
∴，
对于D项，∵y＝0.9x是减函数，且0.3<0.5，
∴0.90.3>0.90.5．
故选：D．
10．C
【分析】将三个指数幂化成同底指数幂，利用指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，，，
又函数在上单调递增，，
所以
所以，
故选：C
11．D
【分析】根据幂函数以及指数函数的单调性即可比较大小.
【详解】由题得，，，，因为函数在上单调递增，所以．又因为指数函数在上单调递增，所以．
故选:D．
12．A
【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小
【详解】因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，即
故选：A
13．C
【分析】利用指对数运算及函数性质、三角函数单调性判断大小关系.
【详解】，
.
故选：C
14．B
【分析】根据指数函数和幂函数的单调性，将a，b，c与中间值0，1进行比较，即可得出.
【详解】解：在R上是减函数，
，
在上是增函数，在R上是减函数，
，
则，即，
又在R上是增函数，
，即，
综上所述，可知，
故选：B.
15．D
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】解：因为，即，
，，
所以.
故选：D
16．B
【分析】利用对数函数的单调性、换底公式、指数函数的单调性即可求解
【详解】易知，又，因为，所以，即；又，所以.
故选：B.
17．A
【分析】利用指数函数及幂函数的单调性即得．
【详解】因为，，，由指数函数及幂函数的单调性可得，
∴，即.
故选：A．
18．D
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】因为，，，
所以.
故选：D.
19．D
【分析】利用对数函数的单调性可判断选项A，分别计算每个选项中两个对数的范围，可判断选项B，D，利用对数的运算，再结合比较
的大小可判断选项C，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：因为在单调递减，，所以，故选项A正确；
对于选项B：，，即，，
所以，故选项B正确；
对于选项C：，
，
因为，所以，
故选项C正确；
对于选项D：，，所以，故选项D不正确；
所以只有选项D不正确，
故选：D
【点睛】思路点睛：对于指、对、幂比较大小的题目，先判断是否同底或同指，可以利用单调性直接比较大小，若底数指数都不同，将每个数据的范围求出，利用范围可比较大小，若在同一范围可借助中间值或作差作商比较大小.
20．D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
21．C
【分析】直接利用对数函数的性质比较大小即可.
【详解】，，，，
.
故选：C.
【点睛】知识点点睛：当时，在上是减函数；当时，在上是增函数.
22．B
【分析】根据对数运算性质，结合对数函数和指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】，
，即，
，
因此，
故选：B
23．C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
24．D
【分析】根据指数函数的单调性判断都大于1，利用，即可判断大小，根据对数函数性质可判断c的范围，即得答案.
【详解】因为是R上的增函数，故,
又，所以，
而为单调减函数，故，
故，
故选：D
25．B
【分析】根据对数函数的单调性并借助1比较即可求解.
【详解】解：因为为单调递增函数，所以.
因为，所以．
故选:B．
26．D
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，又因为，所以，
所以，
故选：.
27．B
【分析】根据对数运算法则可得，根据的单调性可得大小关系.
【详解】，
在上单调递减且，
，即.
故选：B.
28．A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量和即可得解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，则．
故选：A.
29．C
【分析】根据幂函数的单调性进行判断即可.
【详解】，因为函数是实数集上的增函数，
所以由可得：，即，
故选：C
30．B
【分析】先比较大小，再利用作差法比较大小即得解.
【详解】解：.
因为，
所以，
所以.
所以.
故选：B
31．C
【分析】计算，利用对数函数性质得到，，比较大小得到答案.
【详解】，故，
，，
.
故，即.
故选：C
32．A
【分析】根据指数函数及幂函数的单调性比较的大小，分别比较与的大小即可得的大小，从而得答案.
【详解】解：因为在R上为单调递减函数，
所以，
又因为在上为单调递增函数，
所以，即，
所以，
即，
又因为，
又因为，
，
即有
所以，
即，
所以，
即，
综上所述：.
故选：A.
33．B
【分析】引入中间变量1，再利用作差法比较的大小，即可得答案；
【详解】，，
最大，
，，
，
故选：B
34．A
【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，找出中间值，让其和进行比较，从而得出结果.
【详解】由指数函数的单调性和值域，在上单调递增，故；
由的值域，且在上单调递增可知，；
根据对数函数的单调性，在上单调递增，故，由在上单调递减，故.结合上述分析可知：.
故选：A
35．D
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可判断、的大小关系，利用作差法结合基本不等式可判断、的大小关系.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
所以，，即，则，
，
因此，.
故选：D.
36．D
【分析】令，则，构造函数，利用的单调性得出；又得，从而得出答案．
【详解】令，则，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，故，即；
又因为，所以，
综上，．
故选：D．
37．D
【分析】构造,求导求单调性即可得,即证明,再构造,,求导求单调性即可得,即,即证明,即可选出选项.
【详解】解:由题知构造,,
所以,
故在单调递减,所以,
即,即,即
因为,
构造,,
所以,
即在上单调递增,所以,
即,即,即,
综上:.
故选:D
38．D
【分析】结合对数函数、导数的知识确定正确答案.
【详解】（1）比较a，b的大小：因为，所以，所以．
（2）比较b，c的大小：令，则．
当时，；当时，，
所以当时，，即，所以，即．
（3）比较a，c大小：
因为，所以，即，所以，即．
综上，．
故选：D．
【点睛】比较对数式的大小，结合的是对数函数的单调性，此时要注意对数函数的底数的取值范围对单调性的影响.比较对数式和实数的大小，可考虑分段法或构造函数法来进行求解.
39．A
【分析】利用换底公式将对数换底，再用放缩法得出 的大小.
【详解】由题得：
又
综上：
故选：A.
40．A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
41．D
【分析】利用函数的单调性判断出，，，即可得到正确答案.
【详解】因为为减函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
所以.
故选：D
42．A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
43．D
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可比较得出、的大小关系，利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，即可得出结论.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为增函数，故，
则，即，
，因此，.
故选：D.
44．A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
45．D
【分析】利用导数可求得，；分别代入和，整理可得的大小关系.
【详解】令，则，
在上单调递增，，即，，
，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
（当且仅当时取等号），，
即（当且仅当时取等号），，即；
综上所述：.
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题考查与指数、对数有关的大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两个函数的函数值大小关系的比较，进而通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数的大小关系.
46．A
【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围，利用基本不等式判断的范围，构造新函数并利用导数讨论函数的单调性求出的范围，进而得出结果.
【详解】由，得，即，所以，
所以，则，即；
由，即；
设，则，
所以在上单调递增，且，
所以当时，即，
当时，即，
又，则，
所以，即，
综上，.
故选：A
47．A
【分析】，令，利用导数求出函数的单调区间，令，利用导数求出函数的单调区间，从而可得出和的大小，从而可得出的大小关系，将两边同时取对数，然后作差，从而可得出的大小关系，即可得出结论.
【详解】解：，，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
即，
所以，
即，所以，
由，得，
由，得，
，
因为，
所以，所以，
所以，即，
所以，
综上所述.
故选：A.
【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.
48．B
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，从而说明，再比较与的大小关系，即可得解.
【详解】解：令，则，所以在定义域上单调递减，
所以当时，，即，所以，
又，，且，，
所以；
故选：B
49．D
【解析】利用对数函数的单调性比较、、与的大小关系，利用中间值法判断出、的大小关系，综合可得出、、、的大小关系.
【详解】，，，
，，则，
，，则，
因此，.
故选：D.
【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答.
50．B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
51．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
52．B
【分析】根据对数运算性质，结合对数函数和指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】，
，即，
，
因此，
故选：B
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