专题07 函数的零点（含解析）-【艺考生专供】冲刺2023年高考数学选填题考点基础练

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【艺考生专供】冲刺2023年高考数学选填题考点基础练
专题07 函数的零点
一、单选题
1．函数的零点是（ ）
A．1 B． C． D．4
2．下列区间中，函数一定存在零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数则函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
4．函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，则函数的零点为（ ）
A． B．，0 C． D．0
7．已知函数，则的零点为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
8．函数的零点之和为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
9．已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是
A． B． C． D．
11．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
12．函数的零点为（ ）
A．4 B．4或5 C．5 D．或5
13．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
14．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
15．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．函数的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
17．若函数在上有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
18．在下列区间中，函数的零点所在区间为（ ）
A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4）
19．已知函数，则函数的零点个数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
20．已知方程的解在内，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
21．函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A． B．
C． D．
22．已知函数（），若在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
23．若函数在区间内仅有1个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．已知函数的零点依次为，则（ ）
A． B． C． D．
25．设，若有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
27．函数在区间上的所有零点之和等于（ ）
A． B．0 C．3 D．2
28．函数在上的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
29．下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
30．函数与，两函数图象所有交点的横坐标之和为（ ）．
A．0 B．2 C．3 D．4
31．下列函数在区间内有零点且单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
32．设方程 的两个根为，则
A． B． C． D．
33．已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
34．设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是
A． B． C． D．
35．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
36．定义域为的函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
37．函数在区间上的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
38．已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
39．函数，则的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
40．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小为（ ）
A． B． C． D．
41．已知函数若的图象上至少有两对点关于轴对称，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
42．已知函数，且，则的零点个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
43．若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
44．已知函数，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
45．已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为（ ）
A． B． C． D．
46．已知函数有两个零点，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
47．函数在上的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
48．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
49．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
50．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
51．设函数，若关于的方程有四个实数解，且，则的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．99 D．100
52．已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
53．已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．函数是定义域上的增函数
C．函数有个零点
D．方程有两个实数解
54．已知函数在上恰有三个零点，则（ ）
A．的最小值为 B．在上只有一个极小值点
C．在上恰有两个极大值点 D．在上单调递增
55．已知分别是函数和的零点，则（ ）
A． B．
C． D．
56．设函数，则下列判断正确的是（　　）
A．存在两个极值点
B．当时，存在两个零点
C．当时，存在一个零点
D．若有两个零点，则
57．已知函数，若存在三个实数，使得，则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
58．已知函数，令，则（ ）
A．若有1个零点，则或
B．若有2个零点，则或
C．的值域是
D．若存在实数a，b，c（）满足，则的取值范围为（2，3）
59．设函数，若关于x的方程有四个实根（），则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为16
60．已知是定义在R上的奇函数，当时，，若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A．4 B． C． D．8
61．已知函数，的零点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
62．已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
63．已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．是的极小值点
B．有三个零点
C．曲线与直线只有一个公共点
D．函数为奇函数
64．已知，若恰有3个零点，则的可能值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
65．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有3个零点
B．当时，若函数有三个零点，则
C．若函数恰有2个零点，则
D．若存在实数m使得函数有3个零点，则
三、填空题
66．若函数的一个零点为，则________；________．
67．已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
68．设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
参考答案
1．B
【分析】根据零点的定义列式运算求解.
【详解】令，解得，
故函数的零点是.
故选：B.
2．B
【分析】根据函数的解析式，求得，结合零点的存在定理，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，
可得，由零点的存在性定理，可得函数一定存在零点的区间是.
故选：B.
3．D
【分析】分和解方程即可得函数的零点，进而可得零点的个数.
【详解】当时，令可得，
当时，令可得：或，
综上所述函数的零点为，，，有个，
故选：D.
4．B
【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.
【详解】在上单调递增，
，
所以的零点在区间.
故选：B
5．D
【分析】函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围.
【详解】函数有两个不同的零点，
即为函数与直线有两个交点，
函数图象如图所示：
所以，
故选：D.
6．D
【分析】函数的零点，即令分段求解即可.
【详解】函数
当时，
令，解得
当时，
令，解得（舍去）
综上函数的零点为0
故选：D．
【点睛】本题考查函数的零点个数，考查分段函数的知识，属于基础题.
7．B
【分析】令，求出方程的解，即可得到函数的零点.
【详解】解：对于函数，令，即，
解得或，
所以的零点为和.
故选：B
8．A
【分析】根据分段函数解析式，分别求得零点，结合对数式运算即可求得零点之和.
【详解】函数
当时，，设其零点为，则满足，解得；
当时，，设其零点为，则满足，解得；
所以零点之和为
故选:A.
【点睛】本题考查了分段函数的简单应用，函数零点的定义，对数式的运算性质，属于基础题.
9．D
【分析】令求解即可.
【详解】时，由得，
时，由得或，
所以四个零点和为．
故选：D．
10．A
【详解】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，
由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，
作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，
∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，
故选A．
考点：函数的零点
11．B
【分析】在同一坐标系中作出的图象，利用数形结合法求解.
【详解】解：在同一坐标系中作出的图象，
由图象知：，
故选：B
12．C
【分析】根据零点的定义结合对数的运算求解，注意函数的定义域.
【详解】由题意可得：，解得，故的定义域为，
令，得，则，解得或，
又∵，所以．
故选：C.
13．B
【分析】先判断在上单增，再用零点存在定理判断零点所在的区间.
【详解】函数定义域为，且在上单增.
因为，，
所以零点所在区间为.
故选：B
【点睛】判断函数的零点所在区间主要方法是利用零点存在定理，判断函数在给定区间端点出的符号是否相反.
14．B
【解析】由零点存在性定理运算即可得解.
【详解】由题意，函数是增函数并且是连续函数，
因为，，，
，
所以，
所以函数的零点在区间．
故选：B．
15．B
【分析】根据题意得，由得，由在上恰有2个零点，得 ，即可解决.
【详解】由题可知，，
先将函数的图象向右平移个单位长度，得，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得，
当时，，
因为在上恰有2个零点，
所以，解得.
所以的取值范围为，
故选：B
16．C
【分析】根据零点存在性定理，在为单调递减函数，结合，即可求解.
【详解】依题意，函数的定义域为，
而在为单调递减函数，
在为单调递减函数，
因为，所以，即
所以，
，
所以，
所以由零点存在性定理可知，
函数在区间有零点.
故选：C.
17．D
【分析】将零点问题转化为方程问题，再运用数形结合的方法解决即可.
【详解】函数在上有两个不同的零点等价于方程在上有两个不同的解，
即在上有两个不同的解.
此问题等价于与有两个不同的交点.
由下图可得.
故选：D.
18．A
【分析】根据函数的单调性及零点的存在定理判断零点所在区间.
【详解】由连续函数在定义域上单调递减，，且，故函数的零点所在区间为.
故选：A．
19．C
【分析】通过解法方程来求得的零点个数.
【详解】由可得.
当时，，或（舍去），
当时，或.
故是的零点，
是的零点，
是的零点.
综上所述，共有个零点.
故选：C
20．B
【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析运算.
【详解】构建，则在定义域内单调递增，故在定义域内至多有一个零点，
∵，
∴仅在内存在零点，即方程的解仅在内，
故.
故选：B.
21．C
【分析】把方程变形，把零点个数转化为正弦函数图象与另一函数图象的交点个数，根据函数的对称性计算可得．
【详解】解：因为，令，即，当时显然不成立，
当时，作出和的图象，如图，
它们关于点对称，
由图象可知它们在上有4个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以4个点的横坐标之和为．
故选：C．
22．A
【分析】求出的范围，数形结合得到关于的范围，求出的取值范围.
【详解】，，则，
故，解得：.
故选：A
23．C
【分析】求出函数的零点，即对称点的横坐标，列出3个相邻的对称点，由在内仅有一个零点可得，解之即可.
【详解】由题意知，
令，解得，
得函数的3个相邻的对称点分别为，
因为函数在内仅有一个零点，
所以，，
解得，，当时，，得.
故选：C.
24．A
【分析】分别讨论 的零点所在的区间，然后比较大小.
【详解】对于 ，显然是增函数， ，所以 的唯一零点 ；
对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ；
对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ；
；
故选：A.
25．B
【分析】将的根的个数，转化为两函数的交点个数问题，利用数形结合即得.
【详解】因为有三个不同的实数根，等价于与有3个不同的交点，
画出与的图象，
所以，
即实数的取值范围是.
故选：B.
26．C
【分析】把方程根的问题转化为两个函数图象交点的问题，画出函数图象，利用数形结合的思想即可求解．
【详解】令，
由于当时，，，且；
当时，，，且，
作出函数的图象如图所示，
则当时，函数与的图象有两个交点，即方程有两个不同的实数根，
的取值范围是．
故选：C．
27．D
【分析】直接求出所以零点，然后求和即可.
【详解】令，则，得，因为，所以，所以所有零点之和为.
故选：D
28．D
【分析】求出的零点，然后利用等差数列的求和公式可得答案.
【详解】由得，，
故在上的零点从小到大排成首项为、公差为的等差数列．
由得，即该数列共有项，所以所有零点之和为，
故选：D．
29．C
【分析】本题先运用判断是否为奇函数，再求零点判断即可.
【详解】A选项：，函数不是奇函数，故A选项错误；
B选项：，函数是奇函数，但不存在零点，故B选项错误；
C选项：，函数是奇函数，且，故C选项正确；
D选项：，函数不是奇函数，故D选项错误；
故选：C.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判定，函数是否存在零点，是基础题.
30．D
【分析】首先分析函数解析式的特征，得到其对称性，结合根的个数，求得结果.
【详解】函数与两函数图象交点的横坐标之和，
可以转化为方程为方程的根之和；
和均关于x=2对称，
且两个图像有2个交点，两个交点横坐标之和为4．
故选：D．
【点睛】该题考查的是有关函数图象交点横坐标的问题，在解题的过程中，注意分析函数图象的对称性，求得结果.
31．D
【解析】根据基本初等函数的单调性以及零点的定义判断可得出合适的选项.
【详解】对于A，在上为减函数，不符合题意；
对于B，在上为增函数，令，解得，不合乎题意；
对于C，在上没有定义，不符合题意；
对于D，在上有零点，且在为增函数，符合题意.
故选：D．
32．D
【分析】画出方程左右两边所对应的函数图像，结合图像可知答案．
【详解】画出函数与的图像，如图
结合图像容易知道这两个函数的图像有两个交点，交点的横坐标即为方程的两个根，结合图像可知，，
根据是减函数可得，所以
有图像可知
所以即，
则，所以，而
所以
故选D
【点睛】本题考查对数函数与指数函数的图像与性质，解题的关键是画出图像，利用图像解答，属于一般题．
33．B
【分析】根据零点存在定理判断，从而可得结果.
【详解】因为在定义域内递增，
且，，
由零点存在性定理可得，
根据表示不超过实数的最大整数可知，
故选：B.
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
34．A
【详解】，因为，所以，，因此在上有零点，故在上有零点；
，而，即，因此，故在上一定存在零点；
虽然，但，又，即，从而，于是在区间上有零点，也即在上有零点，
排除B，C，D，那么只能选A．
35．D
【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
36．A
【分析】作出的图象，转化为与有三个交点，根据函数的对称性，从而求解的值．
【详解】定义域为的函数，
作出的图象，
关于的方程恰有3个不同的实数，
则转化为与有三个交点，即，
不妨设，此时，
根据图象与关于对称，
所以则．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将关于的方程恰有3个不同的实数，则转化为与有三个交点，同时通过图象判断， 与关于对称，这也是本题的突破点.
37．B
【分析】先化简函数，再令y=0求解判断.
【详解】解：，
，
，
令，得，，
，，
在上的零点为
故选：B
38．A
【分析】由第4个正零点小于1，第4个正最值点大于等于1可解
【详解】，
因为，所以，
又因为函数在内恰有个最值点和4个零点，
由图像得：，解得：，
所以实数的取值范围是.
故选：A
39．B
【分析】由已知，先判断函数的单调性，然后根据选项进行赋值运算，利用零点存在性定理即可判断零点所在的区间.
【详解】函数，其定义区域为，
所以，所以函数在上单调递增，，，，
所以的零点所在区间为.
故选：B.
40．B
【分析】函数的零点直接求解即可，函数的零点利用零点存在性定理求解即可，从而可得答案
【详解】解：令，则，得，即，
令，则，得，即，
因为函数在上为增函数，且，所以在区间存在唯一零点，且，
综上，，
故选：B
41．C
【分析】求得当时，关于轴对称的图象所对应的函数解析式为，将问题转化为与至少有2个交点，作出图象，结合图象求解即可.
【详解】解：当时，，则其关于轴对称的图象所对应的函数解析式为.
由题意知当时，与的图象至少有两个公共点，
即方程在区间,内至少有两个实根.
令，
在同一平面直角坐标系中分别作出与的图象，如图：
由图可知，若直线与曲线至少有两个公共点，则.
故实数的取值范围是.
故选：C.
42．C
【分析】解三角方程求得的零点即可解决
【详解】由
可得或，又，则，或，或
则的零点个数为3
故选：C
43．A
【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案.
【详解】由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示：
若使得函数有3个零点，则.
故选：A.
44．C
【分析】先由得到，把转化为，利用函数单调性求出最小值.
【详解】
函数的图像如图所示，作出交两点，其横坐标分别为a、b，不妨设.
由可得：，解得：，
所以
记，
任取，则。
因为，所以，所以，
所以
则在上单调递减，所以
故选：C
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
45．C
【分析】根据的图象，应用数形结合法判断不同取值情况a、b、c的大小关系，即可得结果.
【详解】由的图象如下：
由图知：当时，，D可能；
当时，，B可能；
当时，，A可能.
故选：C
46．B
【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合二次函数的性质和基本不等式进行判断即可
【详解】由题意得，且，是方程的两个根，故，所以，当且仅当时等号成立.若，则，反之，若，则，当，时，，但故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】本题主要考查二次函数的零点、基本不等式的应用、充要关系的判断，考查逻辑推理能力、运算求解能力.试题以充要关系的判断为出发点，将二次函数的零点、基本不等式等知识迁移到所创设的问题情境中，考生可以利用所学知识综合分析并求解问题，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养，属于中档题.
47．B
【分析】由，数形结合即可得解.
【详解】由，得，作出函数在上的图象如图所示，
因为，
所以由图可知直线与图象有3个交点，从而在上有3个零点.
故选：B
48．A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
49．A
【分析】令，即可得到，令，则与有两个交点，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得到，从而求出参数的取值范围.
【详解】解：令，即，所以，
即方程有两个不相等实数根，
令，则与有两个交点，
因为，则当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，则，当时，则，
所以，解得，即.
故选：A
50．BC
【分析】函数在定义域的零点个数可转化成的根的个数，根据偶函数的图像关于轴对称，只需考虑时的根的个数，从而可得结论.
【详解】当时，
当时，令，解得或2共有两个解；
当时，令，即，当时，方程无解；
当时，，符合题意，方程有1解；
当时，，不符合题意，方程无解；
所以当时，有2个或3个根，而函数是定义在R上的偶函数，所以函数在定义域内的零点个数可能是4或6.
故选：BC
51．BC
【分析】首先根据题意画出图象，根据二次函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，从而得到，再根据函数单调性求解即可.
【详解】如图所示：
因为关于的方程有四个实数解，且，
所以.
的对称轴为，所以.
因为，所以，即，.
因为，所以.
所以，
因为，为减函数，
所以.
故选：BC
52．BCD
【分析】首先根据题意画出函数的图象，结合图象可知：当时，直线与的图象有2个交点，当直线与曲线相切在第一象限时，有2个交点，即可得到答案.
【详解】函数的图象，如图所示：
由题意知，直线与的图象有2个交点．
当直线过点时，，
当直线过点时，．
结合图象如图可知，当时，直线与的图象有2个交点，
如图所示：
又当直线与曲线相切在第一象限时，
直线与的图象也有2个交点，如图所示：
，化简可得，由，得，
又由图可知，所以，此时切点的横坐标为2符合.
综上，实数a的取值范围是.
故选：BCD．
53．AC
【分析】直接计算的值，可判断A选项；利用函数的单调性可判断B选项；解方程可判断C选项；解方程可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则，A对；
对于B选项，因为函数在上不单调，故函数在定义域上不单调，B错；
对于C选项，当时，由，可得，
当时，由，可得.
综上所述，函数有个零点，C对；
对于D选项，当时，由可得，
当时，由，可得，解得或.
综上所述，方程有三个实数解，D错.
故选：AC.
54．BD
【分析】利用函数在上有三个零点可求得的取值范围，可判断A选项；利用极值点的定义可判断BC选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，当时，，
由函数在上恰有三个零点，所以，，解得，
所以，的最小值为，A错；
对于B选项，由A选项知，，
则当，即时，函数取得极小值，即在上只有一个极小值点，B对；
对于C选项，当时，函数在上只有一个极大值点，C错；
对于D选项，当时，，
因为，所以，，
所以，函数在上单调递增，D对.
故选：BD.
55．ABD
【分析】把函数的零点转化两个函数图像交点的横坐标，再结合反函数图像的特点得到点和关于点对称，根据可判断A、B选项；结合反函数的性质可以判断C选项；利用特殊值的思路得到的范围即可判断D选项.
【详解】因为，分别是函数，的零点，所以，，那么，可以看做函数和与函数图像交点的横坐标，
如图所示，点，，分别为函数，，的图像与函数图像的交点，所以，因为函数和互为反函数，所以函数图像关于的图像对称，的图像也关于的图像对称，所以点和关于点对称，，，故AB正确；
由反函数的性质可得，因为单调递增，，
所以，所以，故C错；
当时，函数对应的函数值为，函数对应的函数值为，因为
，所以，
所以的范围为，那么，而，所以，故D正确.
故选：ABD.
56．BD
【分析】利用导数与极值点的关系可判断A，利用与图像结合条件可判断BC，根据零点的概念结合不等式的性质可判断D.
【详解】因为函数的定义域为，
，
设，，
且方程的两根之积为，
在上有一个正根，设为，
在上，，函数单调递增，
在上，，函数单调递减，
所以存在一个极大值点，A错误；
令，即，
函数的零点即为与的交点，
如图所示：
函数图像与轴的交点为，
当时，与有两个不同的交点，即存在两个零点，B正确；
当时，与有两个不同的交点，
所以当时，存在一个零点，此说法不正确，C错误；
若有两个零点，假设，
则有
即
两式相减得：，
，则，
，，
所以，即，D正确.
故选：BD.
57．ACD
【分析】先作出函数的大致图象，结合题意令，进而得到,,关于的增减性以及的取值范围，数形结合分析选项即可得解.
【详解】作出函数的大致图象,如图所示，
设，
数形结合得:均是关于的增函数，是关于的减函数，且.
当时，令，得或，
所以，，且，
所以，故A正确；
不妨设，则，此时，所以B错误；
因为，所以，且与均为关于的增函数，
所以，故C正确；
因为为关于的增函数，，，所以，故D正确.
故选：ACD.
58．BCD
【分析】根据函数图象的翻折变换和平移变换，由函数的图象与函数的图象，
可得函数的图象，利用数形结合，可得答案.
【详解】由函数的图象，根据函数图象的翻折变换，
由函数的图象，根据函数图象的平移变换，向右平移3个单位，向下平移1个单位，
可得函数的图象，如下图：
函数的图象可由函数经过平移变换得到，
显然当或时，函数的图象与轴存在唯一交点，故A错误；
由函数的图象，本身存在两个交点，向下平移一个单位，符合题意，故B正确；
由图象，易知C正确；
设，则，由前两个方程可得，则，
由图象可知，解得，即，故D正确；
故选：BCD.
59．ABD
【分析】作出函数的大致图象，由图象分析可得，，可判断A，B；由解出可判断C；又因为，然后表示出，利用基本不等式求出的最小值可判断D.
【详解】作出函数的大致图象，如图所示：
要使直线与的图像有四个不同的交点，则，故A正确；
当时，对称轴为，所以，故B正确；
由，得或，则，
又，所以，
所以，故C错误；
所以，且，
，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，
故D正确.
故选：ABD
60．BD
【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，
当时，即对应一个交点为，
方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为，
综上，4个实数根之和为或.
故选：BD.
61．ABD
【分析】由指数函数与对数函数、的对称性知与关于直线对称，利用指数幂、对数运算的性质计算依次判断选项即可.
【详解】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称，
设与图象的交点为A，
与图象的交点为，
则与关于直线对称，则，．
因为，所以，则，即，
因为的图象与直线的交点为，
所以，，，则．
故选：ABD.
62．BC
【分析】把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式进行逐一判断即可.
【详解】令、，则、，
在同一坐标系中分别绘出函数、、的图像，
因为函数的零点为，函数的零点为，
所以，，解方程组，
因为函数与互为反函数，
所以由反函数性质知、关于对称，
则，，所以，
当且仅当a=b=1时，等号成立，所以A、D错误，B、C正确.
故选：BC
【点睛】关键点睛：对于零点关系问题，往往把函数零点转化方程的根，再转化为新函数的交点横坐标关系问题，另外本题要注意函数与函数是反函数，故两个交点A、B关于点中心对称.
63．ABC
【分析】对于A，利用导数，结合极小值点的定义，可得答案；
对于B，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案；
对于C，根据切线的求解方程，利用导数检测，可得直线为函数的切线，结合图象，可得答案；
对于D，整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案.
【详解】由函数，则求导可得，
令，解得或，可得下表：
极大值 极小值
则是的极小值点，故A正确；
，，
由，，
显然函数在分别存在一个零点，即函数存在三个零点，故B正确；
联立，消去可得，化简可得，
则该方程组存在唯一实根，故C正确；
令，
，故D错误.
故选：ABC.
64．AD
【分析】由得，利用数形结合即可得到结论.
【详解】由得，作出函数，|的图像，如图所示．
当，满足条件，
当时，此时与有三个交点，
故符合条件的满足或．
故选：AD
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
65．ABD
【分析】A选项，令与，解出方程的根，得到零点个数；B选项，画出与的图象，得到要想有三个零点，则，进而得到，，求出的范围即可；C选项，求出当时，函数零点的个数，即可判断；D选项，要想存在实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，从而求出的范围.
【详解】对于A，当时，，
当时，令，解得，
当时，令，解得或，
综上，当时，函数有3个零点，故A正确；
对于B，当时，，
令，则，
如图，画出与的图象如下：
要想有三个零点，则，
不妨设，则，，
故，则，
则，故B正确；
对于C，因为时，，或4时，，
当时，不存在零点，而有两个零点，
此时函数恰有2个零点，
则当时，函数也恰有2个零点，故C错误；
对于D，画出与的图象如下：
要想存在实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，故，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
66． 1
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】∵，∴
∴
故答案为：1，
67．①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
68．
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
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